nbhkdz.com冰点文库

课 题:第8章圆锥曲线方程小结与复习(二)

时间:2010-04-16


高中数学教案

第 8 章圆锥曲线方程(第 18 课时)

王新敞



题:小结与复习(二)

教学目的: 1 通过小结与复习,使同学们完整准确地理解和掌握三种曲线的特点以及 它们之间的区别与联系 2 通过本节教学使学生较全面地掌握本章所教的各种方法与技巧,尤其是 解析几何的基本方法――坐标法;并在教学中进一步培养他们形与数结合的思 想、化归的数学思想以及“应用数学”的意识 3 结合教学内容对学生进行运动变化和对立统一的观点的教育 教学重点:三种曲线的标准方程和图形、性质 教学难点:做好思路分析,引导学生找到解题的落足点 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、讲解范例: 例 1 根据下列条件,写出椭圆方程 ⑴ 中心在原点、以对称轴为坐标轴、离心率为 1/2、长轴长为 8; ⑵ 和椭圆 9x2+4y2=36 有相同的焦点,且经过点(2,-3); ⑶ 中心在原点,焦点在 x 轴上,从一个焦点看短轴两端的视角为直角,焦点到
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

长轴上较近顶点的距离是 10- 5

王新敞
奎屯

新疆

分析: 求椭圆的标准方程,首先要根据焦点位置确定方程形式,其次是根据 a2=b2+c2 及已知条件确定 a2、b2 的值进而写出标准方程 解 ⑴ 焦点位置可在 x 轴上,也可在 y 轴上,
王新敞
奎屯 新疆

因此有两解:

x y2 y2 x2 ? ? 1或 ? ?1 16 12 16 12

王新敞
奎屯

新疆

x2 y2 ⑵ 焦点位置确定,且为(0, ? 5 ) ,设原方程为 2 ? 2 ? 1 ,(a>b>0), a b

?a 2 ? b 2 ? 5 y2 x ? ? ?1 由已知条件有 ? 9 ? a 2 ? 15, b 2 ? 10 ,故方程为 4 15 10 ? 2 ? 2 ?1 b ?a
⑶ 设椭圆方程为

王新敞
奎屯

新疆

x2 y2 ? ? 1 ,(a>b>0) a2 b2

新疆奎屯市第一高级中学

第 1 页(共 9 页)

高中数学教案

第 8 章圆锥曲线方程(第 18 课时)

王新敞

由题设条件有 ?

?b ? c ?a ? c ? 10 ? 5

及 a2=b2+c2,解得 b= 5, a ? 10 ,

故所求椭圆的方程是

x y2 ? ?1 10 5

王新敞
奎屯

新疆

例 2 从椭圆

x2 y2 ? ? 1 ,(a>b>0)上一点 M 向 x 轴所作垂线恰好通过椭圆的左 a2 b2
王新敞
奎屯 新疆

焦点 F1,A、B 分别是椭圆长、短轴的端点,AB∥OM 设 Q 是椭圆上任意一点, 当 QF2⊥AB 时,延长 QF2 与椭圆交于另一点 P,若⊿F2PQ 的面积为 20 3 , 求此时椭圆的方程 解 可用待定系数法求解
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

∵b=c,a= 2 c,可设椭圆方程为

x2 y2 ? 2 ?1 2c 2 c

王新敞
奎屯

新疆

∵PQ⊥AB,∴kPQ=-

1 a ? ? 2 ,则 PQ 的方程为 y= 2 (x-c), k AB b

代入椭圆方程整理得 5x2-8cx+2c2=0, 根据弦长公式,得 PQ=

6 2 c, 5

又点 F1 到 PQ 的距离 d=

2 6 c 3

∴ S ?F1PQ ?

1 4 3 2 4 3 2 PQ d ? c ,由 c ? 20 3,得c 2 ? 25, 2 5 5

故所求椭圆方程为

x2 y2 ? ?1 50 25

王新敞
奎屯

新疆

例 3 已知椭圆:

? x2 ? y 2 ? 1 ,过左焦点 F 作倾斜角为 的直线交椭圆于 A、 6 9
王新敞
奎屯 新疆

B 两点,求弦 AB 的长 解:a=3,b=1,c=2 2 ;
新疆奎屯市第一高级中学

则 F(-2 2 ,0)
第 2 页(共 9 页)

高中数学教案

第 8 章圆锥曲线方程(第 18 课时)

王新敞

由题意知: l : y ?

