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2016高考数学总复习课时作业堂堂清4-3


高三总复习

数学 (大纲版)

第三节

两角和与差的三角函数

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考 纲 要 求 考 试 热 点

1.掌握两角和与差的正弦、余

弦、正切公式. 2.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式. 3.能正确运用两角和与差公式或二倍角公式进 行简单三角函数式的化简、求值和证明.

1.正用、逆用或变形用两角和与差公式进行求值、 化简和证明. 2.正用、逆用或变形用二倍角公式进行求值、 化简和证明. 3.从角的角度、运算的角度或函数名称的角度 出发,进行简单三角函数式的化简、求值和证 明.

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1.两角和与差的三角函数 (1)两角和的余弦公式的推导:在单位圆上用两点距离 公式证明. (2)公式:sin(α±β)= sinαcosβ±cosαsinβ ; cosαcosβ?sinαsinβ cos(α±β)= ; tan(α±β)= . tan(α±β)(1?tanαtanβ) .

(3)T(α±β)的常用变形:
tanα±tanβ=

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温馨提示: 角要灵活变形如: 2α = (α + β) + (α - β),2β =(α+β)-(α-β),α=(α+β)-β等.

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2.二倍角公式 (1)公式:sin2α= 2sinαcosα ; cos2α= cos2α-sin2α =1- 2sin2α = 2cos2α -1. (2)公式的变式: 1+cos2α= 2cos2α ;1-cos2α= 2sin2α;

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1.下列各式中,值为

的是

(

)

答案:D

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2.已知

,则sin2x的值为

(

)

答案:D

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3.已知α为锐角,且


,则的值
( )

答案:A

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5.已知α为第二象限的角,sinα= 角,tanβ= .求: (1)tan(α+β)的值; (2)cos(2α-β)的值.

,β为第三象限的

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4 (2)因为 β 为第三象限的角,tanβ= , 3 4 3 所以, sinβ=- 5,cosβ=- 5. 24 7 2 又 sin2α=2sinαcosα=- 25, cos2α=1-2sin α=25, 3 所以,cos(2α-β)=cos2αcosβ+ sin2α sinβ= 5.

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公式的正用及变形使用

[分析]

对于(1)把各项用两角和与差的公式展开后处

理,对于(2)整体观察式子结构后,分子中1+2sinαcosα应化 为(sinα+cosα)2.

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[ 解] (1) 解法 1 :sin(x+60° ) + 2sin(x-60° )- 3 cos(120° - x) = sinxcos60° + cosxsin60° + 2(sinxcos60° -cosxsin60° )- 3(cos120° cosx+ sin120° sinx) 1 3 3 3 =2 sinx+ 2 cosx+ sinx- 3cosx+ 2 cosx- 2 sinx =0. 解法 2:sin(x+60° )+2sin(x-60° )- 3cos(120° - x) =sin(x+60° )+ 3cos(60° +x)+2sin(x-60° ) = 2[sin(x + 60° )cos60°+ cos(x + 60° )sin60° ]+ 2sin(x-60° )=2sin(x+120° )+2sin(x-60° ) =-2sin(x-60° )+2sin(x-60° )=0.

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[ 拓展提升 ]

在解题时应整体把握式子的结构特点,

从式子的结构特点出发,寻找化简、求解的方向.

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若向量a=(sinθ,2)与b=(cosθ,1)共线,则 等于 ( )

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答案:C

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从三角函数的名称寻找思路 [例2] 化简: [ 分析 ] .

关于含有具体角度的三角函数式的化简,除

“切割化弦 ” 、 “ 高次降幂 ” 等变形方法外,还需抓住题

目中的隐含条件,即题目中角之间的联系,如本题中 40°
+ 50°= 90°, 2×50°= 100°= 90°+ 10°等,抓住角 度之间的联系,很容易就找到解题的突破口.

