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2015高考数学分类汇编-- 三角函数与三角形


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专题四 三角函数与三角形
1.【2015 高考新课标 1,理 2】 sin 20o cos10o ? cos160o sin10o =( (A) ? 【答案】D 【解析】原式= sin 20o cos10o ? cos 20o sin10o = sin 30o = 【考点定位】三角函数求值. 【名师点睛】本题解题的关键在于观察到 20°与

160°之间的联系,会用诱导公式将不同角 化为同角,再用两角和与差的三角公式化为一个角的三角函数,利用特殊角的三角函数值即 可求出值,注意要准确记忆公式和灵活运用公式. 2.【2015 高考山东,理 3】要得到函数 y ? sin ? 4 x ? 图象( ) )

3 2

(B)

3 2

(C) ?

1 2

(D)

1 2

1 ,故选 D. 2

? ?

??

? 的图象,只需要将函数 y ? sin 4 x 的 3?

(A)向左平移

?
12

个单位

(B)向右平移

?
12

个单位

(C)向左平移 【答案】B

? 个单位 3

(D)向右平移

? 个单位 3

【解析】因为 y ? sin ? 4 x ?

? ?

??

? ? ?? ? ? ? ? sin 4 ? x ? ? ,所以要得到函数 y ? sin ? 4 x ? ? 的图 3? 12 ? 3? ? ?
?
12
个单位.故选 B.

象,只需将函数 y ? sin 4 x 的图象向右平移 【考点定位】三角函数的图象变换.

【名师点睛】本题考查了三角函数的图象,重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与 掌握,能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题,反映学生对所学知 识理解的深度. 3.【2015 高考新课标 1,理 8】函数 f ( x) = cos(? x ? ? ) 的部分图像如图所示,则 f ( x) 的单调 递减区间为( ) (A) (k? ?

1 3 , k? ? ), k ? Z 4 4

(B) (2k? ?

1 3 , 2k? ? ), k ? Z 4 4

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(C) (k ?

1 3 , k ? ), k ? Z 4 4

(D) (2k ?

1 3 , 2k ? ), k ? Z 4 4

【答案】D

【考点定位】三角函数图像与性质 【名师点睛】本题考查函数 y ? A cos(? x ? ? ) 的图像与性质,先利用五点作图法列出关于

?,? 方程,求出 ?,? ,或利用利用图像先求出周期,用周期公式求出 ? ,利用特殊点求
出 ? ,再利用复合函数单调性求其单调递减区间,是中档题,正确求 ?,? 使解题的关键. 4.【2015 高考四川,理 4】下列函数中,最小正周期为且图象关于原点对称的函数是( )

( A) y ? cos(2 x ? ) 2
( D ) y ? sin x ? cos x
【答案】A

?

( B ) y ? sin(2 x ?

? ) 2

(C ) y ? sin 2 x ? cos 2x

【解析】对于选项 A,因为 y ? ? sin 2 x, T ? 【考点定位】三角函数的性质.

2? ? ? ,且图象关于原点对称,故选 A. 2

【名师点睛】本题不是直接据条件求结果,而是从 4 个选项中找出符合条件的一项,故一般 是逐项检验,但这类题常常可采用排除法.很明显,C、D 选项中的函数既不是奇函数也不是偶 函数,而 B 选项中的函数是偶函数,故均可排除,所以选 A.

3? ) ? 10 ?( 5.【2015 高考重庆,理 9】若 tan ? ? 2 tan ,则 ? 5 sin(? ? ) 5 cos(? ?
A、1 B、2 C、3



D、4

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【答案】C 【解析】 由 已 知 ,

3? 3? 3? ) cos ? cos ? sin ? sin 10 ? 10 10 ? ? ? sin(? ? ) sin ? cos ? cos ? sin 5 5 5 3? ? 3? cos ? 2 tan sin 10 5 10 ? cos ?(? 2 tan cos

?

cos

3? 3? ? tan ? sin 10 10

tan ? cos

?

5

? sin

?

5

?

5

cos

?

5

? sin

?

5


?
5

?

cos

3? ? 3? ? 2sin sin 10 5 10

sin

?

5

cos

?

5

1 5? ? ? 5? ? (cos ? cos ) ? (cos ? cos ) 3cos 2 10 10 10 10 ? 10 ? 3 ,选 C. 1 2? ? sin cos 2 5 10
【考点定位】两角和与差的正弦(余弦)公式,同角间的三角函数关系,三角函数的恒等变 换. 【名师点晴】三角恒等变换的主要题目类型是求值,在求值时只要根据求解目标的需要,结 合已知条件选用合适的公式计算即可.本例应用两角和与差的正弦(余弦)公式化解所求式 子,利用同角关系式使得已知条件可代入后再化简,求解过程中注意公式的顺用和逆用. 6.【2015 高考陕西,理 3】如图,某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数

y ? 3sin(
A.5 D.10

?
6

x ? ? ) ? k ,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为(
B.6

) C.8

【答案】C 【解析】由图象知: ymin ? 2 ,因为 ymin ? ?3 ? k ,所以 ?3 ? k ? 2 ,解得: k ? 5 ,所以这

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段时间水深的最大值是 ymax ? 3 ? k ? 3 ? 5 ? 8 ,故选 C. 【考点定位】三角函数的图象与性质. 【名师点晴】本题主要考查的是三角函数的图象与性质,属于容易题.解题时一定要抓住重 要字眼“最大值” ,否则很容易出现错误.解三角函数求最值的试题时,我们经常使用的是整 体法.本题从图象中可知 sin ?

?? ? x ? ? ? ? ?1 时, y 取得最小值,进而求出 k 的值,当 ?6 ?