1 3

(x ? 2 2) 与

x2 ? y 2 ? 1 联立消去 y 得: 9

4x 2 ? 12 2 x ? 15 ? 0
设 A( x1 , y1 ) 、B( x 2 , y 2 ) ,则 x1 , x 2 是上面方程的二实根,由违达定理,

x1 ? x2 ? ?3 2
x1 ? x 2 ?

x ? x2 3 2 15 , xM ? 1 又因为 A、B、F 都是直线 l 上的点, ?? 4 2 2

所以|AB|= 1 ? ? | x1 ? x2 |?

1 3

2 3

? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ?
王新敞
奎屯 新疆

2 3

18 ? 15 ? 2

点评:也可让学生利用“焦半径”公式计算

例 4 中心在原点,一个焦点为 F1(0, 50 )的椭圆截直线 y ? 3x ? 2 所得弦 的中点横坐标为

1 ,求椭圆的方程 2

王新敞
奎屯

新疆

分析:根据题意,可设椭圆的标准方程,与直线方程联立解方程组,利用韦达 定理及中点坐标公式,求出中点的横坐标,再由 F1(0, 50 )知,c= 50 ,

? a 2 ? b 2 ? 50 ,最后解关于 a、b 的方程组即可
解:设椭圆的标准方程为

王新敞
奎屯

新疆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a2 b2
2

由 F1(0, 50 )得 a ? b ? 50
2

把直线方程 y ? 3x ? 2 代入椭圆方程整理得:

(a 2 ? 9b 2 ) x 2 ? 12b 2 x ? b 2 (4 ? a 2 ) ? 0
设弦的两个端点为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则由根与系数的关系得:

x1 ? x 2 ?

12b 2 , a 2 ? 9b 2
第 3 页(共 9 页)

新疆奎屯市第一高级中学

高中数学教案

第 8 章圆锥曲线方程(第 18 课时)

王新敞

又 AB 的中点横坐标为

x ? x2 1 6b 2 1 ? 2 ? ,? 1 2 2 2 2 a ? 9b

? a 2 ? 3b 2 ,与方程 a 2 ? b 2 ? 50 联立可解出 a 2 ? 75, b 2 ? 25
故所求椭圆的方程为:

x2 y2 ? ?1 75 25

例 5 直线 y ? kx ? 1 与双曲线 3x 2 ? y 2 ? 1 相交于 A、 两点, a 为何值时, B 当 A、 B 在双曲线的同一支上?当 a 为何值时,A、B 分别在双曲线的两支上? 解: 把 y ? kx ? 1 代入 3x 2 ? y 2 ? 1 整理得: (3 ? a 2 ) x 2 ? 2ax ? 2 ? 0 ??(1) 当 a ? ? 3 时, ? ? 24 ? 4a
2
王新敞
奎屯 新疆

由 ? >0 得 ? 6 ?a? 6 且 a ? ? 3 时,方程组有两解,直线与双曲线有两个交 点
王新敞
奎屯 新疆

若 A、B 在双曲线的同一支,须 x1 x 2 ?

2 >0 ,所以 a? ? 3 或 a? 3 a ?3
2

王新敞
奎屯

新疆

故当 ? 6 ?a? ? 3 或 3? a 6 时,A、B 两点在同一支上;当 ? 3?a 3 时,A、 B 两点在双曲线的两支上
王新敞
奎屯 新疆

例 6 已知双曲线的中心在原点,过右焦点 F(2,0)作斜率为

3 的直线,交 5

双曲线于 M、N 两点,且 MN =4,求双曲线方程

王新敞
奎屯

新疆

解:设所求双曲线方程为 b =4-a
2 2

x2 y2 ? ? 1(a? 0, b? 0) ,由右焦点为(2,0) 知 C=2, a2 b2
王新敞
奎屯 新疆

则双曲线方程为

x2 y2 3 ? ? 1 ,设直线 MN 的方程为: y ? ( x ? 2) ,代入 2 2 a 4?b 5
2 2 2 4 2

双曲线方程整理得:(20-8a )x +12a x+5a -32a =0

新疆奎屯市第一高级中学

第 4 页(共 9 页)

高中数学教案

第 8 章圆锥曲线方程(第 18 课时)

王新敞

设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1 ? x 2 ?

? 12a 2 , 20 ? 8a 2

x1 x2 ?

