nbhkdz.com冰点文库

2013力学竞赛动力学练习题


2013 动力学练习题
(一)第一部分:三大定理练习题
1、均质杆 AB 长为 L、质量为 m、 ,放在铅垂平面内, 其 A 端靠在光滑的铅垂墙面上,另一端 B 放在光滑 的水平地板上。并与水平面成 600 角。此后,杆由 静止状态倒下,则杆 AB 在任意位置时的 角速度为 (5 分) ; 角加速度为 (5 分) ; 当杆脱离墙面时,此杆与水平面的夹角为 (5

分) 。 (? ? A

600

B

3 g(1 ? 2 sin? ) /(2 l) , ? ? 3 g cos? /(2 l) , ?1 ? a r c s i1n ( ) ) /3

2、半径为 r 的均质圆柱体,初始时静止在台边上, 且α =0,受到小扰动后无滑动地滖下。则圆柱体 离开水平台时的角度为___(6 分) ,这时的角速 度为___(6 分) 。 ( ? ? arccos

O α A

4 g ? 5509? ; ? ? 2 ) 7 7r

3、 图示系统中, 匀质圆柱体的质量为 M, 半径为 R, 且在水平面上作纯滚动。匀质杆的质量为 m,长 l。 该系统的自由度为______(2 分) ,轮心速度与杆的 角速度之间的关系为_________(8 分) 。

? ( 2; x ?

ml cos ? ? ? ) 3M ? 2

4、均质棒 OA,长为 l ,在水平面上能绕其一固定端 O 自由转动, 并驱动一个在棒前的小球 C,球与棒的质量相同。初始时小球 静止在棒前并离 O 点很近,同时此棒以某一角速度旋转,假定 所有接触都是光滑的,则当小球离开端点 A 的瞬间,小球 的绝对速度与棒所成的角度为: 。 (

1 arctg ) 2

5、均质圆盘,半径为 R 重为 P,在圆盘中心处焊上了一半径等于 r 的直杆。 并知轴线和盘面垂直,杆的质量忽略不计。今在直杆 AB 上缠上两根细绳(绳 的质量可忽略不计) 。然后将圆盘自由释放。已知:圆盘在水平自由下坠的过 程中伴随有绕水平轴的转动。则圆盘下落(或转动)的规律为

yC ?
( yC ?

??

,圆盘下落时绳子的张力 T=



r2g rg R2 t 2 ;? ? 2 t 2 ; FT ? yC ? 2 P ) R 2 ? 2r 2 R ? 2r 2 R ? 2r 2

6、质量为 M 倾角α =300 的三棱柱放在光滑水平 面上。一根自然长度为 l,弹性系数 k=2mg/l 的弹 性轻绳, 其一端拴在光滑斜面上的 A 点处, 另一端 系有质量为 m 的质点。初始时质点位于 A 点,系 统静止,然后释放。质点的速度再次为零时它离 A 点的距离为 。 当三棱柱的速度达到最大时 质点离 A 的距离为 。 绳子刚拉直时质点相对 三棱柱的速度为 。 ( 2l ;

A

α

5l ( M ? m) gl ; vr ? 2 4 4M ? m



7、如图示圆轮半径为 R,重量为 P,在其铅垂直径的上端 B 点处作用 水平力 Q,轮与水平面间的滚动摩阻因数为 δ,轮与水平面间的滑动 摩擦因数为 μ。则轮子只滚不滑的条件是

B Q O P

p? 2? ? Q ? 3 p( ? ? ) 。 2R 3R

8、长为 2a 的均质杆直立并靠在光滑的墙上,杆在垂直 于墙面的铅垂平面内倒下,开始时上端离墙。设地面光滑。 则杆子倒在地下时,杆子的质心速度为 。 (

1 14 ga ) 3

9、在图示铅垂平面内,匀质滑块 A 的 质量为 m,套筒 C(其重心与 C 点重合) 的质量也为 m,杆 AB 的质量不计,它可 在套筒内滑移,如果所有接触均为光滑, 求套筒在滑块 A 的重力作用下,自水平位 置(? = 0)无初速转动至 ? = 450 时的角 速度及铰链 A 所受到的力。套筒对通过质 心 C 的转动轴的回转半径 ? ?

