nbhkdz.com冰点文库

2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套学案65 二项式定理


学案 65

二项式定理

导学目标: 1.能用计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的 简单问题.

自主梳理 1.二项式定理的有关概念 n 1 n-1 1 n-k k n n (1)二项式定理:(a+b)n=C0 b +?+Ck b +?+Cn b (n∈N*),这个公式叫 na +Cna n

a 做______________. ①二项展开式:右边的多项式叫做(a+b)n 的二项展开式. ②项数:二项展开式中共有________项. ③二项式系数:在二项展开式中各项的系数________(k=______________)叫做二项式系 数. ④通项:在二项展开式中的________________叫做二项展开式的通项,用 Tk+1 表示,即 通项为展开式的第 k+1 项:Tk+1=____________________. 2.二项式系数的性质 (1)对称性:与首末两端________的两个二项式系数相等. (2)增减性与最大值:当 n 是偶数时,中间的一项二项式系数________________取得最大 值;当 n 为奇数时,中间的两项二项式系数____________、________________________相等, 且同时取得最大值. 偶 0 1 2 n 2 4 (3)各二项式系数和:Cn +Cn +Cn +?+Cn =______,C0 n+Cn+Cn+?+Cn =________, 奇 1 3 5 Cn+Cn+Cn+?+Cn =________. 自我检测 1.(2011· 福建)(1+2x)5 的展开式中,x2 的系数等于( ) A.80 B.40 C.20 D.10 - 2.(2011· 陕西)(4x-2 x)6(x∈R)展开式中的常数项是( ) A.-20 B.-15 C.15 D.20 3.(x- 2y)10 的展开式中 x6y4 项的系数是( ) A.840 B.-840 C.210 D.-210 ?2- 1 ?6 4.(2010· 四川)? 3 ? 的展开式中的第四项是______. x? ? a 5.(2011· 山东)若(x- 2 )6 展开式的常数项为 60,则常数 a 的值为________. x 1 x2- ?n 的展开式中第 4 项的二项式系数最大, 6.(2011· 烟台期末)已知 n 为正偶数,且? 2x? ? 则第 4 项的系数是__________.(用数字作答)

探究点一 二项展开式及通项公式的应用 ?3 1 ? ?n 的展开式中,第 6 项为常数项. 例 1 已知在? x- ? 3 ? ? 2 x? 2 (1)求 n;(2)求含 x 的项的系数; (3)求展开式中所有的有理项.

-1-

4 变式迁移 1 (2010· 湖北)在(x+ 3y)20 的展开式中,系数为有理数的项共有________项. 探究点二 二项式系数的性质及其应用 - 2 3 n 例 2 (1)求证:C1 2n 1; n+2Cn+3Cn+?+nCn=n· 2 27 (2)求 S=C1 27+C27+?+C27除以 9 的余数.

4 2k 2n 变式迁移 2 (2011· 上海卢湾区质量调研)求 C2 2n+C2n+?+C2n+?+C2n的值.

探究点三 求系数最大项 3 例 3 已知 f(x)=( x2+3x2)n 展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大 992. (1)求展开式中二项式系数最大的项; (2)求展开式中系数最大的项.

变式迁移 3 (1)在(x+y)n 的展开式中,若第七项系数最大,则 n 的值可能等于( ) A.13,14 B.14,15 C.12,13 D.11,12,13 1 ?n (2)已知? ?2+2x? ,(ⅰ)若展开式中第 5 项,第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列,求 展开式中二项式系数的最大项的系数; (ⅱ)若展开式前三项的二项式系数和等于 79,求展开式中系数最大的项.

