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【成才之路】2014-2015学年高中数学(北师大版,选修1-1)练习:第4章 §2 2.2 第2课时 生活中的优化问题举例]


第四章

§2

2.2 第 2 课时

一、选择题 1.要制做一个圆锥形的漏斗,其母线长为 20cm,要使其体积最大,则高为( A. 3 cm 3 10 3 B. cm 3 20 3 D. cm 3 )

16 3 C. cm 3 [答案] D

[解析] 设圆锥的高为 x,则底

面半径为 202-x2, 1 其体积为 V= πx(400-x2) (0<x<20), 3 1 20 3 V′= π(400-3x2),令 V′=0,解得 x= . 3 3 20 3 20 3 当 0<x< 时,V′>0;当 <x<20 时,V′<0, 3 3 20 3 所以当 x= 时,V 取最大值. 3 2.将数 8 拆分为两个非负数之和,使其立方之和为最小,则分法为( A.2 和 6 C.3 和 5 [答案] B [解析] 设一个数为 x,则另一个数为 8-x,则 y=x3+(8-x)3,0≤x≤8,y′=3x2-3(8 -x)2,令 y′=0,即 3x2-3(8-x)2=0,解得 x=4. 当 0≤x<4 时,y′<0,函数单调递减;当 4<x≤8 时,y′>0,函数单调递增,所以 x= 4 时,y 最小. 3.用总长为 6m 的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制作容器的底面的相邻两 边长之比为 A.0.5m C.0.8m [答案] A 6-12x-16x ?3 [解析] 设容器底面相邻两边长分别为 3xm、4xm,则高为 =?2-7x? ?(m), 4 ,那么容器容积最大时,高为( ) B.4 和 4 D.以上都不对 )

B.1m D.1.5m

?3-7x?=18x2-84x3?0<x< 3 ?,V′=36x-252x2, 容积 V=3x· 4x· 14? ?2 ? ?

1? 1 ?1 3 ? 由 V′=0 得 x= 或 x=0(舍去).x∈? ?0,7?时,V′>0,x∈?7,14?时,V′<0,所以 7 1 在 x= 处,V 有最大值,此时高为 0.5m. 7 4.内接于半径为 R 的球且体积最大的圆锥的高为( A.R 4 C. R 3 [答案] C [解析] 设圆锥高为 h,底面半径为 r,则 R2=(R-h)2+r2,∴r2=2Rh-h2, 1 π 2 π ∴V= πr2h= h(2Rh-h2)= πRh2- h3, 3 3 3 3 4 4 V′= πRh-πh2.令 V′=0 得 h= R. 3 3 4 4R 当 0<h< R 时,V′>0;当 <h<2R 时,V′<0. 3 3 4 因此当 h= R 时,圆锥体积最大.故应选 C. 3 5.设圆柱的体积为 V,那么其表面积最小时,底面半径为( 3 A. V 3 C. 4V [答案] D [解析] 设底面圆半径为 r,高为 h,则 V=πr2h, V V 2V ∴h= 2.∴S 表=2S 底+S 侧=2πr2+2πr· h=2πr2+2πr· 2=2πr2+ . πr πr r 3 V 2V ∴S 表′=4πr- 2 ,令 S 表′=0 得,r= , r 2π 又当 x∈(0, 面积最小. 6.福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第 x 小时时, 1 原油温度(单位:℃)为 f(x)= x3-x2+8(0≤x≤5),那么,原油温度的瞬时变化率的最小值是 3 ( ) A.8 C.-1 20 B. 3 D.-8 3 V 3 V 3 V )时,S 表′<0;当 x∈( ,V)时,S 表′>0,∴当 r= 时,表 2π 2π 2π B. 3 V π 3 V 2π ) B.2R 3 D. R 4 )

D.2

[答案] C [解析] 瞬时变化率即为 f ′(x)=x2-2x 为二次函数, 且 f ′(x)=(x-1)2-1, 又 x∈[0,5], 故 x=1 时,f ′(x)min=-1. 二、填空题 7.做一个无盖的圆柱形水桶,若要使其体积是 27π,且用料最小,则圆柱的底面半径 为________. [答案] 3 27 [解析] 设圆柱的底面半径为 R,母线长为 L,则 V=πR2L=27π,∴L= 2 ,要使用料 R 27 最省,只需使圆柱形表面积最小,∴S 表=πR2+2πRL=πR2+2π , R 54π ∴S′(R)=2πR- 2 =0,令 S′=0 得 R=3, R ∴当 R=3 时,S 表最小. 8.一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比,已知在速度为 10km/h 时燃 料费是每小时 6 元 ,而其他与速度无关的费用是每小时 96 元,则此轮船的速度为 ______km/h 航行时,能使行驶每公里的费用总和最小. [答案] 20 [解析] 设船速为每小时 x(x>0)公里,燃料费为 Q 元,则 Q=kx3, 由已知得:6=k· 103, 3 3 ∴k= ,即 Q= x3. 500 500 记行驶每公里的费用总和为 y 元,则 3 1 3 96 y=( x3+96)·= x2+ 500 x 500 x 3 96 3 96 y′= x- 2 ,令 y′=0,即 x- 2 =0, 250 x 250 x 解之得:x=20. 这就是说,该函数在定义域(0,+∞)内有唯一的极值点,该极值必有所求的最小值, 即当船速为每小时 20 公里时,航行每公里的总费用最小,最小值为 7.2 元. 9.如图所示,一窗户的上部是半圆,下部是矩形,如果窗户面积一定,窗户周长最小时, x 与 h 的比为________.