?? ? sin ? x ? ? ? ? 1 时, y 取得最大值. 6 ? ?
7.【2015 高考安徽,理 10】已知函数 f ? x ? ? ? sin ?? x ? ? ? ( ? , ? , ? 均为正的常数) 的最小正周期为 ? ,当 x ?

2? 时,函数 f ? x ? 取得最小值,则下列结论正确的是( 3
(B) f ? 0 ? ? f ? 2 ? ? f ? ?2 ? (D) f ? 2 ? ? f ? 0 ? ? f ? ?2 ?



(A) f ? 2 ? ? f ? ?2 ? ? f ? 0 ? (C) f ? ?2 ? ? f ? 0 ? ? f ? 2 ? 【答案】A

【考点定位】1.三角函数的图象与应用;2.函数值的大小比较. 【名师点睛】对于三角函数中比较大小的问题,一般的步骤是:第一步,根据题中所给的条 件写出三角函数解析式,如本题通过周期判断出 ? ,通过最值判断出 ? ,从而得出三角 函数解析式;第二步,需要比较大小的函数值代入解析式或者通过函数图象进行判断,

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本题中代入函数值计算不太方便,故可以根据函数图象的特征进行判断即可. 【2015 高考湖南,理 9】将函数 f ( x) ? sin 2 x 的图像向右平移 ? (0 ? ? ? 数 g ( x) 的图像,若对满足 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 2 的 x1 , x2 ,有 x1 ? x2 A.

?

min

?

?

2 3

) 个单位后得到函
,则 ? ? ( )

5? 12

B.

?
3

C.

?
4

D.

?
6

【答案】D. 【解析】 试题分析:向右平移 ? 个单位后,得到 g ( x) ? sin( 2 x ? 2? ) ,又∵ | f ( x1 ) ? g ( x2 ) |? 2 ,∴不 妨

2 x1 ?

?
2

? 2k? , 2 x2 ? 2? ? ?

?
2

? 2m? , ∴ x1 ? x2 ?

?
2

? ? ? (k ? m)? , 又 ∵

x1 ? x2 min ?


?
3



?
2

?? ?

?
3

?? ?

?
6

,故选 D.

【考点定位】三角函数的图象和性质. 【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质,属于中档题,高考题对于三角函数的 考查,多以

f ( x) ? A sin(?x ? ? ) 为背景来考查其性质,解决此类问题的关键:一是会化简,熟悉三角恒
等变形,对三 角函数进行化简;二是会用性质,熟悉正弦函数的单调性,周期性,对称性,奇偶性等. 【 2015 高 考 上 海 , 理 13 】 已 知 函 数 f ? x ? ? sin x . 若 存 在 x1 , x2 , ??? , xm 满 足

0 ? x1 ? x2 ? ??? ? xm ? 6? ,且
, 则m 的 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x2 ? ? f ? x3 ? ? ??? ? f ? xn ?1 ? ? f ? xn ? ? 12( m ? 2 ,m ? ? ? ) 最小值 为 【答案】 8 【解析】因为 f ? x ? ? sin x ,所以 f ? xm ? ? f ? xn ? ? f ( x ) max ? f ( x ) min ? 2 ,因此要使得满 足条件 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x2 ? ? f ? x3 ? ? ??? ? f ? xn ?1 ? ? f ? xn ? ? 12 的 m 最小,须取 .

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x1 ? 0, x2 ?

?
2

, x3 ?

3? 5? 7? 9? 11? , x4 ? , x5 ? , x6 ? , x7 ? , x8 ? 6? , 即 m ? 8. 2 2 2 2 2

【考点定位】三角函数性质 【名师点睛】三角函数最值与绝对值的综合,可结合数形结合解决.极端位置的考虑方法是解 决非常规题的一个行之有效的方法. 8. 【2015 高考天津, 理 13】 在 ?ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , 已知 ?ABC 的面积为 3 15 , b ? c ? 2, cos A ? ? 【答案】 8 【解析】因为 0 ? A ? ? ,所以 sin A ? 1 ? cos 2 A ?

1 , 则 a 的值为 4

.

15 , 4

又 S ?ABC ?

?b ? c ? 2 1 15 得 b ? 6, c ? 4 ,由 bc sin A ? bc ? 3 15,? bc ? 24 ,解方程组 ? 2 8 ?bc ? 24

余弦定理得

? 1? a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 62 ? 4 2 ? 2 ? 6 ? 4 ? ? ? ? ? 64 ,所以 a ? 8 . ? 4?
【考点定位】同角三角函数关系、三角形面积公式、余弦定理. 【名师点睛】本题主要考查同角三角函数关系、三角形面积公式、余弦定理.解三角形是实际 应用问题之一,先根据同角三角关系求角 A 的正弦值,再由三角形面积公式求出 bc ? 24 ,解 方程组求出 b, c 的值, 用余弦定理可求边 a 有值.体现了综合运用三角知识、 正余弦定理的能力 与运算能力,是数学重要思想方法的体现. 【2015 高考上海,理 14】在锐角三角形 ??C 中, tan ? ?

1 , D 为边 ?C 上的点, ???D 2

与 ??CD 的 面 积 分 别 为 2 和 4 . 过 D 作 D? ? ?? 于 ? , DF ? ?C 于 F , 则

D? ? DF ?
【答案】 ?



16 15

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【考点定位】向量数量积,解三角形 【名师点睛】向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解, b=|a||b|cos<a,b> .(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若 a=(x1,y1), 即 a· b=(x2,y2),则 a· b=x1x2+y1y2.向量夹角与三角形内角的关系,可利用三角形解决;向量的模 与三角形的边的关系,可利用面积解决. 9.【2015 高考广东,理 11】设 ?ABC 的内角 A , B ,C 的对边分别为 a ,b ,c ,若 a ? 3 ,

sin B ?

1 π , C ? ,则 b ? 2 6

.

【答案】 1 . 【解析】因为 sin B ?

