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课 题:第8章圆锥曲线方程小结与复习(二)

时间:2010-04-16


高中数学教案

第 8 章圆锥曲线方程(第 18 课时)

王新敞



题:小结与复习(二)

教学目的: 1 通过小结与复习,使同学们完整准确地理解和掌握三种曲线的特点以及 它们之间的区别与联系 2 通过本节教学使学生较全面地掌握本章所教的各种方法与技巧,尤其是 解析几何的基

本方法――坐标法;并在教学中进一步培养他们形与数结合的思 想、化归的数学思想以及“应用数学”的意识 3 结合教学内容对学生进行运动变化和对立统一的观点的教育 教学重点:三种曲线的标准方程和图形、性质 教学难点:做好思路分析,引导学生找到解题的落足点 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、讲解范例: 例 1 根据下列条件,写出椭圆方程 ⑴ 中心在原点、以对称轴为坐标轴、离心率为 1/2、长轴长为 8; ⑵ 和椭圆 9x2+4y2=36 有相同的焦点,且经过点(2,-3); ⑶ 中心在原点,焦点在 x 轴上,从一个焦点看短轴两端的视角为直角,焦点到
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长轴上较近顶点的距离是 10- 5

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分析: 求椭圆的标准方程,首先要根据焦点位置确定方程形式,其次是根据 a2=b2+c2 及已知条件确定 a2、b2 的值进而写出标准方程 解 ⑴ 焦点位置可在 x 轴上,也可在 y 轴上,
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因此有两解:

x y2 y2 x2 ? ? 1或 ? ?1 16 12 16 12

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x2 y2 ⑵ 焦点位置确定,且为(0, ? 5 ) ,设原方程为 2 ? 2 ? 1 ,(a>b>0), a b

?a 2 ? b 2 ? 5 y2 x ? ? ?1 由已知条件有 ? 9 ? a 2 ? 15, b 2 ? 10 ,故方程为 4 15 10 ? 2 ? 2 ?1 b ?a
⑶ 设椭圆方程为

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x2 y2 ? ? 1 ,(a>b>0) a2 b2

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由题设条件有 ?

?b ? c ?a ? c ? 10 ? 5

及 a2=b2+c2,解得 b= 5, a ? 10 ,

故所求椭圆的方程是

x y2 ? ?1 10 5

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例 2 从椭圆

x2 y2 ? ? 1 ,(a>b>0)上一点 M 向 x 轴所作垂线恰好通过椭圆的左 a2 b2
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焦点 F1,A、B 分别是椭圆长、短轴的端点,AB∥OM 设 Q 是椭圆上任意一点, 当 QF2⊥AB 时,延长 QF2 与椭圆交于另一点 P,若⊿F2PQ 的面积为 20 3 , 求此时椭圆的方程 解 可用待定系数法求解
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∵b=c,a= 2 c,可设椭圆方程为

x2 y2 ? 2 ?1 2c 2 c

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∵PQ⊥AB,∴kPQ=-

1 a ? ? 2 ,则 PQ 的方程为 y= 2 (x-c), k AB b

代入椭圆方程整理得 5x2-8cx+2c2=0, 根据弦长公式,得 PQ=

6 2 c, 5

又点 F1 到 PQ 的距离 d=

2 6 c 3

∴ S ?F1PQ ?

1 4 3 2 4 3 2 PQ d ? c ,由 c ? 20 3,得c 2 ? 25, 2 5 5

故所求椭圆方程为

x2 y2 ? ?1 50 25

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例 3 已知椭圆:

? x2 ? y 2 ? 1 ,过左焦点 F 作倾斜角为 的直线交椭圆于 A、 6 9
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B 两点,求弦 AB 的长 解:a=3,b=1,c=2 2 ;
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则 F(-2 2 ,0)
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由题意知: l : y ?

1 3

(x ? 2 2) 与

x2 ? y 2 ? 1 联立消去 y 得: 9

4x 2 ? 12 2 x ? 15 ? 0
设 A( x1 , y1 ) 、B( x 2 , y 2 ) ,则 x1 , x 2 是上面方程的二实根,由违达定理,

x1 ? x2 ? ?3 2
x1 ? x 2 ?

x ? x2 3 2 15 , xM ? 1 又因为 A、B、F 都是直线 l 上的点, ?? 4 2 2

所以|AB|= 1 ? ? | x1 ? x2 |?

