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河南省2018届高三12月联考数学(理)试题+Word版含答案

时间:2018-02-14


天一大联考 2017-2018 学年高中毕业班阶段性测试(三) 数学(理科)
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.
2 1.已知集合 A ? x ? N * | x ? 6 x ? 0 , B ? ?0, 2,6? ,则 A ? B ? (

?

?



A. ?2, 6?

B. ?3, 6?

C. ?0,2,6?

D. ?0,3,6? )

2.已知 i 是虚数单位,若复数 z ? A. 1

b?i 为纯虚数( a , b ? R ) ,则 | z |? ( 1 ? ai
C. 2 D. 3

B. 2

3.如图是一边长为 8 的正方形苗圃图案,中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心,圆与圆之 间是相切的,且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的 2 倍.若在正方形图案上随机取一点, 则该点取自白色区域的概率为( )

A.

? 64

B.

? 32

C.

? 16

D.

? 8


4.已知函数 f ( x) ? x ? 2 x ? a ( a ? 0 )的最小值为 2,则实数 a ? ( A.2 5.已知数列 ?an ? 满足 2 前 13 项的和等于( A.162 B.4
2 an ?1

C.8

D.16

? 2an ? 2an ? 2 ,a2 ? a6 ? a10 ? 36 ,a5 ? a8 ? a11 ? 48 , 则数列 ?an ?

) B.182 C.234 D.346

6.用 a1 , a2 ,…, a10 表示某培训班 10 名学员的成绩,其成绩依次为 85,68,95,75,88,92,90,80,78,87.执行如图所示的程序框图,若分别输入 ai 的 10 个值,则

输出的

n 的值为( i ?1



A.

3 5

B.

1 3

C.

7 10


D.

7 9

7.如图画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为(

A.16

B.32

C.48

D.60 )

8.已知 x ? 0 , y ? 0 , z ? 0 ,且 A.8 9.将函数 f ( x) ?| sin A. x ? B.9

4 1 ? ? 1 ,则 x ? y ? z 的最小值为( y?z x
C.12 D.16

?
6

x x ? ? cos | 向左平移 个单位长度,则所得函数的一条对称轴是( 2 2 6 ? ? 2? B. x ? C. x ? D. x ? 4 3 3
2 2



10.已知点 Q(?1,, m) , P 是圆 C : ( x ? a) ? ( y ? 2a ? 4) ? 4 上任意一点,若线段 PQ 的中 点 M 的轨迹方程为 x ? ( y ?1) ? 1 ,则 m 的值为(
2 2

) D.4

A.1

B.2

C.3

11.已知四棱锥 P ? ABCD 的侧棱长均为 30 ,底面是两邻边长分别为 2 和 3 2 的矩形, 则该四棱锥外接球的表面积为( A. 18? B. ) C. 36? D. 48?

32? 3

12.已知过抛物线 C : y 2 ? 8x 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于 P , Q 两点,若 R 为线段 PQ 的 中点,连接 OR 并延长交抛物线 C 于点 S ,则 B. [2, ??)

| OS | 的取值范围是( | OR |



A. (0, 2)

C. (0, 2]

D. (2, ??)

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13. (5 x ?

1 7 y ) 的展开式中 x 2 y 5 的系数是 2

. (用数值作答)

? x ? y ? 2 ? 0, y?4 ? 14.已知实数 x , y 满足 ? x ? 2 y ? 4 ? 0, 则 z ? 的取值范围为 x?3 ?3 x ? 2 y ? 12 ? 0, ?
15.如图,在等腰梯形 ABCD 中, AD ? BC ? AB ?



1 DC ? 2 ,点 E , F 分别为线段 AB , 2 ??? ? ??? ? BC 的三等分点, O 为 DC 的中点,则 cos ? FE, OF ?? .

16.已知过点 (0, ?1) 与曲线 f ( x) ? ? x ?
3

3a 2 x ? 6 x ( x ? 0 )相切的直线有且仅有两条,则 2

实数 a 的取值范围是



三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已知等差数列 ?an ? 的前 3 项分别为 1, a , b ,公比不为 1 的等比数列 ?bn ? 的前 3 项分别 为 4, 2a ? 2 , 3b ? 1. (1)求数列 ?an ? 与 ?bn ? 的通项公式; (2)设 cn ?

2 an (log 2 bn ?1)

,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Sn .

