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三角函数恒等变形


一、知识清单三角函数恒等变换
1、 角的概念 (1)角的概念(认识正角、负角、零角)

(2)终边相同的角: 由特殊角 30? 看出:所有与 30? 角终边相同的角,连同 30? 角自身 ? ? ? ? 在内, 都可以写成 30 ? k ? 360 ? k ? Z ? 的形式; 反之, 所有形如 30 ? k ? 360 ? k ? Z ?

>的角都与 30 角的终边相同。 从而得出一般规律:所有与角 ? 终边相同的角,连同角 ?
?
? 在内,可构成一个集合 S ? ? | ? ? ? ? k ? 360 , k ? Z ,

?

?

即:任一与角 ? 终边相同的角,都可以表示成角 ? 与整数个周角的和。 说明:终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同。 与α 角终边相同的角的集 合,记为{ ? | ? =k·360+α ,k∈Z}. (3)轴线角 顶点在原点,始边与 x 轴非负半轴重合,终边落在坐标轴上的角 (i)终边在 x 轴上 ① 轴的正半轴上 x ② 轴的负半轴上 x

(ii)终边在 y 轴上 ① 轴的正半轴上 y

② 轴的负半轴上 y

(4)象限角 顶点在原点,始边与 x 轴非负半轴重合,则终边落在第几象限,就称这个角是第几 象限的角. 第一象限角: 第二象限角: 第三象限角: 第四象限角:

例 1:在 0? 与 360? 范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判断它们是第 几象限角? (1) ?120? (2) 640? (3) ?950?12? ? ? ? 解: (1) ?120 ? 240 ? 360 , ? ? 所以,与 ?120 角终边相同的角是 240 ,它是第三象限角; ? ? ? (2) 640 ? 280 ? 360 , ? ? 所以,与 640 角终边相同的角是 280 角,它是第四象限角; ? ? ? (3) ?950 12? ? 129 48? ? 3 ? 360 , ? ? 所以, ?950 12? 角终边相同的角是 129 48? 角,它是第二象限角。 ? ? 例 2 若 ? ? k ? 360 ?1575 , k ? Z ,试判断角 ? 所在象限。 ? ? ? (k ? 5) ? Z 解:∵ ? ? k ? 360 ?1575 ? (k ? 5) ? 360 ? 225 , ? ∴ ? 与 225 终边相同, 所以, ? 在第三象限。 ? ? 例 3 写出下列各边相同的角的集合 S ,并把 S 中适合不等式 ?360 ? ? ? 720 的元素 ?

写出来: (1) 60 ;

?

? ? 解: (1) S ? ? | ? ? 60 ? k ? 360 , k ? Z ,

?

(2) ?21 ;
?

?

(3) 363 14? .
?

S 中适合 ?360? ? ? ? 720? 的元素是

60? ? 1? 360? ? ?300? , 60? ? 0 ? 360? ? 60? , 60? ? 1? 360? ? 420?. ? ? (2) S ? ? ? | ? ? ?21 ? k ? 360 , k ? Z ? ,
S 中适合 ?360? ? ? ? 720? 的元素是

?21? ? 0 ? 360? ? ?21? , ?21? ? 1? 360? ? 339? , ?21? ? 2 ? 260? ? 699? ? ? (3) S ? ? ? | ? ? 363 14? ? k ? 360 , k ? Z ?
S 中适合 ?360? ? ? ? 720? 的元素是

363?14? ? 2 ? 360? ? ?356? 46?, 363?14? ? 1? 360? ? 3?14?, 363?14? ? 0 ? 360? ? 363?14?.

2、弧度制 (1) 弧度的定义
1 弧度角: 圆中弧长等于半径的弧所对的圆心角规定为 1 弧度

l ?| ? | ?r

(2)弧度与角度的互化 关键是记住 π 弧度=180 1rad= 180 °≈57.30°=57°18ˊ.
?

1°= ? ≈0.01745(rad)
180

(3)扇形面积

1 1 lr ? |? | ? r 2 2 2 ? 例 1 (1)已知扇形 OAB 的圆心角 ? 为 120 ,半径 r ? 6 ,求弧长 AB 及扇形面积。 (2)已知扇形周长为 20cm ,当扇形的中心角为多大时它有最大面积,最大面积是多 s扇形 ?
少? 解: (1)因为 120? ?

1 1 1 2? 2? ,所以, S ? lr ? | ? | r 2 ? ? ? 36 ? 12? . 3 2 2 2 3

(2)设弧长为 l ,半径为 r ,由已知 l ? 2r ? 20 ,所以 l ? 20 ? 2r , | ? |? 从而 S ?

1 1 20 ? 2r 2 |? | r2 ? ? ? r ? ?r 2 ? 10r ? ?(r ? 5) 2 ? 25 , 2 2 r l 20 ? 2r 当 r ? 5 时, S 最大,最大值为 25 ,这时 ? ? ? ? 2. r r 2 例 2 如图,扇形 OAB 的面积是 4cm ,它的周长是 8cm ,求扇形的中心角及弦 AB 的长。 解:设扇形的弧长为 l ,半径为 r ,则有 B

l 20 ? 2r , ? r r

A O

?l ? 2r ? 8 ?l ? 4 ? ?? ?1 ?r ? 2 ? 2 lr ? 4 ?
r



所以,中心角为 ? ? l ? 4 ? 2 ,弦长= 2 ? 2sin1 ? 4sin1 .
2

3、任意角的三角函数的定义 设 ? 是一个任意角,在 ? 的终边上任取(异于原点的)一点 P(x,y) 与原点的距离 ,P 为 r,则
y

y sin ? ? r

x cos ? ? r

y tan ? ? x
r

a的终边
P(x,y)

三角函数在各象限的符号:一全二正弦,三切四余弦(都是天才)

o

x

已知 cos ? tan ? ? 0 ,那么角 ? 是( A.第一或第二象限角 C.第三或第四象限角

) B.第二或第三象限角 D.第一或第四象限角

(2011 江西文科数学)已知角 ? 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的正半轴,若 p ? 4, y ? 是角

? 终边上一点,且 sin ? ? ?

2 5 ,则 y=_______. 5

答案:—8. 解析:根据正弦值为负数,判断角在第三、四象限,再加上横坐标为正,断 定该角为第四象限角。 sin ? ?

y 16 ? y 2

??

2 5 ? y ? ?8 5

则 【北京顺义区 2012 届高三尖子生综合素质展示】

sin ? ?

y 2 5 3 ? ,? cos 2? ? 1 ? 2sin 2 ? ? ? . r 5 5 故选 B.

已知角 ? 的顶点在原点,始边与 x 轴的正半轴重合,终边经过点则

sin 2? ? tan ? =

.

【答案】

?

3 6
sin ? ? 1 3 3 cos ? ? ? tan ? ? ? 2, 2 , 3 ,

【解析】 因为角 ? 终边经过点 P(?3, 3) , 所以

?sin 2? ? tan ? ? 2sin ? cos ? ? tan ? ? ?

3 3 3 ? ?? 2 3 6 .

(08 北京卷 9)若角 ? 的终边经过点 P(1, 2) ,则 tan2 ? 的值为 ?
练习 1:已知角 ? 的终边上一点 P(? 3, m) ,且 sin ? ?



4 3

2m ,求 cos ? ,sin ? 的值。 4

解:由题设知 x ? ? 3 , y ? m ,所以 r 2 ?| OP |2 ? (? 3)2 ? m2 ,得 r ? 3 ? m2 ,

m 2m m 2 ,解得 m ? 0 或 16 ? 6 ? 2m ? m ? ? 5 . ? ? 2 4 r 3? m x y s ? n 当 m ? 0 时, r ? 3, x ? ? 3 , c o ? ? ? ? 1 , t a ? ? ; 0 r x x 6 y 15 当 m ? 5 时, r ? 2 2, x ? ? 3 , cos ? ? ? ? ; , tan ? ? ? ? r 4 x 3 x 6 y 15 当 m ? ? 5 时, r ? 2 2, x ? ? 3 , cos ? ? ? ? . , tan ? ? ? r 4 x 3
从而 sin ? ? 练习 2:已知 sin ? ? 0 且 tan ? ? 0 , (1)求角 ? 的集合; (2)求角

? 终边所在的象限; (3)试判断 tan ? ,sin ? cos ? 的符号。 2 2 2 2

4、单位圆
2 2 当角的终边上一点 P( x, y ) 的坐标满足 x ? y ? 1 时,有三角函数正弦、余弦、正切

值的几何表示——三角函数线。 1.单位圆:圆心在圆点 O ,半径等于单位长的圆叫做单位圆。 2.有向线段: 坐标轴是规定了方向的直线,那么与之平行的线段亦可规定方向。 规定:与坐标轴方向一致时为正,与坐标方向相反时为负。 3.三角函数线的定义: 设任意角 ? 的顶点在原点 O , 始边与 x 轴非负半轴重合, 终边与单位圆相交与点 P ( x, y ) , 过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 M ;过点 A(1, 0) 作单位圆的切线,它与角 ? 的终边或其 反 向延长线交与点 T .

y P
M

y

T

P

o

A

x

o

A
M
(Ⅰ)

x

(Ⅱ) T

y

T

y

M

o
(Ⅲ)

A

x

o

M A

x

P

P T
(Ⅳ)

由四个图看出: 当角 ? 的终边不在坐标轴上时,有向线段 OM ? x, MP ? y ,于是有

y y x x ? ? y ? MP , cos ? ? ? ? x ? OM , r 1 r 1 y MP AT tan ? ? ? ? ? AT . x OM OA 我们就分别称有向线段 MP, OM , AT 为正弦线、余弦线、正切线。 sin ? ?
说明: ①三条有向线段的位置:正弦线为 ? 的终边与单位圆的交点到 x 轴的垂直线段;余弦 线在 x 轴上;正切线在过单位圆与 x 轴正方向的交点的切线上,三条有向线段中两条 在单位圆内,一条在单位圆外。 ②三条有向线段的方向: 正弦线由垂足指向 ? 的终边与单位圆的交点; 余弦线由原点指 向垂足;正切线由切点指向与 ? 的终边的交点。 ③三条有向线段的正负: 三条有向线段凡与 x 轴或 y 轴同向的为正值, x 轴或 y 轴反 与 向的为负值。 ④三条有向线段的书写:有向线段的起点字母在前,终点字母在后面。 直线 y=x 是正余弦的分水岭,y=x 上方正弦大于余弦,下方余弦大于正弦 利用单位圆解不等式: 例题分析: 例 1 作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。 (1)

5? ? 2? ; (2) ; (3) ? ; 6 3 3

(4) ?

