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2016年高中数学 第一章 算法初步 1.1.2第1课时顺序结构、条件结构学案 新人教A版必修3

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1.1.2

程序框图与算法的基本逻辑结构 顺序结构、条件结构

第 1 课时

1.问题导航 (1)什么是程序框图? (2)算法包含几种基本逻辑结构? (3)什么是顺序结构? (4)什么是条件结构? 2.例题导读 通过对例 3 的学习,学会顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的,它是最简单的逻 辑结构,它是任何一个算法都离不开的基本结构; 通过对例 4 的学习,学会在画程序框图时,常常遇到需要讨论的问题,这时要用到条件 结构; 通过对例 5 的学习,学会设计求解一元二次方程的算法及画程序框图.

1.程序框图 程序框图又称流程图,是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形. 在程序框图中,一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤;带有方向箭头的流程 线将程序框连接起来,表示算法步骤的执行顺序. 2.常见的程序框、流程线及各自表示的功能 图形符号 名称 终端框 (起止框) = 输入、输出框 处理框 (执行框) 判断框 功能 表示一个算法的起始和结束 表示一个算法输入和输出的信息 赋值、计算 判断某一条件是否成立, 成立时在出 口处标明“是”或“Y” ; 不成立时标 明“否”或“N” 连接程序框 连接程序框图的两部分

流程线 ○ 连接点

3.一般算法是由三种基本逻辑结构组成的,它们是顺序结构、条件结构、循环结构. 4.顺序结构是任何一个算法都离不开的基本结构,它是由若干个依次执行的步骤组成的.
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5.条件结构是指在一个算法中通过对条件的判断,根据条件是否成立而选择不同流向的 算法结构.

1.判断下列各题.(对的打“√”,错的打“×”) (1)在程序框图中,一个判断框最多只能有一个退出点;( ) (2)一个算法最多可以包含两种基本结构;( ) (3)条件结构的程序框图中有两个入口和一个出口;( ) (4)无论条件结构中的条件是否满足,都只能执行两条路径之一.( ) 解析:(1)一个判断框可以有多个退出点.(2)一个算法一定含有顺序结构,即一个算法 可以只含有顺序结构或三种结构都有.(3)条件结构只有一个入口. 答案:(1)× (2)× (3)× (4)√ 2.具有判断条件是否成立功能的程序框是( )

解析:选 C.只有判断框具有判断条件是否成立的功能,故选 C. 3.如图所示,若输入 m=3,则输出的结果是________.

解析:由题图可知,p=m+5,n=p+5,∴n=3+5+5=13. 答案:13 4.画程序框图需要注意哪些问题? 解:①使用标准的框图符号; ②框图一般按从上到下、从左到右的方向画; ③除判断框外,大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点; ④终端框是任何算法框图中必不可少的,表示算法的起始和结束; ⑤在图形符号内描述的语言要非常简短清楚.

条件结构嵌套与条件结构叠加的区别 (1)条件结构叠加,程序执行时需依次对“条件 1”“条件 2”“条件 3”?都进行判断, 只有遇到能满足的条件才执行该条件对应的操作. (2)条件结构的嵌套中, “条件 2”是“条件 1”的一个分支, “条件 3”是“条件 2”的一 个分支?以此类推,这些条件中很多在算法执行过程中根据所处的分支位置不同可能不被执 行. (3)条件结构嵌套所涉及的“条件 2”“条件 3”?是在前面的所有条件依次一个一个的 满足“分支条件成立”的情况下才能执行的操作,是多个条件同时成立的复合.

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顺序结构程序框图的设计及应用

已知点 P0(x0,y0)和直线 l:Ax+By+C=0,写出求点 P0 到直线 l 的距离 d 的算法, 并画出程序框图. (链接教材 P9 例 3) [解] 用数学语言描述算法: 第一步,输入点 P0 的横、纵坐标 x0、y0, 输入直线方程的系数,即常数 A、B、C. 第二步,计算 z1=Ax0+By0+C. 2 2 第三步,计算 z2=A +B . |z1| 第四步,计算 d= .

z2

第五步,输出 d. 程序框图:

[互动探究] 把本例中的直线 l 改为圆 C:(x-a) +(y-b) =r ,写出求点 P0 到圆上的 点的距离最大值的算法,并画出程序框图. 解:算法如下: 第一步,输入点 P0 的横、纵坐标 x0、y0,输入圆心的横、纵坐标 a、b,圆的半径 r; 第二步,计算 z1= (x0-a) +(y0-b) ; 第三步,计算 d=z1+r; 第四步,输出 d. 程序框图:
2 2

2

2

2

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方法归纳 利用公式求解问题,先写出公式,看公式中的条件是否满足,若不满足,先求出需要的 量,看要求的量需根据哪些条件求解,需要的条件必须先输入或将已知条件全部输入,求出 未知的量,然后将公式中涉及的量全部代入求值即可.

