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2015-2016学年甘肃省兰州一中高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)

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2015-2016 学年甘肃省兰州一中高二(下)期末数学试卷(理科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.回归分析中,相关指数 R2 的值越大,说明残差平方和( ) A.越小 B.越大 C.可能大也可能小 D.以上都不对 2.如图,用 K、A1、A2 三类不同的元件连接成一个系统.当

K 正常工作且 A1、A2 至少有 一个正常工作时,系统正常工作,已知 K、A1、A2 正常工作的概率依次是 0.9、0.8、0.8, 则系统正常工作的概率为( )

A.0.960B.0.864 C.0.720 D.0.576 3.已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布 N(0,32) ,从中随机抽取一件, 其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( ) 2 N (附:若随机变量 ξ 服从正态分布 (μ,? ) ,则 P(μ﹣?<ξ<μ+?)=68.26%,P(μ﹣2? <ξ<μ+2?)=95.44%) A.4.56% B.13.59% C.27.18% D.31.74% 4.在极坐标系中,曲线 A.直线 θ= C.点 对称 B.直线 θ= 对称 关于( )

对称 D.极点对称

5.若直线 y=kx+1 与圆 x2+y2+kx+my﹣4=0 交于 M,N 两点,且 M,N 关于直线 x+2y=0 对 称,则实数 k+m=( ) A.﹣1 B.1 C.0 D.2 6.设(5x﹣ )n 的展开式的各项系数之和为 M,二项式系数之和为 N,若 M﹣N=56,

则展开式中常数项为( ) A.5 B.15 C.10 D.20 7.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sm﹣1=﹣2,Sm=0,Sm+1=3,则 m=( A.3 B.4 C.5 D.6 8. 函数 则 a 的最小值为( A.π B. C. ) D.



的图象沿 x 轴向右平移 a 个单位 (a>0) , 所得图象关于 y 轴对称,

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9.已知

,若 P 点是△ABC 所在平面内一点,且

,则

的最大值等于(



A.13 B.15 C.19 D.21 10.两球 O1 和 O2 在棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的内部,且互相外切,若球 O1 与过点 A 的正方体的三个面相切,球 O2 与过点 C1 的正方体的三个面相切,则球 O1 和 O2 的表面积之和的最小值为( ) A.3(2﹣ )π B.4(2﹣ )π C.3(2+ )π D.4(2+ )π 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11. 0.4) = 已知随机变量 2ξ+η=8, 若 ξ~B (10, , 则E (η) 12. (选做题)在极坐标系中,曲线 C1:ρ=2cosθ,曲线 C2:

D , (η)



,若曲线 C1 与曲线 C2

交于 A、B 两点则 AB= . 13.某种电路开关闭合后,会出现红灯或绿灯闪烁,已知开关第一次闭合后出现红灯闪烁的 概率是 ,两次闭合后都出现红灯闪烁的概率为 ,则在第一次闭合后出现红灯闪烁的条件 下,第二次出现红灯闪烁的概率是 . + + +…+

14.若(1﹣2x)2016=a0+a1x+a2x2+…+a2016x2016(x∈R) ,则

= . 15.只用 1,2,3 三个数字组成一个四位数,规定这三个数必须同时使用,且同一数字不能 相邻出现,这样的四位数共有 个.

三、解答题(本大题共 4 小题,每小题 10 分,共 40 分.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤) 16.4 月 23 人是“世界读书日”,某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动,为了解本 校学生课外阅读情况, 学校随机抽取了 100 名学生对其课外阅读时间进行调查, 下面是根据 调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位:分钟)的频率分布直方图,若将日均课外阅 读时间不低于 60 分钟的学生称为“读书谜”,低于 60 分钟的学生称为“非读书谜”