A

a
?
C

B

2a 。 2

A’



2 3

g 7 7 mg , FAy ? mg ) ; FAx ? ? 81 81 a

10、图示总质量为 m,厚度为 t 的柔性地毯,从半径为 r(0)=R 的圆柱形以初速度为零时开始滚动,随后在水平 地板上无滑动而连续展开。设 t<<R。求当 r=R/2 时, 地毯滚动部分中心的速度 。 (

14 gR ) 3

11、一质量为 m,半径为 r 的匀质刚 球,绕水平直径(垂直于纸面)以角 速度?0 转动(球无初速度) ,被慢慢 的放在质量为 m 的匀质刚性薄平板 上。球与板间摩擦系数为 f,板与地 面间的摩擦系数为 f /4。 1、 如果板被固定,则刚球在滑动停 止前走过的距离为 ; (
2 2 r 2 ?0 ) 49 fg

?0
C

2、 如果板可以滑动(不固定) ,则刚 球在板上停止滑动前相对板走过的距 离为 ;在同一时间里, (
2 3 r 2 ?0 ) 64 fg

则板相对地面走过的距离为



(

2 1 r 2 ?0 ) 64 fg

12、小球 A(可视为质点)在小车 B 上沿光滑的四分之一圆弧面由静止开 始落下。小球的质量为 m,小车的质 量为 M=2m。则小球落到地面时,离 开初始位置的水平距离为 。 (

A R

B R

4 6 ?3 R) 6

13、如图所示,弹性系数为 k 的弹簧与质量为 m,半径为

R 的均质轮中心 C 相连,轮子在水平面作纯滚动;设初始时
k 弹簧未伸长,轮心 C 具有初始速度 v0 ;轮心的运动的规律 为 C

v0

x =? 0

3m 2k sin t; 2k 3m

14、 在图示机构中,已知:匀质细杆 AB 长 l、重为 Q, 由铅垂位置绕 A 端自由倒下。试求: 杆 AB(A 点不滑动前的)的角速度为 杆 AB(A 点不滑动前的)的角加速度为
0

B

(5 分) (5 分) ; (5 分) 。 A
?

假定 ? ? 30 时 A 端将开始滑动,此时杆与水平面之 间的动摩擦因数 f ? 为

15、一辆轿车在坡度为 13%的山路上行驶。略去车轮的转动惯量, 轮胎与地面的摩擦因数为 f ? 0.6 ,试按: s (1)前轮驱动(5 分) (2)后轮驱动(5 分) (3)前后轮联合驱动(5 分) 计算上山时轿车可能达到的最大加速度。 已知: h ? 0.45m , b ? 1.5m 。 答案: (1) amax ? 1.41 / s 2 , (2) amax ? 1.94m / s , m
2

h

a

b

b

a

a

(3) amax ? 4.57m / s 2

A 16、外径为 2R 的薄壁圆筒和一根长为 2R 的细匀质杆在 B 点焊接而组成一刚体,杆与圆筒具有相同的质量 m。 系统由图示的不稳定平衡位置受一小扰动而开始倾倒。 针对下列两种情况求杆端接触地面前瞬时该系统的角速度。 (1)圆筒与地面之间有足够的摩擦使圆筒滚动; 分) (4 (2)圆筒与地面之间接触为光滑。 分) (5 答案: (1) ? ?

B O

2 2g , 3 r

(2) ? ? 2

6g 23r

17、均质半圆柱质量为 m ,半径为 r ,质心 C 到圆心 O 的偏心距: e ?

4r ,各接触面均为光滑。初时 AB 铅垂, 3?

半圆柱由于重力作用而无初速地滑下。 (1)求半圆柱运动至恰好离开墙时的角速度与角加速度。 (2)试证明:半圆柱离开墙 CD 后的运动中,其 质心 C 的速度的水平分量恒为: vc x ? 18、动力学习题

16 rg 。 3? 3?