[答案] π S π [解析] 设窗户面积为 S,周长为 L,则 S= x2+2hx,h= - x,∴窗户周长 L=πx 2 2x 4 π S +2x+2h= x+2x+ , 2 x π S ∴L′= +2- 2. 2 x 由 L′=0, 得 x= ∴当 x= 2S ? , x∈?0, π+4 ? 2S ? ? L′<0, x∈? ?时, π+4? ? 2S ? L′>0, ,+∞?时, π+4 ?

2 2S h 2S-πx 2S π π+4 π 时,L 取最小值,此时 = = 2- = - =1. 2 x 4x 4x 4 4 4 π+4

三、解答题 10.(2014· 福州市八县联考)永泰某景区为提高经济效益,现对某一景点进行改造升级, 从而扩大内需,提高旅游增加值,经过市场调查,旅游增加值 y 万元与投入 x(x≥10)万元之 101 x 间满足:y=f(x)=ax2+ x-bln ,a,b 为常数.当 x=10 万元时,y=19.2 万元;当 x= 50 10 30 万元时,y=50.5 万元.(参考数据:ln2=0.7,ln3=1.1,ln5=1.6). (1)求 f(x)的解析式; (2)求该景点改造升级后旅游利润 T(x)的最大值.(利润=旅游增加值-投入). x2 101 x [答案] (1)f(x)=- + x-ln (x≥10) (2)24.4 万元 100 50 10 [解析] (1)由条件可得

?a×10 + 50 ×10-bln1=19.2, ? 101 ?a×30 + 50 ×30-bln3=50.5,
2 2

101

解得 a=-

1 ,b=1, 100

x2 101 x 则 f(x)=- + x-ln (x≥10). 100 50 10 x2 51 x (2)T(x)=f(x)-x=- + x-ln (x≥10), 100 50 10 -x 51 1 ?x-1??x-50? 则 T′(x)= + - =- , 50 50 x 50x 令 T′(x)=0,则 x=1(舍)或 x=50, 当 x∈(10,50)时,T′(x)>0,因此 T(x)在(10,50)上是增函数; 当 x∈(50,+∞)时,T′(x)<0,因此 T(x)在(50,+∞)上是减函数, ∴当 x=50 时,T(x)取最大值. 502 51 50 T(50)=- + ×50-ln =24.4(万元). 100 50 10

即该景点改造升级后旅游利润 T(x)的最大值为 24.4 万元.

一、选择题 11.以长为 10 的线段 AB 为直径画半圆,则它的内接矩形面积的最大值为( A.10 C.25 [答案] C [解析] 如图,设∠NOB=θ,则矩形面积 S=5sinθ· 2· 5cosθ=50sinθ· cosθ=25sin2θ,故 Smax=25. B.15 D.50 )

12.若一球的半径为 r,作内接于球的圆柱,则圆柱侧面积的最大值为( A.2πr2 C.4πr2 [答案] A [解析] 设内接圆柱的底面半径为 r1,高为 t,
2 2 则 S=2πr1t=2πr12 r2-r2 1=4πr1 r -r1. 4 ∴S=4π r2r2 1-r1. 4 令(r2r2 1-r1)′=0 得 r1=

)

B.πr2 1 D. πr2 2

2 r. 2

此时 S=4π·

2 2 r· r2-? r?2 2 ?2 ?

2 2 =4π· r· r=2πr2. 2 2 13.某公司生产一种产品,固定成本为 20 000 元,每生产一单位的产品,成本增加 100 x3 元,若总收入 R 与年产量 x(0≤x≤390)的关系是 R(x)=- +400x,0≤x≤390,则当总利 9 000 润最大时,每年生产的产品单位数是( A.150 C.250 [答案] D x3 [解析] 由题意可得总利润 P(x)=- +300x-20 000,0≤x≤390.由 P′(x)=0,得 x 900 ) B.200 D.300

=300. 当 0≤x≤300 时,p′(x)>0;当 300<x≤390 时,P′(x)<0,所以当 x=300 时,P(x)最 大,故选 D. 二、填空题 14.用长为 18m 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为 该长方体的最大体积是________. [答案] 3m3 9 9 3 ? [解析] 设长方体的宽为 x,则长为 2x,高为 -3x (0<x< ),故体积为 V=2x2? ?2-3x? 2 2 =-6x3+9x2, V′=-18x2+18x,令 V′=0 得,x=0 或 1, ∵0<x<2,∴x=1. ∴该长方体的长、宽、高各为 2m、1m、1.5m 时,体积最大,最大体积 Vmax=3m3. 15.某厂生产某种产品 x 件的总成本:C(x)=1 200+ 2 3 x ,又产品单价的平方与产品件 75 ,