(1)根据已知条件完成下面 2×2 的列联表,并据此判断是否有 99%的把握认为“读书谜” 与性别有关? 非读书迷 读书迷 合计
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15 男 45 女 合计 (2)将频率视为概率,现在从该校大量学生中,用随机抽样的方法每次抽取 1 人,共抽取 3 次,记被抽取的 3 人中的“读书谜”的人数为 X,若每次抽取的结果是相互独立的,求 X 的 分布列,期望 E(X)和方程 D(X) 附:K2= n=a+b+c+d

P(K2≥k0) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 17.计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站,过去 50 年的水文资料显示,水库 年入流量 X(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和.单位:亿立方米)都在 40 以上, 其中,不足 80 的年份有 10 年,不低于 80 且不超过 120 的年份有 35 年,超过 120 的年份有 5 年,将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,假设各年的年入流量相互独立. (Ⅰ)求未来 4 年中,至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率; (Ⅱ)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量 X 限制,并有如下关系: 年入流量 X 40<X<80 80≤X≤120 X>120 2 3 发电机最多可运行台数 1 若某台发电机运行,则该台年利润为 5000 万元,若某台发电机未运行,则该台年亏损 800 万元,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台? 18.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x(单位:千元)对年 销售量 y(单位:t)和年利润 z(单位:千元)的影响,对近 8 年的年宣传费 xi 和年销售量 yi(i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到如图的散点图及一些统计量的值.

46. 6

56 3

6. 8 i,

289.8

1.6

1 469

108.8

表中 wi=

=

wi.

(1) 根据散点图判断,y=a+bx 与 y=c+d 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回 归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由) (2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程; (3)已知这种产品的年利润 z 与 x,y 的关系为 z=0.2y﹣x.根据(2)的结果回答下列问题: ①年宣传费 x=49 时,年销售量及年利润的预报值是多少? ②年宣传费 x 为何值时,年利润的预报值最大?

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附:对于一组数据(u1,v1) , (u2,v2) ,…, (un,vn) ,其回归直线 v=α+βu 的斜率和截距

的最小二乘估计分别为:



19.已知函数 f(x)=x(a+lnx)的图象在点(e,f(e) ) (e 为自然对数的底数)处的切线 的斜率为 3. (Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)若 k 为整数时,k(x﹣1)<f(x)对任意 x>1 恒成立,求 k 的最大值.

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2015-2016 学年甘肃省兰州一中高二(下)期末数学试卷 (理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.回归分析中,相关指数 R2 的值越大,说明残差平方和( ) A.越小 B.越大 C.可能大也可能小 D.以上都不对 【考点】相关系数. 【分析】 根据回归分析的公式和性质, 可以用来衡量模拟效果好坏的几个量分别是相关指数, 残差平方和和相关系数,只有残差平方和越小越好,其他的都是越大越好. 【解答】解:用系数 R2 的值判断模型的拟合效果,R2 越大,模型的拟合效果越好,而用 相关系数 r 的值判断模型的拟合效果时,|r|越大,模型的拟合效果越好, 由此可知相关指数 R2 的值越大,说明残差平方和越小. 故选 A 2.如图,用 K、A1、A2 三类不同的元件连接成一个系统.当 K 正常工作且 A1、A2 至少有 一个正常工作时,系统正常工作,已知 K、A1、A2 正常工作的概率依次是 0.9、0.8、0.8, 则系统正常工作的概率为( )

A.0.960B.0.864 C.0.720 D.0.576 【考点】相互独立事件的概率乘法公式. 【分析】首先记 K、A1、A2 正常工作分别为事件 A、B、C,易得当 K 正常工作与 A1、A2 至少有一个正常工作为相互独立事件,而“A1、A2 至少有一个正常工作”与“A1、A2 都不正常 工作”为对立事件,易得 A1、A2 至少有一个正常工作的概率;由相互独立事件的概率公式, 计算可得答案. 【解答】解:根据题意,记 K、A1、A2 正常工作分别为事件 A、B、C; 则 P(A)=0.9; A1、A2 至少有一个正常工作的概率为 1﹣P( )P( )=1﹣0.2×0.2=0.96; 则系统正常工作的概率为 0.9×0.96=0.864; 故选 B. 3.已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布 N(0,32) ,从中随机抽取一件, 其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( ) 2 (附:若随机变量 ξ 服从正态分布 N(μ,? ) ,则 P(μ﹣?<ξ<μ+?)=68.26%,P(μ﹣2? <ξ<μ+2?)=95.44%)
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A.4.56%

