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黑龙江省佳木斯市第一中学2014-2015学年高二数学下学期期中试题 理


佳一中 2014-2015 学年度高二学年第二学期期中考试 理科试卷
第Ⅰ卷 (选择题 60 分)

一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1、某学校有男、女学生各 500 名,为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显 著差异,拟从全体学生中抽取 100 名学生

进行调查,则宜采用的抽样方法是( A.抽签法 B.随机数法 C.系统抽样法 )

D.分层抽样法

2、设两个变量 x 和 y 之间具有线性相关关系,它们的相关系数是 r,y 关于 x 的回归直线的 斜率是 b,纵轴上的截距是 a,那么必有( A.b 与 r 的符号相同 C.b 与 r 的符号相反 3、如图,则阴影部分的面积是( A.2 3 B.2- )

B.a 与 r 的符号相同 D.a 与 r 的符号相反 ) C.

3

32 3

D.

35 3

4、盒中装有 10 个乒乓球,其中 6 个新球,4 个旧球,不放回地依 次取出 2 个球使用,在第一次取出新球的条件下,第二次也取 到 新球的概率为( A. 3 5 ) B. 1 10 C. 5 9 D. 2 5 )

5、设随机变量ξ 服从正态分布 N(3,4),若 P(ξ <2a-3)=P(ξ >a+2),则 a=( A.3
2

B.

5 3

C.5

D.

7 3 )

6 、设函数 f ( x) ? ax ? c(a ? 0) ,若

?

1 0

f ( x)dx ? f ( x0 ) 0 ? x0 ? 1 ,则 x0 的值为(
3 2 3 3

A.

1 2

B.

3 4

C.

D.

1 1 1 7、2013 年国庆节放假,甲去北京旅游的概率为 ,乙、丙去北京旅游的概率分别为 、 , 3 4 5 假定三人的行动相互之间没有影响, 那么这段时间内至少有 1 人去北京旅游 的概率为( A. 59 60 B. 3 5 C. 1 2 D. 1 60 ) )

2 3 8、若存在过点 (1,0) 的直线与曲线 y ? x 和 y ? ax ?

15 x ? 9 都相切,则 a 等于 ( 4
D. ?

A. ?1或 -

25 64

B. ?1或

21 4

C. ?

7 25 或4 64

7 或7 4
1

9、 从甲乙两个城市分别随机抽取 16 台自动售货机,对其销售额进行统计,统计数据用茎叶图 表示 ( 如图所示 ), 设甲乙两组数据 的平均数分别为 x甲 , x乙 , 中位数分别为 m甲 , m乙 , 则 ( ) A. x甲 ? x乙 , m甲 ? m乙 B. x甲 ? x乙 , m甲 ? m乙 C. x甲 ? x乙 , m甲 ? m乙 D. x甲 ? x乙 , m甲 ? m乙 10、定义在 (0, ?? ) 上的单调递减函数 f ( x ) ,若 f ( x ) 的导函数存在且满足 则下列不等式成立的是( A. 3 f (2) ? 2 f (3) ) B. 3 f (4) ? 4 f (3) C. 2 f (3) ? 3 f (4) D. f (2) ? 2 f (1)

f ( x) ?x, f ?( x)

11、设 X 为随机变量,且 X ~ B ( n, ) ,若随机变量 X 的数学期望 E ( X ) ? 2 ,则

1 3

P( X ? 2) ? (
A. 13 16

) V B. 1 6 C. 13 243 D. 80 243 )

12、 函数 f ( x)( x ? R)满足 f (1) ? 1, f ?( x) ?

1 1 2 1 2 , 则不等式 f ( x ) ? x ? 的解集为( 2 2 2

A、 (??,?1)

B、 (1,??)

C、 (??,?1) ? (1,??)

