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山西省太原市2016届高三模拟考试(一) 数学理


2016 年太原市高三年级模拟试题(一) 数学理
一、选择题 1.已知全集U ? 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ,集合 A ? 0, 1, 3 ,集合 B ? 2,6 ,则 A、 ?5,6? 答案:B 解: B、 ?4,5? C、 ?0,3?

?

?

?

?

r />? ? ?CU A? ? ?CUB ? 为
D、 ?2,6?

?CU A? ? ?CU B ?=CU ? A ? B ? ? ?4,5?
?CU A? ? ?CU B ?=CU ? A ? B ? ?CU A? ? ?CU B ?=CU ? A ? B ?
5 ? 3i 的共轭复数是 4 ?i
C、1+ i D、-1- i

说明:

2.已知 i 是虚数单位,则复数 A、1- i 答案:C 解:

B、-1+ i

?5 ? 3i ?? 4 ? i ? ? 20 ? 17i ? 3i 2 ? 17 ? 17i ? 1 ? i 5 ? 3i ? 4 ?i 17 42 ? i 2 ? 4 ? i ?? 4 ? i ?
5 ? 3i 的共轭复数是 1 ? i 4 ?i

∴复数

说明:⑴形如 Z=a + bi(其中 a,b ? R )称为复数,a 叫做复数的实部,b 叫做虚部(注意 a,b 都是实数) z ? a ? bi 为 z 的共轭复数.

?实数 ? b ? 0 ? z ? z ? z为 ?虚数 b?0 . ? ?纯虚数 a ? 0 ? z ? z ? 0
⑵两个复数相等的定义:
a ? bi ? c ? di ? a ? c且b ? d(其中,a,b,c,d, ? R)特别地a ? bi ? 0 ? a ? b ? 0 .

⑶复数集是无序集,不能建立大小顺序。两个复数,如果不全是实数,就不能比较大小. ①若 z1 , z 2 为复数,则 1 ? 若 z1 ? z 2 ? 0 ,则 z1 ? ? z 2 .(× )若 z1 ? z 2 ,则 z1 ? z 2 ? 0 .(√) ②特别地: a ? bi ? 0 ? ?

?a ? 0 ?b ? 0
·1·

⑷z? z ?

z ? z ? a2 ? b2
x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线方程是 y ? 3x ,它的一个焦点坐标 a2 b2
x2 y 2 ? ?1 B、 6 2
y2 ?1 C、 x ? 3
2

2

2

3.已知双曲线

为(2,0) ,则双曲线方程为

x2 y 2 ? ?1 A、 2 6
答案:C 解:∵双曲线

x2 ? y2 ? 1 D、 3

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点坐标为(2,0) a2 b2
3x


∴ c ? 2 ,焦点在 x 轴上∵渐近线方程是 y ? 令 b ? 3m(m ? 0) 则 a ? m ∴ c ? ∴ a ? 1,b ? 4.等比数列

b ? 3 a

a 2 ? b 2 ? 2m ? 2 ∴ m ? 1
y2
3 ?1

3 ∴双曲线方程为 x 2 ?

?an ? 中, a
0

1

? 1 ,公比 q=2,前 n 项和为 S n ,下列结论正确的是

A. ?n0 ? N *, an ? an

0 ?2

? 2an0 ?1

B. ?n ? N *,an ? an ?1 ? an ?2 D. ?n0 ? N *,an ? an
0 0 ?3

C. ?n ? N *,Sn ? an ?1 答案:C

? an0 ?1 ? an0 ?2

解: an ? 2
0

n ?1

,S n ?
0 ?2

1 1 ? 2n 1?2

?

? ?2

n

?1

A. an ? an

? 2n0 ?1 ? 2n0 ?1 ,2an0 ?1 ? 2n0 ?1 ,

2n0 ?1 ? 2n0 ?1 ? 2n0 ?1 ? 2n0 ?1 ? 0 ? n0 ?? ∴A 错
B. 增 当 x=2 时, f 2x ? 1 ? f C.

an ? an ?1 ? 2n ?1 ? 2n ? 22n ?1 ,an ?2 ? 2n ?1 ,构造函数 f ? x ? ? 2x ,易知f ? x ? 在 R 上单调递

?