-2-

1.二项式系数与项的系数是不同的,如(a+bx)n (a,b∈R)的展开式中,第 r+1 项的二项 r n-r r 式系数是 Cr b. n,而第 r+1 项的系数为 Cna 2.通项公式主要用于求二项式的指数,求满足条件的项或系数,求展开式的某一项或系 n-r r 数.在运用公式时要注意:Cr b 是第 r+1 项,而不是第 r 项. na n 1 n n 3.在(a+b) 的展开式中,令 a=b=1,得 C0 n+Cn+?+Cn=2 ;令 a=1,b=-1,得 0 1 2 3 2 4 1 3 5 n-1 Cn -Cn +Cn -Cn +?=0,∴C0 ,这种由一般到特 n+Cn+Cn+?=Cn+Cn+Cn +?=2 殊的方法是“赋值法”. 4.二项式系数的性质有:(1)在二项展开式中,与首末两端“等距离”的两项的二项式系 n 1 n-1 2 n-2 r n-r 数相等,即 C0 n=Cn,Cn=Cn ,Cn=Cn ,?,Cn=Cn .(2)如果二项式的幂指数是偶数, 中间一项的二项式系数最大;如果二项式的幂指数是奇数,中间两项的二项式系数相等 并且最大. 5.二项式定理的一个重要作用是近似计算,当 n 不是很大,|x|比较小时,(1+x)n≈1+nx. 利用二项式定理还可以证明整除性问题或求余数问题,证题时要注意变形的技巧.

(满分:75 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)

? x+ 1 ?24 1. (2011· 山东实验中学模拟)在? x 的幂指数是整数的项共有( 3 ? 的展开式中, x? ?

)

A.3 项 B.4 项 C.5 项 D.6 项 2. (2011· 重庆)(1+3x)n(其中 n∈N 且 n≥6)的展开式中 x5 与 x6 的系数相等, 则 n 等于( ) A.6 B.7 C .8 D.9 x 1 ? - ? 3.(2011· 黄山期末)在?2 3 ?n 的展开式中,只有第 5 项的二项式系数最大,则展开式中 x? ? 常数项是( ) A.-7 B.7 C.-28 D.28 1 ?3x- ?n 1 4. (2010· 烟台高三一模)如果? 则展开式中 3 3 2? 的展开式中二项式系数之和为 128, x x? ? 的系数是( ) A.7 B.-7 C.21 D.-21 5.在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8 的展开式中,含 x3 的项的系数是( )
-3-

A.74 B.121 C.-74 D.-121 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 1 18 6.(2011· 湖北)(x- ) 的展开式中含 x15 的项的系数为__________.(结果用数值表示) 3 x 1 x- ? 6 的展开式中的常数项为 7.(2011· 济南高三模拟)已知 a=?π(sin t+cos t)dt,则? ? ax? ?
0

________. 1 1+x+ 2?10 的展开式中的常数项是________. 8.? x? ? 三、解答题(共 38 分) 9.(12 分)(1)设(3x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4. ①求 a0+a1+a2+a3+a4; ②求 a0+a2+a4; ③求 a1+a2+a3+a4; (2)求证:32n 2-8n-9 能被 64 整除(n∈N*).


1 1+ ?n<3. 10.(12 分)利用二项式定理证明对一切 n∈N*,都有 2≤? ? n?

2 ?n * 11.(14 分)(2011· 泰安模拟)已知? ? x-x2? (n∈N )的展开式中第五项的系数与第三项的系 数的比是 10∶1. (1)求展开式中各项系数的和;
3

(2)求展开式中含 x 2 的项; (3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.

