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山东省烟台市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷(理科)


山东省烟台市 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷(理科)
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. (5 分)在一次篮球投篮比赛中,甲、乙两名球员各投篮一次,设命题 p:“甲球员投篮命 中”,q:“乙球员投篮命中”,则命题“至少有一名球员没有投中”可表示为() A.p∨q B.p∨(¬q) C.(¬p)∧(¬q) D.(¬p)∨(¬

q) 2. (5 分)下列说法正确的是() 2 A.命题“若 x =4,则 x=2”的否命题是真命题 B. 命题“若 a+ 是有理数,则 a 是无理数”的逆命题是真命题 2 2 C. 命题“若 x>a +b ,则 x>2ab”为假命题 D.命题“若 x=y,则 tanx=tany”的逆否命题是真命题 3. (5 分)命题“?x∈R,|x|+x ≥0”的否定是() 2 2 A.?x∈R,|x|+x <0 B. ?x∈R,|x|+x ≤0 2 2 C. ?x0∈R,|x0|+x0 <0 D.?x0∈R,|x0|+x0 ≥0 4. (5 分)已知 A、B、C 三点不共线,对平面 ABC 外的任一点 O,下列条件中能确定定点 M 与点 A、B、C 一定共面的是() A. C. B. D.
2

5. (5 分)若焦点在 y 轴上的双曲线的渐近线方程是 y=±2x,则该双曲线的离心率是() A. B.
b

C.

D.

6. (5 分)已知 a>0 且 a≠1,则 a >1 是(a﹣1)b>0 的() A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 7. (5 分)如图所示,已知空间四边形的每条边和对角线长都等于 a,点 E、F、G 分别为 AB、AD、DC 的中点,则 a 等于()
2

A.2

?

B. 2

?

C. 2

?

D.2

?

8. (5 分)在空间直角坐标系 O﹣xyz 中,已知 A(2,0,0) ,B(2,2,0) ,C(0,2,0) , D(1,1, ) ,若 S1,S2,S3 分别表示三棱锥 D﹣ABC 在 xOy,yOz,zOx 坐标平面上的 正投影图形的面积,则() A.S1=S2≠S3 B.S2=S3≠S1 C.S1=S3≠S2 D.S1=S2=S3

9. (5 分)设 F1,F2 分别是双曲线 x ﹣ 线的一个交点,则|PF1|+|PF2|=() A.3 B. 6

2

的左、右两个焦点,若 P 为圆 x +y =9 与双曲

2

2

C.

D.

10. (5 分) 如图所示, 四边形 ABCD、 ABEF 都是矩形, 它们所在的平面互相垂直, AD=AF=1, AB=2,点 M、N 分别在它们的对角线 AC、BF 上,且 CM=BN=a(0<a< ) ,当 MN 的 长最小时,a 的值为()

A.

B.

C.

D.

二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分) 2 11. (5 分)若点 P 是抛物线 y =4x 上一点,A(5,3) ,F 为抛物线的焦点,则|PA|+|PF|的最 小值为.

12. (5 分)若 =(2x,1,3) , =(1,﹣2y,9) ,且 ∥ ,则 6x+2y 的值是.
2 2

13. (5 分)已知命题 p:实数 m 满足 m +6a <5am(a>0) ,命题 q:实数 m 满足方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆,若 p 是 q 的充分不必要条件,则实数 a 的取值范 围为.

14. (5 分)已知(4,2)是直线 l 被椭圆

+

=1 所截得的线段的中点,则 l 的方程是.

15. (5 分)在平面直角坐标系中,动点 P(x,y)到两条坐标轴的距离之和等于它到点(1, 1)的距离,记点 P 的轨迹为曲线 W,给出下列四个结论: ①曲线 W 关于原点对称; ②曲线 W 关于直线 y=x 对称; ③曲线 W 与 x 轴非负半轴,y 轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于 ; ④曲线 W 上的点到原点距离的最小值为 2﹣ 其中,所有正确结论的序号是.