?

?x ? 1? ∴R 上不能保证f ?2x ? 1? ? f ?x ? 1? 恒成立∴B 错
·2·

Sn ? an ?1 恒成立即 2n ? 1 ? 2n 恒成立,显然 C 正确

5.执行如图所示的程序框图,若输出的 S ? A、 k ? 7 B、 k ? 7 C、 k ? 8 D、 k ? 8

25 ,则判断框内填入的条件可以是 24

答案:D 解:k=0,s=0,设满足的条件为 P. 圈数 1 2 3 4 条件 P 满足 满足 满足 满足 8 k 2 4 6 s 1/2 3/4 11/12 25/24

可以得出:k=2,4,6 时满足条件,8 时不满足条件,∴k<8 6.设函数 f 则 A.

?x ? ? e x ? x ? 2, g ?x ? ? lnx ? x
B. D.

2

? 3 ,若实数 a,b 满足 f ?a ? ? g ?b ? ? 0 ,

f ?b ? ? 0 ? g ?a ?

g ?a ? ? 0 ? f ?b ? f ?b ? ? g ?a ? ? 0

C. 0 ? g

?a ? ? f ?b ?

答案:B 解:易知 f(x)是增函数,g(x)在(0,+∞)上也是增函数, 由于 f(0)=-1<0,f(1)=e-1>0,所以 0<a<1; 又 g(1)=-2<0,g(2)=ln2+1>0,所以 1<b<2, 所以 f(b)>0,g(a)<0,故 g(a)<0<f(b) 7.设函数 f

? x ? ? A ??x ? ? ( ? A ? 0,? ? 0, ?

?

?

? ? ?? ) 的部分图像,若 x 1,x 2 ? ? ? , ? ,且 2 ? 6 3?

f ? x 1 ?=f ? x 2 ? ,则 f ? x 1 ? x 2 ?
A.1 B.
·3·

C.

2 2

D.

3 2

答案:D 解:由图象可得 A=1, ,解得 ω=2,

∴f(x)=sin(2x+φ) ,点(

? (?, 0) ,0)相当于 y=sinx 中的 3

故选:D 8.现有 12 张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各三张,从中任取 3 张,要求这 3 张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多 1 张,不同的取法种数 A.135 B.172 C.189 D.162 答案:C
3 解:由题意,不考虑特殊情况,共有 C12 种取法,其中每一种卡片各取三张,有 4 种取法,两种 2 1 红色卡片,共有 C3 种取法, C9 2 1 故所求的取法共有 C12 ﹣4﹣ C3 =189 种. C9 3

9.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 A、2 B、

8 3

C、4

D、

20 9

·4·

答案:B 解:先考虑将主视图补成正方形,则三视图中两个正方形一个等腰三角形构成的几何体如下图 中的三棱柱 ABC-EDF,,再考虑视图内部的线,可以知道该几何体是三棱柱 ABC-EDF 截去三棱锥 E-ADF 余下的部分。 所以 V=

VABC ?EDF ?VE ?ADF ?VABC ?EDF ?VA?EDF ? ? ? 2? 2 ?? 2? ? ? 2? 2 ?? 2? 3? 2 3 ?2 ? ?

?1

?

1?1

?

8

A C

E F

B

D

?x ? y ? 1 ? 0 y 1 ? 10.已知变量 x,y 满足约束条件 ?x ? y ? 1 ? 0 ,若 ? ,则实数 a 的取值范围是 x ?2 2 ?x ? a ? 0 ? y
A、 (0,1] 答案:C 解: B、 [0,1) C、 [0,1] D、 (0,1)

y x ?2

1

B
x+y-1=0

表示区域内点(x,y)与定点 A(2,0)连线斜率 K,

x=a

由图易观察到 BC 与 y 轴重合时, k ? k AC

1 ? ,当 BC 向右移动时, 2

A O
1 x-y-1=0 2

x

k ? k AC ?