1 ? 5? ? ? 且 B ? ? 0, ? ? ,所以 B ? 或 B ? ,又 C ? ,所以 B ? , 2 6 6 6 6

A ?? ? B ?C ?

2? a b 3 b , 又a ? 3, 由正弦定理得 即 解得 b ? 1 , ? ? 3 sin A sin B sin 2? sin ? 3 6

故应填入 1 . 【考点定位】三角形的内角和定理,正弦定理应用. 【名师点睛】本题主要考查三角形的内角和定理、运用正弦定理解三角形,属于容易题,解 答此题要注意由 sin B ?

1 ? 5? 5? 得出 B ? 或 B ? 时,结合三角形内角和定理舍去 B ? . 2 6 6 6
sin 2 A ? sin C

10.【2015 高考北京,理 12】在 △ ABC 中, a ? 4 , b ? 5 , c ? 6 ,则 【答案】1



2 ? 4 25 ? 36 ? 16 sin 2A 2 sin A cos A 2a b 2 ? c 2 ? a 2 ? ? ? 1 【解析】 ? ? ? 6 2?5?6 sin C sin C c 2bc
考点定位:本题考点为正弦定理、余弦定理的应用及二倍角公式,灵活使用正弦定理、余弦 定理进行边化角、角化边. 【名师点睛】本题考查二倍角公式及正弦定理和余弦定理,本题属于基础题,题目所求分式 的分子为二倍角正弦,应用二倍角的正弦公式进行恒等变形,变形后为角的正弦、余弦式, 灵活运用正弦定理和余弦定理进行角化边,再把边长代入求值.
x π 11.【2015 高考湖北,理 12】函数 f ( x) ? 4 cos 2 cos( ? x) ? 2sin x ? | ln( x ? 1) | 的零点个数 2 2

为 【答案】2



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x π 【解析】因为 f ( x) ? 4 cos 2 cos( ? x) ? 2sin x ? | ln( x ? 1) | 2 2

? 2(1 ? cos x) sin x ? 2 sin x ? | ln( x ? 1) |
? sin 2 x ? | ln( x ? 1) |
所以函数 f ( x) 的零点个数为函数 y ? sin 2 x 与 y ?| ln( x ? 1) | 图象的交点的个数, 函数 y ? sin 2 x 与 y ?| ln( x ? 1) | 图象如图,由图知,两函数图象有 2 个交点, 所以函数 f ( x) 有 2 个零点.

【考点定位】二倍角的正弦、余弦公式,诱导公式,函数的零点. 【名师点睛】数形结合思想方法是高考考查的重点. 已知函数的零点个数,一般利用数形结 合转化为两个图象的交点个数,这时图形一定要准确。这种数形结合的方法能够帮助我们直 观解题.由“数”想图,借“图”解题. 12.【2015 高考四川,理 12】 sin 15? ? sin 75? ? 【答案】 .

6 . 2

【解析】法一、 sin15 ? sin 75 ? sin15 ? cos15 ?

2 sin(15 ? 45 ) ?

6 . 2 6 . 2

法二、 sin15 ? sin 75 ? sin(45 ? 30 ) ? sin(45 ? 30 ) ? 2sin 45 cos 30 ? 法三、 sin15 ? sin 75 ?

6? 2 6? 2 6 ? ? . 4 4 2

【考点定位】三角恒等变换及特殊角的三角函数值. 有 a sin ? ? b cos ? ? 函数值求解. 【名师点睛】这是一个来自于课本的题,这告诉我们一定要立足于课本.首先将两个角统一为 一个角,然后再化为一个三角函数一般地,有 a sin ? ? b cos ? ? 方法是直接凑为特殊角,利用特殊角的三角函数值求解.

a 2 ? b 2 sin(? ? ? ) .第二种方法是直接凑为特殊角,利用特殊角的三角

a 2 ? b 2 sin(? ? ? ) .第二种

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13.【2015 高考湖北,理 13】如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到 A 处时测得 公路北侧一山顶 D 在西偏北 30 的方向上, 行驶 600m 后到达 B 处, 测得此山顶在西偏北 75 的 方向上,仰角为 30 ,则此山的高度 CD ? m.

【答案】 100 6

【考点定位】三角形三内角和定理,三角函数的定义,有关测量中的的几个术语,正弦定理. 【名师点睛】本题是空间四面体问题,不能把四边形 ABCD 看成平面上的四边形. 14. 【2015 高考重庆, 理 13】 在 ABC 中, B= 120o , AB= 2 , A 的角平分线 AD= 3 ,则 AC=_______. 【答案】 6

【 解 析 】 由 正 弦 定 理 得

2 3 AB AD , 即 , 解 得 ? ? sin ?ADB sin120? sin ?ADB sin B
, 从 而

sin ?ADB ?

2 2



?ADB ? 45?

?BAD ? 15? ? ?DAC







C ? 180? ? 120? ? 30? ? 30?, AC ? 2 AB cos 30? ? 6 .
【考点定位】解三角形(正弦定理,余弦定理) 【名师点晴】解三角形就是根据正弦定理和余弦定理得出方程进行的.当已知三角形边长的 比时使用正弦定理可以转化为边的对角的正弦的比值,本例第一题就是在这种思想指导下求 解的;当已知三角形三边之间的关系式,特别是边的二次关系式时要考虑根据余弦定理把边 的关系转化为角的余弦关系式,再考虑问题的下一步解决方法. 15.【2015 高考浙江,理 11】函数 f ( x) ? sin x ? sin x cos x ? 1 的最小正周期是
2

,单调

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递减区间是 【答案】 ? , [ 【解析】 试题分析: f ( x) ? 递减区间为



