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第一讲 开启我的竞赛之路


济宁一中 2011 级竞赛与自主招生辅导

主讲老师: 贾广素?

第一讲 开启我的竞赛之路
一.初识数学竞赛
前一段时间,我们组织竞赛报名时,没想到会有这么多人报名,竟然达到了近? 300? 名 同学!这是由于多数同学对竞赛的特点不了解造成的。数学竞赛是一种思维的竞赛,是一种 技巧与方法的升华, 是一种课堂知识在课外的

拓展。 其试题的难度要远比高考数学高出很多, 思维的含量也远比普通高考大得多。 整套数学竞赛试卷分为了一试和二试两个环节:其中,一试部分是高考部分的内容, 但比高考要难一些,与高校自主招生试题的难度差不多,分为了填空题与解答题,没有选择 题,其中填空题每小题?8?分,共 64?分,解答题有三道,第一道试题?16?分,第二道与第三道 试题和?20?分,共?56?分.一试的分值是?120?分;这其中三道解答试题中必有一道是圆锥曲线 的试题,另两道试题主要是从不等式、数列、函数中选择。 二试部分的内容是完全与高考不着边,共? 4? 道大题,分别考查代数、平面几何、初等 数论和组合。前两道试题每道题?40?分,后两道试题每道题?50?分,共?180 分。 整套试卷满分?300?分,一般情况下,能够获得?150?分以上就可以获得一等奖.? 原来数学竞赛获得一等奖的同学就真接具备了高校的保送资格或高考加? 20? 分。但从? 2014?年开始,取消保送,至于加分与否,到目前为止山东省还没有出台具体的政策.?

二.我校最近几年的数学竞赛与自主招生成绩
我是从?2006 年开始进行竞赛辅导的,当年的竞赛有我和现在高三一位老师颜景海老师 一起负责,2006?年?10?月,我校张昊(就读于山东大学,在正在山东大学读研)同学荣获全 国二等奖, 这在当时就创造了我们济宁市的一个记录 (注: 原来我市从来没有过全国二等奖) , 张长城(就读于南京大学,现正在南京大学读研) 、刘悦(就读于中国海洋大学,现在中国 海洋读研) 有了一个好的开端, ; 一切就顺利了, 从?2007?年起学校把竞赛工作放给我一个人。 在? 2007? 年的竞赛考试中,我校取得了四名全国二等奖,三名全国三等奖的成绩,在? 2008? 年的数学竞赛中,我校岳爱珍同学获得全国一等奖(保送西安交通大学,现在西安交通大学 读研) ,4?名全国三等奖,这份成绩开创了济宁市一等奖的先例;2009?年由于忙于高三的班 主任工作,没有进行辅导工作,我校成绩是两个三等奖;? 2010?年,卷土重来,经过一年的 精心准备与同学们的辛勤努力, 我校杨若涛同学以?217?分的总成绩获得了山东省和第一名并 入选全国高中数学竞赛的冬令营 (现就读于中国科技 大学华罗庚班) 张浩同学获以山东省 , 第?21?名的成绩获得了保送资格(后来高考加?20?分,现就读于中南大学) 。2011 年,由于高 三工作繁忙,我放弃了竞赛辅导工作,全心全意地准备高考,在当年的竞赛考试中,我校只 有一名三等奖的同学;2012?年(现高三)的辅导工作进行得十分辛苦,坚持到最后的?6?名 同学中,有?5?名获得了全国奖项,袁洪霖获得全国一等奖具备保送资格或高考加?20?分;杨 本、朱瑞桐、李杨获全国二等奖,贾梦获全国三等奖,具有高校自主招生资格.?

三.数学竞赛的内容与方法
数学竞赛的开展导致了数学竞赛的产生,经过? 40? 余年的发展,数学竞赛正相对稳定在 几个重点内容上,总体来说,可以归纳为四大支柱、三大热点.? 四大支柱:代数、几何、初等数论、组合初步 三大热点:组合几何、组合数论、集合分拆

四.数学竞赛的特征
1?

济宁一中 2011 级竞赛与自主招生辅导

主讲老师: 贾广素?