5a 4 ? 32a 2 20 ? 8a 2

王新敞
奎屯

新疆

? 3? ? ? MN ? 1 ? ? ? 5? ? ? ?
8 ? ? 5
2

2

?x1 ? x2 ? ? 4 x1 x2
2

? ? 12a 2 ? 5a 4 ? 32a 2 ? ? 20 ? 8a 2 ? ? 4 ? 20 ? 8a 2 ? 4 ? ? ?
2
王新敞
奎屯 新疆

解得: a ? 1 ,?b ? 4 ? 1 ? 3 故所求双曲线方程为: x ?
2

y2 ?1 3

王新敞
奎屯

新疆

点评:利用待定系数法求曲线方程,运用一元二次方程得根与系数关系将 两根之和与积整体代入,体现了数学的整体思想,也简化了计算,要求学生熟 练掌握
王新敞
奎屯 新疆

例7

已知双曲线 x ?
2

y2 ? 1 ,过点 A(2,1)的直线与已知双曲线交于 P、Q 2

两点 (1)求 PQ 中点的轨迹方程; (2)过 B(1,1)能否作直线 l ,使 l 与所给 双曲线交于两点 M、N,且 B 为 MN 的中点,若存在,求出 l 的方程,不存在说明 理由 解: (1)设 P(x1,y1) 、Q(x2,y2),其中点为(x,y),PQ 的斜率为 k, 若 PQ 的斜率不存在显然(2,0)点是曲线上的点 若 PQ 的斜率存在,由题设知:
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

y x1 ? 1 ? 1 ?(1) 2
2

2

y x2 ? 2 ? 1 ?(2) 2
2

2

(2)-(1)得: ( x1 ? x2 )( x2 ? x1 ) ?

( y1 ? y 2 )( y 2 ? y1 ) ?0 2

?

x1 ? x2 k x k ? ,即 ? ?(3) y 2 y1 ? y 2 2

新疆奎屯市第一高级中学

第 5 页(共 9 页)

高中数学教案

第 8 章圆锥曲线方程(第 18 课时)

王新敞

又k ?

y ?1 代入(3)整理得: 2x 2 ? y 2 ? 4x ? y ? 0 x?2
王新敞
奎屯 新疆

(2) 显然过 B 点垂直 X 抽的直线不符合题意 只考虑有斜率的情况 设 l 的方程为 y-1=k(x-1)
王新敞
奎屯 新疆

代入双曲线方程 x ?
2

y2 ? 1 ,整理得: 2

?2 ? k ?x
2

2

? 2k ?1 ? k ?x ? k 2 ? 2k ? 3 ? 0 ?※
2k ?1 ? k ? ? 2 解得: k =2 2?k2
王新敞
奎屯 新疆

设 M(x1,y1) 、N(x2,y2)则有 x1 ? x 2 ? 又直线与双曲线必须有两不同交点,

所以※式的 ? ? 4k 2 ?1 ? k ? ? 4 2 ? k 2 k 2 ? 2k ? 3 ?o
2

?

??

?

王新敞
奎屯

新疆

把 K=2 代入得 ? ? ?8 <0, 故不存在满足题意的直线 l

王新敞
奎屯

新疆

例 8 已知抛物线方程为 y 2 ? 2 p( x ? 1)( p ? 0) ,直线 l : x ? y ? m 过抛物线的 焦点 F 且被抛物线截得的弦长为 3,求 p 的值. 解:设 l 与抛物线交于 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), 则 | AB |? 3. 由距离公式 |AB|= ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 = 1 ? 1 | y1 ? y2 |? 2 | y1 ? y2 | 2
k

则有 ( y1 ? y2 ) 2 ? 9 .
2

由 ? x ? y ? ?1 ? 2 ,消去x, 得y 2 ? 2 py ? p 2 ? 0. ?
? y 2 ? 2 p( x ? 1). ?

?

p

? ? (2 p) 2 ? 4 p 2 ? 0.

? y1 ? y2 ? ?2 p, y1 y2 ? ? p 2 .

