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河北省唐山市开滦第二中学高中数学 1.4绝对值三角不等式学案 新人教A版选修4-5

时间:2016-11-05


河北省唐山市开滦第二中学高中数学 1.4 绝对值三角不等式学案 新人教 A 版选修 4-5
【 学 习 目 标 】 1. 能 利 用 绝 对 值 的 几 何 意 义 分 析 解 题 , 理 解 不 等 式:①

a ? b ? a ? b ? a ? b ,② a ? c ? a ? b ? b ? c ;
2.掌握证明含有绝对值不等式的基

本思路;熟练准确的应用绝对值三角不等式定理解决相关 问题 【重点难点】重点:1.能利用绝对值的几何意义分析解题, 理解 不等式:① a ? b ? a ? b ? a ? b ,② a ? c ? a ? b ? b ? c ; 2.掌握证明含有绝对值不等式的基本思路;熟练准确的应用绝对值三角不等式定理解决相关 问题 难点:理解不等式① a ? b ? a ? b ? a ? b , ② a ? c ? a ? b ? b ? c 及对其熟练正确的应用. 【 学习过程】 一、问题情景导入: 1.绝对值的几何意义及定义是怎样的? 2.用恰当的方法在数轴上把 a , b , a ? b 表示出来,你能发现它们之间有什么关系? 3.如果把上述的实数 a , b 分别换 为向量 a, b , 能得出什么结果?你能解释它的几何意义吗? 4.你能根据前面的研究思路, 探究一下 a ? b 与 a ? b ,a ? b 与 a ? b ,a ? b 与 a ? b 等之间的关系. 二、自学 探究: (阅读课本第 11-14 页,完 成下面知识点的梳理) 1.绝对值三角不等式: ①定理 1:如果 a , b 是实数,则 成立. 注:称 a ? b ? a ? b 为 ②定理 2:如果 a , b, c 是实数,那么 当且仅当 时,等号成立. . , ,当且仅当 时,等号

2. ?1? a ? b ? a ? b ? a ? b (注意不 等式成立的条件)

1

?2? a ? b ? a ? b ? a ? b ( 注意不等式成立的条件)

二、例题演练: 题型一.绝对值三角不等式的性质 例 1 若 x ? a ? h, y ? a ? h, 则下列不等式一定成立 的是( ) A. x ? y ? h C. x ? y ? h B. x ? y ? 2h D. x ? y ? 2h

变式:设 ab ? 0 ,下面四个不等式① a ? b ? a ;② a ? b ? b ; ③ a ? b ? a ? b ;④ a ? b ? a ? b 中,正确的是 .

题型二.用绝对值三角不等式的性质证明不等式: 例 2. 已知 ? ? 0, x ? a ? ? , y ? b ? ? ,求证:

2x ? 3y ? 2a ? 3b ? 5? .

变 式:设 a ? 1 ,函数 f ?x ? ? ax2 ? x ? a?? 1 ? x ? 1?,证明:

f ?x ? ?

5 4

题型三.用绝对值三 角不等式的性质求最值:

2

例 3.求 函数 y ? x ? 3 ? x ? 1 的最大值和最小值.

变式:若不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? a 成立的充要条件是 a

.

【课 堂小结与反思】

【课后作业与练习】 1.若 x, y ? R ,则不等式 A. x ? 0, y ? 0

x? y ? 1 成立的充要条件是( ) x? y
C. x ? 0, y ? 0 D. x, y 至少有一个不等于 0

B. x, y 至少有一个大于 0

2.已知 a ? b , m ?

a?b a?b ,则 m, n 的大小关系是 ,n ? a ?b a?b



3.下列四个不等式:① logx 10 ? lg x ? 2?x ? 1? ,② a ? b ? a ? b ,③ ④ x ? 1 ? x ? 2 ? 1 ,其中恒成立的是 。 (填序号)

b a ? ? 2?ab ? 0? , a b

3

4.不等式 2x ? log2 x ? 2x ? log2 x 成立,则( A. 1 ? x ? 2 C. x ?1 B. 0 ? x ? 1 D. x ? 2



5.若 0 ? a ? 1 ,下列不等式一定成立的是( ) A. log (1? a ) (1 ? a ) ? log (1?a ) (1 ? a ) ? 2 B. log (1? a ) (1 ? a ) ? log (1?a ) (1 ? a ) C. log (1?a ) (1 ? a) ? log (1?a ) (1 ? a) ?

log (1?a ) (1 ? a ) ? log (1?a ) (1 ? a )

D. log (1?a ) (1 ? a) ? log (1?a ) (1 ? a) ? log (1?a ) (1 ? a ) ? log (1?a ) (1 ? a )

6.已知 a ? 0 ,求证:

a2 ? b2 2a

?

a b ? . 2 2

7.求证:

|a ?b| |a| |b| ≤ + . 1? | a ? b | 1? | a | 1? | b |

8.已知对于任意非零实 数 m ,不等式 2m ? 1 ? 1 ? m ? m x ? 1 ? 2x ? 3 恒成立,求实数

?

?

x 的取值范围.

4

9.已知函数 f ?x? ? log2 x ? 1 ? x ? 5 ? a . ⑴当 a ? 2 时,求函数 f ?x ? 的最小值; ⑵当函数 f ?x ? 的定义域为 R 时,求实数 a 的取值范围.

?

?

5


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