例?1.某班有?49?名学生,坐成?7?行?7 列,每个座位的前、后、左、右的座位叫做它的“邻座”.? 要让这?49?名同学都换到他(她)的邻座上去,问这种调换位置的方案是否存在? 分析:从表面上看,大多数同学都有?4?种选择,至少也有?2?至?3 种选择,机会很多,换位是 有希望的.事实上却是不可能的,我们只需分三点进行说明: 第一步:给这?49?名同学编上号,则每一个人的位置调换都是奇号位与偶号位的互换; 第二步:如果这种位置调换是可能的,就应是奇号位与偶号位一样多,从而位置总数应该为 偶数; 第三步:而?49 是奇数,并且奇数与偶数不相等,因而这种调换是不可能的.? 例?2.? 如图所示, 8 ? 8 的国际象棋棋盘的左上角和右下角都 将 剪去一个方格,问剪去两角的棋盘能否用?31?个1 ? 2 的矩形完 全覆盖? 解析:首先我们注意到任何一个 1 ? 2 的矩形,不论用什么样 的覆盖方法,它必覆盖棋盘的一个黑格和一个白格。? 31?个1 ? 2 的矩形必定能覆盖?31?个白格与?31 个黑格。 但剪过后, 棋盘还剩余了?32?个黑格与?30?个白格。 这一矛盾说 明不能用?31 个1 ? 2 的矩形完全覆盖。 例?3.? 证明 :从世界上任意选?6?个人,其中一定有?3 个人互相认识或者都不认识。 解析:在纸上取?6?个点?A、B、C、D、E、F?来代表?6?个人。如果两个人认识就用红线把 代表他们的点连接起来,如果两个人互相不认识就用蓝线(图中的虚线)把代表两人的点连 接起来,每两点之间都有一条红线或者蓝线连结着,这些点和线组成了若干个三角形。问题 就转化了,如果有三个人互相认识(或不认识),那么以代表这三个人的三个点为顶点的三 角形的三条边全是红色(或蓝色)的。

考虑从?A?点出发的五条线。由于它们不是红色的就是蓝色的,由抽屉原理知,至少有 三条边的颜色是相同的,不妨设为?AB、AC?及?AD?为红色的。 下面考虑点?B、C、D?之间的连线。如果三条连线中至少有一条是红色的,假如?BC 是 红色的,那么△ABC?的三条边全是红色的,说明?A、B、C?三点代表的三个人互相认识;如 果三条连线全是蓝色的,则△BCD?的三条边都是蓝色的,说明?B、C、D?三点代表的三个人 互相不认识。 命题得证。

四.竞赛学习的策略
2?

济宁一中 2011 级竞赛与自主招生辅导

主讲老师: 贾广素?

数学竞赛的学习经常要历经四个阶段:

五.几道竞赛与自主招生试题选讲
2 )? 例?1.? 已知 2012? +?2010?? 2011? 2013?? 2014?= k?2?(k? > 0? ,则 k? =? ?

.?

(2012 年广东省预赛) 解:? n 2 + (n - 2)(n - 1)(n + 1)(n + 2) = n 2 + (n 2 - 4)(n 2? - 1)?

3?

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主讲老师: 贾广素?

= n 2 + (n 4 - 5n 2 + 4) = (n 2 - 2)2?.?答案:? 2012?2 - 2?(或 4048142 )
2? (?x > 0?)的图像上任意一点,过点 P?分别向 x uuu uuu r r 直线?y = x 和?y?轴作垂线,垂足分别为?A,?B ,则 PA × PB 的值是 .
例2.? 设 P?是函数?y = x?+ (2012年全国高中数学联赛) 解:设?P ( x0 , x? + 0?

2? 2? 2? ),?则直线 PA 的方程为?y - ( x0 + ) = - ( x - x? ),?即?y = - x + 2 x? + .? 0? 0? x0? x0? x0?