三、解答题(共 6 小题,满分 75 分) 16. (12 分)已知命题 p:指数函数 f(x)=(
2

) 在 R 上单调递减,命题 q:二次函

x

数 g(x)=x ﹣2ax+a+2 在有且只有一个零点;若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求实数 a 的取 值范围. 17. (12 分)已知△ ABC 的两个顶点 A,B 的坐标分别是(﹣3,0) , (3,0) ,且 AC,BC 所在直线的斜率之积等于 k(k≠0) ,试探究顶点 C 的轨迹. 18. (12 分) 如图, 在四棱锥 S﹣ABCD 中, 底面 ABCD 是直角梯形, AD 垂直于 AB 和 CD, 侧棱 SD⊥底面 ABCD,且 SD=AD=AB=2CD,点 E 为棱 SD 的中点. (1)求异面直线 AE 和 SB 所成角的余弦值; (2)求直线 AE 和平面 SBC 所成角的正弦值; (3)求面 SAD 和面 SBC 所成二面角的余弦值.

19. (12 分)已知在平面直角坐标系 xoy 中,点 P(x,y) ,Q(x,﹣2) ,且以线段 PQ 为 直径的圆经过原点 O. (1)求动点 P 的轨迹 C; (2)过点 M(0,﹣2)的直线 l 与轨迹 C 交于两点 A、B,点 A 关于 y 轴的对称点为 A′, 试问直线 A′B 是否恒过一定点,若是,并求此定点;若不是,请说明理由. 20. (13 分)如图所示,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, AA1=2AB=2AC=2.∠A1AB=∠A1AC=∠BAC=60°,设 = , = , = .

(1)试用向量 , , 表示

,并求|

|;

(2)在平行四边形 BB1C1C 内是否存在一点 O,使得 A1O⊥平面 BB1C1C,若不存在,请 说明理由;若存在,试确定 O 点的位置.

21. (14 分)如图所示,椭圆长轴端点为点 A、B、O 为椭圆的中心,F 为椭圆的上焦点, 且 .

(1)求椭圆的标准方程; (2)若四边形 MPNQ 的四个顶点都在椭圆上,对角线 PQ,MN 互相垂直并且它们的交点 恰为点 F,求四边形 MPNQ 面积的最大值和最小值.

山东省烟台市 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷 (理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. (5 分)在一次篮球投篮比赛中,甲、乙两名球员各投篮一次,设命题 p:“甲球员投篮命 中”,q:“乙球员投篮命中”,则命题“至少有一名球员没有投中”可表示为() A.p∨q B.p∨(¬q) C.(¬p)∧(¬q) D.(¬p)∨(¬q)

考点: 概率的意义;互斥事件与对立事件. 专题: 概率与统计;简易逻辑. 分析: 根据简单命题与复合命题的关系,结合“至少有一名球员没有投中”,选出正确的答 案即可. 解答: 解:∵p 表示“甲球员投篮命中”,命题 q 表示“乙球员投篮命中”, ∴¬p 表示“甲球员投篮没有命中”,命题¬q 表示“乙球员投篮没有命中”, ∴命题(¬p)∨(¬q)表示, 甲、乙球员投篮至少有一人没有命中. 故选:D. 点评: 本题考查了复合命题与简单命题之间的关系, 解题时应正确理解四种命题以及复合 命题的意义是什么,属于基础题目. 2. (5 分)下列说法正确的是() 2 A.命题“若 x =4,则 x=2”的否命题是真命题 B. 命题“若 a+ 是有理数,则 a 是无理数”的逆命题是真命题 2 2 C. 命题“若 x>a +b ,则 x>2ab”为假命题 D.命题“若 x=y,则 tanx=tany”的逆否命题是真命题 考点: 四种命题. 专题: 简易逻辑. 分析: 通过互为逆否的命题的真假性一致进行判断命题的真假 2 2 解答: 解:对于 A,命题“若 x =4,则 x=2”的逆命题是命题“若 x=2,则 x =4”显然是真命 2 题,所以命题“若 x =4,则 x=2”的否命题是真命题,A 正确; 对于 B,命题“若 a+ 是有理数,则 a 是无理数”的逆命题是“a 是无理数,则 a+ 是有理 数”,如 a= ,此命题为假命题;所以 B 错误; 2 2 2 2 对于 C,“若 x>a +b ,则 x>2ab”为真命题;因为 x>a +b ≥2ab,则 x>2ab”为真命题;所 以 C 错误; 对于 D,命题“若 x=y,则 tanx=tany”的原命题是假命题,因为 x=y=kπ+ 时,tanx,tany 无

