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各地市2013年高考数学最新联考试题分类汇编(4)数列

时间:2013-05-21


一、选择题: 6. ( 广东省惠州市 2013 届高三第三次调研文 6)设{ an } 是公差为正数的等差数列,若

a1 ? a2 ? a3 ? 15 ,且 a1a2a3 ? 80 ,则 a11 ? a12 ? a13 等于(
A.120 6. 【 解 B. 105 析 】 C. 90

) D.75

a1

?

a1 ? 2

5 a3 ?



5 a2 ?

?

a1a2a3 ? 80 ? a1a3 ? ?5 ? d ??5 ? d ? ? 25 ? d 2 ? 16 ,
? d ? 3 ? a1 ? 2 , a11 ? a12 ? a13 ? 3a1 ? 33d ? 6 ? 99 ? 105 .故选 B.

4. (广东省华附、 省实、 深中、 广雅四校 2013 届高三上学期期末联考文)在正项等比数列 ?a n ? 中, a1 和 a19 为方程 x 2 ? 10 x ? 16 ? 0 的两根,则 a8 a10 a12 ? ( ) (A) 16 (B )32 (C)64 (D)256

2 解:由已知有 a1 a19 ? 16 ,又 a1 a19 ? a10 ,∴在正项等比数列中, a10 ? 4 . 3 ∴ a8 a10 a12 ? a10 ? 64 .选 C.

4.(广东省广州市 2013 年 1 月高三年级调研文)已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若

a3 ? a4 ? a5 ? 12 ,则 S7 的值为
A. 56 B. 42 C. 28 D.14

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二、填空题: 9.(广东省惠州市2013届高三第三次调研理)在等比数列

?an ? 中, a1 ? 1 ,公比 q ? 2 ,若

?an ? 前 n 项和 Sn ? 127 ,则 n 的值为
9. 【解析】



Sn ? 127 ?

1 ? 2n ? 2n ? 1 ? n ? 7 1? 2 .答案: 7 .

[来源:学+科+网]

9. (广东省广州市 2013 年 1 月高三年级调研理)已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 若 a3 ? a4 ? a5 ? 12 ,则 S7 的值为 .

三、解答题 19.(广东省惠州市 2013 届高三第三次调研文 19)(本小题满分 14 分) 已知向量 p ? (an ,2 ), q ? (2
n

? ?

?

n?1

?? ? , ?an?1), n ? N * , 向量 p 与 q 垂直,且 a1 ? 1.

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?bn ? 满足 bn ? log2 an ? 1 ,求数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和 Sn . 19.解(1)? 向量 p 与 q 垂直

??

?

?2n an?1 ? 2n?1 an ? 0, 即?2n an?1 ? 2n?1 an

…………2 分

?

an ?1 ? 2 ??an ? 是以 1 为首项,2 为公比的等比数列…………4 分 an
…………5 分

? an ? 2n?1 。

(2)?bn ? log2 a2 ? 1 ,?bn ? n

?an ? bn ? n ? 2n?1 ,

…………8 分

? Sn ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 22 ? 4 ? 23 ? ?? n ? 2n?1, ……① ?2Sn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? 4 ? 24 ? ?? n ? 2n , ……②
? 由①— ②得,
………10 分

? Sn ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
2 3 4

n ?1

1 ? 2n ? n?2 ? ? n ? 2n ? (1 ? n)2n ? 1 ……12 分 1? 2
n

? Sn ? 1 ? (n ? 1)2n ? n ? 2n?1 ? 1 ? (n ?1)2n

………14 分

1 19.(广东省惠州市2013届高三第三次调研理)(本小题满分14分)已知点(1, 3 )是函数
f ( x) ? a x (a ? 0, 且 a ? 1)的图象上一点,等比数列 {an } 的前 n 项和为 f (n) ? c , 数列 {bn } (bn ? 0) 的首项为 c ,且前 n 项和 S n 满足:

S n - Sn?1 = S n + Sn?1 ( n ? 2 ).
(1)求数列

{an } 和 {bn } 的通项公式;
1 cn ? bn ? ( ) n 3 ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Rn ;

{c } (2)若数列 n 的通项

1 1000 } Tn ,问 Tn ? 2009 的最小正整数 n 是多少? bb (3)若数列{ n n?1 前 n 项和为
19. (本小题满分14分)

?1? 1 ? f ? x? ? ? ? Q f ?1? ? a ? 3, ? 3? 解: (1)

x

1 2 a1 ? f ?1? ? c ? ? c a2 ? ? f ? 2 ? ? c ? ? ? f ?1? ? c ? ? ? 9 ? ? ? ? 3 , , 2 a3 ? ? f ? 3? ? c ? ? ? f ? 2 ? ? c ? ? ? ? ? ? ? 27

.