1 ,综上, a ? ? ?0,1? ? 2

–1

C

11. 在三棱锥 A﹣BCD 中, 底面 BCD 为边长为 2 的正三角形, 顶点 A 在底面 BCD 上的射影为△BCD 的中心,若 E 为 BC 的中点,且直线 AE 与底面 BCD 所成角的正切值为 2 2 ,则三棱锥 A﹣BCD 外接 球的表面积为 A、3 ? B、4 ? C、5 ? D、6 ? 答案:D 解:∵定点 A 在底面 BCD 上的射影为三角形 BCD 的中心,
·5·

A

而且底面 BCD 是正三角形, ∴三棱锥 A﹣BCD 是正三棱锥,∴AB=AC=AD, 令底面三角形 BCD 的重心(即中心)为 P, ∵底面 BCD 为边长为 2 的正三角形,DE 是 BC 边上的高, ∴DE= 3 ,∴PE=

3 2 3 ,DP= 3 3

∵直线 AE 与底面 BCD 所成角的正切值为 2 2 ,即 tan ?AEP ? 2 2 ∴AP=
2

2 6 , 3
2 2

∵AD =AP +DP (勾股定理) ,∴AD=2,于是 AB=AC=AD=BC=CD=DB=2, ∴三棱锥为正四面体,构造正方体,由面上的对角线构成正四面体,故正方体的棱长为 2 , ∴正方体的对角线长为 6 ,∴外接球的半径为 ∴外接球的表面积=4πr =6π 12.若函数 f m+n 的值为 A.1 答案:C 解:令 y 1 ?
2

6 2

?x ? ? x
B.3

2

?

2

x

? a ln x (a ? 0) 有唯一零点 x0,且 m<x0<n(m,n 为相邻整数),则

C.5

D.7

x2 ?
2

2

x

, y 2 ? a ln x (a ? 0) ,

y 1? ? 2x ?

x

2

?

2x 3 ? 2

x

2

a , y 2? ? (a ? 0, x ? 0) x

在 0,1 上 y 1 为减函数,在 1, ?? 上 y 1 为增函数,所以 y 1 为凹函数,而 y 2 为凸函数 ∵函数 f

? ?

?

?

?x ? ? x

2

?

2

x

? a ln x (a ? 0) 有唯一零点 x0,∴ y 1 , y 2 有公切点 (x0 ,y0 ) 则

2 a ? ?2x 0 ? x 2 ? x ? 2 1 ? ? 0 0 ? x 02 ? ? 2 ? x 02 ? ? ? ln x 0 ? 0 x x 2 2 0 0 ? ? ?x ? ? a ln x 0 0 ? x0 ?
·6·

构造函数 g

?x ? ? x

2

?

1? ? ? 2 ? x 2 ? ? ln x , ? x ? 0 ? x x? ?
1 2 ) l n? 2 ?5 7ln2

2

g ?1? ? 3

g ? 2? ? 4 ? 1 ? 2 ( 4 ?
5

欲比较 5 与 7 ln2 大小,可比较 e 与 27 大小, ∵e ? 2 ∴ g 2 ? 0
5 7

? ?

g ?e ? ? e 2 ?
∴ x ? 2,e

1? 3 ? ? 2 ?e 2 ? ? ? ?e 2 ? ? 0 e e? e ?

2

?

?

∴m=2,n=3 ∴m+n=5 说明: e ? 2.7 二、填空题 13.若(a+x)(1+x)4 的展开式中,x 的奇数次幂的系数和为 32,则展开式 中 x3 的系数为 答案:18 解:设 f(x)=(a+x) (1+x)4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5, 令 x=1,则 a0+a1+a2+…+a5=f(1)=16(a+1) ,① 令 x=-1,则 a0-a1+a2-…-a5=f(-1)=0.② ①-②得,2(a1+a3+a5)=16(a+1) , 所以 2× 32=16(a+1) , 所以 a=3. 当(3+x)中取 3,则 (1+x)4 取 x,x,x,1 即 x3 的系数为 3 C 4 ? 12
3

当(3+x)中取 x,则 (1+x)4 取 x,x,1,1 即 x3 的系数为C 4 ? 6
2

∴展开式中 x3 的系数为 18 14.圆心在曲线 y ?
2

2

x

(x ? 0) 上,且与直线 2x+y+1=0 相切的面积最小的圆的方程为
2

答案: (x﹣1) +(y﹣2) =5. 解:由圆心在曲线 y ?