意义,所以其逆否命题是假命题;故 D 错误; 故选 A. 点评: 本题考查了命题的真假判断; 如果正面判断有难度的题目, 可以利用其等价命题判 断真假性. 3. (5 分)命题“?x∈R,|x|+x ≥0”的否定是() 2 2 A.?x∈R,|x|+x <0 B. ?x∈R,|x|+x ≤0 2 2 C. ?x0∈R,|x0|+x0 <0 D.?x0∈R,|x0|+x0 ≥0 考点: 命题的否定. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论. 2 2 解答: 解: 根据全称命题的否定是特称命题, 则命题“?x∈R, |x|+x ≥0”的否定?x0∈R, |x0|+x0 <0, 故选:C.
2

点评: 本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础. 4. (5 分)已知 A、B、C 三点不共线,对平面 ABC 外的任一点 O,下列条件中能确定定点 M 与点 A、B、C 一定共面的是() A. C. B. D.

考点: 平面向量的基本定理及其意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由共面向量定理可得:若定点 M 与点 A、B、C 一定共面,则存在实数 x,y,使 得 ,即 = +y ,即可判断出.

解答: 解:由共面向量定理可得:若定点 M 与点 A、B、C 一定共面,则存在实数 x,y, 使得 化为 = , +y , = ,因此 OM 平行与平面 ABC,

A.C.中的系数不满足和为 1,而 B 的可以化为: 不满足题意,舍去. 而 D 中的系数:

=1,可得定点 M 与点 A、B、C 一定共面.

故选:D. 点评: 本题考查了共面向量定理,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 5. (5 分)若焦点在 y 轴上的双曲线的渐近线方程是 y=±2x,则该双曲线的离心率是() A. B. C. D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由焦点在 y 轴上,设出双曲线方程,求出渐近线方程,得到 a=2b,再由 a,b,c 的关系及离心率公式,计算即可得到. 解答: 解:∵双曲线的焦点在 y 轴上, ∴设双曲线的方程为 ﹣ =1( a>0,b>0)

可得双曲线的渐近线方程是 y=± x, 结合题意双曲线的渐近线方程是 y=±2x,得 =2,

∴b= a,可得 c=

=

a, .