1.(1)写出解不等式 2x+1>0 的一个算法,并画出程序框图. 解:第一步,将 1 移到不等式的右边; 1 第二步,不等式的两端同乘 ; 2 1 第三步,得到 x>- . 2 程序框图如图所示:

(2)如图所示的程序框图,当输入的 x 的值为 0 和 4 时,输出的值相等,根据该图和下列 各小题的条件回答下面几个问题.

①该程序框图解决的是一个什么问题?
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②当输入的 x 的值为 3 时,输出的 f(x)的值为多大? ③要想使输出的值最大,输入的 x 的值应为多大? ④按照这个程序框图输出的 f(x)值,当 x 的值大于 2 时,x 值大的输出的 f(x)值反而小, 为什么? ⑤要想使输出的值等于 3,输入的 x 的值应为多大? ⑥要想使输入的值与输出的值相等,输入的 x 的值应为多大? 2 解:①该程序框图解决的是求二次函数 f(x)=-x +mx 的函数值的问题. ②当输入的 x 的值为 0 和 4 时,输出的值相等, 即 f(0)=f(4). 因为 f(0)=0,f(4)=-16+4m, 所以-16+4m=0, 2 所以 m=4.所以 f(x)=-x +4x. 2 因为 f(3)=-3 +4×3=3, 所以当输入的 x 的值为 3 时,输出的 f(x)的值为 3. 2 2 ③因为 f(x)=-x +4x=-(x-2) +4, 当 x=2 时,f(x)max=4, 所以要想使输出的值最大,输入的 x 的值应为 2. 2 ④因为 f(x)=-(x-2) +4, 所以函数 f(x)在[2,+∞)上是减函数. 所以当输入的 x 的值大于 2 时,x 值大的输出的 f(x)值反而小. 2 ⑤令 f(x)=-x +4x=3,解得 x=1 或 x=3, 所以要想使输出的值等于 3, 输入的 x 的值应为 1 或 3. 2 ⑥由 f(x)=x,即-x +4x=x,得 x=0 或 x=3,所以要想使输入的值和输出的值相等, 输入的 x 的值应为 0 或 3.

简单的条件结构程序框图的设计及应用 给定一个正整数 n,若 n 为奇数,则把 n 乘 3 加 1;若 n 为偶数,则把 n 除以 2.写 出算法,并画出程序框图. [解] 算法如下: 第一步,输入 n 的值. 第二步,若 n 为奇数,则输出 3n+1 的值;若 n 为偶数,则输出 的值. 2 程序框图如图所示.

n

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方法归纳 (1)设计程序框图时,首先设计算法步骤(自然语言),再将算法步骤转化为程序框图(图 形语言).对于算法中含有分类讨论的步骤,在设计程序框图时,通常用条件结构来解决. (2)本例中 n 是奇数和 n 是偶数时的计算方式不同,所以需对 n 的奇偶性加以判断,然后 计算结果. (3)注意该题判断框内的内容为“n 为奇数”,所以当 n 为奇数时,则按“是”分支执行; 否则,按“否”分支执行.

2.(1)程序框图如图所示,它是算法中的(

)

A.条件结构 B.顺序结构 C.递归结构 D.循环结构 解析:选 A.此题中的程序框图中有判断框,根据给定条件判断并根据判断结果进行不同 处理的是条件结构.
?2x+1 (x≥0) ? (2)写出求分段函数 y=? 的函数值的算法,并画出程序框图. ?3x-2 (x<0) ?

解:算法如下: 第一步:输入 x 的值. 第二步:判断 x 的大小,若 x≥0,则 y=2x+1;若 x<0,则 y=3x-2. 第三步:输出 y 的值. 程序框图:

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(3)如图是一个算法的程序框图,当输入的 x∈(-1,3]时,求输出 y 的范围.

?2x +1,x<1, ? 解:由题意知,该程序框图是求函数 y=? 的函数值.故当 x∈(-1,1)时, ? ?1-x,x≥1

2

y=2x2+1∈[1,3);当 x∈[1,3]时,y=1-x∈[-2,0],所以输出的 y 的取值范围为[-2,
0]∪[1,3).

多重条件结构程序框图的设计及应用 1+x,x>0, ? ? 已知函数 y=?0,x=0, 设计一个算法,输入自变量 x 的值,输出对应的函数 ? ?-x-3,x<0, 值.请写出算法步骤,并画出程序框图. (链接教材 P11 例 5) [解] 算法如下: 第一步,输入自变量 x 的值. 第二步,判断 x>0 是否成立,若成立,计算 y=1+x,否则,执行下一步. 第三步,判断 x=0 是否成立,若成立,令 y=0,否则,计算 y=-x-3. 第四步,输出 y. 程序框图如图所示:

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方法归纳 (1)条件结构的嵌套是指在一个条件结构的分支内的步骤中又用到条件结构,就像一个条 件结构镶嵌在另一个条件结构中一样. (2)条件结构的并列是指一个条件结构执行完毕后,又执行下一个条件结构,它们之间无 包含关系,是按顺序执行的.

