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100测评网高一数学复习第2章 平面解析几何初步


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必修 2 第 2 章 平面解析几何初步 §2.1.2 直线的方程

重难点:对直线的倾斜角、斜率的概念的理解能牢记过两点的斜率公式并掌握斜率公式的推 导.
经典例题:已知过点 A(1,1) 且斜率为-m(m>0)的直线与 x, y 轴分别交

于 P、Q, 过 P、Q 作直线 2 x ? y ? 0 的垂直平分线,垂足为 R、S,求四边形 PRSQ 的面积的最小值.

当堂练习: 1.方程 y=k(x-2)表示( ) B.通过点(2,0)的所有直线 D.通过点(2,0)且除去 x 轴的直线 ) C.y-3=3(x-1) ) C.第三象限 D.第四象限 D.y-3=-3(x-1) A.过点(-2,0)的所有直线 C.通过点(2,0)且不垂直于 x 轴的直线 A.y-1=3(x-3) A.第一象限 合,则直线 l 的斜率是( A. B.y-1=-3(x-3) B.第二象限 ) B.-

2. 在等腰 ? AOB 中, |AO|=|AB|, 点 O(0,0), A(1,3), 而点 B 在 x 轴的正半轴上, 则此直线 AB 的方程为 ( 3.如果 AC<0,且 BC<0,那么直线 Ax+By+C=0 不通过(

4. 直线 l 沿 y 轴负方向平移 a(a≠0)个单位, 再沿 x 轴正方向平移 a+1 个单位, 若此时所得直线与直线 l 重

a a ?1

a a ?1


C.

a ?1 a

D.-

a ?1 a

5.下列四个命题中的真命题是(

A.经过定点 P0(x0,y0)的直线都可以用方程 y-y0=k(x-x0)表示 B.经过任意两个不同的点 P1(x1,y1)和 P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1) (x2-x1)=(x-x1) (y2-y1) 表示 C.不经过原点的直线都可以用方程

x y + =1 表示 a b


D.经过定点 A(0,b)的直线都可以用方程 y=kx+b 表示 6.过点 A(1,2)作直线 ? 使它在两坐标轴上的截距的绝对值相等,满足条件的直线 ? 的条数是( A.1
2

B.2

C.3

D.4 ) D.-6

7.若直线(m+2)x+(m -2m-3)y=2m 在 x 轴上的截距是 3,则 m 的值是( A.

2 5

B.6

C.-

2 5

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8.过点(5,2),且在 x 轴上的截距是在 y 轴上的截距的 2 倍的直线方程是( A.2x+y-12=0 B.2x+y-12=0 或 2x-5y=0 C.x-2y-1=0 ) 9.二元一次方程 Ax+By+C=0 表示为直线方程,下列不正确叙述是( A. 实数 A、B 必须不全为零 B.A +B ? 0
2 2

) D.x+2y-9=0 或 2x-5y=0

C.所有的直线均可用 Ax+By+C=0 (A +B ? 0)表示
2 2

D.确定直线方程 Ax+By+C=0 须要三个点坐标待定 A,B,C 三个变量 10.过点 M(2,1)的直线 l 与 x 轴,y 轴分别相交于 P,Q 两点,且|MP|=|MQ|,则直线 l 的方程是( A.x-2y+3=0
2 2



B.2x-y-3=0 B.m ? ? 2

C.2x+y-5=0 ) C.m ? 1,且 m ? 3 ) C. ab<0,bc>0 ) D.

D.x+2y-4=0 D.m 可取任意实数 D. ab<0,bc<0

11.若(m -4)x+(m -4m+3)y+1=0 表示直线,则( A.m ? ? 2 且 m ? 1, m ? 3 A.ab>0,bc>0 12.若直线 ax+by+c=0 在第一、二、三象限,则( B.ab>0,bc<0

13.直线 ax+by=1 (ab ? 0)与两坐标轴围成的面积是( A.

1 ab 2

B.

1 |ab| 2

C.