2 (x ? 0) 上,设圆心坐标为(a, )a>0, a x

2

又圆与直线 2x+y+1=0 相切,所以圆心到直线的距离 d=圆的半径 r,

·7·

2a ?
由 a>0 得到:d=

2 ?1 4 ?1 a ? ? 5 ,当且仅当 2a= 即 a=1 时取等号, 5 5

所以圆心坐标为(1,2) ,圆的半径的最小值为 5 , 则所求圆的方程为: (x﹣1) +(y﹣2) =5. 15.在锐角?ABC 中已知 B=
2 2

???? ???? ? ???? ???? ? ? , AB ? AC =2,则 AB ? AC 的取值范围是 3

答案: (0,12) 解: 解法 1 以 B 为原点,BA 所在直线为 x 轴建立坐标系, 因为 设 A(x,0)

因为△ABC 是锐角三角形,所以 A+C=120° ,∴30° <A<90° , 即 A 在如图的线段 DE 上(不与 D,E 重合) ,所以 1<x<4, 则 AB?AC =x ﹣x=(x﹣

??? ? ??? ?

2

??? ? ??? ? 1 2 1 ) ﹣ ,所以 AB?AC 的范围为(0,12) . 2 4

解法 2∵∠B=

? , △ABC 是锐角三角形,所以 A+C=120° ,∴30° <A<90° 3
=a=2

由正弦定理可得 ∴

a
sinA

?

b
sinB

?

sin 1200 ? A

?

c

?

∴b ?

2sin 1200 ? A 3 ,c ? sin A sin A
2

?

?

???? ???? ? 2 3 sin 1200 ? A ? 3 ? 3 3 3 AB ?AC ? c ? b cos A ? cos A ? ? ?? ? ? 2 2 ? tan A sin A tan A tan A ? ? tan A ?

?

?

·8·



???? ???? ? 3 ? ? 0,3? ∴ AB ?AC ? ? 0,12? tanA
n

16. 已知数列{an}满足:an ? (? 1 ) an ?1 ? 答案:440 解:当 n=2k 时,即 a2k ? a2k ?1 ? 2k ①

n ( n ? 2 ),记 Sn 为{an}的前 n 项和,则 S40=



当 n=2k-1 时,即 a2k ?1 ? a2k ?2 ? 2k ? 1 ②当 n=2k+1 时,即 a2k ?1 ? a2k ? 2k ? 1 ③ ①+② a2k ? a2k ?2 ? 4k-1 ③-① a2k ?1 ? a2k ?1 ? 1 S40=(a1+a3+a5+…+a39)+(a2+a4+a6+a8+…+a40)

=1 ? 10 ? ? 7 ? 15 ? 23 ? ??=10 ? 7 ? 10 ?

10 ?10 ? 1? 2

? 8=440

三、解答题 17.已知 a,b,c 分别为锐角?ABC 内角 A,B,C 的对边,且 3 a=2csinA ⑴求角 C ⑵若 c= 7 ,且?ABC 的面积为

3 3 ,求 a+b 的值. 2

解: (1)∵ 3 a =2csinA ∴正弦定理得 3 sin A ? 2sin C sin A , ∵A 锐角,∴sinA>0, (2)三角形 ABC 中,由余弦定理得 c2=a2+b2﹣2abcosC 即 7=a2+b2﹣ab, 又由△ABC 的面积得 .即 ab=6,

∴(a+b)2=a2+b2+2ab=25,由于 a+b 为正,所以 a+b=5. 18.在某娱乐节目的一期比赛中,有 6 位歌手(1 至 6 号)登台演出,由现场的百家大众媒体投 票选出最受欢迎的歌手,各家媒体独立地在投票器上选出 3 位出彩候选人,其中媒体甲是 1 号歌手 的歌迷,他必选 1 号,另在 2 号至 6 号中随机的选 2 名;媒体乙不欣赏 2 号歌手,他必不选 2 号; 媒体丙对 6 位歌手的演唱没有偏爱,因此在 1 至 6 号歌手中随机的选出 3 名. (Ⅰ)求媒体甲选中 3 号且媒体乙未选中 3 号歌手的概率;
·9·