ì y = x? 1 1? ? 由?í 2? ? A( x0 + , x? + ).? 0? x0 x? 0? 0? ? y = - x + 2?x? + x ? 0? uuu r r uuu uuu 1? r r 2? 1 1? uuu 又?B (0, x? + ),?所以?PA = ( , - ), PB = ( - x? , 0).?故?PA × PB = × (- x? ) = -1.? 0? 0? 0? x0? x0 x0? x0? 3? 例3.? 设?DABC 的内角?A, B,?C?的对边分别为?a, b,?c ,且满足?a cos B - b cos?A = c , 5? tan?A? 则? 的值是 . tan?B?
(2012年全国高中数学联赛)

c 2 + a 2 - b2 b 2 + c 2? - a? 3? 3? 解 : 由 题 设 及 余 弦 定 理 得? a × -b× = c? , 即? a 2 - b2 = c 2? 故? 2ca 2bc 5? 5?
2? a 2 + c 2 - b? 2? tan A sin A cos?B c 2 + a 2 - b? 2 ac? = = = 2 = 2? b 2 + c 2 - a?2? b + c 2 - a? tan B sin B cos?A b?× 2? bc



8? 2? c? 5? = 4?. 2? 2? c? 5?

例 4. 将?25 个数排成五行五列:?

a11 a21 a31 a41 a51
( 1?

a12 a22 a32 a42 a52

a13 a23 a33 a43 a53

a14 a24 a34 a44 a54

a? 15? a? 25? a? 35? a? 45? a? 55?

已知第一行?a? ,?a? ,?a? ,?a? ,?a? 成等差数列,而每一列?a? j? ,?a? ,?a? j? ,?a? ,?a? j? 11? 12? 13? 14? 15? 1 2?j? 3 4?j? 5

j ? 5?)都成等比数列,且五个公比全相等.? 若?a24? =?4?,?a41? = -? ,?a43? =?10?,则? 2? a11 ? a55?的值为______.?
(2012?年广东省预赛) 答案:?-11 解:可知每一行上的数都成等差数列,但这五个等差数列的公差不一定相等.? 由?a41? = -? ,?a43? = 10?知?a42? = 2?

10 + (-2)? = 4?且公差为?6,故?a44? =?16?,?a45? =?22?. 2?
4?

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主讲老师: 贾广素?

由?a24? =?4?,?a44? = 16?知公比?q? =?±2 .

-2 1? = -? ,?a55? = 22 ? 2 = 4 ? 11? a11 ? a55? = -11? ,故? ; 3? s 4? -2 1? 若?q? =?-2 ,则?a? = 3? =? ,?a55? = 22 ? ( -2) = 4 ? ( -11)?,故?a11 ? a55? = -? .? 11? 11? s 4?
若?q? =?2 ,则?a? = 11? 例5.? 设? f ( x? 是定义在 R?上的奇函数, )? 且当?x ? 0?时,? ( x)?= x . f 若对任意的?x ? [ a, a + 2]?, 不等式? f ( x + a ) ? 2 f ( x )?恒成立,则实数 a 的取值范围是 . (2012年全国高中数学联赛)
2

ì x 2?( x?? 0)? ? 解:由题设知? f ( x? = í 2? )? ,则 2 f ( x) = f ( 2 x ).?因此,原不等式等价于? ?- x ( x < 0)? ?
f ( x + a ) ? f ( 2 x ).?
因为? f ( x? 在 R?上是增函数,所以?x + a ? )?

2 x,?即?a ? ( 2 - 1) x.?又?x ? [a, a + 2],?所以当?

x = a + 2?时, ( 2 - 1)x 取得最大值 ( 2 - 1)( a + 2).?因此,?a ? ( 2 - 1)( a + 2),?解得?

a ? 2.?故 a 的取值范围是 [ 2, +?). 1 3 1? 例6.? 已知函数? f ( x) = a sin x - cos 2 x + a - + , a ? R, a?? 0? 2 a 2? (1)若对任意 x ? R ,都有? f ( x) ? 0?,求 a 的取值范围; (2)若?a ? 2?,且存在 x ? R ,使得? f ( x) ? 0?,求 a 的取值范围.
(2012年全国高中数学联赛)

3? 3? .?令?t = sin x (-1 ? t ? 1),?则?g (t )?= t 2? + at + a?a a 3? ì ? g?(-1) = 1 - a? ? 0? ? 对任意 x ? R ,? f ( x) ? 0?恒成立的充要条件是?í ? a?? (0,1]? ? g (1) = 1 + 2a?- 3? ? 0? ? a ? a 3? (2)因为?a ? 2,?所以?- ? -1.?所以?g (t ) min? = g?( -1) = 1?2? a 3? 3? 因此? f ( x? min? = 1 - .?于是,存在 x ? R ,使得? f ( x) ? 0?的充要条件是? - ? 0 ? 0 < a?? 3.? ) 1 a a 故 a 的取值范围是 [2,3].?
解:(1)? f ( x) = sin 2? x + a sin x + a?例7.? 已知数列 {a? }?的各项均为非零实数,且对于任意的正整数 n ,都有? n?
2 3 3? ( a1 + a2 + L + an )? = a13 + a2? + L + an?

