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淄博市2016一模 数学试题及答案解析(文理都有)

时间:2016-03-05


来源:L身边的幸福W

淄博市 2015-2016 学年度高三模拟考试 数学试题参考答案及评分说明
第Ⅰ卷(选择题
只有一项是符合题目要求的. 1. i 是虚数单位,复数 ( A.第一象限
2016.03

共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,

3?i 2 ) 表示的点在 1? i
C.第三象限 D.第四象限

B.第二象限

2.设集合 A={x|1<x<2} , B={x|x ? a} ,若 A ? B ,则 a 的取值范围是 A. a ? 2 3.下列选项错误的是 A.命题“若 x ? 1 ,则 x ? 3x ? 2 ? 0 ”的逆否命题是“若 x ? 3x ? 2=0 ,则 x =1 ”
2 2

B. a ? 2

C. a ? 1

D. a ? 1

B. “ x ? 2 ”是“ x ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件
2
2 C.若命题“ p : ?x ? R,x ? x ? 1 ? 0 ” ,则“ ?p : ?x0 ? R,x0 ? x0 ? 1=0 ”

2

D.若“ p ? q ”为真命题,则 p, q 均为真命题 4. 使函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) ? 3 cos(2 x ? ? ) 是奇函数, 且在 [0, 的一个值是

?
4

] 上是减函数的 ?

A.

? 3

B.

2? 3

C.

4? 3

D.

5? 3

5.已知平面向量 a, b 的夹角为 A. 2 B. 3

? ,且 b ? 1 , a ? 2b ? 2 3 ,则 a ? 3
C. 1 D. 3

6.在正项等比数列 {an } 中,若 3a1, a3 , 2a2 成等差数列,则
高三模拟考试数学试题参考答案

1 2

a2016 ? a2017 ? a2014 ? a2015

第 1 页(共 20 页)

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A. 3 或 ?1 7. 已知双曲线 B. 9 或 1 C. 3 D. 9

y 2 x2 则此双曲线的 ? ? 1 的一个焦点与抛物线 x 2 ? 12 y 的焦点相同, 5 m

渐近线方程为 A. y ? ?

5 x 5

B. y ? ?

2 5 x 5

C. y ? ?

5 x 2

D. y ? ? 5 x

8.三棱锥 P ? ABC 及其三视图中的正视图和侧视图如图所示,则 PB=

A. 2 11

B. 4 2

C. 38

D. 16 3

9.如果执行如右面的程序框图,那么输出的 S = A. 119 B. 600 C. 719 D. 4949 10. (文科)任取 k ?[?1,1] ,直线 l : y ? kx ? 3 与圆

C : ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 4 相交于 M , N 两点,则 |MN | ? 2 3 的概率为
A.

3 2

B.

3 3

C.

2 3

D.

1 2

10. (理科)某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目、2 个小品类节目和 1 个相声类节目 的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是
高三模拟考试数学试题参考答案 第 2 页(共 20 页)

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A. 72 B. 120 C. 144 D. 168

第Ⅱ卷(非选择题

共 100 分)

二. 填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.

?1 x ? 1, x ? 0 ? ?2 11.函数 f ( x) ? ? ,若 f (a) ? a ,则实数 a 的取值范围是 1 ? ,x ?0 ? ?x
12. (文科)某校女子篮球队 7 名运动员身高(单位: 厘米)分布的茎叶图如图,已知记录的平均身高为

a ? ?1 .

175cm ,但记录中有一名运动员身高的末位数字
不清晰,如果把其末位数记为 x ,那么 x 的值为
6

2



? a 3? 5 12. (理科)二项式 ? ax ? 的展开式中 x 的系数为 3 ,则 ? x 2dx ? ? ? 0 6 ? ? ?

