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一轮复习 第八章 平面解析几何 8.1 直线及其方程课时规范训练

时间:2016-07-14


【高考领航】2017 届高考数学大一轮复习 第八章 平面解析几何 8.1 直线及其方程课时规范训练 理 北师大版
[A 级 基础演练] 1.(2016·秦皇岛模拟)直线 x+ 3y+1=0 的倾斜角是( A. C. π 6 2π 3 B. D. π 3 5π 6 3 3 ,设倾斜角为 α ,则 tan α =- ,又 3 3 )

解析:由直线的方程得直线的斜率为 k=- 5π α ∈[0,π ),所以 α = . 6 答案:D

2. (2016·江门模拟)如果 A·C<0, 且 B·C<0, 那么直线 Ax+By+C=0 不通过( A.第一象限 C.第三象限 解析:由题意知 A·B·C≠0, 直线方程变为 y=- x- . ∵A·C<0,B·C<0,∴A·B>0, ∴其斜率 k=- <0, 又 y 轴上的截距 b=- >0, ∴直线过第一、二、四象限. 答案:C B.第二象限 D.第四象限

)

A B

C B

A B

C B

3.在等腰三角形 AOB 中,AO=AB,点 O(0,0),A(1,3),点 B 在 x 轴的正半轴上,则直 线 AB 的方程为( ) B.y-1=-3(x-3) D.y-3=-3(x-1)

A.y-1=3(x-3) C.y-3=3(x-1)

解析:因为 AO=AB,所以直线 AB 的斜率与直线 AO 的斜率互为相反数,所以 kAB=-kOA =-3,所以直线 AB 的点斜式方程为:y-3=-3(x-1). 答案:D 4.不论 k 为何实数,直线(k-1)x+y-k+1=0 恒过定点________. 解析:将直线方程整理得 k(x-1)+y-x+1=0
1

∵k∈R,∴?

?x-1=0, ? ?y-x+1=0, ?

即?

?x=1, ? ?y=0. ?

答案:(1,0) 5.(2014·高考广东卷)曲线 y=e 解析:因为 y′=e
-5x -5x

+2 在点(0,3)处的切线方程为________.
-5x

(-5x)′=-5e

,所以 y′|x=0=-5,故切线方程为 y-3=-

5(x-0),即 5x+y-3=0. 答案:5x+y-3=0 1? ? ?1 ? 6. (2016·常州模拟)若 ab<0, 则过点 P?0,- ?与 Q? ,0?的直线 PQ 的倾斜角的取值

?

b?

?a

?

范围是________. 1 - -0 b a 解析:kPQ= = <0,又倾斜角的取值范围为[0,π ),故直线 PQ 的倾斜角的取值 1 b 0-

a

范围为?

?π ,π ?. ? ?2 ? ?π ,π ? ? ?2 ?

答案:?

7.(2016·孝感模拟)在△ABC 中,已知点 A(5,-2),B(7,3),且边 AC 的中点 M 在 y 轴上,边 BC 的中点 N 在 x 轴上. (1)求点 C 的坐标; (2)求直线 MN 的方程. 解:(1)设 C(x,y). ∵AC 的中点 M 在 y 轴上,∴

x+5
2

=0 得 x=-5, =0 得 y=-3.

又∵BC 的中点 N 在 x 轴上,∴ ∴C(-5,-3).

y+3
2

5? ? (2)由(1)知 C(-5,-3),∴M?0,- ?,N(1,0). 2 ? ? 由截距式得 MN 的方程为 + =1 即 5x-2y-5=0. 1 5 - 2 8. (2016·青岛模拟)已知两点 A(-1,2),B(m,3). (1)求直线 AB 的方程; (2)已知实数 m∈?-

x

y

? ?

3 ? -1, 3-1?,求直线 AB 的倾斜角 α 的取值范围. 3 ?

2

解:(1)当 m=-1 时,直线 AB 的方程为 x=-1, 当 m≠-1 时,直线 AB 的方程为 y-2= π (2)①当 m=-1 时,α = ; 2 ②当 m≠-1 时,m+1∈?- ∴k= 1 (x+1), m+1

? ?

3 ? ,0?∪(0, 3], 3 ?

1 ? 3 ? ∈(-∞,- 3 ]∪? ,+∞?, m+1 ?3 ?

∴α ∈?

?π ,π ?∪?π ,2π ?. ? ? 3 ? ?6 2? ?2 ?