从而 ( y1 ? y 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ,即(?2 p) 2 ? 4 p 2 ? 9 . 由于 p>0,解得 p ?
2

3 4

王新敞
奎屯

新疆

例 9 如图,线段 AB 过 x 轴正半轴上一点 M(m,0) (m>0) ,端点 A、B 到 x 轴 y 距离之积为 2 m ,以 x 轴为对称轴,过 A,O,B 三点作抛物 A 线 (1)求抛物线方程;
王新敞
奎屯 新疆

O
新疆奎屯市第一高级中学

M B

x

第 6 页(共 9 页)

高中数学教案

第 8 章圆锥曲线方程(第 18 课时)

王新敞

(2)若 tg?AOB ? ?1 ,求m 的取值范围

王新敞
奎屯

新疆

解: (1)当 AB 不垂直 x 轴时,设 AB 方程为
y ? k ( x ? m).抛物线方程 2 ? 2 px( p ? 0) y

由 ? y ? k ( x ? m)得ky 2 ? 2 py ? 2 pkm ? 0,? y y ? ?2 pm?| y y | ? 2 pm ? 2m ? 2 1 2 1 2 ? y ? 2 px
? p ? 1.当AB ? X轴时, A, B分别为 m, 2Pm), (m,? 2 pm),由题意有 pm ? 2m, p ? 1 , ( 2

故所求抛物线方程为 y 2 ? 2 x. (2)设 A( y1 , y1 ), B( y 2 , y 2 )由(1)知 2 2 2 y1 y 2 ? ?2m, y1 ? y 2 ? k
? y1 ? y 2 |? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ? |
又tg?AOB ? ?1
2 2 ? | y1 y2 ? ? ?1 4 1? y1 y2 |
2 2

4 ? 8m , k2 2 2 k1 ? , k2 ? , y1 y2

即y1 y2 ? 4 ? 2 | y1 ? y2 |,? ?2m ? 4 ? 2

①, 4 ? 8m 2 k

平方后化简得
m 2 ? 12 m ? 4 ? 4 k2 ? m 2 ? 12 m ? 4 ? 0, ? m ? 6 ? 4 2或m ? 6 ? 4 2

又由①知
? 2m ? 4 ? 0,? m ? 2 ? m 的取值范围为

0 ? m ? 6 ? 4 2当m ? 6 ? 4 2且AB ? x 轴时,
y1 ? 2( 2 ? 1), y2 ? ?2( 2 ? 1), y1 y2 ? ?4( 2 ? 1) 2 ? ?2m. tan?AOB ? ?1

符合条件, 故符合条件的 m 取值范围为 0 ? m ? 6 ? 4 2. 二、课堂练习:
新疆奎屯市第一高级中学 第 7 页(共 9 页)

高中数学教案

第 8 章圆锥曲线方程(第 18 课时)

王新敞

1.直线 l : y ? k x ? 2 与曲线 x 2 ? y 2 ? 1?x ? 0? ,相交于 A、B 两点,求 直线 l 的倾斜角的范围 答案: ?
王新敞
奎屯 新疆

?

?

? ? ? ? ? ? 3? ? , ??? , ? ?4 2? ?2 4 ?

2.直线 y ? kx ? 1 与双曲线 x 2 ? y 2 ? 1的左支仅有一个公共点,求 K 的取值范 围 答案: ? 1? k ? 1 或 k ?
王新敞
奎屯 新疆

2

y2 ? 1 与点 P(1,2) P 点作直线 L 与双曲线交于 A、B 3.已知双曲线 x ? ,过 2
2

两点,若 P 为 AB 的中点 (1)求直线 AB 的方程 (2)若 Q 为(-1,-1) ,证明 不存在以 Q 为中点的弦 答案 AB:x-y+1=0
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

4.双曲线 x ?
2

y2 ? 1( x ? 1) ,一条长为 8 的弦 AB 的两端在曲线上运动,其中 3
?5 ?2 ? 15 ? ? 2 ? ?

点为 M,求距 Y 轴最近的点 M 的坐标 答案: ? ,
王新敞
奎屯 新疆

5. 顶点在原点, 焦点在 x 轴上的抛物线, 截直线 y ? 2 x ? 4 所得的弦长为 3 5 , 求抛物线的方程 答案: y ? 4 x 或 y ? ?36x
2 2
王新敞
奎屯 新疆 新疆

王新敞
奎屯

6.过抛物线焦点 F 的直线与抛物线交于 A 、 B 两点,若 A 、 B 在抛物线准线 上的射影分别为 E 、 G ,则 ?EFG 等于 ( B ) A. 45
王新敞
奎屯 新疆

0

B 90
王新敞
奎屯 新疆

0

C 60
王新敞
奎屯 新疆

0

D 120
王新敞
奎屯 新疆

0

7 若抛物线 y ? 8x 被过焦点,且倾斜角为 135 的直线所截,求截得的线段的
2
0

中点坐标 答案: ?6,?4?
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

8 过点 ?? 1,?6? 的直线 l 与抛物线 y ? 4 x 交于 A 、 B 两点,求直线 l 的斜率 K
2
王新敞
奎屯 新疆

的取值范围 答案: 3 ? 10,0 ? 0,3 ? 10
王新敞
奎屯 新疆

?