D、 (?1,1)

二、填空题(本大题共有 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 13、某学院为了调查本校学生 2014 年 9 月“健康上网”(健康上网是指每天上网不超过两个 小时)的天数情况,随机抽取了 40 名本校学生作为样本,统计他们在该月 30 天内健康上网 的天数,并将所得 的数据分成以下六组;[0,5],(5,10],(10,15],?,(25,30],由此画 出样本 的频率分布直方图,如图所示,则这 40 名学生中健康上网天数超过 20 天的人 数 .

14.已知样本 9,10,11, x, y 的平均数是 10,标准差是

2 ,则

xy ?

.

15.若随机事件 A 在一次实验中发生的概率为 p(0 ? p ? 1) , 用随 机变量 ? 表示 A 在三次试验中发生的次数,则 为 .
2

3D? ? 1 的最大值 E?

16.已知 f ( x) ? xe x , g ( x) ? ?( x ? 1) 2 ? a, 若 ?x1 , x2 ? R, 使得 f ( x2 ) ? g ( x1 ) 成立 ,则实数 a 的取值范围是 .

三、解答题: (17 题 10 分,18-22 每题 12 分,共 70 分,写出必要的文字说明) 17.(本小题满分 10 分)某高中共派出足球、排球、篮球三个球队参加市学校运动会,它们 1 1 2 获得冠军的概率分别为 , , . 2 3 3 (1)求该高中获得冠军个数 X 的分布列; (2)若球队获得冠军,则给其所在学校加 5 分,否则加 2 分,求该高中得分η 的分布列. 18. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? ax ?

a ? 2 ln x . x

(1)若 f ( x) 在 x ? 2 时有极值,求实数 a 的值和 f ( x) 的极大值; (2)若 f ( x) 在定义域上是增函数,求实数 a 的取值范围. 19.(本小题满分 12 分)已知在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,且 AD ? 2 ,

AB ? 1, PA ? 平面 ABCD , E 、 F 分别是线段 AB 、 BC 的中点.
(1)证明: PF ? FD ; (2)若 PB 与平面 ABCD 所成的角为 45 ,求二面角 A ? PD ? F 的余弦值.
?

20. (本小题满分 12 分)某种产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表: 广告费用 x (万元) 销售额 y (万元) 1 10 2 12 3 15 4 18 5 20

(1)利用所给数据求广告费用 x 与销售额 y 之间的线性回归方程

?x ; ? ?a ? ?b y

(2)预计在今后的销售中,销售额与广告费用还服从( 1)中的关系,如果广告费用为 6 万元,请预测销售额为多少万元?

3

?? 附:其中 b

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx ? y ?n x

?x
i ?1

2

i

??

2

,a ??

?x . y ?b

21. (本小题满分 12 分)为了解心肺疾病是否与年龄相关,现随机抽取了 40 名市民,得到 数据如下表:

患心肺疾病 大于 40 岁 小于等于 40 岁 合计 16

不患心肺疾病

合计

12 40

已知在全部的 40 人中随机抽取 1 人,抽到不患心肺疾病的概率为 (1)请将 2? 2 列联表补充完整;

2 5

(2)已知大于 40 岁患心肺疾病市民中,经检查其中有 4 名重症患者,专家建议重症患者住 院治疗,现从这 16 名患者中选出两名,记需住院治疗的人数为 ? ,求 ? 的分布列和数 学期 望; (3)能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为患心肺疾病与年龄有关? 下面的临界值表供参考:

P( K 2 ? k )

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k
2

n(ad ? bc)2 (参考公式: K ? ,其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

22.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ln x .
2

(1)证明:対任意的 t ? 0 ,存在唯一的 s ,使 t ? f ( s) ; (2)设(1)中所确定的 s 关于 t 的函数为 s ? g (t ) ,证明:当 t ? e 时,有
2

2 lng(t) 1 < < . 5 lnt 2

4

佳一中 2014-2015 学年度高二学年第二学期期中考试 理科试卷答案 一、选择题 题号 选项 1 D 2 A 3 C 4 C 5 D 6 D 7 B 8 A 9 B 10 B 11 D 12 C

二、填空题 13、 10 人 三、解答题 17、 (1)∵X 的可能取值为 0,1,2,3,取相应值的概率分别为 14、 96 15、 1 16、

a??