因此,此双曲线的离心率 e= =

故选 A. 点评: 本题考查双曲线的方程和性质, 主要考查渐近线方程和离心率的求法, 属于基础题. 6. (5 分)已知 a>0 且 a≠1,则 a >1 是(a﹣1)b>0 的() A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. b b 分析: 结合指数的运算性质,和实数的基本性质,分析“a >1”?“(a﹣1)b>0”和“a > 1”?“(a﹣1)b>0”是否成立,进而根据充要条件的定义得到答案. b 解答: 解:若 a >1, 当 0<a<1 时,b<0,此时(a﹣1)b>0 成立; 当 a>1 时,b>0,此时(a﹣1)b>0 成立; b 故 a >1 是(a﹣1)b>0 的充分条件; 若(a﹣1)b>0, ∵a>0 且 a≠1, b 当 0<a<1 时,b<0,此时 a >1, b 当 a>1 时,b>0,此时 a >1, b 故 a >1 是(a﹣1)b>0 的必要条件; b 综上所述:a >1 是(a﹣1)b>0 的充要条件; 故选 C 点 评: 判断充要条件的方法是:①若 p?q 为真命题且 q?p 为假命题,则命题 p 是命题 q 的充分不必要条件;②若 p?q 为假命题且 q?p 为真命题,则命题 p 是命题 q 的必要不充 分条件;③若 p?q 为真命题且 q?p 为真命题,则命题 p 是命题 q 的充要条件;④若 p?q 为假命题且 q?p 为假命题,则命题 p 是命题 q 的即不充分也不必要条件.⑤判断命题 p 与 命题 q 所表示的范围,再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则,判断命题 p 与命题 q 的关 系. 7. (5 分)如图所示,已知空间四边形的每条边和对角线长都等于 a,点 E、F、G 分别为 2 AB、AD、DC 的中点,则 a 等于()
b

A.2

?

B. 2

?

C. 2

?

D.2

?

考点: 空间向量的数量积运算;棱锥的结构特征. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由条件利用两个向量的数量积的定义,对各个选项中式子进行运算,可得结论. 解答: 解:由题意可得,2 排除 A. ∵2 ∵2 ∵2 ? ? ? =2?a?a?cos60°=a ,故 B 满足条件. =2? ?a?cosπ=﹣a ,故排除 C. =2? ?a?cos60°= ,故排除 D,
2 2

=2a?a?cos(π﹣∠BAD)=2a ?(﹣cos60°)=﹣a ,故

2

2

故选:B. 点评: 本题考查棱锥的结构特征、 两个向量的数量积的定义, 体现了数形结合的数学思想, 属于基础题. 8. (5 分)在空间直角坐标系 O﹣xyz 中,已知 A(2,0,0) ,B(2,2,0) ,C(0,2,0) , D(1,1, ) ,若 S1,S2,S3 分别表示三棱锥 D﹣ABC 在 xOy,yOz,zOx 坐标平面上的 正投影图形的面积,则() A.S1=S2≠S3 B.S2=S3≠S1 C.S1=S3≠S2 D.S1=S2=S3 考点: 空间中的点的坐标. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 求出几何体在三个平面上的射影面的面积,即可得到结果. 解答: 解:由题意可知,D 在在 xOy,yOz,zOx 坐标平面上的正投影分别为:H(1,1, 0) ;F(0,1, ) , E(1,0, ) , S1,S2,S3 分别表示三棱锥 D﹣ABC 在 xOy,yOz,zOx 坐标平面上的正投影图形的面积, 如图: 所以 S1= ,S2= = ,S3 = ,

显然 S2=S3≠S1. 故选:B.分别是等腰直角三角形 ABC,

点评: 本题考查空间点的坐标的求法, 射影面的面积的解法, 考查计算能力以及空间想象 能力.

9. (5 分)设 F1,F2 分别是双曲线 x ﹣ 线的一个交点,则|PF1|+|PF2|=() A.3 B. 6

2

的左、右两个焦点,若 P 为圆 x +y =9 与双曲

2

2

C.

D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 求出双曲线的焦点,即为圆的直径的端点,即有 F1P⊥F2P,再由勾股定理和双曲 线的定义,结合完全平方公式,计算即可得到. 解答: 解:双曲线 x ﹣
2 2 2