1 3

2 3

? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ?
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2 3

18 ? 15 ? 2

点评:也可让学生利用“焦半径”公式计算

例 4 中心在原点,一个焦点为 F1(0, 50 )的椭圆截直线 y ? 3x ? 2 所得弦 的中点横坐标为

1 ,求椭圆的方程 2

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分析:根据题意,可设椭圆的标准方程,与直线方程联立解方程组,利用韦达 定理及中点坐标公式,求出中点的横坐标,再由 F1(0, 50 )知,c= 50 ,

? a 2 ? b 2 ? 50 ,最后解关于 a、b 的方程组即可
解:设椭圆的标准方程为

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x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a2 b2
2

由 F1(0, 50 )得 a ? b ? 50
2

把直线方程 y ? 3x ? 2 代入椭圆方程整理得:

(a 2 ? 9b 2 ) x 2 ? 12b 2 x ? b 2 (4 ? a 2 ) ? 0
设弦的两个端点为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则由根与系数的关系得:

x1 ? x 2 ?

12b 2 , a 2 ? 9b 2
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又 AB 的中点横坐标为

x ? x2 1 6b 2 1 ? 2 ? ,? 1 2 2 2 2 a ? 9b

? a 2 ? 3b 2 ,与方程 a 2 ? b 2 ? 50 联立可解出 a 2 ? 75, b 2 ? 25
故所求椭圆的方程为:

x2 y2 ? ?1 75 25

例 5 直线 y ? kx ? 1 与双曲线 3x 2 ? y 2 ? 1 相交于 A、 两点, a 为何值时, B 当 A、 B 在双曲线的同一支上?当 a 为何值时,A、B 分别在双曲线的两支上? 解: 把 y ? kx ? 1 代入 3x 2 ? y 2 ? 1 整理得: (3 ? a 2 ) x 2 ? 2ax ? 2 ? 0 ??(1) 当 a ? ? 3 时, ? ? 24 ? 4a
2
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由 ? >0 得 ? 6 ?a? 6 且 a ? ? 3 时,方程组有两解,直线与双曲线有两个交 点
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若 A、B 在双曲线的同一支,须 x1 x 2 ?

2 >0 ,所以 a? ? 3 或 a? 3 a ?3
2

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故当 ? 6 ?a? ? 3 或 3? a 6 时,A、B 两点在同一支上;当 ? 3?a 3 时,A、 B 两点在双曲线的两支上
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例 6 已知双曲线的中心在原点,过右焦点 F(2,0)作斜率为

3 的直线,交 5

双曲线于 M、N 两点,且 MN =4,求双曲线方程

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解:设所求双曲线方程为 b =4-a
2 2

x2 y2 ? ? 1(a? 0, b? 0) ,由右焦点为(2,0) 知 C=2, a2 b2
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则双曲线方程为

x2 y2 3 ? ? 1 ,设直线 MN 的方程为: y ? ( x ? 2) ,代入 2 2 a 4?b 5
2 2 2 4 2

双曲线方程整理得:(20-8a )x +12a x+5a -32a =0

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设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1 ? x 2 ?

? 12a 2 , 20 ? 8a 2

x1 x2 ?

5a 4 ? 32a 2 20 ? 8a 2

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? 3? ? ? MN ? 1 ? ? ? 5? ? ? ?
8 ? ? 5
2

2

?x1 ? x2 ? ? 4 x1 x2
2

? ? 12a 2 ? 5a 4 ? 32a 2 ? ? 20 ? 8a 2 ? ? 4 ? 20 ? 8a 2 ? 4 ? ? ?
2
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解得: a ? 1 ,?b ? 4 ? 1 ? 3 故所求双曲线方程为: x ?
2

y2 ?1 3

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点评:利用待定系数法求曲线方程,运用一元二次方程得根与系数关系将 两根之和与积整体代入,体现了数学的整体思想,也简化了计算,要求学生熟 练掌握
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例7