(1)当?n = 3?时,求所有满足条件的三项组成的数列?a1 , a2 ,?a? ; 3? (2)是否存在满足条件的无穷数列 {a? }?,使得?a2013? = -2012??若存在, n? 求出这样的无穷数列的一个通项公式;若不存在,说明理由. (2012年全国高中数学联赛)
3? 解:(1)当?n = 1?时,? a12 = a1? ,由?a1? ? 0?得?a1? = 1?. 3? 当?n = 2?时,?(1 + a2 ) 2 = 1?+ a2? ,由?a2? ? 0?得?a2? = 2?或?a2? = -1?

当?n = 3?时,?(1 + a2 + a3 ) = 1 + a2 + a3?.?若?a2? = 2?得?a3? = 3?或?a3? = -2?;若?a2? = -1? a3? = 1?; 得? 综上,满足条件的三项数列有三个:1,2,3或1,2,-2或1,-1

2

3

3?

5?

济宁一中 2011 级竞赛与自主招生辅导
2 3 3 3? (2)令?S n = a1 + a2? + L + an?,?则?S n = a1 + a2? + L + an?( n ? N * )?从而? 3 3 3? ( S n + an +1 ) 2 = a13 + a2 + L + an + an?+1?.? 2? 两式相减,结合?an?+1? ? 0?得?2? n = an +1 - an?+1?当?n = 1?时,由(1)知?a1? = 1?; S

主讲老师: 贾广素?

当?n ? 2?时,?2an = 2( S n - S n -1 ) = ( an +1 - an +1?) - ( an - an?),?即?( an +1 + an )( an +1? - an? - 1) = 0,? 所以?an +1? = - an? 或?an +1? = an? + 1?又?a1 = 1, a2013? = -2012,? 所以?a? = í n?

2

2?

ì n (1 ? n?? 2012)?
n? ? 2012 × (-1) ( n ? 2013)?

例?8.? 设椭圆?

x 2 y?2? + 2? =1?(a >b? 的左、右顶点分别为?A,?B ,点 P?在椭圆上且异于?A,?B 两 >0)? a 2 b?
3?.

点, O 为坐标原点. 若 |AP|=|OA? ,证明:直线 OP?的斜率 k?满足 | k |> |?

(2012?年广东省预赛) 解法一:设?P ( a cos q , b sin q )(0 ? q <?2p )? , A( -? , 0)?.? a 由 | AP |=| OA |?,有? ( a cos q + a ) + (b sin q )? = a , 即?a 2 cos 2 q + 2a 2 cos q + b 2 sin 2?q =?0?.? 从而? í
2 2?

ì -1 < cos q < 0,?
2 2 2 2 2 2 2? ? - a cos q - 2 a cos q = b sin q < a sin q .?

所以,?-

2 b? sin 2?q 2? 1? < cos q < 0?,且? 2 = -1 >?3?.? 2? 2 a cos q cos?q

所以,?| k?|=

b?sin q 2? = -1 > 3.? a cos q cos?q

解法二:设?P ( a cos q , b sin q )(0 ? q <?2p )?.? 则线段 OP?的中点?Q ( cos q , sin q?)?.?

a 2

b? 2?

|AP|=|OA? ? AQ ^ OP ? k AQ? ? k = -? .? |? 1? k AQ = b?sin?q ? b sin q - ak AQ cos q = 2? AQ? .? ak? 2 a +?a cos?q

2? 2? 2? ? 2? AQ? ? (? 2? + b?2?k?AQ?)?× (sin?2? q? + cos?2?q )? = b?2? + a?2?k?AQ? < a?2? + a?2?k?AQ? ak b?

?| k AQ? |<

1? ?| k |>? 3?. 3?

6?


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