3? 7? ? k? , ? k? ] , k ? Z . 8 8

1 ? cos 2 x sin 2 x 2 ? 3 ? ?1 ? sin(2 x ? ) ? ,故最小正周期为 ? ,单调 2 2 2 4 2

[

3? 7? ? k? , ? k? ] , k ? Z . 8 8

【考点定位】1.三角恒等变形;2.三角函数的性质 【名师点睛】本题考查了三角恒等变形与函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的性质,属于中档题,首先 利用二倍角的 降幂变形对 f ( x) 的表达式作等价变形, 其次利用辅助角公式化为形如 y ? A sin(? x ? ? ) 的形 式,再由正 弦函数的性质即可得到最小正周期与单调递减区间,三角函数是高考的热点问题,常考查的 知识点有三角 恒等变形,正余弦定理,单调性周期性等. 16.【2015 高考福建,理 12】若锐角 ?ABC 的面积为 10 3 ,且 AB ? 5, AC ? 8 ,则 BC 等 于________. 【答案】 7 【解析】由已知得 ?ABC 的面积为

3 1 , AB ? AC sin A ? 20sin A ? 10 3 ,所以 sin A ? 2 2

A ? (0, ) , 所 以 A ? . 由 余 弦 定 理 得 BC 2 ? AB 2 ? AC 2 ? 2 AB ? AC cos A ? 49 , 2 3

?

?

BC ? 7 .
【考点定位】1、三角形面积公式;2、余弦定理.

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【名师点睛】本题考查余弦定理,余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理,直接运用它 可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题;知道两边和其中 一边的对角,利用余弦定理可以快捷求第三边,属于基础题. 17.【2015 高考新课标 1,理 16】在平面四边形 ABCD 中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则 AB 的 取值范围是 .

【答案】 ( 6 ? 2 , 6+ 2 )

【考点定位】正余弦定理;数形结合思想 【名师点睛】本题考查正弦定理及三角公式,作出四边形,发现四个为定值,四边形的形状 固定,边 BC 长定,平移 AD,当 AD 重合时,AB 最长,当 CD 重合时 AB 最短,再利用正弦定 理求出两种极限位置是 AB 的长,即可求出 AB 的范围,作出图形,分析图形的特点是找到解 题思路的关键. 18.【2015 江苏高考,8】已知 tan ? ? ?2 , tan ?? ? ? ? ? 【答案】3

1 ,则 tan ? 的值为_______. 7

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1 ?2 tan(? ? ? ) ? tan ? ?7 ? 3. 【解析】 tan ? ? tan(? ? ? ? ? ) ? 1 ? tan(? ? ? ) tan ? 1 ? 2 7
【考点定位】两角差正切公式 【名师点晴】善于发现角之间的差别与联系,合理对角拆分,完成统一角和角与角转换的目 的是三角函数式的求值的常用方法. 三角函数求值有三类(1)“给角求值”: 一般所给出的角都 是非特殊角,从表面上来看是很难的,但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系,解题时, 要利用观察得到的关系, 结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解. (2)“给 值求值”: 给出某些角的三角函数式的值, 求另外一些角的三角函数值, 解题关键在于“变角”, 使其角相同或具有某种关系.(3)“给值求角”:实质是转化为“给值求值”,先求角的某一函数 值,再求角的范围,确定角. 19.【2015 高考新课标 2,理 17】 (本题满分 12 分)

?ABC 中, D 是 BC 上的点, AD 平分 ?BAC , ?ABD 面积是 ?ADC 面积的 2 倍.
(Ⅰ) 求

sin ?B ; sin ?C

(Ⅱ)若 AD ? 1 , DC ? 【答案】(Ⅰ)

2 ,求 BD 和 AC 的长. 2

1 ;(Ⅱ) 1 . 2

【 解 析 】 ( Ⅰ ) S ?ABD ?

S ?ABD

1 1 AB ? AD sin ?BAD , S ?ADC ? AC ? AD sin ?CAD , 因 为 2 2 sin ?B AC 1 ? 2S ?ADC ,?BAD ? ?CAD ,所以 AB ? 2 AC .由正弦定理可得 ? ? . sin ?C AB 2

(Ⅱ)因为 S ?ABD : S ?ADC ? BD : DC ,所以 BD ?

2 .在 ?ABD 和 ?ADC 中,由余弦定理得

AB 2 ? AD 2 ? BD 2 ? 2 AD ? BD cos ?ADB , AC 2 ? AD 2 ? DC 2 ? 2 AD ? DC cos ?ADC . AB 2 ? 2 AC 2 ? 3 AD 2 ? BD 2 ? 2 DC 2 ? 6 .由(Ⅰ)知 AB ? 2 AC ,所以 AC ? 1 .
【考点定位】1、三角形面积公式;2、正弦定理和余弦定理. 【名师点睛】本题考查了三角形的面积公式、角分线、正弦定理和余弦定理,由角分线的定 义得角的等量关系,由面积关系得边的关系,由正弦定理得三角形内角正弦的关系;分析两 个三角形中 cos ?ADB 和 cos ?ADC 互为相反数的特点结合已知条件,利用余弦定理列方 程,进而求 AC . 20.【2015 江苏高考,15】 (本小题满分 14 分)

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在 ?ABC 中,已知 AB ? 2, AC ? 3, A ? 60 .
?