的左、右两个焦点 F1,F2 分别为(﹣3,0) , (3,0) ,

即为圆 x +y =9 的直径的两个端点,则 F1P⊥F2P, 2 2 2 2 即有|PF1| +|PF2| =|F1F2| =4c =36,① 由双曲 线的定义可得||PF1|﹣|PF2||=2a=2,② 2 2 ②两边平方可得|PF1| +|PF2| ﹣2|PF1|?|PF2|=4, 即有 2|PF1|?|PF2|=36﹣4=32, 2 再由①,可得(|PF1|+|PF2|) =36+32=68, 则|PF1|+|PF2|=2 . 故选 D. 点评: 本题考查双曲线的定义和性质, 用好双曲线的定义和直径所对的圆周角为直角, 是 解本题的关键. 10. (5 分) 如图所示, 四边形 ABCD、 ABEF 都是矩形, 它们所在的平面互相垂直, AD=AF=1, AB=2,点 M、N 分别在它们的对角线 AC、BF 上,且 CM=BN=a(0<a< ) ,当 MN 的 长最小时,a 的值为()

A.

B.

C.

D.

考点: 平面与平面垂直的性质. 专题: 计算题;空间位置关系与距离.

分析: 作 MO⊥AB 垂足为 O,连接 ON,求出 OM,ON,利用勾股定理计算 MN,利用 配方法,即可得出结论. 解答: 解:如图所示,作 MO⊥AB 垂足为 O,连接 ON,则 ∵四边形 ABCD、 ABEF 都是矩形, 点 M、 N 分别在它们的对角线 AC、 BF 上, 且 CM=BN=a (0<a< ) , ∴ON⊥AB, ∴OM= ∵OM⊥ON, ∴MN= ∴a= 时,MN 的长最小, = ≥ , ,ON= , , ,

故选:B.

点评: 本题考查平面与平面垂直的性质,考查配方法的运用,考查学生的计算能力,属于 中档题. 二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分) 2 11. (5 分)若点 P 是抛物线 y =4x 上一点,A(5,3) ,F 为抛物线的焦点,则|PA|+|PF|的最 小值为 6. 考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 设点 P 在准线上的射影为 D, 则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|进而把问题转化为 求|PA|+|PD|取得最小,进而可推断出当 D,P,A 三点共线时|PA|+|PD|最小,答案可得. 解答: 解:设点 P 在准线上的射影为 D,则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD| ∴要求|PA|+|PF|取得最小值,即求|PA|+|PD|取得最小 当 D,P,A 三点共线时|PA|+|PD|最小,为 5﹣(﹣1)=6 故答案为 6. 点评: 本题考查抛物线的定义、标准方程,以及简单性质的应用,属于中档题.

12. (5 分)若 =(2x,1,3) , =(1,﹣2y,9) ,且 ∥ ,则 6x+2y 的值是﹣2.

考点: 共线向量与共面向量. 专题: 空间向量及应用. 分析: 利用空间向量平行,对应坐标成比例求出 x,y 即可. 解答: 解:因为 ∥ ,所以 所以 6x+2y=6× =﹣2; ,解得 x= ,y=﹣ ,

故答案为:﹣2. 点评: 本题考查了空间向量的平行的性质,属于基础题. 13. (5 分)已知命题 p:实数 m 满足 m +6a <5am(a>0) ,命题 q:实数 m 满足方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆,若 p 是 q 的充分不必要条件,则实数 a 的取值范 围为 .
2 2

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程;简易逻辑. 分析: 首先解出不等式的解, 进一步求出焦点在 y 轴上的椭圆所满足的条件, 进一步利用 命题的四种条件求出参数的取值范围. 解答: 解:命题 p:实数 m 满足 m +6a <5am(a>0) , 2 2 则:m ﹣5am+6a <0 解得:2a<m<3a 命题 q:方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆,
2 2

所以:3﹣m>m﹣1>0 解得:1<m<2 由于:p 是 q 的充分不必要条件, 所以: 解得: 故答案为: 点评: 本题考查的知识要点:一元二次不等式的解法,椭圆标准方程的应用,命题中四种 条件的应用,属于基础题型.

14. (5 分) 已知 (4, 2) 是直线 l 被椭圆 ﹣8=0.