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[解] ∵1+ 3tan10° =1+ 3· + 3sin10° sin10° cos10° = cos10° cos10° 1 3 2( cos10° + sin10° ) 2cos(60° -10° ) 2cos50° 2 2 = = cos10° cos10° = cos10°, 2sin50° cos50° sin100° ∴sin50° (1+ 3tan10° )= cos10° = cos10°=1. cos40° +1 2cos220° 故原式= = = 2. 2 sin70° · 2cos20° 2cos 20°

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[拓展提升]

切化弦,再通分,分子往往出现和(差)角

的正、余弦公式或消(约)去非特殊角的三角函数,本题中用 到了 cosαcosβ + sinαsinβ = cos(α - β),1 + cos2α = 2cos2α ,这 些是课本公式的逆用与变形应用,对两角和与差的公式应 熟练掌握其逆用与变形应用. 当式子中涉及多种三角函数时往往要进行名称的统一,

可以把“切、割”化为“弦”,有时也反过来.

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化简:

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角的合理配凑与变换

[ 例 3]
cosβ的值;

(1) 已知 α 、 β 为锐角, sinα =, cos(α - β) ,求

[ 分析 ]

对于 (1) 可先求出 cosα ,然后结合 cos(α - β) =

及 α - β 的范围,求出 sin(α - β) 的值,最后利用 cosβ = cos[α -(α-β)]展开求解. 对于(2) 利用同样的方法把 2α 变换成 2α =(α + β) + (α - β),然后利用cos2α=cos[(α+β)+(α-β)]展开求解.

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8 1 π π [解] (1)∵sinα=17<2,α∈(0,2),∴0<α<6. 21 3 π π ∵cos(α-β)=29< 2 ,α-β∈(-2,2), π ∴-2<α-β<0, 8 2 15 2 ∴cosα= 1-sin α = 1-( ) = . 17 17 21 2 20 2 sin(α-β)=- 1-cos (α-β)=- 1-(29) =-29. ∴cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+ sinα sin( α-β) 15 21 8 20 155 =17×29+17×(-29)=493.

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π (2)∵0<α-β< , 4 ∴sin(α-β)= 1-cos (α-β)= 3π ∵π<α+β< , 2
2 2

12 2 5 1-( ) = . 13 13 32 1-(- ) 5

∴cos(α+β)=- 1-sin (α+β)=-

4 =-5. 于是 cos2α=cos[(α+β)+(α-β)] =cos(α+β)cos(α-β)- sin(α+β)sin(α-β) 4 12 3 5 33 =(-5)×13-(-5)×13=-65.

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[ 拓展提升 ]

在解决三角函数给值求值问题时,要注

意以下两点:先分析已知角与所求角之间的关系,再决定 如何利用已知条件,采用哪些公式,避免盲目处理相关角 的三角函数式,以免造成解题时不必要的麻烦,要认真考 虑角的整体运用,恰当运用拆角、拼角等技巧.另外,许 多问题都给出了角的范围,解题时一定要重视角的范围对

三角函数值的制约,从而恰当、准确地求出三角函数值.

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π π (2)∵0<α< ,- <β<0, 2 2 ∴0<α-β<π. 5 12 又 cos(α-β)= ,∴sin(α-β)= . 13 13 4 3 2 又 sinβ=- 5,∴cosβ= 1-sin β=5. ∴sinα = sin[(α - β) + β] = sin(α - β)cosβ + cos(α - 12 3 5 4 16 β)· sinβ= 13×5+13×(-5)=65.

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三角函数与平面向量的综合应用 [ 例 4] (2009· 湖北高考 ) 已知向量 a = (cosα , sinα) , b =(cosβ,sinβ),c=(-1,0). (1)求向量b+c的长度的最大值; (2)设α= [分析 ] ,且a⊥(b+c),求cosβ的值. (1) 把向量 b +c 用坐标表示出来,根据向量长

度的计算公式将其转化为关于β的三角函数的最值;(2)在已
知条件下,只有 β 是未知的,根据两向量垂直其数量积为 0 得到一个关于β的三角函数的方程,通过这个方程求cosβ的

值.