已知双曲线 x ?
2

y2 ? 1 ,过点 A(2,1)的直线与已知双曲线交于 P、Q 2

两点 (1)求 PQ 中点的轨迹方程; (2)过 B(1,1)能否作直线 l ,使 l 与所给 双曲线交于两点 M、N,且 B 为 MN 的中点,若存在,求出 l 的方程,不存在说明 理由 解: (1)设 P(x1,y1) 、Q(x2,y2),其中点为(x,y),PQ 的斜率为 k, 若 PQ 的斜率不存在显然(2,0)点是曲线上的点 若 PQ 的斜率存在,由题设知:
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y x1 ? 1 ? 1 ?(1) 2
2

2

y x2 ? 2 ? 1 ?(2) 2
2

2

(2)-(1)得: ( x1 ? x2 )( x2 ? x1 ) ?

( y1 ? y 2 )( y 2 ? y1 ) ?0 2

?

x1 ? x2 k x k ? ,即 ? ?(3) y 2 y1 ? y 2 2

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第 8 章圆锥曲线方程(第 18 课时)

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又k ?

y ?1 代入(3)整理得: 2x 2 ? y 2 ? 4x ? y ? 0 x?2
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(2) 显然过 B 点垂直 X 抽的直线不符合题意 只考虑有斜率的情况 设 l 的方程为 y-1=k(x-1)
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代入双曲线方程 x ?
2

y2 ? 1 ,整理得: 2

?2 ? k ?x
2

2

? 2k ?1 ? k ?x ? k 2 ? 2k ? 3 ? 0 ?※
2k ?1 ? k ? ? 2 解得: k =2 2?k2
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设 M(x1,y1) 、N(x2,y2)则有 x1 ? x 2 ? 又直线与双曲线必须有两不同交点,

所以※式的 ? ? 4k 2 ?1 ? k ? ? 4 2 ? k 2 k 2 ? 2k ? 3 ?o
2

?

??

?

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把 K=2 代入得 ? ? ?8 <0, 故不存在满足题意的直线 l

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例 8 已知抛物线方程为 y 2 ? 2 p( x ? 1)( p ? 0) ,直线 l : x ? y ? m 过抛物线的 焦点 F 且被抛物线截得的弦长为 3,求 p 的值. 解:设 l 与抛物线交于 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), 则 | AB |? 3. 由距离公式 |AB|= ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 = 1 ? 1 | y1 ? y2 |? 2 | y1 ? y2 | 2
k

则有 ( y1 ? y2 ) 2 ? 9 .
2

由 ? x ? y ? ?1 ? 2 ,消去x, 得y 2 ? 2 py ? p 2 ? 0. ?
? y 2 ? 2 p( x ? 1). ?

?

p

? ? (2 p) 2 ? 4 p 2 ? 0.

? y1 ? y2 ? ?2 p, y1 y2 ? ? p 2 .

从而 ( y1 ? y 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ,即(?2 p) 2 ? 4 p 2 ? 9 . 由于 p>0,解得 p ?
2

3 4

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例 9 如图,线段 AB 过 x 轴正半轴上一点 M(m,0) (m>0) ,端点 A、B 到 x 轴 y 距离之积为 2 m ,以 x 轴为对称轴,过 A,O,B 三点作抛物 A 线 (1)求抛物线方程;
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O
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M B

x

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(2)若 tg?AOB ? ?1 ,求m 的取值范围

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解: (1)当 AB 不垂直 x 轴时,设 AB 方程为
y ? k ( x ? m).抛物线方程 2 ? 2 px( p ? 0) y

由 ? y ? k ( x ? m)得ky 2 ? 2 py ? 2 pkm ? 0,? y y ? ?2 pm?| y y | ? 2 pm ? 2m ? 2 1 2 1 2 ? y ? 2 px
? p ? 1.当AB ? X轴时, A, B分别为 m, 2Pm), (m,? 2 pm),由题意有 pm ? 2m, p ? 1 , ( 2