4 a 2 1 a1 ? ? 81 ? ? ? ? c a3 ? 2 3 3 ?an ? 成等比数列, 27 又数列 ,所以 c ? 1 ;
2 2

q?
又公比

a2 1 2?1? ? an ? ? ? ? a1 3 ,所以 3? 3?

n ?1

?1? ? ?2 ? ? ? 3?

n

n? N*

;……………………2分

Q Sn ? Sn?1 ?


?

Sn ? Sn?1

??

Sn ? Sn?1 ? Sn ? Sn?1

?

? n ? 2?

bn ? 0 , Sn ? 0 , ? Sn ? Sn?1 ? 1;

数列

? S ? 构成一个首相为1公差为1的等差数列,
n

Sn ? 1 ? ? n ? 1? ?1 ? n



Sn ? n 2

当n ? 2,

bn ? S n ? S n ?1 ? n 2 ? ? n ? 1? ? 2n ? 1
2

;又其满足

b1 ? c ? 1,

?bn ? 2n ? 1 ( n ? N * );

……………………………… 5分

Tn ?
(3)

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?K ? ? ? ?L ? (2n ? 1) ? ? 2n ? 1? b1b2 b2b3 b3b4 bnbn?1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7

1? 1? 1?1 1? 1?1 1? 1? 1 1 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? K ? ? ? ? 2? 3? 2?3 5? 2?5 7 ? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

…… 12分

1? 1 ? n ? ?1 ? ?? 2 ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 ; …… 13分
Tn ? n 1000 1000 1000 ? n? Tn ? 2n ? 1 2009 得 9 ,满足 2009 的最小正整数为112. ……… 14分



19.(广东省广州市 2013 年 1 月高 三年级调研文)(本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,数列 {S n ? 1} 是公比为 2 的等比数列,a2 是 a1 和 a3 的 等比中项.

(1) 求数列 {an } 的通项公式; (2)求数列 nan 的前 n 项和 Tn . 19. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查数列、数列求和等知识, 考查化归与转化、分类与整合的数 学思想方法, 以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识)

? ?

(2)解:∵ nan ? n? n ?1 , 2 ∴ Tn ? 1 ? 1 ? 2 ? 21 ? 3 ? 22 ? ? ? n? n ?1 . 2 ① …………… 9 分 …………… 10

2 Tn ? 1 ? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? n? n .② 2
分 ① ? ②得 ?Tn ? 1 ? 2 ? 22 ? ? ? 2n ?1 ? n? n 2

…………… 11 分

?

1 ? 2n ? n?2n 1? 2

…………… 12 分

? ?1 ? n ??2n ? 1 .
∴ Tn ?

…………… 13 分 …………… 14 分

? n ? 1??2

n

? 1.

19. (广东省茂名市 2013 年高三第一次高 考模拟理)(本小题满分 14 分) 已知数列 {an },{bn } 中,a1 ? b1 ? 1 , 且当 n ? 2 时,an ? nan?1 ? 0 ,bn ? 2bn?1 ? 2n?1 . 记 n 的阶乘 n(n ? 1)(n ? 2)?3 ? 2 ?1 ? n ! (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)求证:数列 { (3)若 cn ?

bn } 为等差数列; 2n

an ? bn ? 2n ,求 {cn } 的前 n 项和. an ? 2

∴ Sn ? c1 ? c2 ? c3 ???? ? cn = An ? Bn ? (1 ? n) ? 2 ?
n

1 1 ? ……………14 分 2 n?2

17.(广东省佛山市 2013 年普通高中高三教学质量检测一理)(本题满分 12 分)

数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? 2n?1 ? 2 ,数列 ?bn ? 是首项为 a1 ,公差为 d (d ? 0) 的等差 数列,且 b1 , b3 , b11 成等比数列. (1)求数列 ?an ? 与 ?bn ? 的通项公式; (2)设 cn ?

bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn . an

(2) (1) 由 可得 Tn ? 分

2 5 8 3n ? 1 b b1 b2 b3 ? ? ??? n ? 1 ? 2 ? 3 ?? ? n , 2 a1 a2 a3 an 2 2 2

-----------------7

2Tn ? 2 ?
-----------------8 分 两式式相减得

5 8 3n ? 1 ? 2 ? ? ? n ?1 1 2 2 2



Tn ? 2 ?

3 3 3 3n ? 1 ? 2 ? ? ? n ?1 ? n 1 2 2 2 2




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