13? . 6

例 2 利用单位圆写出符合下列条件的角 x 的范围。 (1) sin x ? ?

1 ; 2

(2) cos x ?

1 ; 2

(3) 0 ? x ? ? ,sin x ? (4) | cos x |? 答案: (1)

1 1 且 cos x ? ; 2 2
(5) sin x ?

7? 11? ? ? ? 2k? ? x ? ? 2k? , k ? Z ; (2)? ? 2k? ? x ? ? 2k? , k ? Z ; 6 6 6 6 ? 5? ? ? ? ? ,k ?Z ; (3) ? x ? (4) ? ? ? k? ? x ? ? ? k? , k ? Z ; 3 6 6 2 6 2 ? 3? ? 2k? , k ? Z . (5) ? 2k? ? x ? 2 4

1 ; 2

1 且 tan x ? ?1 . 2

练习:1、求不等式 sin 2 x ?

2 的解集 2

2、求函数 y ? lg(2 sin x ? 1) ? 2 cos x ? 1 的定义域

3、 (2011 浙江 14)若平面向量α ,β 满足|α |≤1,|β |≤1,且以向量α ,β 为邻边 的平行四边形的面积为

1 ,则α 与β 的夹角 ? 的取值范围是 2



【解析】由题意得: ? ? sin ? ? 又∵ ? ? (0, ? ) ,∴ ? ? [

1 1 1 ,∵ ? ? 1 , ? ? 1 ,∴ sin ? ? ? , 2 2? ? 2

? 5?
6 , 5

].

4、 (湖北理 3)已知函数 f ( x) ? 3sin x ? cos x, x ? R ,若 f ( x) ? 1 ,则 x 的取值范围 为

? ? ? ? x | k? ? ? x ? k? ? ? , k ? Z ? 3 ? A. ?
{ x | k? ?
C. 【答案】B

? ? ? ? x | 2k? ? ? x ? 2k? ? ? , k ? Z ? 3 ? B. ?
{ x | 2 k? ?
D.

?
6

? x ? k? ?

5? , k ? Z} 6

?
6

? x ? 2 k? ?

5? , k ? Z} 6

利用单位圆压缩范围:在 ?ABC 中, 2sin A ? 2cos A ? 1,则 cos 2A ?

? ? ? ? 利用单位圆比较两数的大小:化简 sin 20 ? cos 20 ? sin 20 ? cos 20

作业 1.利用余弦线比较 cos 64 ,cos 285 的大小; 2.若
? ?

?
4

?? ?

?
2

,则比较 sin ? 、 cos ? 、 tan ? 的大小;

3.分别根据下列条件,写出角 ? 的取值范围: (1) cos? ?

3 ; 2

(2) tan ? ? ?1 ;

(3) sin ? ? ?

3 2

5、同角三角函数的关系 (1)平方关系: sin ? ? cos ? ? 1 sin? (2)商数关系: ? tan? cos? 8 已知 cos? ? ? ,求 sin ? 、tan ? 的值. 17
2 2

分析:∵cos ? <0 ∴ ? 是第二或第三象限角.因此要对 ? 所在象限分类. 当 ? 是第二象限角时,
sin? ? 1 ? cos2 ? ? 1 ? (? 15 sin? 15 tan? ? ? 17 ? ? . 8 cos? ? 8 17 8 2 15 ) ? , 17 17

当 ? 是第三象限时
sin? ? ? 1 ? cos2 ? ? ? 15 , 17 tan? ? 15 . 8

? 是第四象限角, tan ? ? ?
A.

1 5

B. ?

1 5

5 ,则 sin ? ? ( ) 12 5 5 C. D. ? 13 13

(07 福建理 17) 在 △ ABC 中, tan A ? (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 △ ABC 最大边的边长为 17 ,求最小边的边长. 本小题主要考查两角和差公式, 用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运 算能力,满分 12 分. 解: (Ⅰ)? C ? π ? ( A ? B) ,

1 3 , tan B ? . 4 5

1 3 ? 4 5 ? ?1 . ? tan C ? ? tan( A ? B) ? ? 1 3 1? ? 4 5 3 又? 0 ? C ? π ,? C ? π . 4 3 (Ⅱ)? C ? ? , 4

? AB 边最大,即 AB ? 17 .
又? tan A ? tan B,A,B ? ? 0, ? ,

? ?

?? ??

? 角 A 最小, BC 边为最小边.
sin A 1 ? ? , ?tan A ? ? π? 由? cos A 4 且 A ? ? 0, ? , ? 2? ?sin 2 A ? cos 2 A ? 1, ?
得 sin A ?

AB BC sin A 17 ? ? 2. .由 得: BC ? AB sin C sin A sin C 17

所以,最小边 BC ? 2 .

题型 2:已知 cos ? ? 2sin ? ? ? 5 ,求 tan ? 的值.

sin ? 解析二: 采用“切化弦”.要求 tan ? ,即求 cos ? . ? ?cos ? ? 2sin ? ? ? 5 ? sin 2 ? ? (? 5 ? 2sin ? ) 2 ? 1 ? 2 2 ?sin ? ? cos ? ? 1 ? 2 5 5 sin ? ? ? , cos ? ? ? , 2 ?5sin ? ? 4 5 sin ? ? 4 ? 0 ,解得 5 5 则 tan ? ? 2. 2 2 【点评】此法巧妙利用已知的结论 sin ? ? cos ? ? 1 ,与已知组成方程组,从而解出

sin ? ? ?

2 5 , 5 此题解关于 sin ? 的二次方程时,正好是一个完全平方式,显得就比较简单

了.但是一般情况下,采用此法要得到两个解,需要根据题设条件舍掉一个.所以此法慎用. 解析三:利用齐次方程.

cos ? ? 2sin ? ? ? 5, 两边平方可得,

cos 2 ? ? 4sin 2 ? ? 4 cos a sin a ? 5 ? cos 2 ? ? 4sin 2 ? ? 4 cos a sin a ? (sin 2 ? ? cos 2 ?) 5 ? sin 2 ? ? 4 cos 2 ? ? 4 cos a sin a ? 0 2 2 两边除以 cos ? ,可得 tan ? ? 4 tan ? ? 4 ? 0 ,解得 tan ? ? 2.

题型 3:齐次式(弦化切) 若 tan ? ? 2 ,则

2sin ? ? cos ? ? sin ? ? 2 cos ?

解析: 利用齐次分式的意义将分子分母同时除以 cos ? (cos ? ? 0) 得,

2 sin ? ? cos ? 2 sin ? ? cos ? 2 tan ? ? 1 3 cos ? 原式= = = ? sin ? ? 2 cos ? sin ? ? 2 cos ? tan? +2 4 cos ?
2 2 (2009 辽宁卷文)已知 tan ? ? 2 ,则 sin ? ? sin ? cos ? ? 2cos ? ?

(A) ?

4 3
2

(B)

5 4
2

(C) ?

3 4

(D)

4 5

【解析】 sin ? ? sin ? cos ? ? 2cos ? ?

sin 2 ? ? sin ? cos ? ? 2cos 2 ? sin 2 ? ? cos 2 ?

= 【答案】D

tan 2 ? ? tan ? ? 2 4 ? 2 ? 2 4 = ? 4 ?1 5 tan 2 ? ? 1

题型 4:切化弦:在 ?ABC 中, tan B ? sin 2B , 求角 B 的大小. (2011 天津理 15)

f ( x ) ? tan(2 x ?
已知函数

?
4

),

(Ⅰ)求 f ( x ) 的定义域与最小正周期;

(II)设

? ?? ? ? ? 0, ? 4 ?

f ( ) ? 2 cos 2? , ? ,若 2 求 ? 的大小.

?

本小题主要考查两角和的正弦、 余弦、 正切公式, 同角三角函数的基本关系, 二倍角的正弦、 余弦公式,正切函数的性质等基础知识,考查基本运算能力.满分 13 分.

2x ?
(I)解:由

?
4

?

?
2

? k? , k ? Z


x?


?
8

?

k? ,k ?Z 2 . {x ? R | x ?

?
8

所以 f ( x ) 的定义域为

?

k? , k ? Z} 2

? . f ( x) 的最小正周期为 2
a f ( ) ? 2 cos 2 a, (II)解:由 2

tan( a ?


?
4

) ? 2 cos 2a,

sin(a ? ) 4 ? 2(cos 2 a ? sin 2 a), ? cos(a ? ) 4
sin a ? cos a ? 2(cos a ? sin a)(cos a ? sin a). 整理得 cos a ? sin a
a ? (0, ) 4 ,所以 sin a ? cos a ? 0. 因为 1 1 (cos a ? sin a) 2 ? , 即sin 2a ? . 2 2 因此 a ? (0, ) 2a ? (0, ) 4 ,得 2 . 由 2a ?
所以

?