18.在 ?ABC 中,内角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c ,满足

(a2 ? c2 ? b2 ) tan B ? 3(b2 ? c2 ? a2 ) .
(1)求角 A ;

(2)若 ?ABC 的面积为

3 (bc ? 4 3) cos A ? ac cos B ,求 的值. 2 a 2 ? b2

19.某大型娱乐场有两种型号的水上摩托,管理人员为了了解水上摩托的使用及给娱乐城带来 的经济收入情况,对该场所最近 6 年水上摩托的使用情况进行了统计,得到相关数据如表: 年份 年份代码 x 使用率 y ( % ) 2011 1 11 2012 2 13 2013 3 16 2014 4 15 2015 5 20 2016 6 21

(1)请根据以上数据,用最小二乘法求水上摩托使用率 y 关于年份代码 x 的线性回归方程, 并预测该娱乐场 2018 年水上摩托的使用率; (2)随着生活水平的提高,外出旅游的老百姓越来越多,该娱乐场根据自身的发展需要,准 备重新购进一批水上摩托,其型号主要是目前使用的Ⅰ型、Ⅱ型两种,每辆价格分别为 1 万 元、1.2 万元.根据以往经验,每辆水上摩托的使用年限不超过四年.娱乐场管理部对已经淘 汰的两款水上摩托的使用情况分别抽取了 50 辆进行统计,使用年限如条形图所示:

已知每辆水上摩托从购入到淘汰平均年收益是 0.8 万元,若用频率作为概率,以每辆水上摩 托纯利润(纯利润 ? 收益 ? 购车成本)的期望值为参考值,则该娱乐场的负责人应该选购Ⅰ型 水上摩托还是Ⅱ型水上摩托?

?? ? ?a ? ,其中 b 附:回归直线方程为 ? y ? bx

? ( xi ? x)( yi ? y)
i ?1

n

? ( x ? x)
i ?1 i

n

?

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

2

?x
i ?1

2 i

? nx

2

? ? y ? bx ? . ,a

20.如图,已知四棱锥 P ? ABCD 的底面为直角梯形, AD / / BC , ?ADC ? 90? ,且

AD ? 2 BC ? 2CD , PA ? PB ? PD .

(1)求证:平面 PAD ? 平面 ABCD ; (2)设 ?PAD ? 45? ,求二面角 B ? PD ? C 的余弦值. 21.如图,已知 F ( 3,0) 为椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点, B1 , B2 , A 为椭圆 a 2 b2

的下、上、右三个顶点, ?B2OF 与 ?B2OA 的面积之比为

3 . 2

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)试探究在椭圆 C 上是否存在不同于点 B1 , B2 的一点 P 满足下列条件:点 P 在 y 轴上的 投影为 Q , PQ 的中点为 M ,直线 B2 M 交直线 y ? b ? 0 于点 N , B1 N 的中点为 R ,且

?MOR 的面积为

3 5 .若不存在,请说明理由;若存在,求出点 P 的坐标. 10

22.已知函数 f ( x) ? ln x ? mx(m ? R) . (1)讨论 f ( x ) 的单调性; (2)若方程 f ( x) ? 0 存在两个不同的实数根 x1 , x2 ,证明: m( x1 ? x2 ) ? 2 .

天一大联考 2017-2018 学年高中毕业班阶段性测试(三)数学(理科)答案 一、选择题 1-5: AADBB 二、填空题 13. ? 6-10: CABCD 11、12: CD

525 32

14. ( ??, ?2] ? [

2 , ??) 32

15. ?

1 2

16. (2, ??)

三、解答题 17.解: (1)由题意,得 ?

?2a ? b ? 1, ?(2a ? 2) ? 4(3b ? 1),
2

解得 ?

?a ? 3, ?a ? 1, (舍去)或 ? ?b ? 5, ?b ? 1

所以数列 ?an ? 的公差为 d ? 2 ,通项公式为 an ? 1 ? 2(n ?1) ? 2n ?1 ,即 an ? 2n ? 1, 数列 ?bn ? 的公比为 q ? 2 ,通项公式为 bn ? 4 ? 2n?1 ? 2n?1 . (2)由(1)得 cn ?