(1)求 BC 的长; (2)求 sin 2C 的值. 【答案】 (1) 7 ; (2)
4 3 7

【考点定位】余弦定理,二倍角公式 【名师点晴】如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果遇到的式子 中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个 定理都有可能用到.已知两角和一边或两边及夹角,该三角形是确定的,其解是唯一的;已 知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,本题解是唯一的,注意开方时舍去负根. 21.【2015 高考福建,理 19】已知函数 f( x) 的图像是由函数 g ( x) = cos x 的图像经如下变换得 到:先将 g ( x) 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变) ,再将所得到的图像 向右平移

p 个单位长度. 2

(Ⅰ)求函数 f( x) 的解析式,并求其图像的对称轴方程; (Ⅱ)已知关于 x 的方程 f( x) + g( x) = m 在 [0, 2p ) 内有两个不同的解 a , b . (1)求实数 m 的取值范围;

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(2)证明: cos(a - b ) =

2m 2 - 1. 5
p (2)详见解析. (k ? Z). ;(Ⅱ)(1) (- 5, 5) ; 2

【答案】(Ⅰ) f( x) = 2sin x , x = kp +

【解析】 解法一: (1)将 g ( x) = cos x 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍 (横坐标不变) 得 到 y = 2 cos x 的 图 像 , 再 将 y = 2 cos x 的 图 像 向 右 平 移

p 个单位长度后得到 2

y = 2 cos( x -

p ) 的图像,故 f( x) = 2sin x ,从而函数 f( x) = 2sin x 图像的对称轴方程为 2

p x = kp + (k ? Z). 2
(2)1) f( x) + g( x) = 2sin x + cos x = 5(

2 1 sin x + cos x) 5 5

= 5 sin( x +j ) (其中 sin j =

1 2 ) , cos j = 5 5

依题意,sin( x +j )=

m m 在区间 [0, 2p ) 内有两个不同的解 a , b 当且仅当 | |< 1 ,故 m 的取 5 5

值范围是 (- 5, 5) . 2)因为 a , b 是方程 5 sin( x +j )=m 在区间 [0, 2p ) 内有两个不同的解, 所以 sin(a +j )=

m m , sin( b +j )= . 5 5

p - j ), a - b = p - 2( b +j ); 2 3p 当 - 5<m<1 时, a +b =2( - j ), a - b = 3p - 2( b +j ); 2
当 1 ? m< 5 时, a +b =2( 所以 cos(a - b ) = - cos 2( b +j ) = 2sin ( b +j ) - 1 = 2( 解法二:(1)同解法一. (2)1) 同解法一. 2) 因为 a , b 是方程 5 sin( x +j )=m 在区间 [0, 2p ) 内有两个不同的解, 所以 sin(a +j )=
2

m 2 2m 2 ) - 1= - 1. 5 5

m m , sin( b +j )= . 5 5

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p - j ), 即a +j = p - ( b +j ); 2 3p 当 - 5<m<1 时, a +b =2( - j ), 即a +j = 3p - ( b +j ); 2
当 1 ? m< 5 时, a +b =2( 所以 cos(a +j ) = - cos( b +j ) 于是 cos(a - b ) = cos[(a +j ) - ( b +j )] = cos(a +j ) cos( b +j ) + sin(a +j ) sin( b +j )

= - cos 2 ( b +j ) + sin(a +j ) sin( b +j ) = - [1 - (

m 2 m 2m 2 ) ] + ( )2 = - 1. 5 5 5

【考点定位】1、三角函数图像变换和性质;2、辅助角公式和诱导公式. 【名师点睛】本题考查三角函数图象变换、性质、辅助角公式和诱导公式等基础知识,纵向 伸缩或平移是对于 y 而言,即 g ( x) ? kg ( x) 或 g ( x) ? g ( x) ? k ;横向伸缩或平移是相对 于 x 而言, 即 g ( x) ? g (? x) (纵坐标不变, 横坐标变为原来的

1

?

倍) , g ( x) ? g ( x ? a) ( a ? 0

时,向左平移 a 个单位; a ? 0 时,向右平移 a 个单位);三角函数的图象与性质是高考考查 的热点之一,经常考查定义域、值域、周期性、对称性、奇偶性、单调性、最值等,其中公 式运用及其变形能力、运算能力、方程思想等可以在这些问题中进行体现,在复习时要注意 基础知识的理解与落实. 22.【2015 高考浙江,理 16】在 ?ABC 中,内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,已 知A?

?
4

, b2 ? a 2 =

1 2 c . 2

(1)求 tan C 的值; (2)若 ?ABC 的面积为 7,求 b 的值. 【答案】 (1) 2 ; (2) b ? 3 .

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又∵ A ?

?
4



1 bc sin A ? 3 ,∴ bc ? 6 2 ,故 b ? 3 . 2

【考点定位】1.三角恒等变形;2.正弦定理. 【名师点睛】本题主要考查了解三角形以及三角横等变形等知识点,同时考查了学生的运算 求解能力,三 角函数作为大题的一个热点考点,基本每年的大题都会涉及到,常考查的主要是三角恒等变 形,函数

y ? A sin(? x ? ? ) 的性质,解三角形等知识点,在复习时需把这些常考的知识点弄透弄熟.
23.【2015 高考山东,理 16】设 f ? x ? ? sin x cos x ? cos ? x ?
2

? ?

??

?. 4?

(Ⅰ)求 f ? x ? 的单调区间; (Ⅱ) 在锐角 ?ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 f ? 最大值. 【答案】 (I)单调递增区间是 ? ?

? A? ? ? 0, a ? 1 ,求 ?ABC 面积的 ?2?

? ? ? ? ? k? , ? k? ? ? k ? Z ? ; 4 ? 4 ?

单调递减区间是 ?

3? ?? ? ? k? , ? k? ? ? k ? Z ? 4 ?4 ? 2? 3 4

(II) ?ABC 面积的最大值为

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【解析】

?? ? 1 ? cos ? 2 x ? ? sin 2 x 2? ? (I)由题意知 f ? x ? ? ? 2 2
? sin 2 x 1 ? sin 2 x 1 ? ? sin 2 x ? 2 2 2

由? 由

?

?
2

2

? 2 k? ? 2 x ?

?

? 2 k? ? 2 x ?

3? ? 3? ? 2k? , k ? Z 可得 ? k? ? x ? ? k? , k ? Z 2 4 4

2

? 2k? , k ? Z 可得 ?