?

?

?

?
6

, 即a ?

?
12

.

6、诱导公式:奇变偶不变,符号看象限。下面不妨以正弦为例解读这句口诀:

sin(?? ? sin(?? ?

? ?
2 2

? 奇数)? cos?(或-cos?) ? 偶数)? sin?(或-sin?)

以上两个第一个是奇变,第二个是偶不变,但后面是正还是负怎么判断呢? 很简单,记住不管角 ? 是不是锐角都把它看成锐角,然后确定括号内的角所在的象限 并判断括号前的三角函数在此象限的正负即可。 以下重点点拨一下几个高考超高频率出现的 诱导公式:

前三项都等于 sin ? 但意义各不相同,第一个说明两角互补正弦相等;第二个说明两角 互余正弦与余弦的转化;第三个可以把正弦转化为余弦并且 ? 符号不变,在平移中有用。

sin(? ? ? ) ? cos( ? ? ) ? cos(? ? ) ? sin ? 2 2

?

?

cos(? ? ? ) ? ? cos ? , tan(? ? ? ) ? ? tan ? ,sin(? ? ) ? cos ? , 2
前面两个公式说明两角互补余弦和正切都互为相反数, 第三个可以把余弦转化为正弦并 且 ? 符号不变。

?

sin(?? ) ? ? sin ? ,cos(?? ) ? cos ? , tan(?? ) ? ? tan ?

这三个不难看出三个三角函数的奇偶性 这三个不难看出三个三角函数的周期性

sin(? ? 2k? ) ? sin ? ,cos(? ? 2k? ) ? cos ? , tan(? ? k? ) ? tan ?

(08 陕西卷 1) sin 330? 等于( A. ?
3 2

B
1 2

) D.
3 2

B. ?

1 2

C.

sin585o 的值为
(A) ?

2 2

(B)

2 2

(C) ?

3 2

(D)

3 2

【解析】本小题考查诱导公式、特殊角的三角函数值,基础题。 解: sin585 ? sin( 360 ? 225 ) ? sin( 180 ? 45 ) ? ? sin45 ? ?
o o o o o o

2 ,故选择 A。 2

(2006 年陕西卷) cos 43 cos 77 ? sin 43 cos167 的值为
o o o o

练习 1:求下列三角函数的值: (1) cos

9? 11? ), , (2) tan( ? 4 6

(3) sin

9? . 2

(2009 全国卷Ⅱ理)若将函数 y ? tan ? ? x ?

? ?

??

? ? ?? ? 0 ? 的图像向右平移 6 个单位长度后, 4?

与函数 y ? tan ? ? x ? A.

? ?

??

? 的图像重合,则 ? 的最小值为 6?
B.

1 6

1 4
?

C.

1 3

D.

1 2

? ? 向右平移 6 个单位 ? ? ?? ? ? 解: y ? tan ? ? x ? ? ?????? y ? tan[? ( x ? ) ? ] ? tan ? ? x ? ? ? 4? 6 4 6? ? ?
?

?
4

?

?
6

? ? k? ?

又? ? ? 0 ??min

1 ? ? ? 6k ? ( k ? Z ) , 6 2 1 ? .故选 D 2

?

(2009 天津卷理)已知函数 f ( x) ? sin(? x ?

?

4

)( x ? R,? ? 0) 的最小正周期为 ? ,为了得

到函数 g ( x) ? cos? x 的图象,只要将 y ? f ( x) 的图象 A 向左平移

? 个单位长度 8

B 向右平移

? 个单位长度 8

w.w.w.k.s.5.u. c.o.m

C 向左平移

? 个单位长度 4

D 向右平移

? 个单位长度 4

【考点定位】本小题考查诱导公式、函数图象的变换,基础题。 解析:由题知 ? ? 2 ,所以

f ( x ) ? sin( x ? 2

?

) ? cos[ ? ( 2 x ? )] ? cos(2 x ? ) ? cos 2( x ? ) ,故选择 A。 4 2 4 4 8

?

?

?

?

(07 山东文 4)要得到函数 y ? sin x 的图象,只需将函数 y ? cos ? x ?

? ?

?? ? 的图象( ??



? 个单位 ? ? C.向左平移 个单位 ?
A.向右平移

? 个单位 ? ? D.向左平移 个单位 ?
B.向右平移

3 ? sin 700 (海南卷 2008) =( 2 ? cos 2 100


3 2

A.

1 2

B.

2 2

C. 2

D.

? 将函数 f ( x) ? sin ? x ? 3 cos ? x(? ? 0) 的图像向左平移 12 个单位后
(1)若得到的图像与原来的图像重合,求 ? 的最小值;

(2)若得到的图像关于原点对称,求 ? 的最小值;

(3)若得到的图像关于 y 轴对称,求 ? 的最小值。 (2006 年安徽卷)如果 ?A B1C1 的三个内角的余弦值分别等于 ?A2 B2C2 的三个内角的正弦 1 值,则( ) A.?A B1C1 和 ?A2 B2C2 都是锐角三角形 1 B.?A B1C1 和 ?A2 B2C2 都是钝角三角形 1

C. ?A B1C1 是钝角三角形, ?A2 B2C2 是锐角三角形 1 D. ?A B1C1 是锐角三角形, ?A2 B2C2 是钝角三角形 1 解: ?A B1C1 的三个内角的余弦值均大于 0,则 ?A B1C1 是锐角三角形,若 ?A2 B2C2 是 1 1

? ? ? ? ? A2 ? 2 ? A1 ? sin A2 ? cos A1 ? sin( 2 ? A1 ) ? ? ? ? ? ? ? sin B2 ? cos B1 ? sin( ? B1 ) , ? B2 ? ? B1 , A 锐角三角形, ? 由 得 那么, 2 ? B2 ? C2 ? , 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ?C2 ? 2 ? C1 ?sin C2 ? cos C1 ? sin( 2 ? C1 ) ? ? 所以 ?A2 B2C2 是钝角三角形。故选 D。
(2006 年陕西卷) " 等式 sin(? ? ? ) ? sin 2? 成立 " 是 " ? , ? , ? 成等差数列 " 的( A ) (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分又不必要条件

π? ? 1 ? 2 cos ? 2 x ? ? 4? ? (07 重庆文 18)已知函数 f ( x) ? . π? ? sin ? x ? ? 2? ?
(Ⅰ)求 f ( x ) 的定义域; (Ⅱ)若角 ? 在第一象限且 cos ? ? 解: (Ⅰ) 由 sin ? x ?

3 ,求 f (? ) . 5

? ?

π π π? ? ? 0 得 x ? ? 2 ? kπ ,即 x ? kπ ? 2 (k ? Z) . 2?

故 f ( x ) 的定义域为 ? x ? R | x ? kπ ? ,k ? Z ? .

? ?

π 2

? ?

4 ?3? (Ⅱ)由已知条件得 sin ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? ? ? ? . 5 ?5?
2

2

π? ? 1 ? 2 cos ? 2? ? ? 4? ? 从而 f (? ) ? π? ? sin ? ? ? ? 2? ?

π π? ? 1 ? 2 ? cos 2? cos ? sin 2? sin ? 4 4? ? ? cos ?

?

1 ? cos 2? ? sin 2? 2cos 2 ? ? 2sin ? cos ? ? cos ? cos ?
14 . 5

? 2(cos ? ? sin ? ) ?

7、和差公式及倍角公式 (1)公式的推导:由于和、差、倍之间存在的关系,和角、差角、倍角的三角函数之间 必然存在紧密的内在联系, 因此我们可以不必孤立地去一一推导这些公式, 而只要推导出一 个公式作为基础,再利用这种联系性,用逻辑推理的方法就可以得到其他公式。另外对于诱 导公式其实也可以用和差公式来推。 对于众多公式的推导顺序,也可以有多种不同的安排。先探索出了两角差的余弦公 式 ,然后以它为基础,推导出其他公式,具体过程如下:

C(? ? ? ) ? C(? ? ? ) ? S(? ? ? ) ? T(? ? ? ) ? C2? , S2? ,T2?
(2010 四川理数)
1 ○证明两角和的余弦公式 C? ?? : cos( ? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ; 2 ○由 C? ? ? 推导两角和的正弦公式 S? ?? : sin( ? ? ? ) ? sin? cos ? ? cos ? sin ? .

如图,在直角坐标系 xOy 内做单位圆 O,并作出角 α、β 与-β,使角 α 的始边为 Ox,交⊙ O 于点 P1,终边交⊙O 于 P2;角 β 的始边为 OP2,终边交⊙O 于 P3;角-β 的始边为 OP1, 终边交⊙O 于 P4. 则 P1(1,0),P2(cosα,sinα) P3(cos(α+β),sin(α+β)),P4(cos(-β),sin(-β)) 由 P1P3=P2P4 及两点间的距离公式,得 [cos(α+β)-1]2+sin2(α+β)=[cos(-β)-cosα]2+[sin(-β)-sinα]2 展开并整理得:2-2cos(α+β)=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ) ∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.
w_w w. k#s5_u.c o* m

? -α)=cosα 2 2 ? ? sin(α+β)=cos[ -(α+β)]=cos[( -α)+(-β)] 2 2 ? ? =cos( -α)cos(-β)-sin( -α)sin(-β) 2 2
②由①易得 cos( -α)=sinα,sin( =sinαcosβ+cosαsinβ

?

(2)和差公式① sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; 符号相同

② cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ; 符号相反 ③ tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? . 1 ? tan ? tan ?

