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课 题:8.6抛物线的简单几何性质(一)

时间:2010-04-16


高中数学教案

第 8 章圆锥曲线方程(第 15 课时)

王新敞



题:8.6

抛物线的简单几何性质( 抛物线的简单几何性质(一)

教学目的: 教学目的: 1.掌握抛物线的范围,对称性,顶点,离心率等几何性质; 2.能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论,在此基础上列表,描 点,画抛物线图形; 3.在对抛物线几何性质的讨论中,注意数与形的结合与转化 教学重点: 教学重点:抛物线的几何性质及其运用 教学难点: 教学难点:抛物线几何性质的运用 授课类型: 授课类型:新授课 课时安排: 课时安排:1 课时 教 具:多媒体,实物投影仪 内容分析: 内容分析 "抛物线的简单几何性质"是课本第八章最后一节,它在全章占有重要的地 位和作用 本节知识在生产,生活和科学技术中经常用到,也是大纲规定的必须 掌握的内容,还是将来大学学习的基础知识之一 对于训练学生用坐标法解 题,本节一如前面各节一样起着相当重要的作用 研究抛物线的几何性质和研究椭圆,双曲线的几何性质一样,按范围,对 称性,顶点,离心率顺序来研究,完全可以独立探索得出结论 已知抛物线的 标准方程,求它的焦点坐标和准线方程时,首先要判断抛物线的对称轴和开口 方向,一次项的变量如果为 x (或 y ) ,则 x 轴(或 y 轴)是抛物线的对称轴,
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一次项的符号决定开口方向,由已知条件求抛物线的标准方程时,首先要根据 已知条件确定抛物线标准方程的类型,再求出方程中的参数 p
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本节分两课时进行教学 第一课时内容主要讲抛物线的四个几何性质,抛 物线的画图,例 1,例 2,及其它例题;第二课时主要内容焦半径公式,通径, 例3 教学过程: 教学过程 复习引入: 一,复习引入: 1.抛物线定义:
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平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定
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y

y
y

y l O

图 形
l

x
F
O F

x

F

O

x

F O l

x

l

方 程 焦 点 准 线

y 2 = 2 px( p > 0) p ( ,0 ) 2 p x= 2

y 2 = 2 px( p > 0) (

x 2 = 2 py ( p > 0)

x 2 = 2 py ( p > 0) p (0, ) 2 p y= 2

p p ,0 ) (0, ) 2 2 p p x= y= 2 2 点 F 叫做抛物线的焦点,定直线 l 叫做抛物线的准线
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2.抛物线的标准方程: 相同点:(1)抛物线都过原点;(2)对称轴为坐标轴;(3)准线都与对称轴垂 直,垂足与焦点在对称轴上关于原点对称 它们到原点的距离都等于一次项系
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数绝对值的

1 2p p ,即 = 4 4 2

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不同点:(1)图形关于 X 轴对称时,X 为一次项,Y 为二次项,方程右端为

± 2 px ,左端为 y 2 ;图形关于 Y 轴对称时,X 为二次项,Y 为一次项,方程右
端为 ± 2 py ,左端为 x
2
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(2)开口方向在 X 轴(或 Y 轴)正向时,焦点在 X

轴(或 Y 轴)的正半轴上,方程右端取正号;开口在 X 轴(或 Y 轴)负向时, 焦点在 X 轴(或 Y 轴)负半轴时,方程右端取负号 讲解新课: 二,讲解新课: 抛物线的几何性质 1.范围
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因为 p>0,由方程 y 2 = 2 px( p > 0 ) 可知,这条抛物线上的点 M 的坐标(x, y)满足不等式 x≥0,所以这条抛物线在 y 轴的右侧;当 x 的值增大时,|y|也 增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸. 2.对称性 以-y 代 y,方程 y 2 = 2 px( p > 0 ) 不变,所以这条抛物线关于 x 轴对称,我 们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.
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3.顶点 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.在方程 y = 2 px( p > 0 ) 中,当
2 2 y=0 时,x=0,因此抛物线 y = 2 px( p > 0 ) 的顶点就是坐标原点.

4.离心率 抛物线上的点 M 与焦点的距离和它到准线的距离的比,叫做抛物线的离心 率,用 e 表示.由抛物线的定义可知,e=1. 对于其它几种形式的方程,列表如下: 标准方程 图形
y

顶点

对称轴

焦点

准线

离心率

y 2 = 2 px ( p > 0)
l

O

F

x

(0,0)

x轴

p ,0 2

x=

p 2

e =1

y

( p > 0)

y 2 = 2 px

F

O

x

(0,0)

x轴

p ,0 2

x=

p 2

e =1

l

( p > 0)

x 2 = 2 py

(0,0)

y轴

p 0, 2

y=

p 2

e =1

( p > 0)

x 2 = 2 py

(0,0)

y轴

p 0, 2

y=

p 2

e =1

注意强调 p 的几何意义:是焦点到准线的距离 抛物线不是双曲线的一支,抛物线不存在渐近线
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通过图形的分析找出双曲线与抛物线上的点的性质差异,当抛物线上的点 趋向于无穷远时,抛物线在这一点的切线斜率接近于对称轴所在直线的斜率, 也就是说接近于和对称轴所在直线平行,而双曲线上的点趋向于无穷远时,它 的切线斜率接近于其渐近线的斜率 附:抛物线不存在渐近线的证明. (反证法) y 2 A0 假设抛物线 y =2px 存在渐近线 y=mx+n, x, A ( A y)为抛物线上一点, A 0 x , 1) ( y 为渐近线上与 A 横坐标相同的点如图, x
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O