1 e

1 1 2 1 P( X ? 0) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? 2 3 3 9 P( X ? 1) ? P( X ? 2) ?
P( X ? 3) ?

1 1 2 1 1 2 1 1 2 7 ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? 2 3 3 2 3 3 2 3 3 18 1 1 2 1 1 2 1 1 2 7 ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? ? ? (1 ? ) ? ? 2 3 3 2 3 3 2 3 3 18
1 1 2 1 ? ? ? 2 3 3 9

∴X 的分布列为

X P

0 1 9

1 7 18

2 7 18

3 1 9

(2)∵得分 η =5X+2(3-X)=6+3X, ∵X 的可能取值为 0,1,2,3. ∴η 的可能取值为 6,9,12,15,取相应值的概率分别为 1 7

P(η =6)=P(X=0)=9,
7

P(η =9)=P(X=1)=18,
1

P(η =12)=P(X=2)=18,
∴得分 η 的分布 列为 η

P(η =15)=P(X=3)=9.

6

9

12

15

5

P

1 9

7 18

7 18

1 9

18. (本小题满分 12 分) (1)定义域为 (0,??) , f ?( x) ? a ?

a 2 ? x2 x

由题意知 f ( x) 在 x ? 2 时有极值,则 f ?(2) ? a ? 经检验,当 a ?

a 4 ? 1 ? 0,? a ? , 4 5

4 时, f ( x) 在 x ? 2 时有极值,满足题意 5

4 4 2 4 x 2 ? 10x ? 4 (2 x ? 1)(2 x ? 4) f ?( x) ? ? 2 ? ? ? 5 5x x 5x2 5x2

x
f ?( x)
f ( x)

1 (0, ) 2
+

1 2
0

1 ( , 2) 2


2 0

(2,??)
+

所以当 x ?

1 1 6 时, f ( x) 取得极大值为 f ( ) ? 2 ln 2 ? 2 2 5

(2) f ( x) 在 (0,??) 上是增函数 ? f ?( x) ? 0 对于 ?x ? (0,??) 上恒成立 即 f ?( x) ? a ?

a 2 ax2 ? 2 x ? a ? ? ? 0 对于 ?x ? (0,??) 上恒成立 x2 x x2

?
2

a?

2 x?

1 对于 ?x ? (0,??) 上恒成立 x

1 x? x

?

1 ? 1,当且仅当x ? ,即x ? 1时等号成立 x 1 2 x x

2

综上 a ? 1 19.(本小题满分 12 分) (1)因为 PA ? 平面 ABCD , FD ? 平面 ABCD 所以 PA ? FD 连接 AF ,易知 AF ?

2 , DF ? 2 ,所以 AF 2 ? DF 2 ? AD 2 ,从而 AF ? FD
6

又因为 AF ? PA ? A, AF ? 平面PAF, PA ? 平面PAF 所以 FD ? 平面PAF ,又因为 PF ? 平面PAF ,所以 PF ? FD ; (2)因为 PB 与平面 ABCD 所成的角为 45 ,所以 ?PBA ? 45? , AD ? AB ? 1
?

过 F 做 FM ? AD 于 M ,过点 M 做 MN ? PD 于 N ,则 ?MNF 就是二面角

A ? PD ? F 的平面角,事实上 FM ? AD, FM ? PA, PA ? AD ? A ,所以

FM ? 平面PAD,又PD ? 平面PAD,所以FM ? PD ,又 MN ? PD ,

MN ? 平面MNF , FM ? 平面MNF , MN ? FM ? M , 所以PD ? 平面MNF
其中 FM ? AB ? 1, MN ?

5 30 6 , , NF ? FM 2 ? MN 2 ? , cos?MNF ? 5 5 6
N

M

20. (本小题满分 12 分) (1) x ?