上同下异

变形式: tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? . (08 江西文 4) 若 tan ? ? 3 , tan ? ? A. ?3

4 ,则 tan(? ? ? ) 等于( 3 1 B. ? C. 3 3
(天津文 17)

) D.

1 3

在 △ ABC 中,已知 AC ? 2 , BC ? 3 , cos A ? ? (Ⅰ)求 sin B 的值; (Ⅱ)求 sin ? 2 B ?

4 . 5

? ?

?? ? 的值. 6?

本小题考查同角三角函数的基本关系式、两角和公式、倍角公式、正弦定理等的知识,考查 基本运算能力.满分 12 分.

3 ? 4? 2 (Ⅰ)解:在 △ ABC 中, sin A ? 1 ? cos A ? 1 ? ? ? ? ? ,由正弦定理, 5 ? 5?
BC AC ? . sin A sin B AC 2 3 2 sin A ? ? ? . 所以 sin B ? BC 3 5 5 4 (Ⅱ)解:因为 cos A ? ? ,所以角 A 为钝角,从而角 B 为锐角,于是 5

2

21 ?2? cos B ? 1 ? sin B ? 1 ? ? ? ? , 5 ?5?
2

2

cos 2 B ? 2cos 2 B ? 1 ? 2 ?

21 17 ?1 ? , 5 25

2 21 4 21 sin 2 B ? 2sin B cos B ? 2 ? ? ? . 5 5 15 ?? ? ? ? sin ? 2B ? ? ? sin 2B cos ? cos 2 B sin 6? 6 6 ?

?

4 21 3 17 1 ? ? ? 25 2 25 2 12 7 ? 17 . 50

?

2 ? 4 ? cos ? ? ? 1 ? tan 5 , ? 是第三象限的角,则 2 【2010 ? 新课标全国理】若 1 1 ? 2 (A) (B) 2 (C) 2 (D) -2

1 ? tan

?

【答案】A

【解析】因

sin a ? ?

4 5 , a 是第三象限的角,故

3 ? 2 2 4 3 2 7 2 cos a ? ? , sin(a ? ) ? sin ? ? ? cos ? ? ? (? ? ) ? ?? . 5 4 2 2 5 5 2 10

7 sin 2 x ? 2 cos2 x ?? ? 3 17 cos? ? x ? ? , ? ? x ? ? , 求 的值 4 1 ? tan x ?4 ? 5 12 若 .

? ?? ? ? ?? ?? ? ?? ? ? 7 而sin 2 x ? sin ?2 ? ? x ? ? ? ? ? cos 2 ? ? x ? ? ? ?2cos2 ? ? x ? ? 1? ? ?4 ? ? 4 ? ? 25 ? ? 4 ? 2? ?

(2011 广东理 16)

1 ? f ( x) ? 2sin( x ? ), x ? R. 3 6 已知函数
f(
(1)求

5? ) 4 的值;

(2)设

? 10 6 ? ?? ? , ? ? ?0, ? , f (3a ? ) ? , f (3? ? 2? ) ? , 2 13 5 ? 2?

求 cos(? ? ? ) 的值.

f(
解: (1)

? 5? 1 5 ? ) ? 2sin( ? ? ? ) ? ?2sin ? 2 4 4 3 4 6

10 ?? ?1 ? ?? ?? ? ? f ? 3? ? ? ? 2sin ? ? ? 3? ? ? ? ? ? 2sin ? , 13 2? 2? 6? ? ?3 ? (2) ?
6 ?? ?? ?1 ? ? f (3? ? 2? ) ? 2sin ? ? (3? ? 2? ) ? ? ? 2sin ? ? ? ? ? 2cos ? , 5 6? 2? ?3 ?
? sin ? ? 5 3 , cos ? ? , 13 5
2

12 ?5? ? cos ? ? 1 ? sin 2 ? ? 1 ? ? ? ? , 13 ? 13 ? 4 ?3? sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? 1 ? ? ? ? , 5 ?5?
cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ?
故 (2011 四川理 17)
2

3 12 5 4 56 ? ? ? ? . 5 13 13 5 65

7 3 f ( x) ? sin( x ? ? ) ? cos( x ? ? ), x ? R 4 4 已知函数
(1)求 f ( x) 的最小正周期和最小值;

cos( ? ? a) ?
(2)已知

4 4 ? , cos( ? ? ? ) ? ? , (0 ? ? ? ? ? ) 2 5 5 2 ,求证: [ f (? )] ? 2 ? 0

7? 7? 3? 3? ? cos x sin ? cos x cos ? sin x sin 4 4 4 4 ? 2 sin x ? 2 cos x f ( x) ? sin x cos ? 2sin( x ? ) 4 解析:

?

?T ? 2? , f ( x)max ? 2

4 cos( ? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ?? (1) 5 4 cos( ? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ?? (2) 5 cos ? cos ? ? 0
(2)

?0 ? ? ? ? ?

?
2

? cos ? ? 0 ? ? ?

?
2

? f (? ) ? 2 ? ( f (? ))2 ? 2 ? 0
(3)倍角公式 ① sin 2? ? 2sin ? cos? ? cos? ?

sin 2? ; 2sin ?

2 sin x ? cos x 与 sin x ? cos x 通过平方关系联系到一起, (sin x ? cos x) ? 1 ? 2sin x cos x , 即

(sin x ? cos x) 2 ? 1 1 ? (sin x ? cos x) 2 , sin x cos x ? . 2 2 因此在解题中若发现题设条件有三者之一,就可以利用上述关系求出或转化为另外两 sin x cos x ?
个. ② cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos 2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ? ;

1 ? cos2? 1 ? cos 2? ; cos2 ? ? . (降次公式) 2 2 2tan ? ③ tan 2? ? . 1 ? tan 2 ? sin 2 ? ?
1、 【福州市 2012 届第一学期期末高三质检】



cos ? ?

3 7 cos 2? ? ? 5 ”是 “ 25 ”的
B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分而不必要条件 C.充要条件

2、 【唐山市 2011—2012 学年度高三年级第一学期期末考试】

(sin 22.5? ? cos 22.5?)2 的值为
A.





1?

2 2

B.

1?

2 2

C. 2 ? 1 【答案】 B 【解析】

D.2

(sin 22.5? ? cos 22.5? ) 2 ? 1 ? 2sin 22.5? cos 22.5? ? 1 ? sin 45? ? 1 ?
? ? ? ?

2 . 2

3、求 sin10 sin 30 sin 50 sin 70 的值.

sin10? sin 30? sin 50? sin 70 ? ?

1 1 sin 40? sin 80? sin160 ? 1 cos 20 ? cos 40 ? cos 80 ? ? ? ? ? ? 2 2 2 sin 20 2 sin 40 2 sin 80 16

4.【山东省莱芜市 2012 届高三上学期期末检测】



tan( ? ? ? ) ? ?

8 A. 3

cos 2? 1 3 ,则 2 sin ? cos? ? cos2 ? 的值为( 8 8 8 ? B. 5 C. 15 D. 7



6.【唐山市 2011—2012 学年度高三年级第一学期期末考试】 若 ? ? ? ? 30?, 则sin
2

? ? cos2 ? ? sin ? cos ? ?
C. cos
2





1 A. 4
【答案】B

3 B. 4
?

?

2 D. sin ?

【解析】将 ? ? a ? 30 代入 sin

2

? ? cos2 ? ? sin ? cos ? 整理为:

sin 2 ? ? cos 2 (a ? 30? ) ? sin ? cos( a ? 30? ) ? sin 2 ? ? (cos a cos30? ? sin a sin 30? ) 2 ? sin ? (cos a cos30? ? sin a sin 30? )

? sin 2 ? ? (

3 1 3 1 cos a ? sin a)( cos a ? sin a ? sin ? ) 2 2 2 2 3 1 3 1 ? sin 2 ? ? ( cos a ? sin a)( cos a ? sin a) 2 2 2 2 3 1 ? sin 2 ? ? ( cos a) 2 ? ( sin a) 2 2 2 3 1 3 3 ? sin 2 ? ? cos 2 a ? sin 2 a ? (sin 2 ? ? cos 2 a) ? . 4 4 4 4
故答案为 B.

7. ( 08 辽 宁 卷 16 ) 设 x ? ? 0, ? , 则 函 数 y ?

? ?

?? 2?

2 s i2 n ? x s i n x2

1 的最小值



. 3

8(08 全国二 17)(本小题满分 10 分) . 在 △ ABC 中, cos A ? ? (Ⅰ)求 sin C 的值; (Ⅱ)设 BC ? 5 ,求 △ ABC 的面积. 解:
5 12 ,得 sin A ? , 13 13 3 4 由 cos B ? ,得 sin B ? . ···················· 2 分 5 5 16 所以 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ? . ········· 5 分 65 4 5? BC ? sin B 5 ? 13 . ·········· 8 分 (Ⅱ)由正弦定理得 AC ? ? 12 sin A 3 13 1 13 16 8 1 ? . ····· 10 分 所以 △ ABC 的面积 S ? ? BC ? AC ? sin C ? ? 5 ? ? 2 3 65 3 2 5 3 , cos B ? . 13 5

(Ⅰ)由 cos A ? ?

9. 【河北省普通高中 2012 届高三教学质量检测试题】

tan( ? ? ) cos 2? 4
计算 A.—2

?

2 cos 2 ( ? ? ) 4 的值为
B. 2 C. -1

?

( ) D. 1

y ? sin(
(2011 上海理 8)函数

?
2

? x) cos(

?
6

? x)
的最大值为 。

2? 3 【答案】 4
(07 浙江理 12) 已知 sin ? ? cos ? ?

1 ? 3? ,且 ≤ ? ≤ ,则 cos 2? 的值是 5 2 4

.?