则有 y = ± 2 px 和 y1=mx+n. ∴ y1 y = mx + n

2 px

= x m+

n x

2p x

当 m≠0 时,若 x→+∞,则 y1 y → +∞ 当 m=0 时, y1 y = n
2

2 px ,当 x→+∞,则 y1 y → +∞

这与 y=mx+n 是抛物线 y =2px 的渐近线矛盾,所以抛物线不存在渐近线 讲解范例: 三,讲解范例: 例 1 已知抛物线关于 x 轴为对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点

M (2,2 2 ) ,求它的标准方程,并用描点法画出图形.
分析:首先由已知点坐标代入方程,求参数 p. 解:由题意,可设抛物线方程为 y 2 = 2 px ,因为它过点 M ( 2,2 2 ) , 所以

(2 2 ) 2 = 2 p 2 ,即 p = 2

因此,所求的抛物线方程为 y 2 = 4 x . 将已知方程变形为 y = ±2 x ,根据 y = 2 x 计算抛物线在 x ≥ 0 的范围内几 个点的坐标,得

x y

0 0

1 2

2 2.8

3 3.5

4 4

… …
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描点画出抛物线的一部分,再利用对称性,就可以画出抛物线的另一部分 点评:在本题的画图过程中,如果描出抛物线上更多的点,可以发现这条

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抛物线虽然也向右上方和右下方无限延伸,但并不能像双曲线那样无限地接近 于某一直线,也就是说,抛物线没有渐近线. 例 2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分,光源位于抛物线的焦点处,已 知灯的圆的直径 60cm,灯深为 40cm,求抛物线的标准方程和焦点位置. 分析:这是抛物线的实际应用题,设抛物线的标准方程后,根据题设条件, 可确定抛物线上一点坐标,从而求出 p 值. 解:如图,在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系,使反光镜的顶点(即 抛物线的顶点)与原点重合,x 轴垂直于灯口直径. 设抛物线的标准方程是 y = 2 px (p>0).
2

由已知条件可得点 A 的坐标是(40,30),代入方程,得 30 = 2 p × 40 ,
2



p=

45 4
2

45 所求的抛物线标准方程为 y = x. 2
2 例 3 过抛物线 y = 2 px 的焦点 F 任作一条直线 m,交这

C H

y

B O E F
x

D A 抛物线于 A,B 两点, 求证:以 AB 为直径的圆和这抛物线的准线相切. 分析:运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷. 证明:如图.设 AB 的中点为 E,过 A,E,B 分别向准线 l 引垂线 AD,EH,BC, 垂足为 D,H,C,则 |AF|=|AD|,|BF|=|BC| ∴|AB|=|AF|+|BF|=|AD|+|BC|=2|EH| 所以 EH 是以 AB 为直径的圆 E 的半径,且 EH⊥l,因而圆 E 和准线 l 相切. 课堂练习: 四,课堂练习
1.过抛物线 y 2 = 4 x 的焦点作直线交抛物线于 A( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) 两点, 如果 x1 + x 2 = 6 ,那么 | AB | =( B ) (A)10 (B)8 (C)6 (D)4

2.已知 M 为抛物线 y 2 = 4 x 上一动点, F 为抛物线的焦点,定点 P (3 , 1) , 则 | MP | + | MF | 的最小值为( B ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6

3.过抛物线 y = ax 2 (a > 0 ) 的焦点 F 作直线交抛物线于 P , Q 两点,若线段
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PF , QF 的长分别是 p , q ,则
(A) 2a (B)

1 1 + =( C ) p q
(C) 4a (D)

1 2a

4 a

4.过抛物线 y 2 = 4 x 焦点 F 的直线 l 它交于 A , B 两点,则弦 AB 的中点的轨 迹方程是 ______ (答案: y 2 = 2( x 1) )

5.定长为 3 的线段 AB 的端点 A ,B 在抛物线 y 2 = x 上移动, AB 中点 M 到 求

y 轴距离的最小值,并求出此时 AB 中点 M 的坐标
(答案: M

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5 2 , ± 4 2

, M 到 y 轴距离的最小值为

5 ) 4
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五,小结 :抛物线的离心率,焦点,顶点,对称轴,准线,中心等 课后作业: 六,课后作业 1.根据下列条件,求抛物线的方程,并画出草图. (1)顶点在原点,对称轴是 x 轴,顶点到焦点的距离等于 8. (2)顶点在原点,焦点在 y 轴上,且过 P(4,2)点. (3)顶点在原点,焦点在 y 轴上,其上点 P(m,-3)到焦点距离为 5. 2.过抛物线焦点 F 的直线与抛物线交于 A,B 两点,若 A,B 在准线上的射影是 A2,B2,则∠A2FB2 等于 3.抛物线顶点在原点,以坐标轴为对称轴,过焦点且与 y 轴垂直的弦长为 16, 求抛物线方程. 4.以椭圆

x2 + y 2 = 1 的右焦点,F 为焦点,以坐标原点为顶点作抛物线,求 5

抛物线截椭圆在准线所得的弦长. 5.有一抛物线型拱桥,当水面距拱顶 4 米时,水面宽 40 米,当水面下降 1 米 时,水面宽是多少米? 习题答案: 2 2 2 1. (1)y =±32x (2)x =8y (3)x =-8y 2.90° 2 3.x =±16 y 4. 4 5

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5. 20 5 米

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七,板书设计(略) 板书设计 八,课后记: 课后记:
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