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上海市八校2013届高三下学期联合调研考试数学试题


一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1、已知全集 U= ,则正确表示集合 和 关系的韦恩(Venn)图是( )

A.

B.

C.

D.

2、 已知 i 为虚数单位, 则复数 i i 等于

( ) A. B. C. D.

3.命题“存在 ”的否定是( ) A.存在 C.对任意的 B.不存在 D.对任意的

4、“ ”是“函数 在区间 上为增函数”的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5、设 且 ,则锐角 x 为( ) A. B. C. D.

6、某社区现有 个住户,其中中等收入家庭 200 户、低收入家庭 160 户,其他为高收入家庭。在 建设幸福广东的某次分层抽样调查中,高收入家庭被抽取了 6 户,则该社区本次被抽取的总户数 为 ( ) A. B. C. D.

7、设 是公差不为 0 的等差数列, 且 成等比数列,则 的前 项和 =( ) A. B. C. D. 且 ,则 的值 ( D.不小于零 )

8、已知函数 ,若实数 是方程 的解, A.恒为负 B.等于零 C.恒为正

二、填空题: 本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题 9、已知全集 ,函数 的定义域为集合 ,函数 的定义域为集合 ,则集合 =______________ 10、已知函数 的定义域为{0,1,2},那么该函数的值域为_____________ 11、从 100 张卡片(1 号到 100 号)中任取 1 张,取到卡号是 7 的倍数的概率是 . 12、已知 为 上的减函数,则满足 的实数 的取值范围是______ 13、不等式 的解集为

(二)选做题 14、 (极坐标与参数方程)在极坐标系中,点 到直线 的距离为 .

15、 (几何证明选讲) 两弦相交于圆内一点,一弦被分为 12 和 18 两段,另一弦被分为 3:8,则 另一弦的长是________. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤 16、 (本小题满分 12 分)已知函数 (其中 A>0, )的图象如图所示。 (Ⅰ )求 A,w 及 j 的值; (Ⅱ )若 cosa= ,求 的值。

17、某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用 表示.据统计,随机变量 的概率分布如下:

0123

0.1

0.3 (1)求 的值和 的数学期望; (2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投 诉 3 次的概率.

18、如图,四棱锥 的底面是矩形, 底面 , 为 边的中点, . (Ⅰ )求证: 平面 ; (Ⅱ )求二面角 的余弦值的大小.

19、已知等差数列 满足 , 为 的前 项和. (Ⅰ )求通项 及 ; (Ⅱ )设 是首项为 1,公比为 2 的等比数列,求数列 的通项公式及其前 项和 . 20、已知函数 是 的一个极值点. (1)求函数 的单调区间; (2)若当 时, 恒成立,求 的取值范围. 21、已知圆 直线

(Ⅰ )求圆 的圆心坐标和圆 的半径; (Ⅱ )求证:直线 过定点; (Ⅲ )判断直线 被圆 截得的弦何时最长,何时最短?并求截得的弦长最短时 的值,以及最短长度.

2012—2013 学年高三级第一次月考参考答案

三、简答题

17.(1)解:由概率分布的性质有 0.1+a +2a +0.3 =1,解得 a=0.2. 所以 的概率分布为

0123

0.1 0.2 0.4 0.3 所以 . (2)解:设事件 表示“两个月内共被投诉 3 次”,事件 表示“两个月内有一个月被投诉 3 次,另外 一个月被投诉 0 次”,事件 表示“两个月内有一个月被投诉 2 次,另外一个月被投诉 1 次”, 则由事件的独立性得, , , 所以 . 所以该企业在这两个月内共被消费者投诉 3 次的概率为 0.22. 18、由已知∠ SBA=45° ,所以 AB=SA=1 易求得,AP=PD= ,…………………2 分 又因为 AD=2,所以 AD2=AP2+PD2,所以 . …………………4 分 因为 SA⊥ 底面 ABCD, 平面 ABCD, 所以 SA⊥ PD, ………………………………………5 分 由于 SA∩AP=A 所以 平面 SAP. ……6 分

(Ⅱ )设 Q 为 AD 的中点,连结 PQ, …………7 分 由于 SA⊥ 底面 ABCD,且 SA 平面 SAD, 则平面 SAD⊥ 平面 PAD …………………8 分 , PQ⊥ 平面 SAD, SD 平面 SAD, 过 Q 作 QR ,垂足为 ,连接 ,则 . .

又,,

所以 . …………………13 分 所以二面角 A-SD-P 的余弦为 . …………………14 分 解法二:因为 底面 , 所以,∠ SBA 是 SB 与平面 ABCD 所成的角. ……1 分

由已知∠ SBA=45° ,所以 AB=SA=1 建立空间直角坐标系(如图) 由已知,P 为 BC 中点. 于是 A(0,0,0) 、B(1,0,0) 、P(1,1,0) 、D(0,2,0) 、S(0,0,1)……………3 分 (Ⅰ )易求得 , , . …………………4 分 因为 , . 所以 , . 由于 ,所以 平面 . …………………6 分 (Ⅱ )设平面 SPD 的法向量为 . 由 ,得 解得 ,所以 . ……9 分 又因为 AB⊥ 平面 SAD,所以 是平面 SAD 的法向量, 易得 . …………………9 分 所以 . …………………13 分 所以所求二面角 的余弦值为 .…………………14 分

20、解: (1)∵且 是 的一个极值点 ∴ , -------2 分 ∴ ------4 分 由 得 或 ,∴ 函数 的单调增区间为 , ;--6 分 由 得 ,∴ 函数 的单调减区间为 , ----8 分 (2)由(1)知,函数 在 上单调递减,在 上单调递增 ∴ 时,函数 取得最小值, = , ----10 分 当 时, 恒成立等价于 -----12 分 即 。-------14 分

21、 (I)圆 : 可变为: ………1 分 由此可知圆 的圆心 坐标为 ,半径为 ………3 分 (Ⅱ )由直线 可得 ………4 分 对于任意实数 ,要使上式成立,必须 ………5 分 解得: ………6 分 所以直线 过定点 ………7 分


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