数 x 成反比,生产 100 件这样的产品的单价为 50 元,总利润最大时,产量应定为________ 件. [答案] 25 [解析] 设产品单价为 a 元,又产品单价的平方与产品件数 x 成反比,即 a2x=k, 500 2 250 2 由题知 a= .总利润 y=500 x- x3-1200(x>0),y′= - x2, 75 x x 25 由 y′=0,得 x=25,x∈(0,25)时,y′>0,x∈(25,+∞)时,y′<0,所以 x=25 时, y 取最大值. 三、解答题 16.(2014· 三峡名校联盟联考)时下,网校教学越来越受到广大学生的喜爱,它已经成为 学生们课外学习的一种趋势, 假设某网校的套题每日的销售量 y(单位: 千套)与销售价格 x(单 位:元/套)满足的关系式 y= m +4(x-6)2,其中 2<x<6,m 为常数.已知销售价格为 4 元/ x-2

套时,每日可售出套题 21 千套. (1)求 m 的值; (2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题 2 元(只考虑销售出的套数),试 确定销售价格 x 的值,使网校每日销售套题所获得的利润最大.(保留 1 位小数) [答案] (1)10 (2)3.3 元/套

[解析] (1)因为 x=4 时,y=21, m m 代入关系式 y= +4(x-6)2,得 +16=21, 2 x-2

解得 m=10. 10 (2)由(1)可知,套题每日的销售量 y= +4(x-6)2, x-2 所以每日销售套题所获得的利润 10 f(x)=(x-2)[ +4(x-6)2]=10+4(x-6)2(x-2)=4x3-56x2+240x-278(2<x<6), x-2 从而 f ′(x)=12x2-112x+240=4(3x-10)(x-6)(2<x<6). 10 10 10 令 f ′(x)=0,得 x= ,且在(0, )上,f ′(x)>0,函数 f(x)单调递增;在( ,6)上, 3 3 3 f ′(x)<0,函数 f(x)单调递减, 10 所以 x= 是函数 f(x)在(2,6)内的极大值点,也是最大值点, 3 10 所以当 x= ≈3.3 时,函数 f(x)取得最大值. 3 故当销售价格为 3.3 元/套时,网校每日销售套题所获得的利润最大. 17.(2014· 山东省德州市期中)统计表明某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y(升) 关于行驶速度 x(千米/小时)的函数为 y= 1 3 x3- x+8(0<x<120). 128000 80

(1)当 x=64 千米/小时时,行驶 100 千米耗油量多少升? (2)若油箱有 22.5 升油,则该型号汽车最多行驶多少千米? [答案] (1)11.95 升 (2)200 千米 100 25 [解析] (1)当 x=64 千米/小时时,要行驶 100 千米需要 = 小时, 64 16 1 3 25 要耗油( ×643- ×64+8)× =11.95(升). 128000 80 16 (2)设 22.5 升油能使该型号汽车行驶 a 千米,由题意得, 1 3 a ( x3- x+8)× =22.5, 128000 80 x ∴a= 22.5 1 8 3 x2+ - 128000 x 80 ,

设 h(x)=

1 8 3 x2+ - , 128000 x 80

则当 h(x)最小时,a 取最大值,
3 3 1 8 x -80 h′(x)= x- 2= , 64000 x 64000x2

令 h′(x)=0?x=80, 当 x∈(0,80)时,h′(x)<0,当 x∈(80,120)时,h′(x)>0, 故当 x∈(0,80)时,函数 h(x)为减函数,当 x∈(80,120)时,函数 h(x)为增函数,

∴当 x=80 时,h(x)取得最小值,此时 a 取最大值为 ∴a= 22.5 =200. 1 8 3 ×802+ - 128000 80 80

答:若油箱有 22.5 升油,则该型号汽车最多行驶 200 千米. 18.设有一个容积 V 一定的有铝合金盖的圆柱形铁桶,已知单位面积铝合金的价格是 铁的 3 倍,问如何设计使总造价最小? [答案] 当此铁桶的高与底面半径之比为 时,总造价最小.

[解析] 设圆柱体的高为 h,底面半径为 r,又设单位面积铁的造价为 m,桶的总造价为 y,则 y=3mπr2+m(πr2+2πrh). V 2mV 由于 V=πr2h,得 h= 2,所以 y=4mπr2+ (r>0). πr r 2mV 所以 y′=8mπr- 2 , r V ?3 V ? V ?3 令 y′=0,得 r=? ?4π? ,此时,h=πr2=4?4π? . V? ? ?? V ? ? ? V ?3 当 r∈?0,? ? ?4π?3?时,y′<0,当 r∈??4π?3,+∞?时,y′>0,因此 r=?4π? 是函数 y 2mV =4mπr2+ (r>0)的极小值点,也是最小值点. r V ?3 故当 r=? ?4π? 时,y 有最小值,即 h r=
1
1 1

1

1

1

时,总造价最小.


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