-4-

学案 65
自主梳理 1.(1)二项式定理 ②n+1 ③Ck n
n-k k Ck b 2.(1)等距离 na n n-1 n-1

二项式定理


n k k 0,1,2,?,n ④Ck b na

(2) C n

n 2

Cn

n +1 2

Cn

n- 1 2

(3)2 2 2 自我检测 r r r r 1. B [(1+2x)5 的第 r+1 项为 Tr+1=Cr 令 r=2, 得 x2 的系数为 22· C2 5(2x) =2 C5x , 5=40.] - - - r x r x 6 r r 2.C [设展开式的常数项是第 r+1 项,则 Tr+1=C6· (4 ) · (-2 ) ,即 Tr+1=C6· (-1)6 - - r 2rx rx-6x · 2 · 2 =Cr (-1)6 r· 23rx 6x,∴3rx-6x=0 恒成立.∴r=2,∴T3=C2 (-1)4=15.∴选 C.] 6· 6· 3.A 160 4.- x 5.4 a - 6-r 6-3r 解析 (x- 2 )6 展开式的通项为 Tr+1=Cr (-1)r· ( a)r· x 2r=Cr (-1)r· ( a)r. 6x 6x x 2 令 6-3r=0,得 r=2.故 C6 ( a)2=60,解得 a=4. 5 6.- 2 课堂活动区 n-r r 例 1 解题导引 (1)通项 Tr+1=Cr b 是(a+b)n 的展开式的第 r+1 项, 而不是第 r 项; na 二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念,二项式系数是指 Cr , r = 0,1,2 , ?,n,与 a, n b 的值无关;而项的系数是指该项中除变量外的常数部分. (2)求二项展开式中的有理项,一般是根据通项公式所得到的项,其所有的未知数的指数 恰好都是整数的项.解这种类型的问题必须合并通项公式中同一字母的指数,根据具体要求, 令其属于整数,再根据数的整除性来求解.若求二项展开式中的整式项,则其通项公式中同 一字母的指数应是非负整数,求解方式与求有理项的方式一致. 解 (1)通项公式为 Tr+1=Cr nx
n- 2r 3 n- r 3

?-1?r x - 3 ? 2?

r

? 1?r =Cr n -2 x ? ?



n-2r 因为第 6 项为常数项,所以 r=5 时,有 = 0, 3 即 n=10. n-2r 1 1 (2)令 =2,得 r= (n-6)= ×(10-6)=2, 3 2 2 ? 1?2 45 ∴所求的系数为 C2 10 -2 = . ? ? 4 10-2r ? ? 3 ∈Z, (3)根据通项公式,由题意得? 0≤r≤10, ? ?r∈N.
-5-

10-2r =k (k∈Z),则 10-2r=3k, 3 3 即 r=5- k,∵r∈N,∴k 应为偶数. 2 ∴k 可取 2,0,-2,即 r 可取 2,5,8. 所以第 3 项,第 6 项与第 9 项为有理项,它们分别为 1?2 2 1?5 1?8 -2 2 ? 5 ? 8 ? C10 ?-2? x ,C10?-2? ,C10?-2? x . 变式迁移 1 6 令 4 - 解析 展开式的通项 Tr+1=Cr x20 r· ( 3y)r 20·
r

