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课 题:8.4双曲线的简单几何性质 (三)

时间:2010-04-16


高中数学教案

第 8 章圆锥曲线方程(第 12 课时)

王新敞



题:8.4

双曲线的简单几何性质 (三)
王新敞
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教学目的: 1.使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质 2.掌握双曲线的另一种定义及准线的概念 3.掌握等轴双曲线,共轭双曲线等概念 4.进一步对学生进行运动变化和对立统一的观点的教育 教学重点:双曲线的渐近线、离心率、双曲线的另一种定义及其得出过程 教学难点:渐近线几何意义的证明,离心率与双曲线形状的关系,双曲线的另 一种定义的得出过程 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1.范围、对称性
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由标准方程

x2 y2 ? ? 1, 从横的方向来看, 直线 x=-a,x=a 之间没有图象, a2 b2

从纵的方向来看,随着 x 的增大,y 的绝对值也无限增大,所以曲线在纵方向 上可无限伸展,不像椭圆那样是封闭曲线 双曲线不封闭,但仍称其对称中心 为双曲线的中心 2.顶点 y
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顶点: A1 (a,0), A2 ?? a,0? 特殊点: B1 (0, b), B2 ?0,?b?

Q B2 A1 O

N

M A2 x

实轴: A1 A2 长为 2a, a 叫做半实轴长 虚轴: B1 B2 长为 2b,b 叫做虚半轴长
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B1
双曲线只有两个顶点,而椭圆则有四个顶点,这是两者的又一差异 3.渐近线 过双曲线

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x2 y2 ? ? 1 的两顶点 A1 , A2 ,作 Y 轴的平行线 x ? ? a ,经过 a2 b2
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B1 , B2 作 X 轴的平行线 y ? ?b , 四条直线围成一个矩形

矩形的两条对角线所

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在直线方程是 y ? ?

b x y x ( ? ? 0) ,这两条直线就是双曲线的渐近线 a a b

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4.等轴双曲线 定义:实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,这样的双曲线叫做等轴 双曲线 等轴双曲线的性质: (1)渐近线方程为: y ? ? x ; (2)渐近线互相垂直; (3)
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离心率 e ?

2

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等轴双曲线可以设为: x 2 ? y 2 ? ? (? ? 0) ,当 ? ? 0 时交点在 x 轴,当

? ? 0 时焦点在 y 轴上

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5.共渐近线的双曲线系 如果已知一双曲线的渐近线方程为 y ? ?

b kb x ? ? x(k ? 0) ,那么此双曲 a ka
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线方程就一定是:

x2 y2 x2 y2 ? ? ?1(k ? 0) 或写成 2 ? 2 ? ? a b (ka) 2 (kb) 2

6.双曲线的草图 具体做法是:画出双曲线的渐近线,先确定双曲线的顶点及第一象限内任 意一点的位置,然后过这两点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近 渐近线的特点画出双曲线的一部分,最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲 线 7.离心率
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双曲线的焦距与实轴长的比 e ? 双曲线形状与 e 的关系: k ?

2c c e ? , 叫做双曲线的离心率 范围: ? 1 2a a
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b c2 ? a2 c2 ? ? ? 1 ? e 2 ? 1 ,e 越大, 2 a a a
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即渐近线的斜率的绝对值就大,这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由 此可知,双曲线的离心率越大,它的开口就越阔 8.共轭双曲线 以已知双曲线的实轴为虚轴,虚轴为实轴,这样得到的双曲线称为原双曲 线的共轭双曲线 区别:三量 a,b,c 中 a,b 不同(互换)c 相同 共用一对渐近线 双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上 确定双曲线的共轭双曲线的方法:将 1 变为-1
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共用同一对渐近线 y ? ?kx 的双曲线的方程具有什么样的特征:可设为

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x2 y2 ? ? ? (? ? 0) ,当 ? ? 0 时交点在 x 轴,当 ? ? 0 时焦点在 y 轴上 1 k2

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二、讲解新课: 9. 双曲线的第二定义:到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离之比为常数

e?

