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2.1 第1课时数列的概念与简单表示法


第二章 数



2. 1

数列的概念与简单表示法

第1课时

数列的概念与通项公式

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1.通过实例了解数列概念.
2 .理解数列的顺序性,感受数列是刻画自然规律的数学 模型,了解数列的分类.(重点) 3 . 了解数列与函数之间的关系,体会数列之间变量的依 赖关系.(重点、难点)

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1.数列及其有关概念 顺序 排列着的一列数称为数列. (1)数列:按照一定_______ (2)项:数列中的每一个数叫做这个数列的项,第1项通常也 首项 . 叫做_____

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1.数列与数集相同吗? 提示: 不相同.数列中的数是有序的,而数集中的数是无 序的;数列中的数可以相同,而数集中的数是互异的.

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2.数列的表示
数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,?,an,?,简记为 {an} . ______

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2.an与{an}是否相同? 提示:不相同. an表示数列{an}中的第n项.

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3.数列的分类 (1)按项的个数分类 类别 含义 有限 的数列 项数_______

有穷数列
无穷数列

项数______ 无限 的数列

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(2)按项随序号的变化趋势分类 类别 含义

大于 它的前一项的数列 递增数列 从第2项起,每一项都_____

递减数列 从第2项起,每一项都_____ 小于 它的前一项的数列
常数列

各项_____ 相等 的数列

从第2项起,有些项_____它的前一项,有些项 大于 摆动数列 _____它的前一项的数列 小于

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3.数列1,3,6,10和1,3,6,10,?是相同的数列吗?
提示: 不是 .1,3,6,10 是有穷数列;而 1,3,6,10 , ? 是无穷数 列.

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4.数列的通项公式
序号n 之间的关系可以用一个式 如果数列{an}的第n项与________ 通项公式 . 子来表示,那么这个公式叫做这个数列的__________

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4.是否所有的数列都有通项公式? 提示: 不是.数列的通项公式实际就是相应函数的解析 式,并不是所有的数列都有通项公式,就像并不是所有的函数 都能用解析式表示一样.

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数列的概念及分类 1.数列的项与项数 项与项数是两个不同的概念,数列的项是指这个数列中的 某一个确定的数,它是一个函数值,即f(n);而项数是指这个数

在数列中的位置序号,它是函数值f(n)对应的自变量的值,即n.

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2.数列表示法的理解
数列{an}表示数列a1,a2,a3,?,an,?,这里借用了集 合的表示形式,但与集合表示有本质的区别. 3.数列按项数可分为有穷数列和无穷数列;按相邻项的变 化趋势可分为递增数列、递减数列、常数列和摆动数列.

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n-1 (1)已知数列{an}的通项公式是 an= ,那么这个 n+1 数列是( ) B.递减数列 D.摆动数列

A.递增数列 C.常数列 (2)已知下列数列:

①2 000,2 004,2 008,2 012; n-1 1 2 ②0,2,3,?, n ,?;
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1 1 1 ③1,2,4,?, n-1,?; 2 ?-1?n 1· n 2 3 ④1,-3,5,?, ,?; 2n-1


nπ ⑤1,0,-1,?,sin 2 ,?. 其中,有穷数列是______,无穷数列是______,递增数列 是______,递减数列是______,摆动数列是______,周期数列 是______.(将合理的序号填在横线上)

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【思路点拨】(1)将通项公式变形,然后观察通项公式的特

点作出判断.
(2)观察数列的项的变化趋势与规律,由数列的分类作出判 断.

n-1 ?n+1?-2 2 解析:(1)an= = =1- ,由函数的单调 n+1 n+1 n+1 性知数列{an}是递增数列.
答案:A

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(2)①是有穷递增数列;
? n-1 1? ? ? ②是无穷递增数列?因为 =1-n?; n ? ?

③是无穷递减数列; ④是摆动数列,也是无穷数列; ⑤是摆动数列,是无穷数列,也是周期数列,最小正周期 为 4.