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[解] (1)解法1:b+c=(cosβ-1,sinβ),则 |b+c|2=(cosβ-1)2+sin2β=2(1-cosβ). ∵-1≤cosβ≤1,∴0≤|b+c|2≤4,即0≤|b+c|≤2. 当cosβ=-1时,有|b+c|=2,所以向量b+c的长度的 最大值为2. 解法2:∵|b|=1,|c|=1,|b+c|≤|b|+|c|=2.

当cosβ=-1时,有b+c=(-2,0),即|b+c|=2,所以
向量b+c的长度的最大值为2.

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(2)解法 1:由已知,可得 b+c=(cosβ-1, sinβ) ,a· (b +c)=cosαcosβ+ sinα sinβ-cosα=cos(α-β)-cosα. ∵a⊥(b+c),∴a· (b+c)=0,即 cos(α-β)=cosα . π π π π π 由 α=4,得 cos(4-β)=cos4,即 β-4=2kπ± 4(k∈Z), π ∴β=2kπ+ 或 β=2kπ,k∈Z,于是 cosβ=0 或 cosβ=1. 2

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π 2 2 解法 2:若 α= ,则 a=( , ).又由 b=(cosβ, 4 2 2 2 2 sinβ), c=(-1,0), 得 a· (b+c)=( , )· (cosβ-1,sinβ) 2 2 2 2 2 = cosβ+ sinβ- . 2 2 2 ∵a⊥(b+c),∴a· (b+c)=0,即 cosβ+ sinβ=1. ∴sinβ=1- cosβ,平方后化简,得 cosβ(cosβ-1) = 0, 解得 cosβ=0 或 cosβ=1 ,经检验,cosβ=0 或 cosβ =1 即为所求.

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[ 拓展提升 ]

本题是基于终点在单位圆上的三个向量

构造的一道试题,其中向量 a 、 b 是终点在单位圆上变动的 向量,向量 c 的终点是单位圆与 x 轴负半轴的交点.第 (1)问 是求变动的向量b与不动的向量c的和的长度的最大值,第(2) 问是在向量a,c固定的情况下,求向量b的横坐标.本题从 这些几何意义入手,通过三角函数关系把向量表示出来,

目的是考查向量和三角恒等变换的基础知识,考查考生分
析问题、解决问题的能力.

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3 x 3 x 解:(1)a· b=cos xcos -sin xsin =cos2x, 2 2 2 2 3 x2 3 x2 |a + b |= (cos2x+cos2) +(sin2x- sin2) = 2 cos2x= π 2cosx(∵x∈[0,2]). (2)f(x)=cos2x-4λcosx=2(cosx-λ)2-1-2λ2. π ∵x∈[0, ],∴cosx∈[0,1]. 2 ①当 λ<0,cosx=0 时,f(x)min=-1,矛盾. ②当 0≤λ≤1,cosx=λ 时,f(x)min=-1-2λ2, 3 1 由-1-2λ =- ,得 λ= . 2 2
2

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③当 λ>1,cosx=1 时,f(x)min=1-4λ, 3 5 由 1-4λ=-2,得 λ=8<1,矛盾. 1 综上,λ=2为所求.

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1.对公式的掌握,既要能正用,还要能进行逆用及变 形使用.记忆公式要注意角、三角函数名称排列以及连结 符号“+”、“-”的变化特点,要掌握一些常见的变形 tanα+tanβ 使用, 如 tan(α+β)= 的变形为 tanα+tanβ=tan(α 1-tanαtanβ +β)(1-tanαtanβ),cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α 的变形为 1+cos2α 1-cos2α 2 cos α = , sin α = 等,要根据式子的结构 2 2
2

特点灵活选用公式.

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2.明确变形目标,重视角的变换,确定变形的目标 和方向很重要, 根据所求目标及条件常可对角进行一些变 换, 如 2α=(α+β)+(α-β),2β=(α+β)-(α-β), α=(α+β) π π α -β,α+3=(α+β)-(β-3),α=2· 2 等等.还可从三角函 数名称的角度寻找解题方向,如进行“切割化弦”等. 3.有效控制角的范围,重视角的范围对三角函数值的影 响,特别要注意结合函数的单调性对角的范围进行讨论.

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