1 3



13.锐角三角形 ABC 中, a, b, c 分别是三内角 A, B, C 的对边,设 B ? 2 A ,则 取值范围是

b 的 a

( 2, 3) .
5 2

?x ? y ? 2 ? 0 1 ? 14.若 x, y 满足 ? x ? y ? 4 ? 0 , 则 z ? y ? | x | 的最大值为 2 ?y ? 0 ?
15. (文科)已知函数 f (n) , n ? N * ,且 f (n) ? N * , 若 f (n) ? f (n ? 1) ? f ( f (n)) ? 3n ? 1, f (1) ? 1 ,则 f (6) ?



5



15. (理科) 已知函数 f ( x) ? lg( x ? 1) , 实数 a, b 满足:a ? b , f (a) ? f (?

b ?1 ), b?2

f (10a ? 6b ? 21) ? 4lg 2 ,则 a ? b 的值为

?

11 15



高三模拟考试数学试题参考答案

第 3 页(共 20 页)

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. 16. (本题满分 12 分) 已知向量 m ? (cos x, sin x) , n ? (2 2 ? sin x, 2 2 ? cos x) ,函数 f ( x) ? m ? n ,

x?R .
(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最大值; (Ⅱ)若 x ? (?

3? 5? , ? ? ) 且 f ( x ) ? 1 ,求 cos( x ? ) 的值. 2 12

解:(Ⅰ)因为 f ( x ) ? m ? n ? cos x(2 2 ? sin x ) ? sin x(2 2 ? cos x )

? 2 2 (sin x ? cos x) ? 4 sin( x ?

?
4

)( x ? R)

………………………………3 分

所以 f ( x) 的最大值是 4. ………………………………………………………4 分

1 …………………………………5 分 4 4 3? ? 5? 3? , ? ? ) ,即 x ? ? ( ? , ? ), 又 x ? (? 2 4 4 4
(Ⅱ)因为 f ( x) ? 1 ,所以 sin( x ?

?

)?

所以 cos( x ?

?
4

)??

15 4

…………………………………………………8 分

cos( x ?
??

5 ? ? ? ? ? ? ? ) ? cos[( x ? ) ? ] ? cos( x ? ) cos ? sin( x ? ) sin 12 4 6 4 6 4 6

15 3 1 1 3 5 ?1 . …………………………………………12 分 ? ? ?? 4 2 4 2 8

17. (文科 本题满分 12 分) 学业水平考试后,某校对高二学生的数学、英语成绩进行了统计,结果如下(人 数) : 数 项 英 目 优秀 优秀 合格 不合格 学

70

30

20

高三模拟考试数学试题参考答案

第 4 页(共 20 页)



合格 不合格

60
a

240
20

b
10

已知英语、数学的优秀率分别为 24% 、30%(注:合格人数中不包含优秀人数) . (Ⅰ)求 a 、 b 的值; (Ⅱ)现按照英语成绩的等级,采用分层抽样的方法,从数学不合格的学生中选 取 6 人.若再从这 6 人中任选 2 人,求这两名学生的英语成绩恰为一人优秀一人 合格的概率. 解: (Ⅰ)设该校高二学生共有 x 人,已知英语优秀的有 70+30+20=120 人,依 题意得:

120 ? 0.24 ,解得 x ? 500 , x 70+60+a ? 0.3 ,解得 a ? 20 , 500
由学生总数为 500 人得 b ? 30 .

……………………………………2 分 …………………………………4 分 …………………………………5 分

(Ⅱ)由题意知,抽取的数学不合格的 6 人中,英语优秀的应取 2 人,分别记为

a1 , a2 ,英语合格的应取 3 人,分别记为 b1 , b2 , b3 ,英语不合格的应取 1 人,记为

c.

…………………………………………………………………………6 分

从中任取 2 人的所有结果有:

?a1 , a2 ? , ?a1 , b1? , ?a1 , b2 ? ,?a1 , b3? ,?a1 , c? , ?a2 , b1? ,?a2 , b2 ? ,?a2 , b3? , ?a2 , c? , ?b1 , b2 ? , ?b1 , b3? , ?b1 , c? , ?b2 , b3? , ?b2 , c? , ?b3 , c? ,共 15 个.
根据题意,这些基本事件的出现是等可能的. ……………………10 分 其中, 英语成绩恰为一人优秀一人合格的有 ?a1 , b1? , ?a1 , b2 ? , ?a1 , b3? , ?a2 , b1? ,

?a2 , b2 ? , ?a2 , b3? ,共 6 个.

