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高中数学 7.2《直线方程》教案 湘教版必修3

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第四课时

直线方程

学习目标 ⑴进一步理解倾斜角与斜率的定义,掌握过两点的斜率公式 ⑵掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式,会根据条件选用适当的方程形式解决有关问题 ⑶认识事物之间的普遍联系与相互转化,能用联系的观点看问题 教学过程 例 1 过两点 A(0,0) ,B(cosθ ,sinθ )(-90°<θ <0°)的直线的斜率是______ ___,倾斜角是________。 例 2 设直线 l:3x+4y-5=0 的倾斜角为θ ,则 l 关于直线 y=3 对称的直线的倾斜角是_ _______。 例 3 直线 ax+by=ab(a>0,b>0)的倾斜角是 ( ) A、arctan(-b/a) B、arctan(-a/b) C、π -arctan(b/a) D、π +arctan(-a/b) 例 4 若直线 l 的斜率 k∈[-1,1],则它的倾斜角的取值范围是( ) A、 [kπ -π /4,kπ +π /4](k∈Z) B、[-π /4,π /4] C、[π /4,3π /4] D、[0,π /4]∪[3π /4,π ) 例 5θ ∈(π /2,π ),则直线 xcosθ +ysinθ +1=0 的倾斜角的范围是( ) A、θ -π /2 B、θ +π /2 C、π /2-θ D、π -θ 例 6 下列命题:①直线的倾斜角为α ,则斜率为 tanα ;②直线的斜率为 k,则倾斜角为 arctank;③平行于 y 轴的直线的倾斜角为 90°;④直线 y=xtanα +2 的倾斜角是α 。其中正 确的是 ( ) ① A、 B、 ②和③ C、 ③ D、 ②和④

例7  已知ab>0,直线ax ? by ? c ? 0的倾斜角?满足 sin

?
2

? 1 ? sin?- 1-sin?,求直线的斜率。

解:∵ab>0,直线 ax+by+c=0 的倾斜角为α , ∴tanα =-a/b<0,又α ∈[0,π )∴α ∈(π /2,π ) ∴0<cosα /2<sinα /2

? 1 ? sin?- 1-sin? ? (sin ? / 2 ? cos? / 2) 2 ? (sin ? / 2 ? cos? / 2) 2 ?| sin ? / 2 ? cos? / 2 | ? | sin ? / 2 ? cos? / 2 |
sinα /2+cosα /2-sinα /2+cosα /2=2 cosα /2 又 sin



?
2

? 1 ? sin?- 1-sin?

∴ sinα /2=2cosα /2

∴tanα /2=2 ∴k=tanα =-4/3 例 8 求直线 3x-2y+24=0 的斜率及它在 x、y 轴上的截距。 变:直线 l 过点 P(-4,6) ,且与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B,若点 P 恰为线段 AB 的中点, 求直线 l 的方程。 例 9 设直线 l 的方程为(a+1)x+y-2+a=0(a∈R),若 l 不经过第四象限,求实数 a 的取 值范围。 解:若 a+1=0,即 a=-1 时,直线 l 的方程为 y=3 满足条件。
用心 爱心 专心

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若 a+1≠0,即 a≠-1 时,直线 l 在 x 轴、y 轴上的截距是(2-a)/(a+1), 2-a,由直 线 l 不经过第四象限得

综上:a≤-1 例 10 光线自点 M(2,3)射到 y 轴的 N(0,1)点后被 y 轴反射,求反射光线的方程。 分析一:如图 ∵入射线经过两已知点 M、N ∴k=(3―1)/(2―0)=1 即倾斜角为 45°,故入射角θ =45° 由物理学知识知反射角等于入射角 ∴反射光线的倾斜角为 135°, 其斜率为-1,又反射光线过点 N(0,1) ∴反射光线的方程为 y-1=(―1)(x―0) 即 x+y-1=0 分析二:如图 由物理学知识知反射角等于入射角 ∵入射线经过已知点 M(2,3) ∴M 关于 y 轴的对称点 Q(-2,3)在反射光线上 又反射光线过点 N(0,1) ,∴其斜率为 k=(3―1)/(-2―0)=-1 ∴反射光线的方程为 y-1=(―1)(x―0) 即 x+y-1=0 变:一束光线经过点 A(-2,1) ,由直线 l:x-3y+2=0 反射后,经过点 B(3,5) ,求反射 光线所在的直线方程。 解:设点 A(-2,1)关于由直线 l:x-3y+2=0 的对称点为 A′(x0,y0) ,

由物理学知识知反射角等于入射 ∴点 A′在反射光线上, 又反射光 (3,5) , ∴由两点式得:

角 线过点 B

y ?5 x?3 ? ? 4/5?5 ? 7/5?3
即 29x-22y+23=0 归纳总结 数学思想: 数形结合、 特殊到一般 数学方法:公式法 知识点:倾斜角与斜率的定义、点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式 作业:创新作业 直线方程 4

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