-1,x>0 ? ? 3.(1)画出求函数 y=?0,x=0 的函数值的程序框图. ? ?1,x<0 解:程序框图如图所示.

(2)给出程序框图如图

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回答问题: ①若输入四个数 5,3,7,2,则最终输出的结果是什么? ②你能说出该框图实现了一个什么样的算法吗? 解:第一个判断框中 a<b,a<c,a<d 如果同时成立,那么 a 为四个数中的最小数,否 则 a 不是最小的,那么最小数在 b,c,d 中,第二个判断框中 b<c,b<d 如果同时成立,则 b 为最小数,以此类推,所以本题实质是求 a,b,c,d 中的最小值. 所以,①最终输出结果是 2.②实现的算法是:求 a,b,c,d 四个数中的最小值.

规范解答

解含参数的一元一次方程的算法 与程序框图

(本题满分 12 分)用程序框图表示解方程 ax+b=0(a,b 为常数)的算法. [解] 算法步骤如下:第一步,输入 a,b 的值.2 分 第二步,判断 a=0 ?是否成立,若成立,则执行第三步;若不成立,则令 x=- ,输 出 x,结束算法.4 分 第三步,判断 b=0 ?是否成立,若成立,则输出“方程的解集为 R”,结束算法;若不 成立,则输出“无解”,结束算法.6 分 程序框图为:

b a

[规范与警示] ?在解题过程中,若在第二步漏掉此处是否 a=0 时的讨论而直接得出 x=- ,虽然答案

b a

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中也有这种可能,但结果就错了,在实际考试中最多得 2 分. ?处对 b=0 的讨论也是如此. 通过本题,我们应该注意: (1)在解题过程中一定要准确应用等式(或不等式)的运算性质,必要时一定要分类讨论. (2)思维一定要严谨,避免想当然的错误.

1.一个完整的程序框图中,输入、输出框的最少个数是( A.0 B.1 C.2 D.3 解析:选 B.输入、输出框的最少个数是 1. 2.下列关于程序框的功能描述正确的是( )

)

A.(1)是处理框;(2)是判断框;(3)是终端框;(4)是输入、输出框 B.(1)是终端框;(2)是输入、输出框;(3)是处理框;(4)是判断框 C.(1)和(3)都是处理框;(2)是判断框;(4)是输入、输出框 D.(1)和(3)的功能相同;(2)和(4)的功能相同 解析:选 B.根据程序框图的规定,(1)是终端框,(2)是输入、输出框,(3)是处理框,(4) 是判断框. 3. 下图为计算函数 y=|x|函数值的程序框图, 则此程序框图中的判断框内应填________.

解析:显然当 x<0 或 x≤0 时,y=-x,故判断框内应填 x≤0?(或 x<0?). 答案:x≤0?(或 x<0?) 4.若 a>0,b>0,则如图所示的程序框图表示的算法的功能是________.(尽量具有实际 意义)

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解析:本题为顺序结构的算法框图,注意各个程序框的先后顺序,依据各个字母之间的 关系赋予各字母以实际意义,答案不唯一. 答案:求以 a,b 为直角边长的直角三角形的斜边的长度 c(或求第一象限内的点 P(a,b) 到原点(0,0)的距离)

[A.基础达标] 1.下列图形符号属于处理框(执行框)的是( )

解析:选 D.处理框用矩形表示. 2.下列关于程序框图的说法正确的有( ) ①用程序框图表示算法直观、形象,容易理解; ②程序框图能清楚地展现算法的逻辑结构,也就是通常所说的一图胜万言; ③在程序框图中,起止框是任何流程图不可少的; ④输入和输出框可用在算法中任何需要输入、输出的位置. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 解析:选 D.由程序框图可知:①②③④都正确. 3.(2015·东营高一检测)给出下面的程序框图:

若输出的结果为 2,则①处的执行框内应填的是( ) A.x=2 B.b=2 C.x=1 D.a=5 解析:选 C.∵b=2,∴2=a-3,即 a=5. ∴2x+3=5 时,得 x=1. 4.(2015·广州高一检测)如图是一个算法的程序框图,已知 a1=3,输出的 b=7,则 a2 等于( )

- 11 -

A.9 C.11 解析:选 C.由题意知该算法是计算 ∴ 3+a2 =7,得 a2=11,故选 C. 2

B.10 D.12

a1+a2
2

的值.