2 1 1 ? ? , (2n ? 1)(2n ? 1) 2n ? 1 2n ? 1
1 1 1 2n ? ) ? 1? ? . 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1

所以 S n ? (1 ? ) ? ( ? ) ? … ? (

1 3

1 1 3 5

18.解: (1)∵ (a2 ? c2 ? b2 ) tan B ? 3(b2 ? c2 ? a2 ) , ∴由余弦定理,得 2ac cos B tan B ? 2 3bc cos A ,即 a cos B tan B ? 3b cos A . 由正弦定理与同角三角函数基本关系,得 sin A cos B ?

tan A ? 3 ,∴ A ?

?
3

sin B ? 3 sin B cos A ,∴ cos B



(2)∵ ?ABC 的面积为

3 1 ? 3 ,∴ bc sin ? ,即 bc ? 2 3 , 2 2 3 2

∴ (bc ? 4 3)cos A ? ac cos B ? ?2 3 cos A ? ac cos B

? ?2 3 ?

b2 ? c 2 ? a 2 a 2 ? c 2 ? b2 ? ac ? ? a 2 ? b2 , 2bc 2ac



(bc ? 4 3) cos A ? ac cos B ? 1. a 2 ? b2

19.解: (1)由表格数据,得 x ? 3.5 , y ? 16 ,

?x y
i ?1 i

6

i

? 371 ,

?? ∴b

? x y ? 6x y
i ?1 6 i i

6

?x
i ?1

2 i

? 6x

2

?

371 ? 6 ? 3.5 ?16 ? ? 16 ? 2 ? 3.5 ? 9 , ? 2 ,∴ a 17.5

∴水上摩托使用率 y 关于年份代码 x 的线性回归方程为 ? y ? 2x ? 9 . 当 x ? 8 时, ? y ? 2 ? 8 ? 9 ? 25 ,故预测该娱乐场 2018 年水上摩托的使用率为 25% . (2)由频率估计概率,结合条形图知Ⅰ型水上摩托每辆可使用 1 年、2 年、3 年和 4 年的概 率分别为 0.2,0.3,0.3,0.2, ∴每辆Ⅰ型水上摩托可产生的纯利润期望值 . E?1 ? (0.8 ?1) ? 0.2 ? (2 ? 0.8 ?1) ? 0.3 ? (3? 0.8 ?1) ? 0.3 ? (4 ? 0.8 ?1) ? 0.2 ? 1 (万元) 由频率估计概率,结合条形图知Ⅱ型水上摩托每辆可使用 1 年、2 年、3 年和 4 年的概率分别 为 0.1,0.2,0.4 和 0.3, ∴每辆Ⅱ型水上摩托可产生的纯利润期望值

E?2 ? (0.8 ?1.2) ? 0.1 ? (2 ? 0.8 ?1.2) ? 0.2 ? (3? 0.8 ?1.2) ? 0.4 ? (4 ? 0.8 ? 1.2) ? 0.3 ? 1.12
(万元) . 20.(1)证明:如图,分别取 AD , AB 的中点 O , G ,连接 OB , OP , OG , PG , 则四边形 OBCD 为正方形, ∴ OA ? OB ,∴ OG ? AB . 又 PA ? PB ,∴ PG ? AB , ∴ AB ? 平面 POG ,∴ AB ? PO . ∵ PA ? PD ,∴ PO ? AD . 又∵ AB 与 AD 为平面 ABCD 内的两条相交直线,∴ PO ? 平面 ABCD . 又 PO ? 平面 PAD ,∴平面 PAD ? 平面 ABCD .

(2) 解: 由 (1) 知, 以 OB, OD, OP 为一组正交基底, 建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz , ∵ ?PAD ? 45? ,则由 PO ? AD ,知 PO ? OA ? OB ? OD . 令 OA ? OB ? OD ? 1 ,则 P(0, 0,1) , B(1, 0, 0) , C (1,1, 0) , D(0,1, 0) , ∴ PB ? (1,0, ?1) , PD ? (0,1, ?1) , CD ? (?1,0,0) . 设平面 PBD 的法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) ,

?

??? ? ???? ??? ?

?

??? ?

??? ?

??? ?

??