+

=1 所截得的线段的中点,则 l 的方程是 x+2y

考点: 椭圆的应用;椭圆的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 设直线 l 与椭圆交于 P1(x1,y1) 、P2(x2,y2) ,由“点差法”可求出直线 l 的斜率 k= =﹣ =﹣ =﹣ =﹣ .再由由点斜式可得 l 的方程.

解答: 解:设直线 l 与椭圆交于 P1(x1,y1) 、P2(x2,y2) , 将 P1、P2 两点坐标代入椭圆方程相减得直线 l 斜率 k= =﹣ =﹣ =﹣ =﹣ .

由点斜式可得 l 的方程为 x+2y﹣8=0. 点评: 本题考查椭圆的中点弦方程,解题的常规方法是“点差法”. 15. (5 分)在平面直角坐标系中,动点 P(x,y)到两条坐标轴的距离之和等于它到点(1, 1)的距离,记点 P 的轨迹为曲线 W,给出下列四个结论: ①曲线 W 关于原点对称; ②曲线 W 关于直线 y=x 对称; ③曲线 W 与 x 轴非负半轴,y 轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于 ; ④曲线 W 上的点到原点距离的最小值为 2﹣ 其中,所有正确结论的序号是②③④. 考点: 轨迹方程. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据动点 P(x,y)到两条坐标轴的距离之和等于它到点(1,1)的 距离,可得曲 线方程,作出曲线的图象,即可得到结论. 解答: 解:∵动点 P(x,y)到两条坐标轴的距离之和等于它到点(1,1)的距离, ∴|x|+|y|= ,

∴|xy|+x+y﹣1=0, ∴xy>0, (x+1) (y+1)=2 或 xy<0, (y﹣1) (1﹣x)=0, 函数的图象如图所示 ∴曲线 W 关于直线 y=x 对称; 曲线 W 与 x 轴非负半轴,y 轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于 ; 由 y=x 与(x+1) (y+1)=2 联立可得 x= ( ﹣1)=2﹣ , ∴所有正确结论的序号是②③④. ﹣1,∴曲线 W 上的点到原点距离的最小值为

故答案为:②③④.

点评: 本题考查轨迹方程,考查数形结合的数学思想,求出轨迹方程,正确作 出曲线的 图象是关键. 三、解答题(共 6 小题,满分 75 分) 16. (12 分)已知命题 p:指数函数 f(x)=(
2

) 在 R 上单调递减,命题 q:二次函

x

数 g(x)=x ﹣2ax+a+2 在有且只有一个零点;若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求实数 a 的取 值范围. 考点: 复合命题的真假. 专题: 简易逻辑. 分析: 首先,判断当所给的两个命题为真命题时,相应的取值范围,然后,结合条件确定 具体的范围即可. 解答: 解:由命题 p:指数函数 f(x)=( 0< ∴1<a<3, 由命题 q:二次函数 g(x)=x ﹣2ax+a+2 在有且只有一个零点,得 2 2 g(x)=(x﹣a) +a+2﹣a , 当 a<0 时,满足: ,解得 ,
2

) 在 R 上单调递减,得

x







∴a<﹣2, 2 当 0≤a≤1 时,满足:△ =4a ﹣4(a+2)=0 解得 a=﹣1 或 a=2(舍去) , 当 a>2 时,满足: ∴a>2, ∴a<﹣2 或 a>2, ∵若 p 或 q 为真,p 且 q 为假, ∴p,q 必一真一假,得 ,解得 ,



. ,

∴a∈(﹣∞,﹣2)∪(1,2]∪∪ 18. (12 分) 如图, 在四棱锥 S﹣ABCD 中, 底面 ABCD 是直角梯形, AD 垂直于 AB 和 CD, 侧棱 SD⊥底面 ABCD,且 SD=AD=AB=2CD,点 E 为棱 SD 的中点. (1)求异面直线 AE 和 SB 所成角的余弦值; (2)求直线 AE 和平面 SBC 所成角的正弦值; (3)求面 SAD 和面 SBC 所成二面角的余弦值.