34 . =Cr x20 r· yr· 20· r 由 0≤r≤20, ∈Z 得 r=0,4,8,12,16,20. 4 所以系数为有理数的项共有 6 项. n n+1 k 例 2 解题导引 (1)在有关组合数的求和问题中,经常用到形如 C0 n=Cn=Cn+1,Cn = n-k k k-1 Cn ,kCn=nCn-1等式子的变形技巧; (2)利用二项式定理解决整除问题时,关键是进行合理地变形构造二项式.求余数问题时, 应明确被除式 f(x)、除式 g(x)[g(x)≠0]、商式 q(x)与余式的关系及余式的范围. -1 2 3 n (1)证明 方法一 设 S=C1 Cn n+2Cn+3Cn+?+(n-1)· n +nCn,① n n-1 n-2 2 1 ∴S=nCn+(n-1)Cn +(n-2)Cn +?+2Cn+Cn 1 2 n-2 n-1 =nC0 n+(n-1)Cn+(n-2)Cn+?+2Cn +Cn ,② 0 1 2 n-1 n ①+②得 2S=n(Cn+Cn+Cn+?+Cn +Cn)=n· 2n. n-1 ∴S=n· 2 .原式得证. n! k k 方法二 ∵ Ck = · n n n k!?n-k?! ?n-1?! -1 = =Ck n-1, ?k-1?!?n-k?! k-1 ∴kCk n=nCn-1. 1 n-1 ∴左边=nC0 n-1+nCn-1+?+nCn-1 - 1 n-1 =n(C0 2n 1=右边. n-1+Cn-1+?+Cn-1)=n· 1 2 27 27 (2)解 S=C27+C27+?+C27=2 -1 =89-1=(9-1)9-1 9 1 8 8 9 =C0 9×9 -C9×9 +?+C9×9-C9-1 0 8 1 7 8 =9(C9×9 -C9×9 +?+C9)-2 8 1 7 8 =9(C0 9×9 -C9×9 +?+C9-1)+7, 显然上式括号内的数是正整数. 故 S 被 9 除的余数为 7. 1 2 2 3 3 2n 2n 变式迁移 2 解 (1+x)2n=C0 2n+C2nx+C2nx +C2nx +?+C2nx . 0 1 2n-1 2n 2n 令 x=1 得 C2n+C2n+?+C2n +C2n=2 ; 1 2 r r 2n-1 2n 再令 x=-1 得 C0 2n-C2n+C2n-?+(-1) C2n+?-C2n +C2n=0. 0 两式相加,再用 C2n=1, 22n - 4 2n 得 C2 + C + ? + C = -1=22n 1-1. 2n 2n 2n 2 n ? 例 3 解题导引 (1)求二项式系数最大的项:如果 n 是偶数,则中间一项[第? ?2+1?项] n+1 n+1 ? 的二项式系数最大;如果 n 是奇数,则中间两项[第 项与第? 2 ? 2 +1?项]的二项式系数相 等且最大; (2)求展开式系数最大的项:如求(a+bx)n(a,b∈R)的展开式中系数最大的项,一般是采 用待定系数法.设展开式各项系数分别为 A1,A2,?,An+1,且第 r+1 项系数最大,应用


-6-

? ?Ar≥Ar-1 ? 解出 r 来,即得系数最大的项. ?Ar≥Ar+1 ?

解 (1)令 x=1,则二项式各项系数的和为 f(1)=(1+3)n=4n, 又展开式中各项的二项式系数之和为 2n. 由题意知,4n-2n=992. ∴(2n)2-2n-992=0,∴(2n+31)(2n-32)=0, ∴2n=-31(舍),或 2n=32,∴n=5. 由于 n=5 为奇数,所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项,它们分别是

琪 x3 T3=C2 5琪 桫 骣2 3琪 3 x T4=C5 琪 桫

骣2

3

(3x2)2=90x6, (3x ) =270 x
2 3
22 3

2

.
2

( 5+2 r) r x3 (2)展开式的通项公式为 Tr+1=Cr . 53 · r r r-1 r-1 ?C53 ≥C5 · 3 , ? 假设 Tr+1 项系数最大,则有? r r r+1 r+1 ?C53 ≥C5 · 3 , ?

5! 5! ? ??5-r?!r!×3≥?6-r?!?r-1?!, ∴? 5! 5! ? ??5-r?!r!≥?4-r?!?r+1?!×3.

? r ≥6-r, ∴? 1 3 ?5-r≥r+1.