1 2ab
0

1 2 | ab |
0

14.直线 l 过点 A(0, 1)和 B(-2, -1),如果直线 l 绕点 A 逆时针旋转 45 得直线 l1,那么 l1 的方程 是 . 如果直线 l 绕点 B 逆时针旋转 45 得直线 l2,那么 l2 的方程是 . 15.以下四个命题: (1)所有直线总可以用直线的点斜式、斜截式表示; (2) 直线的点斜式和斜截式是可以 等价转换的; (3)一次函数的图象是一条直线,直线方程总可以用一个一次函数去表示; (4) 斜截式 y=kx+b 中的 b 表示直线与 y 轴交点到原点的距离.其中正确命题的题号是________. 16 .直线 ? 过点( 3 , 4 ),且在第一象限和两坐标轴围成的三角形的面积是 24 ,则 ? 的截距式方程是 _______________. 17.若方程 Ax+By+C=0 表示与两条坐标轴都相交的直线,则 A,B,C 应满足条件___________. 18.求与两坐标轴围成三角形周长为 9 且斜率为-

4 的直线方程. .3

19.在直角坐标系中,过点 A(1,2)且斜率小于 0 的直线中,当在两坐标轴上的截距之和最小时,求该直 线的斜率.

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20.光线从点 A(-3,4)射出,经 x 轴上的点 B 反射后交 y 轴于 C 点,再经 C 点从 y 轴上反射恰好经过点 D (-1,6),求直线 AB,BC,CD 的方程.

21.已知直线 l 1:y=4x 与点 P(6,4),在 l 1 上求一点 Q,使直线 PQ 与直线 l 1,以及 x 轴在第一象限围成 的三角形面积最小.

§2.1.1 直线的方程 经典例题: 解: 解:设 l 方程为 y ? 1 ? ?m( x ? 1) ,则 P (1 ?
1 m , 0), Q (0,1 ? m ) 从而可得直线 PR 和 QS 的方程分别为:

m ?1 x ? 2y ? ? 0 和 x ? 2 y ? 2(m ? 1) ? 0 m
2?
|PR| ?

| 2m ? 2 ? 1 ?
又 PR∥QS ∴ | RS |?

1

5

m ?

|

3 ? 2m ? 5

1 m


2 m , | QS |? m ? 1 ,四边形 PRSQ 为梯形 5 5

∴ S PRSQ ?

1 2

2? (

2 m? 5 m ?1 5 )?

3 ? 2m ?

1

m ? 1 ( m ? 1 ? 4 ) 2 ? 1 ? 1 (2 ? 9 ) 2 ? 1 ? 3.6 5 m 9 80 5 4 80 5

∴四边形 PRSQ 的面积的最小值为 3.6. 当堂练习: 1.C; 2.D; 3.C; 4.B; 5.B; 6.C; 7.D; 8.D; 9.D; 10.D; 11.D; 12.D; 13.D; 14. x=0,y= -1; 15. (2); 16.

x y ? ? 1 ; 17. A ? 0 且 B ? 0 ,C ? R; 6 8
18.解:设直线的斜截式方程为 y=-

3 4 x+b, 令 x=0, y=b; 令 y=0, x= b, 4 3

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3 2 3 3 5 2 |b|+ b ? ( b) ? 9 , 即(1+ + )|b|=9,得|b|=3,即 b= ? 3, 4 4 4 4 4 ? 所求直线的方程为 y=- x ? 3. 3 2 19.解:设直线方程为 y-2=k(x-1) (k<0),令 y=0, x=1- ; 令 x=0, y=2-k ,则截距和 b= k
由|b|+ (1-

2 2 2 )+(2-k)=3+(- )+(-k) ? 3 ? 2 2 , 当且仅当- =-k, 即 k= - 2 (? k<0). k k k 2 )+(2-k),整理成关于 k 的一元二次方程:k2+(b-3)k+2=0 有实数解,因此 k

另解: b= (1-

?=(b-3)2-8 ? 0,即 b ? 3 ? 2 2 ,此时 k= - 2 . 20. 解:作点 A 关于 x 轴的对称点 A1(-3,-4),D 点关于 y 轴的对称点 D1(1,6), 直线 A1D1(即直线 BC)的方程为 5x-2y+7=0, 令 y=0,得 x= 同理可求得 C(0,

7 7 ,即 B(- ,0), 5 5

7 ),于是可求得直线 AB 的方程为 5x+2y+7=0, 直线 CD 的方程为 5x+2y-7=0. 2 y?4 x?6 ? 21. 解:设 Q(x1,4x1), x1>1, 过两点 P、Q 的直线方程为 , 若 QP 交 x 轴于点 M(x2,0),得 4 x1 ? 4 x 1 ? 6
x2=

5 x1 5 x1 10x1 10x1 1 1 5 x1 ? 4 x1 ? , M( ,0). ? S ?OMQ ? | OM | ? y Q ? ? ,由 S= ,得 10x12-Sx1+S=0, x1 ? 1 x1 ? 1 2 2 x1 ? 1 x1 ? 1 x1 ? 1

2

2

据 ? ? 0,得 S ? 40,当 S=40 时,x1=2, ? 点 Q(2,8).

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