B.13.59%

C.27.18%

D.31.74%

【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 【分析】由题意 P(﹣3<ξ<3)=68.26%,P(﹣6<ξ<6)=95.44%,可得 P(3<ξ<6)= (95.44%﹣68.26%) ,即可得出结论. 【解答】解:由题意 P(﹣3<ξ<3)=68.26%,P(﹣6<ξ<6)=95.44%, 所以 P(3<ξ<6)= (95.44%﹣68.26%)=13.59%. 故选:B.

4.在极坐标系中,曲线 A.直线 θ= C.点 对称 B.直线 θ= 对称

关于(



对称 D.极点对称

【考点】简单曲线的极坐标方程. 【分析】化极坐标方程为普通方程,求出圆的圆心的极坐标,即可得到象限. 【解答】解:曲线 可得 ρ2=2ρsinθ﹣2 圆的圆心坐标( ,可得 ρcosθ,它的普通方程为:x2+y2=2y﹣2 ,1) , , 关于直线 θ= 对称. . =2sinθ﹣2 cosθ,

经过圆的圆心与原点的直线的倾斜角为: 在极坐标系中,曲线 故选:B.

5.若直线 y=kx+1 与圆 x2+y2+kx+my﹣4=0 交于 M,N 两点,且 M,N 关于直线 x+2y=0 对 称,则实数 k+m=( ) A.﹣1 B.1 C.0 D.2 【考点】直线和圆的方程的应用. 【分析】由题意,得直线 x+2y=0 是线段 MN 的中垂线,利用垂直直线的斜率关系算出 k=2, 得出圆方程为 x2+y2+2x+my﹣4=0,将圆心坐标代入 x+2y=0,解得 m=﹣1,可得本题答案. 【解答】解:由题意,可得 ∵直线 y=kx+1 与圆 x2+y2+kx+my﹣4=0 交于 M,N 两点,且 M,N 关于直线 x+2y=0 对称, ∴直线 x+2y=0 是线段 MN 的中垂线,得 k?(﹣ )=﹣1,解之得 k=2, 所以圆方程为 x2+y2+2x+my﹣4=0,圆心坐标为 将 故选:B 代入 x+2y=0,解得 m=﹣1,得 k+m=1. ,

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6.设(5x﹣

)n 的展开式的各项系数之和为 M,二项式系数之和为 N,若 M﹣N=56, ) D.20

则展开式中常数项为( A.5 B.15 C.10

【考点】二项式系数的性质. 【分析】 通过给二项式中的 x 赋值 1 求出展开式的各项系数和; 利用二项式系数和公式求出 二项式系数和,代入 M﹣N=56 求出 n;利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的通项, 令 x 的指数为 0,求出常数项. 【解答】解:令二项式中的 x 为 1 得到展开式的各项系数和为 M=4n, 二项式系数和为 N=2n, 由 M﹣N=56,得 n=3, ∴

其展开式的通项为

令 3﹣

=0 得 r=2 代入通项

解得常数项为 15. 故选 B. 7.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sm﹣1=﹣2,Sm=0,Sm+1=3,则 m=( A.3 B.4 C.5 D.6 【考点】等差数列的性质;等差数列的前 n 项和. )

【分析】由 an 与 Sn 的关系可求得 am+1 与 am,进而得到公差 d,由前 n 项和公式及 Sm=0 可 求得 a1,再由通项公式及 am=2 可得 m 值. 【解答】解:am=Sm﹣Sm﹣1=2,am+1=Sm+1﹣Sm=3, 所以公差 d=am+1﹣am=1, Sm= =0,得 a1=﹣2,

所以 am=﹣2+(m﹣1)?1=2,解得 m=5, 故选 C.