考点: 二面角的平面角及求法;异面直线及其所成的角;直线与平面所成的角. 专题: 空间角. 分析: (1)建立空间直角坐标系 D﹣xyz,利用数量积计算 cos< (2)所求值即为平面 SBC 的一个法向量与 , >即可;

的夹角的余弦值,计算即可;

(3)所求值即为平面 SCD 的一个法向量与平面 SBC 的一个法向量的夹角的余弦值,计算 即可. 解答: 解: (1)如图建立空间直角坐标系 D﹣xyz,不妨设 CD=1, 则 SD=AD=AB=2,则 A(2,0,0) ,E(0,0,1) ,B(2,2,0) ,S(0,0,2) , ∴ =(﹣2,0,1) , , >= =(﹣2,﹣2,2) , = , ; =(0,﹣1,2) ,

∴cos<

即异面直线 AE 和 SB 所成角的余弦值为 (2)由(1)可得, =(2,1,0) ,

不妨设 =(x,y,z)为平面 SBC 的一个法向量, 则有 ,即 ,

不妨令 y=2,可得 =(﹣1,2,1) ,

∴cos< ,

>=

=

, ;

∴直线 AE 和平面 SBC 所成角的正弦值为 (3)由题意可知, 而 cos< , >=

=(0,2,0)为平面 SCD 的一个法向量, = , .

所以面 SAD 和面 SBC 所成二面角的余弦值为

点评: 本题考查空间角的求法,着重考查分析推理能力与表达、运算能力,属于中档题. 19. (12 分)已知在平面直角坐标系 xoy 中,点 P(x,y) ,Q(x,﹣2) ,且以线段 PQ 为 直径的圆经过原点 O. (1)求 动点 P 的轨迹 C; (2)过点 M(0,﹣2)的直线 l 与轨迹 C 交于两点 A、B,点 A 关于 y 轴的对称点为 A′, 试问直线 A′B 是否恒过一定点,若是,并求此定点;若不是,请说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;轨迹方程. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (1)由于以线段 PQ 为直径的圆经过原点 O,可得 =0,即可得出;

(2)由题意可知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为:y=kx﹣2,A(x1,y1) ,B(x2, 2 y2) ,则 A′(﹣x1,y1) .与抛物线方程联立可得 x ﹣2kx+4=0,由△ >0,可得 k>2 或 k< ﹣2.得到根与系数的关系,而直线直线 A′B 的方程为: (x+x1) ,把根与

系数的关系代入可得 2y=(x2﹣x1)x+4,令 x=0,即可得出直线恒过定点. 解答: 解: (1)∵以线段 PQ 为直径的圆经过原点 O, ∴ =0,
2

∴(x,y)?(x,﹣2)=x ﹣2y=0, 2 化为 x =2y,

∴动点 P 的轨迹 C 为抛物线:x =2y. (2)由题意可知直线 l 的斜率存在, 设直线 l 的方程为:y=kx﹣2,A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 A′(﹣x1,y1) . 联立
2

2



化为 x ﹣2kx+4=0, 2 △ =4k ﹣16>0, 解得 k>2 或 k<﹣2. ∴x1+x2=2k,x1x2=4. 直线直线 A′B 的方程为: 又∵y1=kx1﹣2,y2=kx2﹣2, ∴2ky﹣2k(kx1﹣2)=(kx2﹣kx1)x+kx1x2﹣ , (x+x1) ,

化为 2y=(x2﹣x1)x+x1(2k﹣x1) , ∵x1(2k﹣x1)=4, ∴2y=(x2﹣x1)x+4, 令 x=0,则 y=2, ∴直线 A′B 恒过一定点(0,2) . 点评: 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、 数量积运算性质、 直线与抛物线相交转化 为方程联立可得根与系数的关系、 直线过定点问题, 考查了推理能力与计算能力, 属于难题. 20. (13 分)如图所示,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, AA1=2AB=2AC=2.∠A1AB=∠A1AC=∠BAC=60°,设 (1)试用向量 , , 表示 ,并求| |; = , = , = .