19、图示均质圆盘质量为 m、半径为 R,其外缘上缠绕了很多圈无重细绳,绳头上用水平常 力 F 牵引, 使圆盘沿水平直线纯滚动, 则摩擦力的方向水平向 右 、 大小为 F/3 , 若盘心(即质量中心)走过路程为 s,则圆盘所受力系所做的功为 2FS 。若圆盘 质量均匀分布于轮缘,其他条件不变,则摩擦力的大小应为 0 。

20、半径为 R 的匀质圆柱体 O 和一根长为 4R 的细匀质杆 OA 在组成一系统,杆与圆柱体具 有相同的质量 m。系统由图示的不稳定平衡位置受一小扰动而开始运动。试求杆端 A 在接 触地面前瞬时 OA 杆的角速度。 A A 若杆与圆柱体焊接而成一刚体,如题 3—1 图所示, (1)圆柱体与地面之间有足够的摩擦使圆柱体 作纯滚动; 分) (5 (2)圆柱体与地面之间为光滑接触。 分) (5 若杆与圆柱体在 O 处用光滑铰链连接, 如题 3—2 图所示, O O (3)圆柱体与地面之间有足够的摩擦使圆柱体 作纯滚动; 分) (5 题 3—2 图 题 3—1 图 (4)圆柱体与地面之间为光滑接触。 分) (5 解: (1) T ?

1 3 1 1 3 41 ? ? ? [ mR 2 ? m (4 R) 2 ? mR 2 ]? 2 ? (2m ) R 2? 2 ? mR 2? 2 2 2 12 2 2 12 5 W ? mgR 2 O C 30g g A ? ? ?? ? ? 0.855 41R R 1 3 1 1 15 107 ? ? ? [ mR 2 ? m (4 R) 2 ? mR 2 ]? 2 ? (2m ) R 2? 2 ? mR 2? 2 2 2 12 2 16 48 5 W ? mgR 2

(2) T ?

? ? ?? ?
(3) T ?

120g g ? 1.059 107R R

3 2 1 ? ? ? ? ?? mx 2 ? mR 2? 2 ? m (4 R 2? 2 ? x 2 ? 4 Rx? cos ? ) 4 3 2

?

5 8 ? ? ?? mx 2 ? mR 2? 2 ? 2mR x? c o s ? 4 3
L ? T ?V

V ? 2mg(1 ? cos? ) ,
?L 5 ? ? ? mx ? 2mR ? cos ? ? 0 , ? ?x 2

? x?

4 ? R? cos ? 5

157 5 150 g g ? ? R? 2 ? g , ? ? ? ? ? 0.9 7 7 5 60 2 157 R R

? (4) T ? m x ?
2

8 ? ?? mR 2? 2 ? 2mR x? cos ? , 3

V ? 2mg(1 ? cos? )

? ? ? m(2 R? cos? ? x) ? mx ? 0 ,

? ? x ? R? cos?

125 5 ? R? 2 ? g , 48 2

? ? ?? ?

24g g ? 0.9 7 9 8 25R R

21、一圆柱体的质量为 M,半径为 R,相对 其中心轴的回转半径为 k.援助外面绕着 柔软而不可伸长的轻绳,放在光滑的倾 角为? 的斜面上,绳子沿斜面向上跨过 一不计质量的定滑轮并在端点挂一质量 为 m 的重物。绳子与圆柱体无相对滑 动,初始时系统静止。求: 1、 圆柱体中心的加速度;

?

mgR(1 ? sin? ) mR 2 ? (m ? M)k 2

2、 重物的加速度;

mR 2 ? (M sin? ? m)k 2 g mR 2 ? (m ? M)k 2 Mgk2 (1 ? sin? ) mR 2 ? (m ? M)k 2
k 2 ? R2 sin? ,对均质圆柱体 ? ? 30 0

3、 绳子的张力;

4、 圆柱仅有转动的条件; 5、 重物不动的条件。

M(R2 ? k2 ) ? mk 2 sin?