8. 函数 则 a 的最小值为( A.π B. C. )

的图象沿 x 轴向右平移 a 个单位 (a>0) , 所得图象关于 y 轴对称,

D.

【考点】二倍角的余弦;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【分析】先利用二倍角公式,诱导公式,化简函数,再利用图象关于 y 轴对称,即可求 a 的最小值.

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【解答】解:函数 单位(a>0) , 可得 y= ∵图象关于 y 轴对称, ∴ ∴sin2xcos2a=0 ∴2a= ∵a>0 ∴a 的最小值为 故选 D. . kπ(k∈Z) ,

=

= ﹣

,沿 x 轴向右平移 a 个

9.已知

,若 P 点是△ABC 所在平面内一点,且

,则 A.13 B.15 C.19

的最大值等于( D.21



【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】建系,由向量式的几何意义易得 P 的坐标,可化 =17﹣( +4t) ,由基本不等式可得. 【解答】解:由题意建立如图所示的坐标系, 可得 A(0,0) ,B( ,0) ,C(0,t) , =﹣( ﹣1)﹣4(t﹣4)



,∴P(1,4) ,

∴ ∴

=( ﹣1,﹣4) ,

=(﹣1,t﹣4) ,

=﹣( ﹣1)﹣4(t﹣4)=17﹣( +4t) , =4,

由基本不等式可得 +4t≥2 ∴17﹣( +4t)≤17﹣4=13, 当且仅当 =4t 即 t= 时取等号,

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∴ 的最大值为 13, 故选:A.

10.两球 O1 和 O2 在棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的内部,且互相外切,若球 O1 与过点 A 的正方体的三个面相切,球 O2 与过点 C1 的正方体的三个面相切,则球 O1 和 O2 的表面积之和的最小值为( ) A.3(2﹣ )π B.4(2﹣ )π C.3(2+ )π D.4(2+ )π 【考点】球内接多面体. 【分析】设出球 O1 与球 O2 的半径,求出面积之和,利用相切关系得到半径与正方体的对 角线的关系,通过基本不等式,从而得出面积的最小值. 【解答】解:∵AO1= R1,C1O2= R2,O1O2=R1+R2, ∴( +1) (R1+R2)= , R1+R2= ,球 O1 和 O2 的表面积之和为 4π(R12+R22)≥4π?2( )π. )2

=2π(R1+R2)2=3(2﹣ 故选:A.

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11.已知随机变量 2ξ+η=8,若 ξ~B(10,0.4) ,则 E(η)= 0 ,D(η) 9.6 . 【考点】二项分布与 n 次独立重复试验的模型. 0.4) 【分析】 根据变量 ξ~B (10, 可以根据公式做出这组变量的均值与方差, 随机变量 2ξ+η=8, 知道变量 η 也符合二项分布,故可得结论. 【解答】解:∵ξ~B(10,0.4) ,∴Eξ=10×0.4=4,Dξ=10×0.4×0.6=2.4, ∵2ξ+η=8, ∴Eη=E(8﹣2ξ)=8﹣8=0,Dη=D(8﹣2ξ)=4×2.4=9.6, 故答案为:0; 9.6.

12. (选做题)在极坐标系中,曲线 C1:ρ=2cosθ,曲线 C2: 交于 A、B 两点则 AB= . 【考点】简单曲线的极坐标方程.

