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河北省2011届高考数学一轮复习知识点攻破习题:函数的单调性


函数的单调性
一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1.(2009· 福建高考)下列函数 f(x)中,满足“对任意 x1,x2∈(0,+∞),当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2)”的是 ( ) 1 A.f(x)= B.f(x)=(x-1)2 x C.f(x)=ex D.f(x)=ln(x+1) 解析:∵对任意的 x1,x2∈(0,+∞),当

x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),∴f(x)在(0,+∞)上 为减函数.故选 A. 1 2.(2009· 辽宁高考)已知偶函数 f(x)在区间[0,+∞)上单调增加,则满足 f(2x-1)<f?3?的 x ? ? 的取值范围是 ( ) 1 2? 1 2? A.?3,3? B.?3,3? ? ? 1 2? 1 2 C.?2,3? D.?2,3? ? ? ? 解析:f(x)是偶函数,其图象关于 y 轴对称,又 f(x)在 1 1 1 2 [0,+∞)上递增,∴f(2x-1)<f?3??|2x-1|< ? <x< .故选 A. ? ? 3 3 3 3.函数 y=loga(x2+2x-3),当 x=2 时 y>0,则此函数的单调递减区间是 ( ) A.(-∞,-3) B.(1,+∞) C.(-∞,-1) D.(-1,+∞) 解析:当 x=2 时,y=loga5>0, ∴a>1, 由 x2+2x-3>0?x<-3 或 x>1, 易见函数 t=x2+2x-3 在(-∞,-3)上递减, 故函数 y=loga(x2+2x-3)(其中 a>1)也在(-∞,-3)上递减. 4.已知 f(x)=loga[(3-a)x-a]是其定义域上的增函数,那么 a 的取值范围是( ) A.(0,1) B.(1,3) C.(0,1)∪(1,3) D.(3,+∞) ? ? ?3-a<0 ?a>1 解析:由题知,? 或? ,解得 1<a<3.故选 B. ? ? ?0<a<1 ?3-a>0
[来源:高考%资 源网 KS %5U]

5.设 f(x)是定义在 R 上以 2 为周期的偶函数,已知 x∈(0,1)时, 则函数 f(x)在(1,2)上 ( A.是增函数,且 f(x)<0 C.是减函数,且 f(x)<0 解析: B.是增函数,且 f(x)>0 D.是减函数,且 f(x)>0 )



6. (2010· 河南六市一模)奇函数 f(x)在区间(-∞, 0)上单调递减, f(2)=0, 则不等式(x-1)f(x +1)>0 的解集为 ( ) A.(-2,-1)∪(1,2) B.(-3,1)∪(2,+∞) C.(-3,-1) D.(-2,0)∪(2,+∞) 解析:奇函数 f(x)在区间(-∞,0)上单调递减,在区间 (0,+∞)上单调递减,由 f(2)=0 得 f(-2)=0,则不等式 ? ?x-1<0, (x-1)f(x+1)>0,即? ? ?-2<x+1<0或x+1>2

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?x-1>0, ? 或? ? ?0<x+1<2或x+1<-2, 其解集为(-3,-1),故选 C. 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 1+x 7.函数 y=ln 的单调递增区间是__________. 1-x

1+x 解析:本题考查复合函数单调区间的确定;据题意需 >0 即函数定义域为(-1,1),原 1-x 1+x 1+x 2 函数的递增区间即为函数 u(x)= 在(-1,1)上的递增区间, 由于 u′(x)=( )′= >0. 1-x 1-x (1-x)2 1+x 故函数 u(x)= 在(-1,1)上的递增区间即为原函数的递增区间. 1-x 答案:(-1,1) 8.函数 y=-(x-3)|x|的递增区间是__________. 2 ? ?-x +3x (x>0) 解析:y=-(x-3)|x|=? 2 ?x -3x (x≤0) ?

图1 3 作出该函数的图象,观察图象知递增区间为?0,2?. ? ? 3 答案:?0,2? ? ? 1 9.若函数 f(x)=loga(2x2+x)(a>0,a≠1)在区间(0, )内恒有 f(x)>0,则 f(x)的单调递增区 2 间为__________. 1 解析:当 x∈(0, )时,0<2x2+x<1,又 f(x)>0,则 0<a<1. 2 1 1 由 2x2+x>0,解得:x<- 或 x>0,则 f(x)的递增区间为(-∞,- ). 2 2 1 答案:(-∞,- ) 2 3-ax (a≠1). a-1 (1)若 a>0,则 f(x)的定义域是________; (2)若 f(x)在区间(0,1]上是减函数,则实数 a 的取值范围是________. 3 解析:(1)∵a>0 且 a≠1,要使 f(x)有意义,只需 3-ax≥0,即 x≤ . a 3? ∴x∈?-∞,a?; ? (2)若 a=0,f(x)=- 3不合题意; 若 a<0,y= 3-ax是(0,1]上的增函数,且 a-1<0, ∴f(x)是(0,1]上的减函数; 若 a>0,∵y= 3-ax是(0,1]上的减函数,故需 a-1>0,∴a>1,另一方面,f(x)的定义域 3 为?-∞,a?, ? ? 10.(2008· 湖南高考)已知函数 f(x)=