答案:① ②③④⑤

①②



④⑤


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【借题发挥】1.若数列{an}满足an<an+1,则该数列是递增

数列;若满足 an > an + 1 ,则该数列是递减数列;若存在正整数
T(T为常数)使an+T=an,则该数列具有周期性,且周期为T. 2.理解数列的概念时应注意以下几个方面: (1)数列中项与项之间用“,”隔开. (2)数列中的项通常用 an表示,其中右下角标表示项的位置 序号,即an为第n项. (3)数列的顺序性,顺序对于数列来讲是十分重要的,几个 相同的数,它们按照不同的顺序排列所得到的数列是不同的,

这是数列与集合的不同之处.
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1. 下列数列哪些是有穷数列?哪些是无穷数列?哪些是递 增、递减数列?哪些是摆动数列?哪些是常数列? (1)1,0.84,0.842,0.843,?; (2)2,4,6,8,10,?; (3)7,7,7,7,?; 1 1 1 1 (4)3,9,27,81,?; (5)0,0,0,0,0,0; (6)0,-1,2,-3,4,-5,?.
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解:(5)是有穷数列;
(1)(2)(3)(4)(6)是无穷数列; (2)是递增数列;(1)(4)是递减数列; (6)是摆动数列;(3)(5)是常数列.

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由数列的前几项求通项公式 1.数列的通项公式表示的是项与项数之间的关系.

2.根据数列的前几项写通项公式,体现了由特殊到一般的
规律.解题时一定要注意观察项与项数的关系和相邻项间的关 系.具体思路为:

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(1)先统一项的结构,如都化成分数、根式等.
(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部 分的规律与对应序号间的关系. (3)对于符号交替出现的情况,可先观察其绝对值,再用(- 1)k处理符号. (4) 对于周期出现的数列,考虑拆成几个简单数列和的形 式,或者利用周期函数的知识来解题.

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写出下列数列的一个通项公式,使其前几项分别是

下列各数.
1 9 25 (1)2,2,2,8, 2 ,?; (2)1,-3,5,-7,9,?; (3)a,b,a,b,a,b,?; (4)9,99,999,9 999,?; 1 1 1 1 (5) ,- , ,- ,?; 1×2 2×3 3×4 4×5 22-1 32-1 42-1 52-1 (6) 2 , 3 , 4 , 5 ,?.
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【思路点拨】分析各项an与对应序号n之间的关系,得出一

个合适的函数解析式,再验证是否合适即可.
解:(1)由于数列的项是分数和整数,可将各项都统一成分 1 4 9 16 25 数后再观察:2,2,2, 2 , 2 ,?,所以,它的一个通项公式 n2 为 an= 2 ,n∈N*. (2)数列各项的绝对值为 1,3,5,7,9,?,是连续的正奇数, 考虑(-1)n+1 具有转换符号的作用, 所以数列的一个通项公式为 an=(-1)n 1(2n-1),n∈N*.


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(3)这是个摆动数列,可寻找其摆动平衡位置与摆动振幅, a+b a-b 平衡位置为 2 ,振幅为 2 ,可用(-1)n+1 去调节,可得一个 a+b n+1a-b * 通项公式为 an= 2 +(-1) , n ∈ N . 2 (4)将原数列的各项加 1 后,变为 10,100,1 000,10 000,?, 此数列的通项公式为 10n,可得原数列的一个通项公式为 an= 10n-1,n∈N*.

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(5)这个数列的前 4 项的绝对值都等于序号与序号加 1 的积 的倒数,且奇数项为正,偶数项为负,所以它的一个通项公式 是 an=(-1)
n+1

1 ,n∈N*. n?n+1?

(6)这个数列的前 4 项的分母都是序号加上 1,分子都是分 母的平方减去 1,所以它的一个通项公式是 ?n+1?2-1 an = ,n∈N*. n+1

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【题后总结】(1)并不是所有的数列都有通项公式,如数列

2,1,5,3,4,6,10,13,7,8,?就没有通项公式;
(2)根据数列的前几项写出的通项公式不一定唯一. 注意:熟记一些基本数列的通项公式,如: (1)数列-1,1,-1,1,?的通项公式是an=(-1)n. (2)数列1,2,3,4,?的通项公式是an=n. (3)数列1,3,5,7,?的通项公式是an=2n-1. (4)数列2,4,6,8,?的通项公式是an=2n. (5)数列1,2,4,8,?的通项公式是an=2n-1.