,若曲线 C1 与曲线 C2

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【分析】分别将曲线 C1 与曲线 C2 的极坐标方程化成普通方程,得到曲线 C1 是以(1,0) 为圆心、半径为 1 的圆,而曲线 C2 是经过原点的直线 y=x.由直线与圆相交,利用点到直 线的距离公式并结合垂径定理,可以算出 AB 的长. 【解答】解:对于曲线 C1:ρ=2cosθ,两边都乘以 ρ 得:ρ2=2ρcosθ, ∵ρ2=x2+y2,且 ρcosθ=x ∴曲线 C 的普通方程是 x2+y2﹣2x=0,表示以(1,0)为圆心、半径为 1 的圆; 对于曲线 C2: ,可得它是经过原点且倾斜角为 的直线,

∴曲线 C2 的普通方程为 y=x,即 x﹣y=0 因此点(1,0)到直线 x﹣y=0 的距离为:d= = (舍负)

设 AB 长为 m,则有( m)2+d2=r2,即 m2+ =1,解之得 m= 故答案为:

13.某种电路开关闭合后,会出现红灯或绿灯闪烁,已知开关第一次闭合后出现红灯闪烁的 概率是 ,两次闭合后都出现红灯闪烁的概率为 ,则在第一次闭合后出现红灯闪烁的条件 下,第二次出现红灯闪烁的概率是 .

【考点】古典概型及其概率计算公式. 【分析】设事件 A 表示开关第一次闭合后出现红灯闪烁,B 表示开关第二次闭合后出现红 灯闪烁,则 P(A)= ,P(AB)= ,由此能求出在第一次闭合后出现红灯闪烁的条件下, 第二次出现红灯闪烁的概率. 【解答】解:设事件 A 表示开关第一次闭合后出现红灯闪烁, B 表示开关第二次闭合后出现红灯闪烁, 则 P(A)= ,P(AB)= , ∴在第一次闭合后出现红灯闪烁的条件下,第二次出现红灯闪烁的概率是:

P(B|A)=

=

= .

故答案为: .

2016 14. =a0+a1x+a2x2+…+a2016x2016 若 (1﹣2x) (x∈R) , 则

+

+

+…+

= ﹣1 .

【考点】二项式定理的应用.

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【分析】在所给的等式中,令 x=0,可得 a0=1;再令 x= ,可得 a0+ =0,从而求得要求式子的值. 【解答】解:在(1﹣2x)2016=a0+a1x+a2x2+…+a2016x2016(x∈R)中, 令 x=0,可得 a0=1, 令 x= ,可得 a0+ 故答案为:﹣1. + + +…+ =0,故, + + +… +

+

+

+…+

=﹣1,

15.只用 1,2,3 三个数字组成一个四位数,规定这三个数必须同时使用,且同一数字不能 相邻出现,这样的四位数共有 18 个. 【考点】排列、组合及简单计数问题. 【分析】本题需要分步计数,由题意知 1,2,3 中必有某一个数字重复使用 2 次.首先确定 谁被使用 2 次, 再把这 2 个相等的数放在四位数不相邻的两个位置上, 最后将余下的 2 个数 放在四位数余下的 2 个位置上,相乘得结果. 【解答】解:由题意知,本题需要分步计数 1,2,3 中必有某一个数字重复使用 2 次. 第一步确定谁被使用 2 次,有 3 种方法; 第二步把这 2 个相等的数放在四位数不相邻的两个位置上,也有 3 种方法; 第三步将余下的 2 个数放在四位数余下的 2 个位置上,有 2 种方法. 故共可组成 3×3×2=18 个不同的四位数. 故答案为:18 三、解答题(本大题共 4 小题,每小题 10 分,共 40 分.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤) 16.4 月 23 人是“世界读书日”,某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动,为了解本 校学生课外阅读情况, 学校随机抽取了 100 名学生对其课外阅读时间进行调查, 下面是根据 调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位:分钟)的频率分布直方图,若将日均课外阅 读时间不低于 60 分钟的学生称为“读书谜”,低于 60 分钟的学生称为“非读书谜”