3

1

7 9 ∴ ≤r≤ ,∵r∈N,∴r=4. 2 2

变式迁移 3 (1)D [(1)分三种情况:①若仅 T7 系数最大,则共有 13 项,n=12;②若 T7 与 T6 系数相等且最大,则共有 12 项,n=11;③若 T7 与 T8 系数相等且最大,则共有 14 项, n=13,所以 n 的值可能等于 11,12,13,故选 D.] 6 5 2 (2)解 (ⅰ)∵C4 n+Cn=2Cn,∴n -21n+98=0. ∵n=7 或 n=14,当 n=7 时,展开式中二项式系数最大的项是 T4 和 T5. ?1?4 3 35, ∴T4 的系数为 C3 7 2 2 = ? ? 2 1 ? ?3 4 T5 的系数为 C4 7 2 2 =70, ? ? 当 n=14 时,展开式中二项式系数的最大的项是 T8. ?1?7 7 ∴T8 的系数为 C7 14 2 2 =3 432. ? ? 0 1 2 (ⅱ)∵Cn+Cn+Cn=79,∴n2+n-156=0. ∴n=12 或 n=-13(舍去). 设 Tk+1 项的系数最大, 1 1 +2x?12=? ?12(1+4x)12, ∵? ?2 ? ?2? -1 k-1 k k ? C 4 ≥ Ck , ? 12 12 4 ∴? k k ∴9.4≤k≤10.4. + + k 1 k 1 ?C124 ≥C12 4 . ? ∴k=10.∴展开式中系数最大的项为 T11, 1?12 10 10 10 10 T11=? ?2? C124 x =16 896x .
-7-

课后练习区 1.C 5 5 5 5 6 6 6 6 2.B [(1+3x)n 的展开式中 x5 的项为 C5 n(3x) =Cn3 x ,展开式中含 x 的项为 Cn3 x ,由 5 5 6 6 两项的系数相等得 Cn· 3 =Cn· 3 ,解得 n=7.] 3.B 4.C 5.D 6.17
18 1 r 1 3r 18-r 2 解析 二项展开式的通项为 Tr+1=Cr (- ) =(-1)r( )rCr .令 18- =15, 18x 18 x 3 2 3 x 解得 r=2. 1 ∴含 x15 的项的系数为(-1)2( )2C2 =17. 3 18 5 7.- 2 8.4 351 1 1 1+x+ 2?10=??1+x?+ 2?10 解析 ? x? x? ? ? 1 0 10 1 91 2 71 4 61 =C10(1+x) +C10(1+x) 2+C10 (1+x)8 4+C3 10(1+x) 6+C10(1+x) 8+?, x x x x 1 6 0 0 从第五项 C4 10(1+x) 8起,后面各项不再出现常数项,前四项的常数项分别是 C10×C10, x 1 2 4 3 6 C10 ×C2 9,C10×C8,C10×C7. 故原三项展开式中常数项为 0 1 2 2 4 3 6 C10 C0 10+C10C9+C10C8+C10C7=4 351. 9.(1)解 ①令 x=1, 得 a0+a1+a2+a3+a4=(3-1)4=16.(2 分) ②令 x=-1 得, a0-a1+a2-a3+a4=(-3-1)4=256, 而由(1)知 a0+a1+a2+a3+a4=(3-1)4=16, 两式相加,得 a0+a2+a4=136.(4 分) ③令 x=0 得 a0=(0-1)4=1, 得 a1+a2+a3+a4=a0+a1+a2+a3+a4-a0 =16-1=15.(6 分) + (2)证明 ∵32n 2-8n-9=32· 32n-8n-9 =9· 9n-8n-9=9(8+1)n-8n-9 -1 n 1 n-1 =9(C0 +?+Cn 8+Cn 1)-8n-9 n8 +Cn8 n · n· (8 分) -2 2 n-1 =9(8n+C1 +?+Cn 8n+9-8n-9 n8 n 8 )+9· 2 n-2 1 n-3 n-2 =9×8 ×(8 +Cn· 8 +?+Cn )+64n - -2 n-3 =64[9(8n 2+C1 +?+Cn n8 n )+n], 显然括号内是正整数, ∴原式能被 64 整除.(12 分) 1?n 10.证明 因为? ?1+n? 1 ?n-1? 1 ?n-1??n-2? 1 1 2 ?1?2 3 ?1?3 n ?1?n =C0 · + · +? n+Cn· +Cn·n +Cn·n +?+Cn ·n =1+1+ ? ? ? ? ? ? n 2! ? n ? 3! ? n ?? n ? 1 ?n-1??n-2? ?1? + · ? .(4 分) n! ? n ?? n ? ?n? 1?n 所以 2≤? ?1+n? 1 1 1 <2+ + +?+ (6 分) 2! 3! n! 3r