(Ⅱ)X 表示 3 号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和,求 X 的分布列及数学期望. 解: (Ⅰ)设 A 表示事件:―媒体甲选中 3 号歌手‖,事件 B 表示―媒体乙选中 3 号歌手‖,事件 C 表示―媒体丙选中 3 号歌手‖, 媒体甲选中 3 号且媒体乙未选中 3 号歌手的概率: P(A )=P(A) (1﹣P(B) )

(Ⅱ)P(C)=

,由已知得 X 的可能取值为 0,1,2,3,

19.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PC⊥底面 ABCD,底面 ABCD 是直角梯形,AB⊥AD,AB//CD, AB=2AD=2CD=2,E 是 PB 上的一点. (Ⅰ)求证:平面 EAC⊥平面 PBC; (Ⅱ)若二面角 P﹣AC﹣E 的余弦值为

6 ,求直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值. 3

·10·

(Ⅰ)证明:∵PC⊥平面 ABCD,AC?平面 ABCD,∴AC⊥PC, ∵AB=2,AD=CD=1,∴AC=BC= 2 , ∴AC +BC =AB ,∴AC⊥BC, 又 BC∩PC=C,∴AC⊥平面 PBC, ∵AC?平面 EAC,∴平面 EAC⊥平面 PBC. (Ⅱ)如图,以 C 为原点,取 AB 中点 F, CF , CD, CP 分别为 x 轴、y 轴、z 轴正向,建立空间 直角坐标系,则 C(0,0,0) ,A(1,1,0) ,B(1,﹣1,0) .设 P(0,0,a) (a>0) , 则 E(
2 2 2

??? ? ??? ? ??? ?

1 1 a ,﹣ , ) , 2 2 2

·11·

20.已知椭圆 C 的离心率为

3 ,点 A,B,F 分别为椭圆的右顶点,上顶点和右焦点,且 2

S ?ABF ? 1 ?

3 . 2
2

(1)求椭圆 C 的方程 (2)已知直线 l :y ? kx ? m 被圆 O: x ? C 交于 M、N 两点,求?OMN 面积的最大值. 解: (1)设方程为 C:

y 2 ? 4 所截得的弦长为 2 3 ,若直线 l 与椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,则 A(a,0) ,B(0,b) ,F(c,0) a 2 b2

y

∵椭圆 C 的离心率为

3 2

1

B N

–2
∴联立①②,解得 b=1,c= 3 ∴a=2,

–1

O M
–1

1

F

2A

x

∴椭圆的方程为

x ? y 2 =1; 4

2

(2)圆 O 的圆心为坐标原点,半径为 2, ∵直线 l:y=kx+m 被圆 O:x2+y2=4 所截弦长为 2 3 , 由垂径定理可得 O 到 MN 距离 d 为 1 ∴ =1 ∴m2=1+k2③

直线 l 代入椭圆方程,可得(

2 2 )x +2kmx+m ﹣1=0

·12·

∴t=3,即 4k2+1=3,解得

时,S 取得最大值为 1.

21.已知函数 f

? x ? =ln(x+1)-x
3

(1)若 k ? z,且 f(x-1)+x>k(1-

x

)对任意 x>1 恒成立,求 k 的最大值. <1﹣ x0 成立.
2

⑵对于在(0,1)中的任意一个常数 a,是否存在正数 x0,使得 e 解: (1)∵f(x﹣1)+x>k(1﹣ ∴lnx﹣(x﹣1)+x>k(1﹣

3 ) , x

3 3 ) ,∴lnx+1>k(1﹣ ) ,即 xlnx+x﹣kx+3k>0, x x

令 g(x)=xlnx+x﹣kx+3k,则 g′(x)=lnx+1+1﹣k=lnx+2﹣k, 若 k≤2,∵x>1,∴lnx>0,g′(x)>0 恒成立,即 g(x)在(1,+∞)上递增; ∴g(1)=1+2k≥0,解得,k≥﹣