c (c ? a ? 0) 的点的轨迹是双曲线 a
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其中,定点叫做双曲线的焦点,定直

线叫做双曲线的准线 10.准线方程:

常数 e 是双曲线的离心率.

y

y F2 A2

F1 A 1

O

A 2 F2

x

O

x A1 F1

对于

x2 y2 a2 ? 2 ? 1 来说,相对于左焦点 F1 (?c,0) 对应着左准线 l1 : x ? ? , c a2 b

a2 相对于右焦点 F2 (c,0) 对应着右准线 l 2 : x ? ; c
位置关系: x ? a ?

a2 b2 ? 0 焦点到准线的距离 p ? (也叫焦参数) c c
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对于

y2 x2 a2 ? 2 ? 1 来说,相对于上焦点 F1 (0,?c) 对应着上准线 l1 : y ? ? ; c a2 b

a2 相对于下焦点 F2 (0, c) 对应着下准线 l 2 : y ? c
11 .双曲线的焦半径 定义:双曲线上任意一点 M 与双曲线焦点 F1 , F2 的连线段,叫做双曲线的焦半 径 焦半径公式的推导:利用双曲线的第二定义,设双曲线
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x2 y2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) , a2 b2
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F1 , F2 是其左右焦点
则由第二定义:

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MF1 d1

? e, ?

MF1 a2 x0 ? c

? e ? MF1 ? a ? ex0

同理 MF2 ? a ? ex0

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即有焦点在 x 轴上的双曲线的焦半径公式:

? MF1 ? a ? ex0 ?? ? MF2 ? a ? ex0
同理有焦点在 y 轴上的双曲线的焦半径公式:

? MF1 ? a ? ey0 ?? ? MF2 ? a ? ey0

( 其中 F1 , F2 分别是双曲线的下上焦点)

点评:双曲线焦半径公式与椭圆的焦半径公式的区别在于其带绝对值符号,如 果要去绝对值,需要对点的位置进行讨论。两种形式的区别可以记为:左加右 减,上减下加(带绝对值号) 12.焦点弦: 定义:过焦点的直线割双曲线所成的相交弦 焦点弦公式:可以通过两次焦半径公式得到:
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设两交点 A( x1 , y1 ) B( x2 , y 2 ) 当双曲线焦点在 x 轴上时, 焦点弦只和两焦点的横坐标有关: 过左焦点与左支交于两点时: AB ? ?2a ? e( x1 ? x2 ) 过右焦点与右支交于两点时: AB ? ?2a ? e( x1 ? x2 ) 当双曲线焦点在 y 轴上时, 过左焦点与左支交于两点时: AB ? ?2a ? e( y1 ? y2 ) 过右焦点与右支交于两点时: AB ? ?2a ? e( y1 ? y2 ) 13.通径: 定义:过焦点且垂直于对称轴的相交弦
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直接应用焦点弦公式,得到 三、讲解范例

d?

2b 2 a

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例 点 p(x,y) 与 定 点 F2(c,0) 的 距 离 与 到 l : x ?

a2 的距离之比为常数 c

c (c ? a ? 0) ,求 P 的轨迹方程 a 解:设 d 是点 P 到直线 l 的距离.根据题意得
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( x ? c) 2 ? y 2 | x? a | c
2

?

c a

y

N2

P

x2 y2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 ) 化简,得 a2 b2
这是双曲线的标准方程

F1 A 1

O

A 2 F2

x

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四、课堂练习: 2 2 1.双曲线 16x ―9y =―144 的实轴长、虚轴长、离心率分别为(C) (A)4, 3,

1 4

7

(B)8, 6,

1 4

7

(C)8, 6,

5 4

(D)4, 3,

5 4

2.顶点在 x 轴上,两顶点间的距离为 8, e=

5 的双曲线的标准方程为(A) 4

(A)

x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 ?1 ? ? 1 (B) ? ? 1 (C) ? ? 1 (D) ? 25 16 16 9 16 25 9 16 x2 y 2 ? ? 1 的两条准线间的距离等于(A) 3 4