7 25

(07 重庆理 17) 设 f ( x) ? 6cos2 x ? 3sin 2x . (Ⅰ)求 f ( x ) 的最大值及最小正周期; (Ⅱ)若锐角 ? 满足 f (? ) ? 3 ? 2 3 ,求 tan 解: (Ⅰ) f ( x) ? 6

4 ? 的值. 5

1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x 2

? 3cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 3
? 3 ? 1 ? 2 3? ? 2 cos 2 x ? 2 sin 2 x ? ? 3 ? ? ?

?? ? ? 2 3 cos ? 2 x ? ? ? 3 . 6? ?
故 f ( x ) 的最大值为 2 3 ? 3 ; 最小正周期 T ?

2? ? ?. 2

(Ⅱ)由 f (? ) ? 3 ? 2 3 得 2 3 cos ? 2? ? 又由 0 ? ? ?

? ?

?? ?? ? ? ? 3 ? 3 ? 2 3 ,故 cos ? 2? ? ? ? ?1 . 6? 6? ?

5 ? ? ? ? ? ?. 得 ? 2? ? ? ? ? ,故 2? ? ? ? ,解得 ? ? 12 2 6 6 6 6 4 ? 从而 tan ? ? tan ? 3 . 5 3

(08 全国一 6) y ? (sin x ? cos x)2 ?1是( A.最小正周期为 2π 的偶函数 C.最小正周期为 π 的偶函数

D



B.最小正周期为 2π 的奇函数 D.最小正周期为 π 的奇函数

tan( x ?
(江苏 7)已知

?
4

) ? 2,

tan x 则 tan 2 x 的值为__________

4 【答案】 9
( 2006 年 重 庆 卷 ) 已 知 ? , ? ? ? os ?? ?

3 ? ? 12 ? 3? ? ? , ? ? , sin( ? ? ? )= - , sin ? ? ? ? ? , 则 5 4 ? 13 ? 4 ? ?

? ?

??

56 ?=? 65 4?
AC ? 5 ,三角形面积为 12,则 cos 2C ?

(2006 年上海春卷)在△ ABC 中,已知 BC ? 8,

7 25
(2007 北京理 13) 2002 年在北京召开的国际数学家大会, 会标是以我国古代数学家赵爽的

弦图为基础设计的. 弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形 (如 图) .如果小正方形的面积为 1,大正方形的面积为 25,直角三角形中较小的锐角为 ? ,那 么 cos 2? 的值等于 .

7 25

(2007 海南宁夏理 9) 若

cos 2? 2 ,则 cos ? ? sin ? 的值为( ?? π? 2 ? sin ? ? ? ? 4? ?
7 2
B. ?



A. ?

1 2

C.

1 2

D.

7 2
(2007 江苏 11)

若 cos(? ? ? ) ?

1 1 3 tan , cos(? ? ? ) ? ,则 tan ? ? ? ? _____. 2 5 5

(2010 上海文数)19.(本题满分 12 分) 已知 0 ? x ?

?
2

,化简:

x ? lg(cos x ? tan x ? 1 ? 2sin 2 ) ? lg[ 2 cos( x ? )] ? lg(1 ? sin 2 x) . 2 2
解析:原式?lg(sinx?cosx)?lg(cosx?sinx)?lg(sinx?cosx)2?0. (2010 天津文数) (17) (本小题满分 12 分) 在 ? ABC 中,

AC cos B ? 。 AB cos C
1 ?? ? ,求 sin ? 4B ? ? 的值。 3 3? ?

(Ⅰ)证明 B=C: (Ⅱ)若 cos A =-

【解析】本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二倍角 的正弦与余弦等基础知识,考查基本运算能力.满分 12 分. ( Ⅰ ) 证 明 : 在 △ ABC 中 , 由 正 弦 定 理 及 已 知 得

sinBcosC-cosBsinC=0,即 sin(B-C)=0.因为 ?? ? B ? C ? ? ,从而 B-C=0. 所以 B=C.

s i n B cosB = .于是 s i n C cosC

(Ⅱ)解:由 A+B+C= ? 和(Ⅰ)得 A= ? -2B,故 cos2B=-cos( ? -2B)=-cosA= 又 0<2B< ? ,于是 sin2B= 1 ? cos2 2B =

1 . 3

2 2 . 3

从而 sin4B=2sin2Bcos2B=

7 4 2 2 2 ,cos4B= cos 2 B ? sin 2 B ? ? . 9 9

所以 sin(4 B ?

?
3

) ? sin 4 Bcos

?
3

? cos 4 Bsin

?
3

?

4 2 ?7 3 18
4 ,则 3

( 2010 全 国 卷 2 理 数 ) 13 ) 已 知 a 是 第 二 象 限 的 角 , tan(? ? 2a ) ? ? (

t a na ?
【答案】 ?



1 2

【命题意图】本试题主要考查三角函数的诱导公式、正切的二倍角公式和解方程,考查考生 的计算能力. 【 解 析 】 由 tan(? ? 2a ) ? ?

4 4 2 ta? n 4 2 ? ? ,解得 得 tan 2 a ? ? , 又 t a n a ? 2 3 3 1 ? t a n? 3 1 1 t a n ? ? 或 t a n ? ,又 a 是第二象限的角,所以 tan ? ? ? . ? ? 2 2 2
(安徽理 16)

已知 0 ?? ?

? ?? ? ? 1 ? ? ,? 为 f ( x) ? cos ? 2 x ? ? 的 最 小 正 周 期 , a ? ? t a n? ? ? ? ?, ? ? ?? 4 ? ? ? ?

? 1, ? ?

2 cos 2 ? ? sin 2(? ? ? ) b ? (cos ?, ,且 a ?b ? m .求 2) 的值. cos ? ? sin ?
本小题主要考查周期函数、 平面向量数量积与三角函数基本关系式, 考查运算能力和推理能 力.本小题满分 12 分. 解:因为 ? 为 f ( x) ? cos ? 2 x ?

? ?

π? ? 的最小正周期,故 ? ? π . 8? ? ? 1 ? ? ??2. 4 ?

· 因 a b ? m ,又 a b ? cos ? tan ? ? ? · ·
故 cos ? tan ? ? ? · 由于 0 ? ? ?

? ?

1 ? ? ? ? m?2. 4 ?

π ,所以 4

2cos 2 ? ? sin 2(? ? ? ) 2cos 2 ? ? sin(2? ? 2π) ? cos ? ? sin ? cos ? ? sin ? ? 2cos 2 ? ? sin 2? 2cos ? (cos ? ? sin ? ) ? cos ? ? sin ? cos ? ? sin ?

? 2cos ?

1 ? tan ? π? ? ? 2cos ? tan ? ? ? ? ? 2(2 ? m) · 1 ? tan ? 4? ?
(湖北理 16)

已知 △ ABC 的面积为 3 ,且满足 0 ≤ AB?AC ≤ 6 ,设 AB 和 AC 的夹角为 ? . (I)求 ? 的取值范围; II) ( 求函数 f (? ) ? 2sin 2 ?

??? ??? ? ?

??? ?

????

?π ? ? ? ? ? 3 cos 2? 的最大值与最小值. ?4 ?

本小题主要考查平面向量数量积的计算、 解三角形、 三角公式、 三角函数的性质等基本知识, 考查推理和运算能力.

, 解: (Ⅰ)设 △ ABC 中角 A B,C 的对边分别为 a,b,c ,
则由

1 ?π π? bc sin ? ? 3 , 0 ≤ bc cos ? ≤ 6 ,可得 0 ≤ cot ? ≤1,∴? ? ? , ? . 2 ?4 2?
2

(Ⅱ) f (? ) ? 2sin ?

? ?π ? ?π ?? ? ? ? ? 3 cos 2? ? ?1 ? cos ? ? 2? ? ? ? 3 cos 2? ?4 ? ?2 ?? ?

π? ? ? (1 ? sin 2? ) ? 3 cos 2? ? sin 2? ? 3 cos 2? ? 1 ? 2sin ? 2? ? ? ? 1. 3? ? π ? π 2π ? π? ?π π? ? ∵? ? ? , ? , 2? ? ? ? , ? ,∴ 2 ≤ 2sin ? 2? ? ? ? 1≤ 3 . 3 ?6 3 ? 3? ?4 2? ?
即当 ? ?

5π π 时, f (? )max ? 3 ;当 ? ? 时, f (? )min ? 2 . 12 4

(湖北文 16) 已知函数 f ( x) ? 2sin ?
2

?π ? ?π π? ? x ? ? 3 cos 2 x , x ? ? , ? . ?4 ? ?4 2?

(I)求 f ( x ) 的最大值和最小值; (II)若不等式 f ( x) ? m ? 2 在 x ? ? , ? 上恒成立,求实数 m 的取值范围. 4 2

?π π? ? ?

本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识, 以及运用三角公式、 三角函数的图象和性质 解题的能力. 解: (Ⅰ)∵ f ( x) ? ?1 ? cos ?

? ?

?π ?? ? 2 x ?? ? 3 cos 2 x ? 1 ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ?2 ??

π? ? ? 1 ? 2sin ? 2 x ? ? . 3? ?
又∵ x ? ? , ? ,∴ ≤ 2 x ? ≤ ,即 2 ≤1 ? 2sin ? 2 x ? ? ≤ 3 , 6 3 3 3? ?4 2? ?

?π π?

π

π



?

π?

∴ f ( x)max ? 3,f ( x)min ? 2 .
(Ⅱ)∵ f ( x) ? m ? 2 ? f ( x) ? 2 ? m ? f ( x) ? 2 , x ? ? , ? , 4 2

?π π? ? ?