1 1 ;故﹣ ≤k≤2,故 k 的最大值为 2; 2 2
﹣ ﹣ ﹣

若 k>2,由 lnx+2﹣k>0 解得 x>ek 2,故 g(x)在(1,ek 2)上单调递减,在(ek 2,+∞)上 单调递增; ﹣ ﹣ ∴gmin(x)=g(ek 2)=3k﹣ek 2, ﹣ ﹣ 令 h(k)=3k﹣ek 2,h′(k)=3﹣ek 2,
·13·

∴h(k)在(1,2+ln3)上单调递增,在(2+ln3,+∞)上单调递减; ∵h(2+ln3)=3+3ln3>0,h(4)=12﹣e2>0,h(5)=15﹣e3<0;∴k 的最大取值为 4, 综上所述,k 的最大值为 4. (2)假设存在这样的 x0 满足题意,

故 x=﹣lna,取 x0=﹣lna, 在 0<x<x0 时,h′(x)<0,当 x>x0 时,h′(x)>0;

a (﹣lna)2+alna+a﹣1, 2 a 在 a∈(0,1)时,令 p(a)= (lna)2+alna+a﹣1, 2 1 则 p′(a)= (lna)2≥0,故 p(a)在(0,1)上是增函数,故 p(a)<p(1)=0, 2
∴hmin(x)=h(x0)= 即当 x0=﹣lna 时符合题意. 请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 做答时,请 用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22、 (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,在Δ ABC 中,CD 是∠ACB 的角平分线,△ADC 的外接圆交 BC 于点 E,AB=2AC。 (1)求证:BE=2AD; (2)当 AC=3,EC=6 时,求 AD 的长。

·14·

23.在平面直角坐标系 xoy 中,以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线 l 的极坐标 方程为 θ= ,曲线 C 的参数方程为 .

(1)写出直线 l 与曲线 C 的直角坐标方程; (2)过点 M 平行于直线 l 的直线与曲线 C 交于 A、B 两点,若|MA|?|MB|= 直角坐标方程. 解: (1)直线 l 的极坐标方程为 θ= ,所以直线斜率为 1,直线 l:y=x;

8 ,求点 M 轨迹的 3

由直线 l1 与曲线 C 相交可得:

·15·

故点 M 的轨迹是椭圆 x +2y =6 夹在平行直线 y ? x ? 3 之间的两段弧)
2 2

24.已知函数 f

?x ?=2x ? a ? 2x ? 3 , g ?x ? ? x ? 1 ? 2
?
? 5.

(1)解不等式 g ? x

(2)若对任意的 x1 ? R,都有 x2 ? R,使得 f(x1)=g(x2)成立,求实数 a 的取值范围. 解: (1)由||x﹣1|+2|<5,得﹣5<|x﹣1|+2<5 ∴﹣7<|x﹣1|<3, 得不等式的解为﹣2<x<4 (2)因为任意 x1∈R,都有 x2∈R,使得 f(x1)=g(x2)成立, 所以{y|y=f(x)}?{y|y=g(x)}, 又 f(x)=|2x﹣a|+|2x+3|≥|(2x﹣a)﹣(2x+3)|=|a+3|, g(x)=|x﹣1|+2≥2,所以|a+3|≥2,解得 a≥﹣1 或 a≤﹣5, 所以实数 a 的取值范围为 a≥﹣1 或 a≤﹣5.

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·16·


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山西省太原市2016届高三下学期模拟试题(一)数学(理)试题(含解析)

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2016届山西省太原市高三第二次模拟考试数学(理)试题

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2016年太原市高三年级模拟试题(一)数学试卷(理)(含答案)

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2016届山西省太原市高三下学期第三次模拟考试数学(理)试卷

2016届山西省太原市高三下学期第三次模拟考试数学()试卷_高考_高中教育_教育专区。数学试题(理工类)第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,...