3.双曲线

(A)

6 7

7

(B)

3 7

7

(C)

18 5

(D)

16 5

y 2 x2 ? ? 1 上一点 P 到双曲线上焦点的距离是 8, 4. 若双曲线 那么点 P 到上准 64 36
线的距离是(D)
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(A)10 (B)

32 7 7

(C)2 7

(D)

32 5

5.经过点 M(3, ―1),且对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是(D) 2 2 2 2 2 2 2 2 (A)y ―x =8 (B)x ―y =±8 (C)x ―y =4 (D)x ―y =8 6.以 y=±
2

2 x 为渐近线的双曲线的方程是(D) 3
2 2 2 2 2

(A)3y ―2x =6 (B)9y ―8x =1 (C)3y ―2x =1 7. 等轴双曲线的离心率为

(D)9y ―4x =36 ( 2,900 )

2

2

; 等轴双曲线的两条渐近线的夹角是

8.从双曲线 是 .(b) 9. 与

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的 一 个 焦 点 到 一 条 渐 近 线 的 距 离 a2 b2

5 x2 y 2 ? ? 1 有公共焦点, 且离心率 e= 的双曲线方程是 4 49 24
2 2 2 2

(

x2 y2 ? ? 1) 16 9

10.以 5x +8y =40 的焦点为顶点,且以 5x +8y =40 的顶点为焦点的双曲线的方 程是

x2 y 2 ? ? 1) . ( 3 5 y2 x2 ? ? 1 上一点到其右焦点距离为 8,求其到左准线的距离 64 36

11.已知双曲线

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(答案:

96 ) 5

五、小结 : 六、课后作业: 1.下列各对双曲线中,既有相同的离心率,又有相同的渐近线的是(B) (A)

x2 x2 x2 x2 y 2 2 2 2 ? ?1 ―y =1 与 y ― =1 (B) ―y =1 与 3 3 3 9 3
2

(C)y ―

x2 y2 2 =1 与 x ― 3 3

(D)

x2 y 2 x2 2 ? ?1 ―y =1 与 3 3 9

2.若共轭双曲线的离心率分别为 e1 和 e2,则必有(D) (A)e1= e2 (B)e1 e2=1 (C)

1 1 1 1 ? =1 (D) 2 ? 2 =1 e1 e2 e1 e2
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3.若双曲线经过点(6, 是(C) (A)

1 3 ),且渐近线方程是 y=± x,则这条双曲线的方程 3

x2 y 2 x2 y 2 x2 x2 y 2 ? ? 1 (B) ? ? 1 (C) ? y 2 ? 1 (D) ? ?1 9 36 9 81 9 18 3
3 x,则双曲线的离心率为(C) 4
5 5 或 4 3
(D)

4.双曲线的渐近线为 y=±

(A)

5 4

(B)2 (C)

1 2

5或

15 3

5. 如果双曲线

x2 y 2 ? ? 1 右支上一点 P 到它的右焦点的距离等于 2, P 到左 则 16 9
69 10

准线的距离为(C) (A)

24 5

(B)

(C)8 (D)10

6.已知双曲线 kx 2 ? 2ky 2 ? 4 的一条准线是 y=1,则实数 k 的值是(B) (A)

2 3

(B)―

2 3

(C)1

(D)―1

7.双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的离心率 e∈(1, 2),则 k 的取值范围是 4 k

. (?12,0)

8.若双曲线

5 x2 y 2 ? ? 1 上的点 M 到左准线的距离为 ,则 M 到右焦点的距离 2 16 9



.(

89 ) 8

9.双曲线的离心率 e=2,则它的一个顶点把焦点之间的线段分成长、短两段的 比是 .( 3 : 1 ) 10.在双曲线

y 2 x2 ? ? 1 的一支上有不同的三点 A(x1, y1), B( 26 , 6), C(x3, 12 13
.(12)

y3)与焦点 F 间的距离成等差数列,则 y1+y3 等于
七、板书设计(略) 八、课后记:
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