∴m ? f ( x)max ? 2 且 m ? f ( x)min ? 2 ,
∴1 ? m ? 4 ,即 m 的取值范围是 (1 4) . ,

8、辅助角公式: 对于形如 a sin ? ? b cos ? 的式子,要引入辅助角 ? 并化成 a 2 ? b 2 sin(? ? ? ) 的 形式, 这里辅助角 ? 所在的象限与点 a, b ) ( 所在象限相同,tan ? ? 可化为一个角的三角函数公式:

b n o , a s ? ? b cs ? 即 i a

y ? a sin ? ? b cos? ? a 2 ? b2 (

a a ?b
2 2

sin ? ?

b a ?b
2 2

cos? ) = a2 ? b2 sin( x ? ? ) .

sin x ? cos x ? 2 sin( x ? ),sin x ? 3 cos x ? 2sin( x ? ), 3 sin x ? cos x ? 2sin( x ? ) 4 3 6
1、 (2009 年上海卷理)函数 y ? 2cos x ? sin 2 x 的最小值是___________ .
2

?

?

?

解析 f ( x) ? cos 2 x ? sin 2 x ? 1 ?

2 sin(2 x ? ) ? 1 ,所以最小值为: 1 ? 2 4

?

(全国二 2008)若动直线 x ? a 与函数 f ( x) ? sin x 和 g ( x) ? cos x 的图像分别交于 2、

M ,N 两点,则 MN 的最大值为( B
A.1 B. 2 C. 3

) D.2

3、 (四川卷 2008)若 0 ? ? ? 2? ,sin ? ? 3 cos ? ,则 ? 的取值范围是:( C )

?? ? ? (A) , ? ? ?3 2?

?? ? (B) , ? ? ? ?3 ?

? ? 4? ? (C) , ? ? ?3 3 ?

? ? 3? ? (D) , ? ? ?3 2 ?

?? ? ? 4、 (湖南卷 2008)函数 f ( x) ? sin 2 x ? 3 sin x cos x 在区间 ? , ? 上的最大值是 ?4 2?

(

C A.1

) B.
1? 3 2

C.

3 2

D.1+ 3

5、 (全国新课标理 16) ?ABC 中, B ? 60?, AC ? 3, ,则 AB+2BC 的最大值为_________. 【答案】 2 7 6、 (08 北京卷 15)(本小题共 13 分) . 已知函数 f ( x) ? sin (Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 ?0, ? 上的取值范围. 3 解: (Ⅰ) f ( x) ?
2

? x ? 3 sin ? x sin ? ? x ? ? ( ? ? 0 )的最小正周期为 π . 2
?

? ?

π?

? 2π ? ? ?

1 ? cos 2? x 3 3 1 1 ? sin 2? x ? sin 2? x ? cos 2? x ? 2 2 2 2 2

π? 1 ? ? sin ? 2? x ? ? ? . 6? 2 ?
因为函数 f ( x ) 的最小正周期为 π ,且 ? ? 0 , 所以

2π ? π ,解得 ? ? 1 . 2?

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) ? sin ? 2 x ?

? ?

π? 1 ?? . 6? 2

2π , 3 π π 7π 所以 ? ≤ 2 x ? ≤ , 6 6 6
因为 0 ≤ x ≤

所以 ?

1 π ≤ sin ? 2 x ? ? ≤1 , ? ? 2 6? ? ? ? π? 1 3 ? 3? ? ? ≤ ,即 f ( x) 的取值范围为 ?0, ? . 6? 2 2 ? 2?

因此 0 ≤ sin ? 2 x ?

7、已知函数 f ( x) ? 2cos2 ? x ? 2sin ? x cos ? x ? 1( x ? R, ? ? 0 )的最小值正周期是 (Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的最大值,并且求使 f ( x ) 取得最大值的 x 的集合.

? . 2

(17)本小题主要考查特殊角三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余弦、函数

y ? A sin(? x ? ? ) 的性质等基础知识,考查基本运算能力.满分 12 分.
(Ⅰ)解:

f ?x ? ? 2 ?

1 ? cos 2?x ? sin 2?x ? 1 2 ? sin 2?x ? cos 2?x ? 2

? ?? ? ? 2 ? sin 2?x cos ? cos 2?x sin ? ? 2 4 4? ? ?? ? ? 2 sin ? 2?x ? ? ? 2 4? ?
由题设,函数 f ? x ? 的最小正周期是 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ?x ? ?

? 2? ? ? ,所以 ? ? 2 . ,可得 2 2? 2

?? ? 2 sin? 4 x ? ? ? 2 . 4? ?
?
16 ? k? ?k ? Z ? 时, sin ? 4 x ? ? ? 取得最大值 1,所以函数 ? ? 2 4? ?

当 4x ?

?
4

?

?
2

? 2k? ,即 x ?

? k? ? ? f ?x ? 的最大值是 2 ? 2 ,此时 x 的集合为 ? x | x ? ? ,k ? Z ?. 16 2 ? ?
8、 (2010 浙江理数) (11)函数 f ( x) ? sin(2 x ? __________________ . 解析: f ?x ? ?

?
4

) ? 2 2 sin 2 x 的最小正周期是

2 ? ?? sin? 2 x ? ? ? 2 故最小正周期为π ,本题主要考察了三角恒等变换及 2 4? ?

相关公式,属中档题

9、 (2006 年陕西卷)已知函数 f ( x) ? 3 sin(2 x ? (I)求函数 f ( x ) 的最小正周期;

?
6

) ? 2sin 2 ( x ?

?
12

)( x ? R).

(II)求使函数 f ( x ) 取得最大值的 x 集合。 π π 解:(Ⅰ) f(x)= 3sin(2x- 6 )+1-cos2(x-12) π π 3 1 = 2[ 2 sin2(x-12)-2 cos2(x-12)]+1 π π =2sin[2(x-12)- 6 ]+1 π = 2sin(2x- 3 ) +1 2π ∴ T= 2 =π π π π (Ⅱ)当 f(x)取最大值时, sin(2x- 3 )=1,有 2x- 3 =2kπ + 2 5π 5π 即 x=kπ + 12 (k∈Z) ∴所求 x 的集合为{x∈R|x= kπ + 12 , (k∈Z)}. 10、 (2006 年福建卷)已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 3sin x cos x ? 2cos2 x, x ? R. (I)求函数 f ( x ) 的最小正周期和单调增区间; (II)函数 f ( x ) 的图象可以由函数 y ? sin 2 x( x ? R) 的图象经过怎样的变换得到? 本小题主要考查三角函数的基本公式、 三角恒等变换、 三角函数的图象和性质等基本知 识,以及推理和运算能力。满分 12 分。

1 ? cos 2 x 3 ? sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) 2 2 3 1 3 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2 ? 3 ? sin(2 x ? ) ? . 6 2 2? ? ?. ? f ( x) 的最小正周期 T ? 2 ? ? ? 由题意得 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? , k ? Z , 2 6 2 ? ? 即 k? ? ? x ? k? ? , k ? Z . 3 6 ? ?? ? ? f ( x) 的单调增区间为 ? k? ? , k? ? ? , k ? Z . 3 6? ?
解: (I) f ( x) ? (II)方法一:

? ? 个单位长度,得到 y ? sin(2 x ? ) 的图象, 12 6 3 ? 3 再把所得图象上所有的点向上平移 个单位长度,就得到 y ? sin(2 x ? ) ? 的图象。 2 6 2
先把 y ? sin 2 x 图象上所有点向左平移 方法二: 把 y ? sin 2 x 图象上所有的点按向量 a ? (? 的图象。

?

? 3 , ) 平移,就得到 y ? sin(2 x ? ) ? 12 2 6 2

? 3

(2011 重庆理 16)

?? ? ? ?? f ? x ? ? cos x ? a sin x ? cos x ? ? cos 2 ? ? x ? f ? ? ? ? f ? 0? ?2 ? 满足 ? 3 ? 设 a?R , ,求函数

? 11? [ , ] f ( x) 在 4 24 上的最大值和最小值.
解: f ( x) ? a sin x cos x ? cos x ? sin x
2 2

?

a sin 2 x ? cos 2 x. 2

? 3 a 1 f (? ) ? f (0)得 ? ? ? ? ?1, 解得a ? 2 3. 3 2 2 2 由
f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ?
因此

?
6

).

x ? [ , ]时, 2 x ? ? [ , ], f ( x) 4 3 6 3 2 当 为增函数,

? ?

?

? ?

? 11? ? ? 3? x ?[ , ]时, 2 x ? ? [ , ], f ( x) 3 24 6 2 4 当 为减函数,

? 11? ? f ( x)在[ , ]上的最大值为f ( ) ? 2. 4 4 3 所以

? 11? f ( ) ? 3, f ( ) ? 2, 4 24 又因为
? 11? 11? f ( x )在[ , ] f( ) ? 2. 4 24 上的最小值为 24 故

二、常用方法和技巧
1、 公式的逆用 (1)求 (1 ? tan 25 )(1 ? tan 20 ) 的值.
? ?

(2) (2011 安徽理科 18)在数 1 和 100 之间插入 n 个实数, 使得这 n ? 2 个数构成递增的

等比数列,将这 n ? 2 个数的乘积记作 Tn ,再令 an ? lg Tn, n≥1 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? tan an ? an?1 , 求数列 {bn } 的前 n 项和 S n . tan

(3) (2010 重庆文数) (15)如题(15)图,图中的实线是由三段圆 弧连接而成的一条封闭曲线 C , 各段弧所在的圆经过同一点 P(点 P 不在 C 上)且半径相等. 设第 i 段弧所对的圆心角为 ?i (i ? 1, 2,3) , 则 cos

?1
3

cos

? 2 ? ?3
3 cos

? sin

?1
3

sin

? 2 ? ?3
3 sin

? ____________ . ? cos

解析: cos

?1
3

? 2 ? ?3
3

? sin

?1
3

? 2 ? ?3
3

?1 ? ? 2 ? ? 3
3
1 2

又 ?1 ? ?2 ? ?3 ? 2? ,所以 cos

?1 ? ? 2 ? ? 3
3

??