……………………………………11 分

所以,这两名学生的英语成绩恰为一人优秀一人合格的概率 P ?

6 2 ? .…12 分 15 5

高三模拟考试数学试题参考答案

第 5 页(共 20 页)

17. (理科 本题满分 12 分) 四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 平面 ABCD , 2 AD ? AB ? BC ? 2a , AD // BC ,

P

PD ? 3a , ?DAB ? 60? .
(Ⅰ)若平面 PAD 平面 PBC ? l , 求证: l // BC ; (Ⅱ) 求平面 PAD 与平面 PBC 所成二面角的 A 大小. B ( Ⅰ ) 证 明 : 因 为 AD // BC , AD ? 平 面 PAD , BC ? 平面 PAD 所以 BC //平面 PAD ………………………………………2 分 又平面 PBC 过 BC ,且与平面 PAD 交于 l ,所以 l // BC ……………4 分 (Ⅱ)解:连结 BD , ?ABD 中,

D

C

AD ? a, AB ? 2a, ?DAB ? 60 由余弦
定理:

z
P

BD ? DA ? AB ? 2DA ? AB cos 60 ,
2 2 2

解得 BD ? 3a 因为 AB ? AD ? BD
2 2

D
2

C

所 以 ?ABD 为 直 角 三 角 形 , …………………6 分 BD ? AD 因为 PD ? 平面 ABCD

A

x

B

y

因此,以 D 为坐标原点,分别以 DA, DB, DP 所在直线为 x, y, z 轴,建立如图所 示空间直角坐标系,因为 BD ? 平面 PAD ,所以 BD 是平面 PAD 的法向量,

BD ? (0, 3a,0)

…………………………………………………………8 分

设平面 PBC 的法向量为 n ? ( x, y, z )

P(0,0, 3a), B(0, 3a,0), C (?2a, 3a,0)
所以 PB ? (0, 3a, ? 3a), BC ? (?2a,0,0)
高三模拟考试数学试题参考答案 第 6 页(共 20 页)

? ? 3ay ? 3az ? 0 ?n ? PB ? 0 ? , 可得 ? 令 z ? 1 ,则 x ? 0, y ? 1 , ? ? 2 ax ? 0 ? n ? BC ? 0 ? ? ?
解得: n ? (0,1,1) 所以 cos ? BD, n ?? ……………………………………………10 分

3a 2 ? 2 3a ? 2 | BD || n | 所以平面 PAD 与平面 PBC 所成二面角为 45? . ……………………12 分 ?
18. (文科 本题满分 12 分) 四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 平面 ABCD ,

BD ? n

P

2 AD ? AB ? BC ? 2a , AD // BC , PD ? 3a , ?DAB ? 60? , Q 是 PB 的中点.
(Ⅰ)若平面 PAD 平面 PBC ? l ,

Q
D A
C

求证: l // BC ; (Ⅱ)求证: DQ ? PC . 证明:(Ⅰ) 因为 AD // BC , AD ? 平面 PAD , BC ? 平面 PAD , 所以 BC //平面 PAD ………2 分 又平面 PBC 过 BC ,且与平面 PAD 交于 l 所以 l // BC …………4 分 (Ⅱ)连结 BD , ?ABD 中,

B

P

Q
D
C

AD ? a, AB ? 2a, ?DAB ? 60 ,由余弦定理:
BD2 ? DA2 ? AB2 ? 2DA ? AB cos 60 ,
解得 BD ? 3a 因为 AB ? AD ? BD
2 2 2

A

B

所以 ?ABD 为直角三角形, BD ? AD 因为 AD // BC ,所以 BC ? BD 又因为 PD ? 平面 ABCD ,所以 BC ? PD 因为 PD BD ? D ,所以 BC ? 平面 PBD
高三模拟考试数学试题参考答案