(二)第二部分:碰撞练习题
22、半径为 R 的匀质圆柱体在水平地板上以速度 v 无滑动地滚动。当碰到高为 h(<R)的塑性台阶时 (台阶前缘与圆柱体轴线平行) ,圆柱体能不脱离接 触地爬上台阶继续滚动的速度是( ) (10 分) 。 又问能使圆柱体能不脱离接触地爬上台阶继续滚动 的台阶高度为( ) 分) (5 。 解:碰撞前后对 A 点的动量矩守恒,

O

v
A h 题 16 图

1 3 2h v mRv ? mv ( R ? h) ? mR 2?0 , ?0 ? (1 ? ) 2 2 3R R 2R 3 gh 能翻上台阶的条件是: v ? 3 R ? 2h 3R g ( R ? h) 不脱离的条件是: v ? 3 R ? 2h 3 台阶高度: h ? R 7

23、半径为 R 的圆环在水平地板上以速度 v 无滑动地滚动, 环平面保持在铅垂平面内。当碰到高为 h(<R/2)的塑性 台阶时(台阶前缘与环平面垂直) ,环能不脱离接触地爬 上台阶继续滚动的速度是( ) (10 分) 答案:

O

A h

2R 2R gh ? v ? g(R ? h) , 2R ? h 2R ? h 2R v? gh 2R ? h 2R v? g(R ? h) 2R ? h
24、均质杆 AB,质量为 m,长为 2l ,B 端由铰链固定住。A 端 用手托成水平,然后无初速地释放。则 B 处的反力为 。 当杆位于竖直位置时,B 端铰链突然脱落,则在以后的运动中, 杆的角速度为 ,杆中心的轨迹方程为 。 ( A B

1 3g 2 mg; ; y ? 2lx ? 3l 2 ) 4 2l

25、均质杆 OA 和 AB 质量均为 m,长为 L。在 A 端用 光滑铰链连接。OA 杆水平,AB 杆与水平成 300 角, B 轮半径 R=L/2,质量 M=2m,沿水平面上纯滚动。 初始时系统静止。突然剪断 AC 绳,则此时 O 处的力为 (5 分) ; D 处的力为 (5 分) ; 轮 B 的角加速度为 (5 分) 。

C A B D 300 O

( FOx ?

13 97 21 3 3 3 3 3 g mg ;FND ? mg ,FSD ? ) mg ,FOy ? mg ;? ? 32 32 32 16 8 L

26、 两根均质杆 AB、BD 质量均为 M,在 B 端用光滑铰链 连接,用铰链固定悬挂于 A 点,一质量为 m 的小球以 速度 v 撞到 C 点。若恢复因数为 e。 碰撞后两杆的角速度相等则 h 为 (5 分) ; 碰撞后 BD 杆的角速度为 0 则 h 为 (5 分) ; 碰撞后 BD 杆的角速度为 0 则此时铰链 B 所受的 冲量为 (5 分) 。

A

O

B

?

D

27、一长为 2L,质量为 M 的均质杆, 从图示位置释放,撞在放在高为 L 质量 为 m 的小球上,使小球离开桌面,撞在 质量为 M1 长为 2a 的均质杆的 E 端,使 DE 杆离开台阶,且正好使得 D 端碰在 台阶的角点 E 处。已知:M=4m,M1=2m, L=2.473a,x-sin3x=0 的正解为 x=0.76。 且所有碰撞均为光滑碰撞。求: 1)小球离开桌子时的速度;

2L

O

?
A B D
L

2a E h

( 6 gL (1 ? cos ? ) )

2)小球能刚好到达 E 处 h 的大小; ( 3)DE 杆离开台阶时的角速度;

2 3 (1 ? cos? )L )

( 6 gL (1 ? cos ? ) / a ) (

4)能够正好使 DE 杆的 D 端碰在台阶的角点 E 处的 ? 角。

? ? 60 0 )

28、一长为 2a 的均质杆与铅垂线成? 角自 H 高处无初速度 地落下时,与光滑的水平地面作塑性碰撞。则杆的下端与地 面接触后又离开地面的高度 H 为多少?

B

?
C A H

H?

a(1 ? 3 sin2 ? ) 18 sin2 ? cos?