2、 “1”的活用( 1 ? sin ? ? cos ? )
2 2

1 4 ? 2 2 (1)求 sin ? co s ? 的最小值.

(2)求 f ( x) ? sin x ? cos x( x ? R) 的最小正周期和值域.
4 4

(3)设 tan x ? 2 ,求 1 ? sin 4 x ? 2cos 2 x 的值.
2

?? m? ? , 1

( 4 )( 2006 年 四 川 卷 ) 已 知 A, B, C 是 三 角 形 ?ABC 三 内 角 , 向 量

?

?3

? n ? , ?

cos A

?? ? ,?A i n m ? n ? 1 s ,且

(Ⅰ)求角 A ; (Ⅱ)若

1 ? sin 2 B ? ?3 ,求 tan B cos 2 B ? sin 2 B

本小题主要考察三角函数概念、 同角三角函数的关系、 两角和与差的三角函数的公 式以及倍角公式,考察应用、分析和计算能力。满分 12 分。 解: (Ⅰ)∵ m ? n ? 1 ∴ ?1, 3 ? ? cos A,sin A? ? 1

?? ?

?

?

即 3 sin A ? cos A ? 1

? 3 1? 2 ? sin A ? ? cos A ? ? ? 1 , ? 2 2? ? ?
∵0 ? A ? ?,?

?? 1 ? sin ? A ? ? ? 6? 2 ?
∴ A?

?

3 6 6 6 6 1 ? 2sin B cos B ? ?3 ,整理得 sin 2 B ? sin B cos B ? 2cos2 B ? 0 (Ⅱ)由题知 cos 2 B ? sin 2 B 2 ∴ cos B ? 0 ∴ tan B ? tan B ? 2 ? 0 ∴ tan B ? 2 或 tan B ? ?1 2 2 而 tan B ? ?1 使 cos B ? sin B ? 0 ,舍去 ∴ tan B ? 2 tan A ? tan B 2? 3 8?5 3 ∴ tan C ? tan ?? ? ? A ? B ? ? ? ? tan ? A ? B? ? ? ? ?? ? ? 1 ? tan A tan B 11 1? 2 3
3、 平方法

? A?

?

?

5? 6

?

?

?

∴A?

?

sin x ? cos x ?
(1)设

1 2 ,求 sin 2x 的值.

? ? 2 cos(2 x ? ) sin( x ? ) ? 2 的值. 4 3 ,求 (2)若

(3)设 A,B,C 均为锐角, sin A ? sin B ? cos C,cos A ? cos B ? sin C ,求 A ? B 的值.

4、 配角: 利用已知角或特殊角去配凑要求角

(1)11 浙江)若 0<?<

?
2

,-

?

? 1 ? ? 3 <?<0 , cos( ? ? ) ? , cos( ? ) ? ,则 2 4 3 4 2 3

cos( ? ?
(A)

?
2

)?
(B) ?

3 3

3 3

(C)

5 3 9

(D) ?

6 9

【解析】 cs ∵ o(

?
4

??) ?

1 ? ? 2 2 ? ? 3 ,0 ? ? ? , sin( ? ? ) ? ∴ , 又∵ cos( ? ) ? , 3 2 4 3 4 2 3

?

?

? ? ? ? ? ? 6 ? ? ? 0 , ∴ s i n (? ) ? , ∴ cos( ? ? ) ? cos[( ? ? ) ? ( ? )] = 2 2 4 4 2 4 2 3

cos(

?
4

? ? ) cos(

?
4

?

?
2

) ? sin(

?
4

? ? ) sin(

?
4

?

?

1 3 2 2 6 5 3 )= ? ? ? = . 2 9 3 3 3 3

tan(
(2)设

?
2

?

?
2

) ? 5, tan(

?
4

?

?
4

)?2

,求 tan ? 的值

? ?(
(3)设

5? 4? ? 4 , ) sin(? ? ) ? 6 3 , 3 5 ,求 cos ? 的值

(4) (2010 天津理数) (17) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 3sin x cos x ? 2cos2 x ?1( x ? R) (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期及在区间 ?0,

? ?? 上的最大值和最小值; ? 2? ?

(Ⅱ)若 f ( x0 ) ?

6 ?? ? ? , x0 ? ? , ? ,求 cos 2x0 的值。 5 ?4 2?

【解析】本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦、函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的 性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识,考查基本运算能力,满分 12

分。 (1)解:由 f ( x) ? 2 3sin x cos x ? 2cos2 x ?1 ,得

f ( x) ? 3(2sin x cos x) ? (2 cos 2 x ? 1) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) 6
所以函数 f ( x) 的最小正周期为 ? 因为 f ( x) ? 2sin ? 2 x ?

?

? ?

??

? ?? ?? ? ? ? 在区间 ?0, ? 上为增函数,在区间 ? , ? 上为减函数,又 6? ? 6? ?6 2?

?? ? f (0) ? 1, f ? ? ? 2, ?6?
为-1

? ?? ?? ? f ? ? ? ?1 ,所以函数 f ( x) 在区间 ?0, ? 上的最大值为 2,最小值 ? 2? ?2?

(Ⅱ)解:由(1)可知 f ( x0 ) ? 2sin ? 2 x0 ?

? ?

??
? 6?

又因为 f ( x0 ) ?

6 ?? 3 ? ,所以 sin ? 2 x0 ? ? ? 5 6? 5 ?

由 x0 ? ?

? ? 2? 7? ? ?? ? ? , ? ,得 2 x0 ? ? ? , ? 6 ? 3 6 ? ?4 2?
? ?

从而 cos ? 2 x0 ? 所以

??

?? 4 2? ? ? ? 1 ? sin ? 2 x0 ? ? ? ? 6? 6? 5 ?

?? ?? ?? ?? ? ? ? ? 3? 4 3 ? ? cos 2 x0 ? cos ?? 2 x0 ? ? ? ? ? cos ? 2 x0 ? ? cos ? sin ? 2 x0 ? ? sin ? 6 ? 6? 6? 6 6? 6 10 ? ? ??

5、 先展后合:当形式已经化得很简单却又不能求得要求的时候不妨以退求进,先展开来再 合并,达到预期的目标。 (2011 北京)已知函数 f ( x) ? 4 cos x sin( x ?

?
6

) ?1 。

(Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期:
? ? ?? (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 ? ? , ? 上的最大值和最小值。 ? 6 4?

【解析】(Ⅰ)因为 f ( x) ? 4 cos x sin( x ? :

?
6

) ? 1 ? 4 cos x(

3 1 sin x ? cos x) ? 1 2 2

? 3 sin 2 x ? 2 cos2 x ? 1 ? 3 sin 2x ? cos2x ? 2 sin( 2 x ?
为? (Ⅱ)因为 ?

?
6

) 所以 f (x) 的最小正周期

?
6

?x?

?
4

, 所以 ?

?
6

? 2x ?

?
6

?

, 即x ? ? 时, f ( x) 取得最小值—1. 6 6 6 π 4 7π 3 , 则 sin(α ? )的值是 (山东卷 2008)已知 cos(α - )+sinα = 6 5 6

f (x) 取得最大值 2;当 2 x ?

?

??

?

?

? ? ? 2? . 于是,当 2 x ? ? , 即x ? 时, 6 2 6 3

(A)-

2 3 5

(B)

2 3 5

(C)-

4 5

(D)

4 5

(2010 辽宁理数) (17) (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边,且

2asin A ? (2a ? c)sin B ? (2c ? b)sin C.
(Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)求 sin B ? sin C 的最大值. 解: (Ⅰ)由已知,根据正弦定理得 2a ? (2b ? c)b ? (2c ? b)c
2



a 2 ? b2 ? c 2 ? b c
由余弦定理得

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A



1 c o s ? ? ,A=120° A 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得:

s i n ? s iC ? B n

s Bn i ?

sin(60 ? ?B

)

3 1 cos B ? sin B 2 2 ? sin(60? ? B) ?
故当 B=30°时,sinB+sinC 取得最大值 1。 (2011 江苏 15)在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边为 a, b, c

sin( A ?
(1)若

?
6

) ? 2 cos A,
求 A 的值;

1 cos A ? , b ? 3c 3 (2)若 ,求 sin C 的值.
本题主要考查三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式、解三角形,考查运算求解能 力。 解: (1)由题设知

sin A cos

?
6

? cos A sin

?
6

? 2 cos A, 从而 sin A ? 3 cos A, 所以 cos A ? 0


tan A ? 3 ,因为0 ? a ? ? , 所以 A ?

?
3

.

1 cos A ? , b ? 3c及a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A, 得a 2 ? b 2 ? c 2 . 3 (2)由 B?
故△ABC 是直角三角形,且

?
2

, 所以 sin C ? cos A ?

1 3.

(2010 江西理数)17.(本小题满分 12 分)

?? ? ?? ? f ? x ? ? ?1 ? cot x ? sin 2 x ? m sin ? x ? ? sin ? x ? ? 4? ? 4 ?。 ? 已知函数
f ? x?
? ? 3? ? ? 8 ,4 ? ? 上的取值范围; 在区间 ?
3 5 ,求 m 的值。

(1) 当 m=0 时,求

(2) 当 tan a ? 2 时,

f ?a? ?