?
4

? k? ? x ?

?
4

? k? , k ? Z

所以函数 f ? x ? 的单调递增区间是 ? ? ? k? , ? k? ? ? k ? Z ? ; 4 ? 4 ? 单调递减区间是 ?

? ?

?

?

3? ?? ? ? k? , ? k? ? ? k ? Z ? 4 ?4 ?

【考点定位】1、诱导公式;2、三角函数的二倍角公式;3、余弦定理;4、基本不等式. 【名师点睛】本题考查了三角函数的诱导公式、二倍角公式与解三角形的基本知识和基本不 等式,意在考查学生综合利用所学知识分析解决问题的能力,余弦定理结合基本不等式解决 三角形的面积问题是一种成熟的思路.

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24. 【2015 高考天津, 理 15】 (本小题满分 13 分) 已知函数 f ? x ? ? sin 2 x ? sin 2 ? x ? (I)求 f ( x) 最小正周期; (II)求 f ( x) 在区间 [-

? ?

??

x?R ?, 6?

p p , ] 上的最大值和最小值. 3 4

【答案】(I) ? ; (II) f ( x ) max ? 【解析】(I) 由已知,有

3 1 , f ( x ) min ? ? . 4 2

?? ? 1 ? cos ? 2 x ? ? ? 1 1 ? cos 2 x 3 3? 1?1 ? f ( x) ? ? ? ? cos 2 x ? sin 2 x ? ? cos 2 x 2 2 2?2 2 ? 2
? 3 1 1 ? ?? sin 2 x ? cos 2 x ? sin ? 2 x ? ? . 4 4 2 ? 6?
2? ?? . 2

所以 f ( x ) 的最小正周期 T ? (II)因为 f ( x ) 在区间 [ -

p p p p , - ] 上是减函数,在区间 [ - , ] 上是增函数, 3 6 6 4

p p ? 1 ? 1 ? 3 3 ,所以 f ( x) 在区间 [- , ] 上的最大值为 , f (? ) ? ? , f (? ) ? ? , f ( ) ? 3 4 6 2 4 4 4 3 4
最小值为 ?

1 . 2

【考点定位】三角恒等变形、三角函数的图象与性质. 【名师点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式、二倍角的正余弦公式、三角函数的图 象与性质.综合运用三角知识,从正确求函数解析式出发,考查最小正周期的求法与函数单调 性的应用,从而求出函数的最大值与最小值,体现数学思想与方法的应用. 25.【2015 高考安徽,理 16】在 ?ABC 中, A ?

3? , AB ? 6, AC ? 3 2 ,点 D 在 BC 边上, 4

AD ? BD ,求 AD 的长.
【答案】 10 【解析】如图,

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设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别是 a, b, c ,由余弦定理得

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos ?BAC ? (3 2)2 ? 62 ? 2 ? 3 2 ? 6 ? cos
所以 a ? 3 10 . 又由正弦定理得 sin B ?

3? ? 18 ? 36 ? (? 36) ? 90, 4

b sin ?BAC 3 10 . ? ? a 10 3 10
2

由题设知 0 ? B ?

?
4

,所以 cos B ? 1 ? sin B ? 1 ?

1 3 10 ? . 10 10

在 ?ABD 中,由正弦定理得 AD ?

AB ? sin B 6sin B 3 ? ? ? 10 . sin(? ? 2 B) 2sin B cos B cos B

【考点定位】1.正弦定理、余弦定理的应用. 【名师点睛】三角函数考题大致可以分为以下几类:与三角函数单调性有关的问题,应用同 角变换和诱导公式求值、化简、证明的问题,与周期性、对称性有关的问题,解三角形 及其应用问题等.其中解三角形可能会放在测量、航海等实际问题中去考查(常以解答题 的形式出现).本题主要通过给定条件进行画图,利用数形结合的思想,找准需要研究的 三角形,利用正弦、余弦定理进行解题. 26.【2015 高考重庆,理 18】 已知函数 f ? x ? ? sin ? (1)求 f ? x ? 的最小正周期和最大值; (2)讨论 f ? x ? 在 ?

?? ? ? x ? sin x ? 3 cos 2 x ?2 ?

? ? 2? ? 上的单调性. , ?6 3 ? ? 22 3
; (2) f ( x) 在 [

【答案】 (1)最小正周期为 p ,最大值为 在[

? 5?

, ] 上单调递增; f ( x) 6 12

5? 2? , ] 上单调递减. 12 3

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5? 2? 时, f ( x) 单调递减, ?x? 2 3 12 3 ? 5? 5? 2? 综上可知, f ( x) 在 [ , ] 上单调递增; f ( x) 在 [ , ] 上单调递减. 6 12 12 3


?

? 2x ?

?

? ? 时,即

【考点定位】三角函数的恒等变换,周期,最值,单调性,考查运算求解能力. 【名师点晴】三角函数的性质由函数的解析式确定,在解答三角函数性质的综合试题时要抓 住函数解析式这个关键,在函数解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析 式化为一个角的一个三角函数形式,然后利用正弦(余弦)函数的性质求解,三角函数的值 域、三角函数的单调性也可以使用导数的方法进行研究. 27.【2015 高考四川,理 19】 如图,A,B,C,D 为平面四边形 ABCD 的四个内角. (1)证明: tan

A 1 ? cos A ? ; 2 sin A
o

(2)若 A ? C ? 180 , AB ? 6, BC ? 3, CD ? 4, AD ? 5, 求 tan 值.
D

A B C D ? tan ? tan ? tan 的 2 2 2 2

C

A

B

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【答案】 (1)详见解析; (2)

4 10 . 3

A A sin 2sin 2 A 2 ? 2 ? 1 ? cos A . 【解析】 (1) tan ? 2 cos A 2sin A cos A sin A 2 2 2
(2)由 A ? C ? 180 ,得 C ? 180 ? A, D ? 180 ? B . 由(1) ,有 tan

A B C D ? tan ? tan ? tan 2 2 2 2

?

