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高考一轮课时训练(理)10.4直线与圆锥曲线的位置关系 (通用版)

时间:2013-08-14


第四节
一、选择题

直线与圆锥曲线的位置关系
)

1.过点(2,4)作直线与抛物线 y2=8x 只有一个公共点,这样的直线有( A.1 条 B.2 条
2

C.3 条

D.4 条

y 2.已知双曲线 C:x2- =1,过点 P(1,1)作直线 l,使 l 与 C 有且只有一个公共点,则满足上述条件 4 的直线 l 共有( A.1 条 ) B.2 条 C.3 条 D.4 条 ) D.2x-y-1=0

3.与直线 2x-y+4=0 平行的抛物线 y=x2 的切线方程为( A.2x-y+3=0 B.2x-y-3=0

C.2x-y+1=0 ) 1 2

4.过抛物线 y2=4x 的焦点的弦的中点的轨迹方程是( A.y2=2(x-1) B.y2=x-1

C.y2=x-

D.y2=2x-1 )

x2 y2 5.已知对 k∈R,直线 y-kx-1=0 与椭圆 + =1 恒有公共点,则实数 m 的取值范围是( 5 m A.(0,1) 二、填空题 B.(0,5) C.[1,5)∪(5,+∞) D.[1,5)

6. (2008 年全国卷Ⅱ)已知 F 是抛物线 C: 2=4x 的焦点, F 且斜率为 1 的直线交 C 于 A、 两点. y 过 B 设

|FA|>|FB|,则|FA|与|FB|的比值等于________.
x2 y2 7.已知(4,2)是直线 l 被椭圆 + =1 所截得的线段的中点,则 l 的方程是________. 36 9 8. AB 为抛物线 y2=2px(p>0)的焦点弦,若|AB|=1,则 AB 中点的横坐标为____________;若 AB 的倾 斜角为 α,则|AB|=________. 三、解答题 9.已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,A 是抛物线上横坐标为 4 且位于 x 轴上方的点,A 到抛物线 准线的距离等于 5,过 A 作 AB 垂直于 y 轴,垂足为 B,OB 的中点为 M. (1)求抛物线方程; (2)过 M 作 MN⊥FA,垂足为 N,求点 N 的坐标.

x y2 10.已知椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0),以 F1(-c,0)为圆心,以 a-c 为半径作圆 F1,过点 B2(0,b)作 a b 圆 F1 的两条切线,设切点为 M、N.
1

(1)若过两个切点 M、N 的直线恰好经过点 B1(0,-b)时,求此椭圆的离心率; (2)若直线 MN 的斜率为-1,且原点到直线 MN 的距离为 4( 2-1),求此时的椭圆方程; (3)是否存在椭圆 E,使得直线 MN 的斜率 k 在区?-

?

2 3? 内取值?若存在,求出椭圆 E 的离心 ,- 2 3?

率 e 的取值范围;若不存在,请说明理由.

参考答案 1、答案:B2、答案:D3、答案:D4、答案:A5、答案:C
?y=x-1 ? 6、解析:设 A(x1,y1)、B(x2,y2),由? 2 ? ?y =4x

?x2-6x+1=0?x1=3+2 2,x2=3-2 2,(x1>x2);
2

则由抛物线的定义知 答案:3+2 2

|FA| x1+1 4+2 2 2+ 2 = = = =3+2 2. |FB| x2+1 4-2 2 2- 2

7、解析:设直线 l 与椭圆交于 P1(x1,y1)、P2(x2,y2), 将 P1、P2 两点坐标代入椭圆方程相减得直线 l 斜率 x1+x2 2 y1-y2 x1+x2 4 1 k= =- =- =- =- . 2 x1-x2 4?y1+y2? y1+y2 4×2 4· 2 由点斜式可得 l 的方程为 x+2y-8=0. 答案:x+2y-8=0 p p 8、解析:设过 F?2,0?的直线为 y=k?x-2?,k≠0,代入抛物线方程,由条件可得结果. ? ? ? ? 1-p 2p 答案: 2 sin2α p 9、解析:(1)抛物线 y2=2px 的准线 x=- , 2 p 于是,4+ =5,∴p=2.∴抛物线方程为 y2=4x. 2 (2)∵点 A 的坐标是(4,4),由题意得 B(0,4),M(0,2). 4 3 又∵F(1,0),∴kFA= .又 MN⊥FA,∴kMN=- , 3 4 4 则 FA 的方程为 y= (x-1), 3 3 MN 的方程为 y-2=- x, 4

?y-2=-4x, 解方程组? 4 ?y=3?x-1?,
3 8 4 ∴N?5,5?. ? ?

?x=5, 得 ? 4 ?y=5.
8

10、解析:(1)圆 F1 的方程(x+c)2+y2=(a-c)2,因为 B2M、B2N 与该圆切于 M、N 点,所以 B2、M、 c b c2+b2 F1、N 四点共圆,且 B2F1 为直径,则过此四点的圆的方程是?x+2?2+?y-2?2= ,从而两个圆的公共 ? ? ? ? 4 弦 MN 的方程为 cx+by+c2=(a-c)2,又点 B1 在 MN 上, ∴a2+b2-2ac=0, ∵b2=a2-c2,∴2a2-2ac-c2=0, 即 e2+2e-2=0,∴e= 3-1.(负值已舍去) (2)由(1)知,MN 的方程为 cx+by+c2=(a-c)2,
3

c 由已知- =-1, b ∴b=c,而原点到 MN 的距离为 |c2-?a-c?2| |2ac-a2| d= = =|2c-a|=( 2-1)a, a c2+b2 x2 y2 ∴a=4,b2=c2=8,所求椭圆方程是 + =1; 16 8 (3)假设这样的椭圆存在,由(2)则有- ∴ 2 c 3 <- <- , 2 b 3

3 c 2 1 c2 1 1 c2 1 < < ,∴ < 2< ,∴ < 2 2< , 3 b 2 3 b 2 3 a -c 2

a2-c2 a2 1 3 故得 2< 2 <3,∴3< 2 <4,求得 <e< , c c 2 3 3? 2 3? ?1 ? 即当离心率取值范围是? , ?时,直线 MN 的斜率可以在区间?- ,- ?内取值. 2 3? 2 3? ? ?

4


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