(1)根据已知条件完成下面 2×2 的列联表,并据此判断是否有 99%的把握认为“读书谜” 与性别有关? 非读书迷 读书迷 合计 15 男 45 女
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合计 (2)将频率视为概率,现在从该校大量学生中,用随机抽样的方法每次抽取 1 人,共抽取 3 次,记被抽取的 3 人中的“读书谜”的人数为 X,若每次抽取的结果是相互独立的,求 X 的 分布列,期望 E(X)和方程 D(X) 附:K2= n=a+b+c+d

P(K2≥k0) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【考点】离散型随机变量的期望与方差;独立性检验. 【分析】 (1)利用频率分布直方图,直接计算填写表格,然后利用个数求解 K2,判断即可. (2)求出概率的分布列,然后利用超几何分布求解期望与方差即可. 【解答】解: (1)完成下面的 2×2 列联表如下 非读书迷 读书迷 合计 40 15 55 男 20 25 45 女 60 40 100 合计 … ≈8.249 VB8.249>6.635,故有 99%的把握认为“读书迷”与性别有关… (2)视频率为概率.则从该校学生中任意抽取 1 名学生恰为读书迷的概率为 .由题意可 知 X~B(3, ) ,P(x=i)= 从而分布列为 X 0 P .… E(x)=np= ,D(x)=np(1﹣p)= … (i=0,1,2,3)…

1

2

3

17.计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站,过去 50 年的水文资料显示,水库 年入流量 X(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和.单位:亿立方米)都在 40 以上, 其中,不足 80 的年份有 10 年,不低于 80 且不超过 120 的年份有 35 年,超过 120 的年份有 5 年,将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,假设各年的年入流量相互独立. (Ⅰ)求未来 4 年中,至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率; (Ⅱ)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量 X 限制,并有如下关系: 年入流量 X 发电机最多可运行台数 40<X<80 1 80≤X≤120 2 X>120 3

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若某台发电机运行,则该台年利润为 5000 万元,若某台发电机未运行,则该台年亏损 800 万元,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台? 【考点】离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 【分析】 (Ⅰ)先求出年入流量 X 的概率,根据二项分布,求出未来 4 年中,至少有 1 年的 年入流量超过 120 的概率; (Ⅱ)分三种情况进行讨论,分别求出一台,两台,三台的数学期望,比较即可得到. p1=P = 【解答】 解: (Ⅰ) 依题意, (40<X<80) , 由二项分布,未来 4 年中,至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率为 = (Ⅱ)记水电站的总利润为 Y(单位,万元) (1)安装 1 台发电机的情形, E 由于水库年入流总量大于 40, 故一台发电机运行的概率为 1, 对应的年利润 Y=5000, (Y) =5000×1=5000, (2)安装 2 台发电机的情形, 依题意,当 40<X<80 时,一台发电机运行,此时 Y=5000﹣800=4200, 因此 P(Y=4200)=P(40<X<80)=p1= , , ,

当 X≥80 时,两台发电机运行,此时 Y=5000×2=10000,因此,P(Y=10000)=P(X≥80) =P2+P3=0.8, 由此得 Y 的分布列如下 Y 4200 10000 P 0.2 0.8 所以 E(Y)=4200×0.2+10000×0.8=8840. (3)安装 3 台发电机的情形, 依题意,当 40<X<80 时,一台发电机运行,此时 Y=5000﹣1600=3400, 因此 P(Y=3400)=P(40<X<80)=p1=0.2, 当 80≤X≤120 时,两台发电机运行,此时 Y=5000×2﹣800=9200,因此,P(Y=9200)=P (80≤X≤120)=p2=0.7, P =P 当 X>120 时, 三台发电机运行, 此时 Y=5000×3=15000, 因此, (Y=15000) (X>120) =p3=0.1, 由此得 Y 的分布列如下 Y 3400 9200 15000 P 0.2 0.7 0.1 所以 E(Y)=3400×0.2+9200×0.7+15000×0.1=8620. 综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机 2 台. 18.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x(单位:千元)对年 销售量 y(单位:t)和年利润 z(单位:千元)的影响,对近 8 年的年宣传费 xi 和年销售量 yi(i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到如图的散点图及一些统计量的值.