?? ??? ? ?? ??? ? ? ? ?? ?n1 ? PB, ?n1 ? PB ? 0, ? x 1? z1 ? 0, 则由 ? ?? ??? 即? 取 x1 ? 1 ,得 n1 ? (1,1,1) . ? ,得 ? ?? ??? ? ? ? ?n1 ? PD, ?n1 ? PD ? 0, ? y1 ? z1 ? 0, ?? ? 又设平面 PCD 的法向量为 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) , ?? ? ??? ? ?? ? ??? ? ? ?? ? ? n2 ? CD, ? ?n2 ? CD ? 0, ?? x2 ? 0, 则由 ? ?? 即? 取 y2 ? 1 ,得 n2 ? (0,1,1) , ? ??? ? 得 ??? ? ??? ? ? ? n2 ? PD, ? ?n2 ? PD ? 0, ? y2 ? z2 ? 0,

?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 0 ?1?1 6 ? ? ∴ cos ? n1 , n2 ?? ?? ?? , ? 3 | n1 | ? | n2 | 3? 2
又二面角 B ? PD ? C 为锐角, ∴二面角 B ? PD ? C 的余弦值为

6 . 3

21.解: (1)由已知,得

S?B2OF S?B2OA

1 bc c 3 2 . ? ? ? 1 2 ab a 2

2 2 2 又 c ? 3 ,∴ a ? 2 ,结合 a ? b ? c ,解得 b ? 1 ,

∴椭圆 C 的标准方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4

(2)设 P( x0 , y0 ) ( x0 ? 0 ) ,则 Q(0, y0 ) ,∴

x x0 2 ? y0 2 ? 1 , M ( 0 , y0 ) . 2 4

又∵ B2 (0,1) ,∴直线 B2 M 的方程为 y ?

2( y0 ? 1) x ?1. x0

∵ x0 ? 0 ,∴ y0 ? 1 ,令 y ? ?1 ,得 N (

x0 , ?1) . 1 ? y0

又∵ B1 (0, ?1) ,则 R(

x0 , ?1) , 2(1 ? y0 )
2

?x x0 ? 1 ? y0 2 . | MR |? ? 0 ? ? ? ( y0 ? 1) ? 2 2(1 ? y ) 1 ? y 0 ? 0 ?
直线 MR 的方程为 y ? y0 ? ?

x0 x ( x ? 0 ) ,即 2 yy0 ? x0 x ? 2 ? 0 , 2 y0 2

∴点 O 到直线 MR 的距离为 d ?

2 x0 ? 4 y0 2
2

? 1,

∴ S?MOR ?

1 1 1 ? y0 3 5 , | MR | ?d ? ?1 ? 2 2 1 ? y0 10

解得 y0 ?

2 6 5 ,代入椭圆方程,得 x0 ? ? , 7 7

∴存在满足条件的点 P ,其坐标为 (?

6 5 2 , ). 7 7
1 1 ? mx ?m ? . x x

22.解: (1)函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , f '( x) ?

当 m ? 0 时, f '( x) ? 0 ,∴ f ( x ) 在区间 (0, ??) 上单调递增.

1 1 ,∴ f ( x ) 在区间 (0, ) 上单调递增, m m 1 1 由 f '( x) ? 0 ,得 x ? ,∴ f ( x ) 在区间 ( , ?? ) 上单调递减. m m
当 m ? 0 时,由 f '( x) ? 0 ,得 0 ? x ? (2)由方程 f ( x) ? 0 存在两个不同的实数根 x1 , x2 ,可设 x1 ? x2 ? 0 , ∵ f ( x1 ) ? 0 , f ( x2 ) ? 0 ,∴ ln x1 ? mx1 ? 0 , ln x2 ? mx2 ? 0 , ∴ ln x1 ? ln x2 ? m( x1 ? x2 ) ,∴ m ?

ln x1 ? ln x2 . x1 ? x2

要证 m( x1 ? x2 ) ? 2 ,只需证

ln x1 ? ln x2 x 2( x1 ? x2 ) 2 ,等价于 ln 1 ? , ? x1 ? x2 x1 ? x2 x2 x1 ? x2

设t ?

2(t ? 1) x1 (t ? 1) , ? 1 ,上式转化为 ln t ? t ?1 x2

2(t ? 1) (t ? 1)2 设 g (t ) ? ln t ? , g '(t ) ? ?0, t ?1 t (t ? 1)2
∴ g (t ) 在 (1, ??) 上单调递增, ∴ g (t ) ? g (1) ? 0 ,∴ ln t ?

2(t ? 1) ,∴ m( x1 ? x2 ) ? 2 . t ?1


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