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3 ∴ ≥1,∴a≤3,∴a∈(1,3]. a 综上知 a∈(-∞,0)∪(1,3]. 3 答案:(1)?-∞,a? (2)(-∞,0)∪(1,3] ? ? 三、解答题(共 50 分) x 11.(15 分)已知函数 f(x)= 2 (x∈R),求 f(x)的单调区间,并加以证明. x +1 解:解法 1:由函数的单调区间(增区间,减区间)的定义入手分析,取 x1<x2,分析 f(x1) -f(x2)的符号,由此找出单调增区间与单调减区间. x ∵f(x)= 2 (x∈R)是奇函数, x +1 ∴只需研究(0,+∞)上 f(x)的单调区间即可. 任取 x1,x2∈(0,+∞),且 x1<x2,则 (x2-x1)(x1x2-1) x1 x2 f(x1)-f(x2)= 2 - 2 = 2 . x1+1 x2+1 (x1+1)(x2+1) 2 2 ∵x1+1>0,x2+1>0,x2-x1>0, 2 而 x1,x2∈(0,1)时,x1x2-1<0; x1,x2∈[1,+∞)时,x1x2-1≥0, ∴当 x1,x2∈(0,1)时,f(x1)-f(x2)<0,函数 f(x)是增函数; 当 x1,x2∈[1,+∞)时,f(x1)-f(x2)≥0,函数 f(x)是减函数. 又 f(x)是奇函数,∴f(x)在(-1,0)上是增函数,在 (-∞,-1]上是减函数. 又 x∈[0,1),u∈(-1,0]上恒有 f(x)≥f(u),等号只在 x=u=0 时取到,故 f(x)在(-1,1)上是 增函数. 综上知,函数 f(x)在(-1,1)上是增函数,在(-∞,-1]和[1,+∞)上是减函数. 1-x2 x 解法 2:f′(x)=( )′= , 1+x2 (1+x2)2 f′(x)>0?x∈(-1,1),即在(-1,1)上函数单调递增. f′(x)≤0?x∈[1,+∞)∪(-∞,-1]即在(-∞,-1]和[1,+∞)上函数单调递减. 综上知,函数 f(x)的单调增区间为(-1,1),单调减区间为(-∞,-1]和[1,+∞). 12.(15 分)函数 f(x)的定义域为 D={x|x>0},且满足:对于任意 m,n∈D,都有 f(m· n)= f(m)+f(n). (1)求 f(1)的值; (2)如果 f(2)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤2,且 f(x)在 (0,+∞)上是单调增函数,求 x 的取值范围. 解:(1)令 m=n=1,有 f(1×1)=f(1)+f(1),解得 f(1)=0. (2)f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2)=2,所以 f(3x+1)+f(2x-6)≤2?f(3x+1)+f(2x-6)≤f(4).
[来源:高考 %资源 网 KS%5 U]

?3x+1>0, ? 因为 f(x)在(0, +∞)上是单调增函数, 所以 f(3x+1)+f(2x-6)≤f(4)??2x-6>0, ?(3x+1)(2x-6)≤4 ?
4+ 31 4+ 31 ?3<x≤ ,故 x 的取值范围为(3, ]. 3 3 x-1 13.(20 分)已知函数 f(x)=lnx- . x (Ⅰ)判定函数 f(x)的单调性; lna 1 (Ⅱ)设 a>1,证明: < . a-1 a

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1 x-(x-1)· 2 x 1 解:(Ⅰ)∵f′(x)= - x x 1 2x-(x-1) 1 x+1 = - = - x x 2x x 2x x 2 x-x-1 ( x-1)2 = =- . 2x x 2x x 又∵函数 f(x)的定义域为 x>0, -( x-1)2 ∴ ≤0, 2x x 而在(0,+∞)上,只有当 x=1 时,f′(x)=0, ∴f(x)是定义域上的减函数. (Ⅱ)由(Ⅰ)f(x)是定义域上的减函数, ∴当 a>1 时,f(a)<f(1), a-1 a-1 即 lna- <0,即 lna< , a a lna 1 又∵a-1>0,∴ < 成立. a-1 a

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