-8-

1 1 1 + +?+ 1· 2 2· 3 ?n-1?n 1? ?1 1? ? 1 -1? =2+? ?1-2?+?2-3?+?+?n-1 n? 1 =3- <3,(9 分) n 1 1+ ?n=2; 仅当 n=1 时,? ? n? 1?n 当 n≥2 时,2<? ?1+n? <3.(11 分) 1?n 故对一切 n∈N*,都有 2≤? ?1+n? <3.(12 分) <2+ 11.解 由题意知,第五项系数为
4 Cn · (-2)4,第三项的系数为

C4 ?-2?4 n· 2 2 Cn· (-2) ,则有 2 = Cn· ?-2?2

10 , 1 化简得 n2-5n-24=0, 解得 n=8 或 n=-3(舍去).(2 分) (1)令 x=1 得各项系数的和为(1-2)8=1.(4 分) 2 ?r - ? (2)通项公式 Tr+1=Cr ( x)8 r· 8· ?-x2?

x =Cr (-2)r· 8·

8- r 2

8-r 3 -2r,令 -2r= ,则 r=1. 2 2
3

3

故展开式中含 x 2 的项为 T2=-16 x 2 .(8 分) -1 - (3)设展开式中的第 r 项,第 r+1 项,第 r+2 项的系数绝对值分别为 Cr 2r 1,Cr 2r , 8 · 8· r+1 r+1 C8 · 2 ,若第 r+1 项的系数绝对值最大, -1 - ?Cr 2r 1≤Cr 2r , ? 8 · 8· 则? r+1 r+1 解得 5≤r≤6.(12 分) ? 2 ≤Cr 2r , ?C8 · 8· - 又 T6 的系数为负,∴系数最大的项为 T7=1 792x 11. 由 n=8 知第 5 项二项式系数最大. - 此时 T5=1 120x 6.(14 分)

-9-


2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套学案65 二项式定理

2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套学案65 二项式定理_数学_高中教育_教育专区。学案 65 二项式定理 导学目标: 1.能用计数原理证明二项式...

2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套学案69 正态分布

2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套学案69 正态分布_数学_高中教育_教育专区。学案 69 正态分布 导学目标: 利用实际问题的直方图,了解正...

2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套学案61 古典概型

2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套学案61 古典概型_数学_高中教育_教育专区。学案 61 古典概型 导学目标: 1.理解古典概型及其概率计算...

2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套学案67 二项分布及其应用

2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套学案67 二项分布及其应用_数学_高中教育_教育专区。学案 67 二项分布及其应用 导学目标: 1.了解条件...

2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套学案62 几何概型

2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套学案62 几何概型_数学_高中教育_教育专区。学案 62 几何概型 导学目标: 1.了解随机数的意义,能运用...

2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套学案60 随机事件的概率

2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套学案60 随机事件的概率_数学_高中教育_教育专区。学案 60 随机事件的概率 导学目标: 1.了解随机事件...

2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套学案70 算法与程序框图

2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套学案70 算法与程序框图_数学_高中教育_教育专区。第十二章 算法初步、复数 学案 70 算法与程序框图导学...

2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套学案39 数学归纳法

2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套学案39 数学归纳法_数学_高中教育_教育专区。学案 39 数学归纳法 导学目标: 1.了解数学归纳法的原理....

2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套学案16 定积分及其简单的应用

2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套学案16 定积分及其简单的应用_数学_高中教育_教育专区。学案 16 定积分及其简单的应用 导学目标: 1.以...

2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套学案10 函数的图象 Word版含解析

2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套学案10 函数的图象 Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。学案 10 函数的图象 导学目标: 1.掌握作函...

相关文档

更多相关标签