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46. 6

56 3

6. 8 i,

289.8

1.6

1 469

108.8

表中 wi=

=

wi.

(1) 根据散点图判断,y=a+bx 与 y=c+d 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回 归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由) (2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程; (3)已知这种产品的年利润 z 与 x,y 的关系为 z=0.2y﹣x.根据(2)的结果回答下列问题: ①年宣传费 x=49 时,年销售量及年利润的预报值是多少? ②年宣传费 x 为何值时,年利润的预报值最大? 附:对于一组数据(u1,v1) , (u2,v2) ,…, (un,vn) ,其回归直线 v=α+βu 的斜率和截距

的最小二乘估计分别为:



【考点】线性回归方程. 【分析】 (1)根据散点图,即可判断出, (2)先建立中间量 w= ,建立 y 关于 w 的线性回归方程,根据公式求出 w,问题得以解 决; (3)①年宣传费 x=49 时,代入到回归方程,计算即可, ②求出预报值得方程,根据函数的性质,即可求出. 【解答】解: (1)由散点图可以判断,y=c+d 适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归 方程类型. (2)令 w= ,先建立 y 关于 w 的线性回归方程. 由于 d= =68,c= ﹣d =100.6,

所以 y 关于 w 的线性回归方程为 y=100.6+68w, 因此 y 关于 w 的线性回归方程为 y=100.6+68 . (3)①由(2)知,当 x=49 时,
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=576.6, 年销量 y 的预报值 y=100.6+68? 年利润 z 的预报值 z=576.6×0.2﹣49=66.32. ②根据(2)的结果知,年利润 z 的预报值 z=0.2﹣x=﹣x+13.6 所以当 = =6.8,即 x=46.24 时,z 取得最大值.

+20.12.

故年宣传费为 46.24 千元时,年利润的预报值最大. 19.已知函数 f(x)=x(a+lnx)的图象在点(e,f(e) ) (e 为自然对数的底数)处的切线 的斜率为 3. (Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)若 k 为整数时,k(x﹣1)<f(x)对任意 x>1 恒成立,求 k 的最大值. 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】 (Ⅰ)求导数,利用函数 f(x)=ax+xlnx 的图象在点 x=e(e 为自然对数的底数) 处的切线斜率为 3,可得 f′(e)=3,从而可求实数 a 的值; (Ⅱ)构造 g(x)= = ,求导函数,令 h(x)=x﹣lnx﹣2(x>1) ,确定 h(x) =

=0 在(1,+∞)上存在唯一实根 x0,且满足 x0∈(3,4) ,进而可得 g(x)=

在(1,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,求出最小值,即可得解. 【解答】解: (Ⅰ)求导数可得 f′(x)=a+lnx+1, ∵函数 f(x)=ax+xlnx 的图象在点 x=e(e 为自然对数的底数)处的切线斜率为 3, ∴f′(e)=3,∴a+lne+1=3,∴a=1 (Ⅱ)k(x﹣1)<f(x)对任意 x>1 恒成立,∴k< 由(1)知,f(x)=x+xlnx, 令 g(x)= = ,则 g′(x)= ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 对任意 x>1 恒成立,

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 令 h(x)=x﹣lnx﹣2(x>1) ,则 h′(x)= >0,

所以函数 h(x)在(1,+∞)上单调递增.… 因为 h(3)=1﹣ln3<0,h(4)=2﹣2ln2>0, 所以方程 h(x)=0 在(1,+∞)上存在唯一实根 x0,且满足 x0∈(3,4) . 当 1<x<x0 时,h(x)<0,即 g'(x)<0, 当 x>x0 时,h(x)>0,即 g'(x)>0,… 所以函数 g(x)= = 在(1,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增.

所以 g(x)min=g(x0)=x0. 因为 x0>3,所以 x>1 时,k<3 恒成立 故整数 k 的最大值是 3.…

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2016 年 8 月 25 日

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