1? 2 ? 3 ? 4 ? 5 10 ? 12 ? 15 ? 18 ? 20 ? 3, y ? ? 15 5 5
5

?? ? x ? 55 , ? xi yi ? 251 , b
i ?1 2 i i ?1

5

?x y
i ?1 5 i

5

i

? 5x ? y ?5 x

?x
i ?1

2

i

??

2

? 2 .6

? x ? 7.2 , ? ? y ?b a
所以广告费用 x 与销售额 y 之间的线性回归方程为 (2)由(1)知当 x ? 6 时,

? ? 2.6 x ? 7.2 y

? ? 2.6 ? 6 ? 7.2 ? 22.8 万元 y

答:如果广告费用为 6 万元,销售额大约为 22.8 万元 21.(本小题满分 12 分) (1)请将 2? 2 列联表补充完整;

患心肺疾病

不患心肺疾病

合计
7

大于 40 岁 小于等于 40 岁 合计 (2) ? 的可能取值为 0,1,2

16 8 24

4 12 16

20 20 40

P(? ? 0) ?

2 0 C12 C4 11 ? 2 C16 20 1 1 C12 C4 2 ? 2 C16 5

P(? ? 1) ?

P(? ? 2) ?

0 2 C12 C4 1 ? 2 C16 20

所以随机变量 ? 的分布列为

?

0

1

2

P

11 20

2 5

1 20

E (? ) ?

1 2
2

n(ad ? bc)2 40 ? (16 ? 12 ? 4 ? 8) 2 20 (3) K ? = ? ? 6.635 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 24 ? 16 ? 20 ? 20 3
所以能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为患心肺疾病与年龄有关。 22、 (本小题满分 12 分)(1)解:函数 f ( x) 的定义域为(0,+∞)
f ?( x) ? 2 x ln x ? x ? x(2ln x ? 1) ,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ?

1 . e

当 x 变化时, f ?( x ) , f ( x) 的变化情况如下表:
x f ?( x) f ( x) (0, 1 ) e ? 1 e 0
极小值

(

1 , ??) e ? ?

?

所以函数 f ( x) 的单调递减区间是 (0,

1 1 ) ,单调递增区间是 ( , ??) . e e
8

易知当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 0 . 设 t ? 0 ,令 h( x) ? f ( x) ? t , x ? [1, ??) .由(Ⅰ)知, h( x) 在区间 (1, ??) 内单调递增. 使得 t ? f ( s) h(1) ? ?t ? 0 ,h(et ) ? e2t ln et ? t ? t (e2t ?1) ? 0 .故存在唯一的 s ? (1, ??) , 成立. (2)证明:因为 s ? g (t ) ,由(Ⅱ)知, t ? f ( s) ,且 s ? 1 ,从而

ln g (t ) ln s ln s ln s u , ? ? ? ? 2 ln t ln f ( s) ln( s ln s) 3ln s ? ln ln s 2u ? ln u
其中 u ? ln s .要使
2

2 ln g (t ) 1 u ? ? 成立,只需 0 ? ln u ? . 5 ln t 2 2

当 t ? e 时,若 s ? g (t ) ? e ,则由 f ( s ) 的单调性,有 t ? f (s) ? f (e) ? e2 ,矛盾. 所以 s ? e ,即 u ? 1 ,从而 ln u ? 0 成立. 另一方面,令 F (u ) ? ln u ?

u 1 1 , u ? 1 . F ?(u ) ? ? ,令 F ?(u) ? 0 ,得 u ? 2 . 2 u 2

当 1 ? u ? 2 时, F ?(u) ? 0 ;当 u ? 2 时, F ?(u) ? 0 .故对 u ? 1 , F (u ) ? F (2) ? 0 .因此

ln u ?

u 成立. 2
2

综上,当 t ? e 时,有

2 ln g (t ) 1 ? ? . 5 ln t 2

9


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