? π 2π ? 综合①②知,直线 AB 的倾斜角 α ∈? , ?. 3 ? ?6
[B 级 能力突破] 1.两条直线 l1: - =1 和 l2: - =1 在同一直角坐标系中的图像可能是 ( )

x y a b

x y b a

解析:取特殊值法或排除法,可知 A 正确. 答案:A 2.直线 xsin α +y+2=0 的倾斜角的取值范围是( A.[0,π ) )

? π ? ?3π ? B.?0, ?∪? ,π ? 4? ? 4 ? ? ? π ? ?π ? D.?0, ?∪? ,π ? 4? ?2 ? ?

? π? C.?0, ? 4? ?
其中 sin α ∈[-1,1]. 又 θ ∈[0,π ), π 3π ∴0≤θ ≤ 或 ≤θ <π . 4 4

解析:设倾斜角为 θ ,则有 tan θ =-sin α ,

3

答案:B 3.已知点 A(-1,0),B(cos α ,sin α ),且|AB|= 3,则直线 AB 的方程为 ( A.y= 3x+ 3或 y=- 3x- 3 B.y= 3 3 3 3 x+ 或 y=- x- 3 3 3 3 )

C.y=x+1 或 y=-x-1 D.y= 2x+ 2或 y=- 2x- 2 解析:|AB|= ?cos α +1? +sin α = 2+2cos α = 3, 1 3 所以 cos α = ,sin α =± , 2 2 所以 kAB=± + 3 3 3 ,即直线 AB 的方程为 y=± (x+1),所以直线 AB 的方程为 y= x 3 3 3
2 2

3 3 3 或 y=- x- ,选 B. 3 3 3 答案:B π 2π 4.若过点 P(- 3,1)和 Q(0,a)的直线的倾斜角的取值范围为 ≤α ≤ ,则实数 a 3 3

的取值范围是________. 解析:过点 P(- 3,1)和 Q(0,a)的直线的斜率

k=

= 0+ 3

a-1

a-1
3



π 2π 又直线的倾斜角的取值范围是 ≤α ≤ , 3 3 所以 k=

a-1
3

≥ 3或 k=

a-1
3

≤- 3,

解得:a≥4 或 a≤-2. 答案:(-∞,-2]∪[4,+∞) 5.已知直线 l 的倾斜角 α 满足 3sin α =cos α ,且它在 x 轴上的截距为 2,则直线

l 的方程是____________.
sin α 1 解析:∵kl=tan α = = ,且过点(2,0), cos α 3 1 ∴直线方程为 y= (x-2) 3 即 x-3y-2=0. 答案:x-3y-2=0
4

6.(2015·苏州模拟)直线 xcos θ + 3y+2=0 的倾斜角的范围是________. 解析: 由题知 k=- 3 3 3? 3? ? ? cos θ , 故 k∈?- , ?, 结合正切函数的图像, 当 k∈?0, ? 3 3? 3? ? 3 ?

3 ? ? ? π? ?5 ? 时,直线倾斜角 α ∈?0, ?,当 k∈?- ,0?时,直线倾斜角 α ∈? π ,π ?,故直线的 6? ? ?6 ? ? 3 ?

? π ? ?5 ? 倾斜角的范围是:?0, ?∪? π ,π ?. 6 ? ?6 ? ? ? π ? ?5 ? 答案:?0, ?∪? π ,π ? 6 ? ?6 ? ?
7.已知直线 l 过点 M(1,1),且与 x 轴,y 轴的正半轴分别相交于 A,B 两点,O 为坐标 原点.求: (1)当|OA|+|OB|取得最小值时,直线 l 的方程; (2)当|MA| +|MB| 取得最小值时,直线 l 的方程. 解:(1)设 A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0).
2 2

x y 1 1 设直线 l 的方程为 + =1,则 + =1, a b a b a b ?1 1? 所以|OA|+|OB|=a+b=(a+b)? + ?=2+ + ≥2+2 a b · =4,当且仅当 a=b= b a

?a b?

b a

2 时取等号,此时直线 l 的方程为 x+y-2=0.

? 1 ? (2)设直线 l 的斜率为 k,则 k<0,直线 l 的方程为 y-1=k(x-1),则 A?1- ,0?,B(0,1 ?
k

?

1?2 1 ? 2 2 2 2 2 2 -k),所以|MA| +|MB| =?1-1+ ? +1 +1 +(1-1+k) =2+k + 2≥2+2

?

k?

k

k2· 2=4, k

1

1 2 2 2 当且仅当 k = 2,即 k=-1 时,|MA| +|MB| 取得最小值 4,此时直线 l 的方程为 x+y-2

k

=0.

5


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