【解析】考查三角函数的化简、三角函数的图像和性质、已知三角函数值求值问题。依托三 角函数化简,考查函数值域,作为基本的知识交汇问题,考查基本三角函数变换,属于中等 题. 解: 当 m=0 时,f ( x) ? (1 ? (1)

cos x 1 ? cos 2 x ? sin 2 x ) sin 2 x ? sin 2 x ? sin x cos x ? sin x 2

? 3? 1 ? ? 2 ? [ 2 sin(2 x ? ) ? 1] ,由已知 x ? [ , ] ,得 2 x ? ? [? ,1] 8 4 2 4 4 2
从而得: f ( x) 的值域为 [0,

1? 2 ] 2

cos x ? ? ) sin 2 x ? m sin( x ? ) sin( x ? ) sin x 4 4 1 1 化简得: f ( x) ? [sin 2 x ? (1 ? m) cos 2 x] ? 2 2 3 2sin a cos a 2 tan a 4 ? ? , cos 2a ? , 当 tan ? ? 2 ,得: sin 2a ? 2 2 2 5 sin a ? cos a 1 ? tan a 5
(2) f ( x) ? (1 ? 代入上式,m=-2.
2 (2010 江西理数 19)已知函数 f ( x) ? (1 ? cot x) sin x ? 2sin( x ?

?

(1)若 tan ? ? 2 ,求 f (? ) ; (2)若 x ? [

) sin( x ? ) . 4 4

?

, ] ,求 f ( x) 的取值范围. 12 2

? ?

【解析】考查三角函数的化简、三角函数的图像和性质、三角函数值域问题。依托三角函数 化简,考查函数值域,作为基本的知识交汇问题,考查基本三角函数变换,属于中等题. 解: (1) f ( x) ? sin 2 x ? sin x cos x ? cos 2 x ?

1 ? cos 2 x 1 ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2

1 1 (sin 2 x ? cos 2 x) ? 2 2 2sin ? cos ? 2 tan ? 4 ? ? , 由 tan ? ? 2 得 sin 2? ? 2 2 2 sin ? ? cos ? 1 ? tan ? 5 ?

cos 2 ? ? sin 2 ? 1 ? tan 2 ? 3 cos 2? ? ? ?? , 2 2 2 sin ? ? cos ? 1 ? tan ? 5
所以 f (? ) ?

3 . 5

(2)由(1)得 f ( x) ? 由 x ?[

1 1 2 ? 1 (sin 2 x ? cos 2 x) ? ? sin(2 x ? ) ? 2 2 2 4 2

? 5? 5? ? 2 , ] 得 2 x ? ? [ , ] ,所以 sin(2 x ? ) ? [? ,1] 12 2 4 12 4 4 2 2 ? 1 1? 2 从而 f ( x) ? sin(2 x ? ) ? ? [0, ]. 2 4 2 2

? ?

(2010 重庆文数)(18).(本小题满分 13 分), (Ⅰ)小问 5 分,(Ⅱ)小问 8 分.) 设 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,且 3 b +3 c -3 a =4 2 bc .
2 2 2

(Ⅰ) 求 sinA 的值;

2sin( A ? )sin( B ? C ? ) 4 4 的值. (Ⅱ)求 1 ? cos 2 A

?

?

(2010 湖北理数) 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)= cos(

?

? 1 1 ? x) cos( ? x), g ( x) ? sin 2 x ? 3 3 2 4

(Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)求函数 h(x)=f(x)-g(x)的最大值,并求使 h(x)取得最大值的 x 的集合。

(2010 安徽理数)16、 (本小题满分 12 分) 设 ?ABC 是锐角三角形, a, b, c 分别是内角 A, B, C 所对边长,并且

sin 2 A ? sin( ? B) sin( ? B) ? sin 2 B 。 3 3
(Ⅰ)求角 A 的值; (Ⅱ)若 AB ? AC ? 12, a ? 2 7 ,求 b, c (其中 b ? c ) 。

?

?

??? ??? ? ?

6、 切化弦:当弦与切同时出线的时候一般要将切化为弦

(2010 江苏卷)10、定义在区间 ? 0 ,

? ?

??

? 上的函数 y=6cosx 的图像与 y=5tanx 的图像的交点 2?

为 P, 过点 P 作 PP1⊥x 轴于点 P1, 直线 PP1 与 y=sinx 的图像交于点 P2,则线段 P1P2 的长为_______ ▲_____。 [解析] 考查三角函数的图象、数形结合思想。线段 P1P2 的长即为 sinx 的值, 且其中的 x 满足 6cosx=5tanx,解得 sinx=

2 2 。线段 P1P2 的长为 3 3 b a a ? 6 cos C , b

3.(2010 江苏卷)13、在锐角三角形 ABC,A、B、 的对边分别为 a、b、 C c, ? 则

tan C tan C ? =____▲_____。 tan A tan B

[解析] 考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用,等价转化思想。一题多解。 (方法一)考虑已知条件和所求结论对于角 A、B 和边 a、b 具有轮换性。 当 A=B 或 a=b 时满足题意,此时有: cos C ?

1 1 ? cos C 1 C 2 2 C ? ? , tan ? , tan , 3 2 1 ? cos C 2 2 2

tan A ? tan B ?

1 tan C 2

? 2,

tan C tan C ? = 4。 tan A tan B

(方法二) ?

b a

a a 2 ? b2 ? c 2 3c 2 ? 6 cos C ? 6ab cos C ? a 2 ? b 2 , ab ? 6 ? a 2 ? b2 , a 2 ? b2 ? b 2ab 2

tan C tan C sin C cos B sin A ? sin B cos A sin C sin( A ? B) 1 sin 2 C ? ? ? ? ? ? ? tan A tan B cos C sin A sin B cos C sin A sin B cos C sin A sin B

sin A ? sin B , sin( B ? A) ? cos C .求 A, C . cos A ? cos B sin A ? sin B sin C sin A ? sin B ? 解:(1) 因为 tan C ? ,即 , cos A ? cos B cos C cos A ? cos B 所以 sin C cos A ? sin C cos B ? cos C sin A ? cos C sin B , 即 sin C cos A ? cos C sin A ? cos C sin B ? sin C cos B , 得 sin(C ? A) ? sin( B ? C ) . 所以 C ? A ? B ? C ,或 C ? A ? ? ? ( B ? C ) (不成立). ? 2? 即 2C ? A ? B , 得 C ? ,所以. B ? A ? 3 3 1 ? 5? ? 5? 又因为 sin( B ? A) ? cos C ? , B ? A ? , B ? A ? 则 或 (舍去) 得 A ? , B ? 2 6 6 4 12
(2009 江西卷理) △ ABC 中, tan C ?

(08 江西卷 17)(本小题满分 12 分) . 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对应的边分别为 a , b, c , a ? 2 3 , tan

A? B C ? tan ? 4, 2 2

2sin B cos C ? sin A ,求 A, B 及 b, c

A? B C C C ? tan ? 4 得 cot ? tan ? 4 2 2 2 2 C C cos sin 1 2 ? 2 ?4 ∴ ∴ ?4 C C C C sin cos sin cos 2 2 2 2 1 ∴ sin C ? ,又 C ? (0, ? ) 2 ? 5? ∴ C ? ,或C ? 6 6
解:由

tan

由 2sin B cos C ? sin A 得 2sin B cos B ? sin( B ? C ) 即 sin( B ? C ) ? 0 ∴B ?C

B?C ?

?
6

A ? ? ? (B ? C) ?
由正弦定理

2? 3

a b c ? ? 得 sin A sin B sin C 1 sin B b?c?a ? 2 3? 2 ? 2 sin A 3 2

(07 安徽理 16)已知 0 ? ? ?

? ?? ? ,? 为 f ( x) ? cos ? 2 x ? ? 的最小正周期, ? ?? ?

2cos 2 ? ? sin 2(? ? ? ) ? ? 1 ? ? 2) 的值. a ? ? tan ? ? ? ? ?, 1?, b ? (cos ?, ,且 a ? b ? m .求 ? cos ? ? sin ? 4 ? ? ? ?
本小题主要考查周期函数、 平面向量数量积与三角函数基本关系式, 考查运算能力和推理能 力.本小题满分 12 分. 解:因为 ? 为 f ( x) ? cos ? 2 x ?

? ?

π? ? 的最小正周期,故 ? ? π . 8? ? ? 1 ? ? ??2. 4 ?

· 因 a b ? m ,又 a b ? cos ? tan ? ? ? · ·
故 cos ? tan ? ? ? · 由于 0 ? ? ?

? ?

1 ? ? ? ? m?2. 4 ?

π ,所以 4

2cos 2 ? ? sin 2(? ? ? ) 2cos 2 ? ? sin(2? ? 2π) ? cos ? ? sin ? cos ? ? sin ? ? 2cos 2 ? ? sin 2? 2cos ? (cos ? ? sin ? ) ? cos ? ? sin ? cos ? ? sin ?

? 2cos ?

1 ? tan ? π? ? ? 2cos ? tan ? ? ? ? ? 2(2 ? m) · 1 ? tan ? 4? ?


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三角函数恒等变形技巧

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三角函数恒等变形及解三角形练习题及答案

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三角函数的恒等变换及图像

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三角函数与三角恒等变换_经典测试题_附答案

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三角函数恒等变形公式

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三角函数恒等变换

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简单的三角函数恒等变换讲解

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三角函数的性质及三角恒等变形

三角函数的性质及三角恒等变形 概述:三角函数的基础是平面几何中的相似形与圆,但研究的方法是采用代数中函数的研究方法和代数运算的方法, 于是使三角函数成了联系...

三角函数恒等变换含答案及高考题

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