故所求抛物线方程为 y 2 ? 2 x. (2)设 A( y1 , y1 ), B( y 2 , y 2 )由(1)知 2 2 2 y1 y 2 ? ?2m, y1 ? y 2 ? k
? y1 ? y 2 |? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ? |
又tg?AOB ? ?1
2 2 ? | y1 y2 ? ? ?1 4 1? y1 y2 |
2 2

4 ? 8m , k2 2 2 k1 ? , k2 ? , y1 y2

即y1 y2 ? 4 ? 2 | y1 ? y2 |,? ?2m ? 4 ? 2

①, 4 ? 8m 2 k

平方后化简得
m 2 ? 12 m ? 4 ? 4 k2 ? m 2 ? 12 m ? 4 ? 0, ? m ? 6 ? 4 2或m ? 6 ? 4 2

又由①知
? 2m ? 4 ? 0,? m ? 2 ? m 的取值范围为

0 ? m ? 6 ? 4 2当m ? 6 ? 4 2且AB ? x 轴时,
y1 ? 2( 2 ? 1), y2 ? ?2( 2 ? 1), y1 y2 ? ?4( 2 ? 1) 2 ? ?2m. tan?AOB ? ?1

符合条件, 故符合条件的 m 取值范围为 0 ? m ? 6 ? 4 2. 二、课堂练习:
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1.直线 l : y ? k x ? 2 与曲线 x 2 ? y 2 ? 1?x ? 0? ,相交于 A、B 两点,求 直线 l 的倾斜角的范围 答案: ?
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?

?

? ? ? ? ? ? 3? ? , ??? , ? ?4 2? ?2 4 ?

2.直线 y ? kx ? 1 与双曲线 x 2 ? y 2 ? 1的左支仅有一个公共点,求 K 的取值范 围 答案: ? 1? k ? 1 或 k ?
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2

y2 ? 1 与点 P(1,2) P 点作直线 L 与双曲线交于 A、B 3.已知双曲线 x ? ,过 2
2

两点,若 P 为 AB 的中点 (1)求直线 AB 的方程 (2)若 Q 为(-1,-1) ,证明 不存在以 Q 为中点的弦 答案 AB:x-y+1=0
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4.双曲线 x ?
2

y2 ? 1( x ? 1) ,一条长为 8 的弦 AB 的两端在曲线上运动,其中 3
?5 ?2 ? 15 ? ? 2 ? ?

点为 M,求距 Y 轴最近的点 M 的坐标 答案: ? ,
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5. 顶点在原点, 焦点在 x 轴上的抛物线, 截直线 y ? 2 x ? 4 所得的弦长为 3 5 , 求抛物线的方程 答案: y ? 4 x 或 y ? ?36x
2 2
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6.过抛物线焦点 F 的直线与抛物线交于 A 、 B 两点,若 A 、 B 在抛物线准线 上的射影分别为 E 、 G ,则 ?EFG 等于 ( B ) A. 45
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0

B 90
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0

C 60
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0

D 120
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0

7 若抛物线 y ? 8x 被过焦点,且倾斜角为 135 的直线所截,求截得的线段的
2
0

中点坐标 答案: ?6,?4?
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8 过点 ?? 1,?6? 的直线 l 与抛物线 y ? 4 x 交于 A 、 B 两点,求直线 l 的斜率 K
2
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的取值范围 答案: 3 ? 10,0 ? 0,3 ? 10
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?

? ?

?

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9.过点 A?? 2,?4? 作倾斜角为 45 的直线交抛物线 y ? 2 px? p ? 0? 于点 P 、 1
0

2

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P2 ,若 P1 P2

2

? AP1 ? AP2 ,求实数 p 的值 答案: p ? 1
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三、小结 : (1)直线与曲线的位置关系有相离、相切、相交三种 (2)判断其位置关系看直线是否过定点,在根据定点的位置和双曲线的渐近线 的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系 (3)可通过解直线方程与曲线方程解的个数来确定他们的位置关系 但有一解 不一定是相切,要根据斜率作进一不的判定 四、课后作业:
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五、板书设计(略)

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六、课后记:采用数形结合、类比联想(椭圆) 、启发诱导的教学方法,注重思 维能力的培养和学生动手操作的能力的训练, 同时结合几何画板进行动画演示, 验证结果(特别是轨迹问题)
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