? ?

?

王新敞
奎屯

新疆

9.过点 A?? 2,?4? 作倾斜角为 45 的直线交抛物线 y ? 2 px? p ? 0? 于点 P 、 1
0

2

新疆奎屯市第一高级中学

第 8 页(共 9 页)

高中数学教案

第 8 章圆锥曲线方程(第 18 课时)

王新敞

P2 ,若 P1 P2

2

? AP1 ? AP2 ,求实数 p 的值 答案: p ? 1
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

三、小结 : (1)直线与曲线的位置关系有相离、相切、相交三种 (2)判断其位置关系看直线是否过定点,在根据定点的位置和双曲线的渐近线 的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系 (3)可通过解直线方程与曲线方程解的个数来确定他们的位置关系 但有一解 不一定是相切,要根据斜率作进一不的判定 四、课后作业:
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

五、板书设计(略)

王新敞
奎屯

新疆

六、课后记:采用数形结合、类比联想(椭圆) 、启发诱导的教学方法,注重思 维能力的培养和学生动手操作的能力的训练, 同时结合几何画板进行动画演示, 验证结果(特别是轨迹问题)
王新敞
奎屯 新疆

新疆奎屯市第一高级中学

第 9 页(共 9 页)


赞助商链接

二元一次方程组小结与复习教学设计

《二元一次方程小结与复习》教学设计武胜县普兴学校李联成 教学设计思想 本第八章章节复习课,是学生再认知的过程,因此本教学时老师提 出问题,引导学生...

高考数学一轮复习必备:第八章 圆锥曲线方程-圆锥曲线小结

高考数学一轮复习必备(第 70 课时):第八章 圆 锥曲线方程-圆锥曲线小结 菁优...双曲线 二、填空题(共 5 小题,每小题 4 分,满分 20 分) 6. 分)设 P...

第二章圆锥曲线与方程复习与小结

第二章圆锥曲线方程复习与小结_数学_高中教育_教育专区。选修 2-1 第二章 圆锥曲线方程 小结与复习(学案) 【知识归类】 1.曲线与方程 ⑴曲线 C 上的点...

第八章 二元一次方程组小结与复习

第八章 二元一次方程小结与复习_数学_初中教育_教育专区。学习方法报 全新课标...2. 1 a+c- b 的值. 2 分析:本题只要把甲、乙解的值代入原方程组的第...

圆锥曲线与方程复习小结(难!lg)

第二章 圆锥曲线与方程小结... 28页 5财富值 19圆锥曲线与方程复习小结......sin B ? sin A ,求顶点 A 的轨 迹方程. 1 2 【评析】 (1)本题用...

圆锥曲线二轮复习全部题型总结

圆锥曲线二轮复习全部题型总结_数学_高中教育_教育...(14 年 3 月 13 校联考 14 题)设 B 、 C ...第 1 页共 1 页 、轨迹方程 1、求曲线方程的...

第八章《二元一次方程组》小结与复习导学案

第八章《二元一次方程组》小结与复习导学案_从业资格...】 解二元一次方程组、列二元一次方程组解应用题...3.某班上数学的时候,准备分组讨论.如果每组 7 ...

圆锥曲线方程总结与复习

圆锥曲线方程 题:小结与复习(一) 教学目的: 1 通过小结与复习,使同学们...二、学习要求和需要注意的问题 第二课时则针对本章的训练重点,讲解例题,进 行...

第8章二元一次方程组复习与小结

第8章二元一次方程复习与小结_初一数学_数学_...3、列二元一次方程组解应用题与列一元一次方程解...四、课堂小结 师生互动,共同小结归纳本节的各环节...

《二元一次方程组》小结与复习教学设计

第八章 二元一次方程小结与复习 教学设计思想 本第八章章节复习课,...② 列一次方程组解应 用题的步骤;然后师生共同讲评训练题;最后小结。 教学目标...