(6)数列1,4,9,16,?的通项公式是an=n2.
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2.根据下列数列的前几项,写出各数列的一个通项公式. (1)-1,7,-13,19,?; (2)0.8,0.88,0.888,?; 1 1 5 13 29 61 (3)2,4,-8,16,-32,64,?; 3 7 9 (4)2,1,10,17,?.

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解:(1)符号问题可通过(-1)n 或(-1)n+1 处理,其各项的绝 对值的排列规律为:后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大 6,故通项公式为 an=(-1)n· (6n-5). 8 8 8 (2)将原数列变形为9(1-0.1), ?, 9(1-0.01), 9(1-0.001), 1 ? 8? 故原数列的一个通项公式为 an=9?1-10n?. ? ?

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(3)各项的分母分别为 21,22,23,24,?易看出第 2,3,4 项的分 2-3 子分别比分母少 3.因此把第 1 项变为- 2 ,至此原数列已化 21-3 22-3 23-3 24-3 为- 21 , 22 ,- 23 , 24 ,?.故原数列的一个通项公
n 2 -3 n 式为 an=(-1) · 2n .

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3 5 7 9 (4)将数列统一为2,5,10,17,?,分子是序号的 2 倍加 1,即分子为 2n+1,分母为项数的平方加 1,即 n2+1.因此原 2n+1 数列的一个通项公式为 an= 2 . n +1

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数列的通项公式及应用

1.数列是特殊的函数,特殊性表现在它的定义域为正整数集
N*( 或它的有限子集 ).当自变量 n从小到大依次取值时,对应的 函数值就构成数列,因此数列的通项公式就是相应函数的解析 式,即an=f(n). 2.判断给定的项是否是数列中的项,实质就是一个解方程 的过程.若解得的n是正整数,则该项是此数列中的项;否则就 不是该数列中的项.

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(12分)已知数列{an}的通项公式为an=3n2-28n.

(1)写出数列的第4项和第6项.
(2)问-49是否是该数列的一项?如果是,应是哪一项?68 又是否是该数列的一项呢? 【思路点拨】

【规范解答】(1)a4=3×16-28×4=-64, a6=3×36-28×6=-60.

2分 4分
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(2)设 3n2-28n=-49, 7 解得 n=7 或 n=3(舍去). ∴-49 是该数列的第 7 项. 34 设 3n -28n=68,解得 n= 3 或 n=-2.
2

6分 8分 10 分

34 * ∵ 3 ?N ,-2?N*, ∴68 不是该数列的项. 12 分 【借题发挥】由于数列是一种特殊的函数,因此可利用函

数方程、不等式的知识来解决数列问题.
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若本例条件不变,将问题改为“数列中哪些项为负数?从
第几项开始为正数?”则如何求解?
28 解:由 an=3n -28n<0 得 0<n< 3 .
2

又 n∈N*,∴n=1,2,3,4,5,6,7,8,9. 即数列的前 9 项为负数. 28 由 an=3n -28n>0,得 n<0 或 n> 3 .
2

又 n∈N*,∴n≥10. ∴该数列从第 10 项开始为正数.
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误区:忽视n的取值范围致误

【典例】已知数列{an}的通项公式为an=-2n2+29n+3,
求数列{an}的最大项.
【错误解答】an=-2n2+29n+3
? 29?2 865 =-2?n- 4 ? + 8 , ? ?

29 865 ∴当 n= 4 时,数列{an}中的最大项为 8 .
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【正确解答】由已知得 an=-2n2+29n+3
? 29?2 865 =-2?n- 4 ? + 8 . ? ?

∵n∈N*, ∴当 n=7 时,an 有最大值,且最大值为 a7=108. 故数列{an}中的最大项为 108.

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【纠错心得】数列的通项公式实际上是一个以正整数集N* 或它的有限子集为定义域的函数的解析式,因此可用函数的知 识来研究数列问题,但在解题中要注意定义域的限制.

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