1 ? cos A 1 ? cos B 1 ? cos(180 ? A) 1 ? cos(180 ? B) ? ? ? sin A sin B sin(180 ? A) sin(180 ? B)

?
连结 BD,

2 2 ? sin A sin B

在 ?ABD 中,有 BD ? AB ? AD ? 2 AB ? AD cos A ,
2 2 2

在 ?BCD 中,有 BD ? BC ? CD ? 2 BC ? CD cos C ,
2 2 2

所以 AB ? AD ? 2 AB ? AD cos A ? BC ? CD ? 2 BC ? CD cos A ,
2 2 2 2

AB 2 ? AD 2 ? BC 2 ? CD 2 62 ? 52 ? 32 ? 42 3 ? ? , 则 cos A ? 2( AB ? AD ? BC ? CD ) 2(6 ? 5 ? 3 ? 4) 7
于是 sin A ? 1 ? cos A ? 1 ? ( ) ?
2 2

3 7

2 10 . 7

连结 AC,同理可得

cos B ?

AB 2 ? BC 2 ? AD 2 ? CD 2 62 ? 32 ? 52 ? 42 1 ? ? , 2( AB ? BC ? AD ? CD ) 2(6 ? 3 ? 5 ? 4) 19
2

于是 sin B ? 1 ? cos B ? 1 ? ( 所以 tan

1 2 6 10 ) ? . 19 19

A B C D ? tan ? tan ? tan 2 2 2 2

?
?
?

2 2 ? sin A sin B
14 2 ?19 ? 2 10 2 10
4 10 . 3

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【考点定位】本题考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理、简单的三角恒等变换等基础知识, 考查运算求解能力、推理论证能力,考查函数与方程、化归与转化等数学思想. 【名师点睛】本题第(1)小题为课本必修 4 第 142 页练习 1,体现了立足课本的要求.高考中 常常将三角恒等变换与解三角形结合起来考,本题即是如此.本题的关键体现在以下两点,一 是利用角的关系消角,体现了消元的思想;二是用余弦定理列方程组求三角函数值,体现了 方程思想.
π 28.【2015 高考湖北,理 17】某同学用“五点法”画函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (? ? 0, | ? |? ) 在 2

某一个周期内的图象 时,列表并填入了部分数据,如下表:

?x ? ?
x

0

π 2

π

3π 2



π 3

5π 6
?5

A sin(? x ? ? )

0

5

0

(Ⅰ)请将上表数据补充完整,填写在答题卡上相应位置 ,并直接写出函数 f ( x) 的解 ........... 析式; (Ⅱ)将 y ? f ( x) 图象上所有点向左平行移动 ? (? ? 0) 个单位长度,得到 y ? g ( x) 的图 象. 若 y ? g ( x) 图象的一个对称中心为 (
π π 【答案】 (Ⅰ) f ( x) ? 5sin(2 x ? ) ; (Ⅱ) . 6 6 π 【解析】 (Ⅰ)根据表中已知数据,解得 A ? 5, ? ? 2, ? ? ? . 数据补全如下表: 6 5π , 0) ,求 ? 的最小值. 12

?x ? ?
x

0
π 12

π 2

π

3π 2



π 3

7π 12

5π 6
?5

13 π 12

A sin(? x ? ? )

0

5

0

0

π 且函数表达式为 f ( x) ? 5sin(2 x ? ) . 6 π π (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? 5sin(2 x ? ) ,得 g ( x) ? 5sin(2 x ? 2? ? ) . 6 6

因为 y ? sin x 的对称中心为 (kπ, 0) , k ? Z . 令 2 x ? 2? ?
π kπ π ? kπ ,解得 x ? ? ?? , k ?Z . 6 2 12

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由于函数 y ? g ( x) 的图象关于点 ( 解得 ? ?

5π kπ π 5π , , 0) 成中心对称,令 ? ? ? ? 12 2 12 12

kπ π π ? , k ? Z . 由 ? ? 0 可知,当 k ? 1 时, ? 取得最小值 . 2 3 6

π 【考点定位】“五点法”画函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (? ? 0, | ? |? ) 在某一个周期内的图象,三 2

角函数的平移变换,三角函数的性质. 【名师点睛】 “五点法”描图: (1) y ? sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为:(0,0),( 0). (2) y ? cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为: (0,1),( 1). 29. 【2015 高考陕西,理 17】 (本小题满分 12 分) ???C 的内角 ? , ? , C 所对的边分别为

?
2

,1) ,(π,0),(

3? ,?1) ,(2π, 2 3? (2π, ,0 ) , 2

?
2

(π, -1),( ,0) ,

a , b , c .向量 m ? a, 3b 与 n ? ? cos ?,sin ? ? 平行.
(I)求 ? ; (II)若 a ?

?

?

7 , b ? 2 求 ???C 的面积.

【答案】 (I) 【解析】

?
3

; (II)

3 3 . 2

(I)因为 m //n ,所以 a sin B 由正弦定理,得 sinA sinB-

3b cos A = 0 ,

3 sinBcos A = 0

又 sin ? ? 0 ,从而 tan A = 3 ,

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从而 sin B =

21 , 7 2 7 . 7

又由 a > b ,知 A > B ,所以 cos B =

故 sinC ? sin ? A ? B ? ? sin ? ? ?

? ?

??