(2)在平行四边形 BB1C1C 内是否存在一点 O,使得 A1O⊥平面 BB1C1C,若不存在,请 说明理由;若存在,试确定 O 点的位置.

考点: 直线与平面垂直的判定;平面向量的基本定理及其意义. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)利用向量的三角形法则可解;

(2)假设在平行四边形 BB1C1C 内存在一点 O,使得 A1O⊥平面 BB1C1C, 解答: 解: (1)因为几何体是三棱柱, 所以 所以| = |=
2

=

, =1+1+4﹣2×1×1×cos60°+2×1×2×cos60°﹣

2×1×2×cos60°=5, 所以| |= ;

(2)假设在平行四边形 BB1C1C 内存在一点 O,使得 A1O⊥平面 BB1C1C; 过 A1 作 A1D⊥平面 ABC,因为∠A1AB=∠A1AC=∠BAC=60°,所以 D 在∠BAC 的平分线 AE 上,A1D⊥BC,又 BC⊥AE,所以 BC⊥平面 AA1E1E, 过 A1 作 A1O⊥EE1,则 A1O⊥平面 BB1C1C; 所以在平行四边形 BB1C1C 内存在一点 O,使得 A1O⊥平面 BB1C1C;假设正确. 点评: 本题考查了向量的三角形法则以及线面垂直、 面面垂直的判定定理和性质定理的运 用,属于中档题. 21. (14 分)如图所示,椭圆长轴端点为点 A、B、O 为椭圆的中心,F 为椭圆的上焦点, 且 .

(1)求椭圆的标准方程; (2)若四边形 MPNQ 的四个顶点都在椭圆上,对角线 PQ,MN 互相垂直并且它们的交点 恰为点 F,求四边形 MPNQ 面积的最大值和最小值.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 向量与圆锥曲线;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)由题意设出椭圆方程为 ,并求得 c=1,结合

,可得 a ﹣c =1,则 a ,b 可求,椭圆方程可求; (2)由对角线 PQ,MN 互相垂直,可得直线 PQ,MN 中至少有一条斜率存在,

2

2

2

2

不妨设 PQ 的斜率为 k,可得 PQ 的方程为 y=kx+1,联立直线方程和椭圆方程,利用弦长公 式求得|PQ|, 同理求得|MN|,代入四边形的面积公式后换元,由函数的单调性求得四边形 MPNQ 面积的最大值和最小值. 解答: 解: (1)设椭圆方程为 ,由题意可知 c=1,


2 2

,∴(a+c) (a﹣c)=1,即 a ﹣c =1,
2 2

2

2

∴a =2,b =a ﹣c =1, 故椭圆的方程为 ;

(2)∵对角线 PQ,MN 互相垂直,∴直线 PQ,MN 中至少有一条斜率存在, 不妨设 PQ 的斜率为 k,又 PQ 过点 F(0,1) ,故 PQ 的方程为 y=kx+1,将此式代入椭圆方 2 2 程可得, (2+k )x +2kx﹣1=0, 设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,则 从而|PQ|= = ,

=

=



当 k≠0 时,MN 的斜率为

,同上可得



故四边形 MPNQ 的面积

=



令 此时 ∴ ;

,当且仅当 k=±1 时,u=2, ,显然 S 是以 u 为自变量的增函数,

当 k=0 时,|MN|=

,|PQ|=

,此时 .



综上所述,四边形 MPNQ 面积的最大值为 2,最小值为

点评: 本题考查椭圆方程的求法, 考查直线和椭圆位置关系的应用, 训练了函数值域的求 法,灵活变形及适当的换元是解答该题的关键,是中档题.


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