5.如图所示的程序框图,如果输入三个实数 a,b,c,要求输出这 三个数中最大的数,那么在空白的判断框中,应该填入下面四个选项中 的( ) A.c>x? B.x>c? C.c>b? D.b>c? 解析: 选 A.变量 x 的作用是保留 3 个数中的最大值,所以第二个判 断框内语句为“c>x?”,满足“是”则交换两个变量的数值,输出 x 的值后结束程序,满足“否”直接输出 x 的值后结束程序,故选 A. 6.如图所示程序框图表示的算法的运行结果是________.

5+6+7 解析:由题意 P= =9,S= 9×4×3×2 2 = 216=6 6. 答案:6 6 7.写出如图所示程序框图的运行结果:S=________.

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2 4 解析:S= + =2.5. 4 2 答案:2.5 8.(2015·海口高一检测)如图所示的程序框图,若 a=5,则输出 b=________.

解析:根据题意 a=5,所以执行判断框后的“否”步骤,即 b=a +1,所以输出 26. 答案:26 -x+1,x>0, ? ? 9.已知函数 f(x)=?0,x=0, 请设计程序框图,要求输入自变量,输出函数值. ? ?x+3,x<0, 解:程序框图如图所示:

2

10.尺规作图,确定线段 AB 的一个 5 等分点,请你设计一个算法,并画出程序框图.

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解:算法如下: 第一步,如图,从已知线段的左端点 A 出发,作一条射线 AP; 第二步,在射线上任取一点 C,得线段 AC; 第三步,在射线上作线段 CE=AC; 第四步,在射线上作线段 EF=AC; 第五步,在射线上作线段 FG=AC; 第六步,在射线上作线段 GD=AC,那么线段 AD=5AC; 第七步,连接 DB; 第八步,过 C 作 BD 的平行线,交线段 AB 于 M,这样点 M 就是线段 AB 的一个 5 等分点. 程序框图如图:

[B.能力提升] 1.广东中山市的士收费办法如下:不超过 2 公里收 7 元(即起步价 7 元),超过 2 公里的 里程每公里收 2.6 元,另每车次超过 2 公里收燃油附加费 1 元(不考虑其他因素).相应收费 系统的程序框图如图所示,则①处应填( )

A.y=7+2.6x

B.y=8+2.6x

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C.y=7+2.6(x-2) D.y=8+2.6(x-2) 解析:选 D.当 x>2 时,y=7+2.6(x-2)+1=8+2.6(x-2), 所以①处应填 y=8+2.6(x-2). 2 2. 若 f(x)=x , g(x)=log2x, 则如图所示的程序框图中, 输入 x=0.25, 输出 h(x)=(

)

A.0.25 B.2 C.-2 D.-0.25 解析:选 C.h(x)取 f(x)和 g(x)中的较小者. g(0.25)=log20.25=-2,

f(0.25)=0.252= .
3.某算法的程序框图如图所示,则输出量 y 与输入量 x 满足的关系式为____________.

1 16

解析:当 x>1 时,有 y=x-2,当 x≤1 时,则有 y=2 ,
?2 ,x≤1 ? 所以有分段函数 y=? . ? ?x-2,x>1 ?2 ,x≤1 ? 答案:y=? ?x-2,x>1 ?
x x

x

4.定义运算 a?b,运算原理如图所示,则式子 4?1+2?5 的值等于________.

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解析:a?b=?

? ?a(b+1),a≥b, ?a(b-1),a<b, ?

则 4?1+2?5=4×(1+1)+2×(5-1)=16. 答案:16 5.在新华书店里,某教辅材料每本售价 14.80 元,书店为促销,规定:如果顾客购买 5 本或 5 本以上,10 本以下则按九折(即 13.32 元)出售;如果顾客购买 10 本或 10 本以上,则 按八折(即 11.84 元)出售.请设计一个完成计费工作的程序框图. 解:程序框图:

6.(选做题)通常说一年有 365 天,它表示地球围绕太阳转一周所需要的时间,但事实并 不是这样简单.根据天文资料,地球围绕太阳转一周所需要的精确时间是 365.242 2 天,称 之为天文年.这个误差看似不大,却引起季节和日历之间难以预料的大变动.在历法上规定 四年一闰,百年少一闰,每四百年又加一闰.如何判断某一年是不是闰年呢?请设计一个算 法,解决这个问题,并用框图描述这个算法. 解:算法步骤如下: 第一步:输入年份 y. 第二步:若 y 能被 4 整除,则执行第三步,否则执行第六步. 第三步:若 y 能被 100 整除,则执行第四步,否则执行第五步. 第四步:若 y 能被 400 整除,则执行第五步,否则执行第六步. 第五步:输出“y 是闰年”. 第六步:输出“y 不是闰年”. 这个算法的框图为

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