? ? 3 21 ? ? sin B cos ? cos B sin ? 3? 3 3 14

所以 ???C 的面积为

1 3 3 . bc sinA = 2 2

考点:1、平行向量的坐标运算;2、正弦定理;3、余弦定理;4、三角形的面积公式. 【名师点晴】本题主要考查的是平行向量的坐标运算、正弦定理、余弦定理和三角形的面积 公式,属于中档题.解题时一定要注意角的范围,否则很容易失分.高考中经常将三角变换 与解三角形知识综合起来命题,期中关键是三角变换,而三角变换中主要是“变角、变函数 名和变运算形式” ,其中的核心是“变角” ,即注意角之间的结构差异,弥补这种结构差异的 依据就是三角公式.
x x x 30.【2015 高考北京,理 15】已知函数 f ( x) ? 2 sin cos ? 2 sin 2 . 2 2 2

(Ⅰ) 求 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ) 求 f ( x) 在区间 [? π ,0] 上的最小值.

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【答案】 (1) 2? , (2) ?1 ? 【解析】 (Ⅰ)

2 2

f(x ) ?

2 sin

x
2

cos

x
2

?

2 sin2

x
2

?

2?

1 sin x ? 2

2?

1 ? cos x ? 2

?

2 2 2 ? 2 sin x ? cos x ? ? sin(x ? ) ? 2 2 2 4 2

(1) f (x )的最小正周期为T ?

2? ? 2? ; 1

(2)

?? ? x ? 0,? ?

3? ? ? ? ? 3? ? x ? ? ,当 x ? ? ? ,x ? ? 时, 4 4 4 4 2 4
2 2

f(x )取得最小值为: ?1 ?

考点定位: 本题考点为三角函数式的恒等变形和三角函数图象与性质,要求熟练使用降 幂公式与辅助角公式,利用函数解析式研究函数性质,包括周期、最值、单调性等. 【名师点睛】本题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的图象与性质,本题属于基础题, 要求准确应用降幂公式和辅助角公式进行变形,化为标准的 y ? A sin(? x ? ? )形式,借 助正弦函数的性质去求函数的周期、最值等,但要注意函数的定义域,求最值要给出自变量 的取值. 31. 【 2015 高考广东,理 16 】在平面直角坐标系 xoy 中,已知向量 m ? ?

? 2 2? , ? ?, ? 2 2 ? ? ?

? ?? n ? ? sin x,cos x ? , x ? ? 0, ? . ? 2?
(1)若 m ? n ,求 tan x 的值; (2)若 m 与 n 的夹角为

?
3

,求 x 的值.

【答案】 (1) 1 ; (2) x ? 【解析】 (1)∵ m ? ?

5? . 12

? 2 2? ? 2 ,? 2 ? ? , n ? ? sin x,cos x ? 且 m ? n , ? ?

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∴ m?n ? ?

? 2 2? 2 2 ?? ? ? ?? , ? ? sin x ,cos x ? sin x ? cos x ? sin x ? ? 0 ,又 x ? ? 0, ? , ? ? ? ? ? ? 2 2 ? 2 2 4? ? ? 2? ? ?

∴ x?

?

? ? ? ? ? ?? ? ? ? , ? ,∴ x ? ? 0 即 x ? ,∴ tan x ? tan ? 1 ; 4 ? 4 4? 4 4 4
?
3 m?n m?n

(2)由(1)依题知 cos

?

?

?? ? sin ? x ? ? 4? ?
? 2? ? 2? 2 2 ? ? ?? ? ? sin x ? cos x ? 2 ? ? 2 ?
2 2

?? ? ? sin ? x ? ? , 4? ?

∴ sin ? x ? ∴ x?

? ?

??
?
6

1 ? ? ? ?? ? ? 又 x ? ??? , ?, 4? 2 4 ? 4 4?
即x?

?
4

?

5? . 12

【考点定位】向量数量积的坐标运算,两角和差公式的逆用,知角求值,知值求角. 【名师点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算,两角和差公式的逆用,知角求值和知值 求角等问题以及运算求解能力,属于中档题,解答本题关键在于由向量的垂直及其坐标运算 得到

2 2 ?? ? sin x ? cos x 运用两角和差公式的逆用合并为 sin ? x ? ? . 2 2 4? ?

32. 【2015 高考湖南, 理 17】 设 ?ABC 的内角 A ,B ,C 的对边分别为 a ,b ,c ,a ? b tan A , 且 B 为钝角. (1)证明: B ? A ?

?
2



(2)求 sin A ? sin C 的取值范围. 【答案】 (1)详见解析; (2) (

2 9 , ]. 2 8

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? ? ? ? ? ? (2 A ? ) ? ? 2 A ? 0 ,∴ A ? (0, ) ,于是 sin A ? sin C ? sin A ? sin( ? 2 A)
2 2 4 2 1 9 ? sin A ? cos 2 A ? ?2sin 2 A ? sin A ? 1 ? ?2(sin A ? ) 2 ? 4 8
, ∵

0? A?

?
4

, ∴

0 ? sin A ? 2 9 , ]. 2 8

2 2 1 9 9 ,因此 ? ?2(sin A ? ) 2 ? ? ,由此可知 sin A ? sin C 的取值范围是 2 2 4 8 8

(

【考点定位】1.正弦定理;2.三角恒等变形;3.三角函数的性质. 【名师点睛】本题主要考查了利用正弦定理解三角形以及三角恒等变形等知识点,属于中档 题,高考解答题对三角三角函数的考查主要以三角恒等变形,三角函数的图象和性质,利用 正余弦定理解三角形为主,难度中等,因此只要掌握基本的解题方法与技巧即可,在三角函 数求值问题中,一般运用恒等变换,将未知角变换为已知角求解,在研究三角函数的图象和 性质问题时,一般先运用三角恒等变形,将表达式转化为一个角的三角函数的形式求解,对 于三角函数与解三角形相结合的题目,要注意通过正余弦定理以及面积公式实现边角互化, 求出相关的边和角的大小.


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