……………………………7 分

第 7 页(共 20 页)

BC ? 平面 PBC 所以,平面 PBD ? 平面 PBC

…………………………………9 分

又因为 PD ? BD ? 3a , Q 为 PB 中点 ,所以 DQ ? PB 因为平面 PBD 平面 PBC ? PB ,所以 DQ ? 平面 PBC ……………11 分

PC ? 平面 PBC
所以 DQ ? PC 18. (理科 本题满分 12 分) 袋中共有 8 个球,其中有 3 个白球, 5 个黑球,这些球除颜色外完全相同.从袋中 随机取出一球,如果取出白球,则把它放回袋中;如果取出黑球,则该黑球不再 放回,并且另补一个白球放入袋中. (Ⅰ)重复上述过程 2 次后,求袋中有 4 个白球的概率; (Ⅱ)重复上述过程 3 次后,记袋中白球的个数为 X ,求 X 的数学期望. 解: (Ⅰ)由题意可知,当袋中有 4 个白球时,即二次摸球恰好摸到一白球,一黑 球,其概率是 P ?
1 1 1 1 C3 C5 C5 C4 35 . ? ? ? ? 1 1 1 1 C8 C8 C8 C8 64

…………………………………12 分

………………………………4 分 ……………………………………5 分

(Ⅱ) X 的所有可能取值为 3, 4,5, 6 .
1 1 1 C3 C3 C3 27 , P( X ? 3) ? 1 ? 1 ? 1 ? C8 C8 C8 512

P( X ? 4) ? P( X ? 5) ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 C3 C3 C5 C3 C5 C5 C4 C4 C4 185 ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 1 1 1 1 1 1 1 1 1 C8 C8 C8 C8 C8 C8 C8 C8 C8 512 1 1 1 1 1 1 1 1 1 C3 C5 C5 C5 C5 C4 C4 C4 C4 240 ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 1 1 1 1 1 1 1 1 1 C8 C8 C8 C8 C8 C8 C8 C8 C8 512 1 1 1 C5 C3 C4 60 ? ? ? . 1 1 1 C8 C8 C8 512

P( X ? 6) ?

…………………………………………9 分

X 的分布列为: X

3

4

5
第 8 页(共 20 页)

6

高三模拟考试数学试题参考答案

P

27 512

185 512

240 512

60 512

…………………………………………………………10 分

E( X ) ? 3?

27 185 240 60 2381 ? 4? ? 5? ? 6? ? . …………………12 分 512 512 512 512 512

19.(文科 本题满分 12 分) 设 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 S n , 且 an ? 3 ? S n , 数 列 ?bn ? 为 等 差 数 列 , 且

b5 ? 15, b7 ? 21.
(Ⅰ)求数列 ?a n ? 的通项公式 an ; (Ⅱ)将数列 ?

?1? ? 中的第 b1 项,第 b2 项,第 b3 项, …,第 bn 项,…,删去后, ? an ?

剩余的项按从小到大的顺序排成新数列 ?c n ? ,求数列 ?c n ? 的前 2016 项和. 解:(Ⅰ)由 an ? 3 ? S n ,令 n ? 1 ,则 a1 ? 3 ? S1 ,所以 a1 ?

3 2

………1 分

当 n ? 2 时,由 an ? 3 ? S n ,可得 an ? an?1 ? ??S n ? S n?1 ? ? ?an 即

an 1 ? a n ?1 2

…………………………………………3 分

3 1 1 为首项, 为公比的等比数列,于是 an ? 3 ? n …5 分 2 2 2 1 (Ⅱ)数列 ?bn ?为等差数列,公差 d ? ? b7 ? b5 ? ? 3, 可得 bn ? 3n ……7 分 2
所以 ?an ? 是以 a1 ? 由题知,数列 ?

?1? ? 中的第 3 项、第 6 项、第 9 项…删去后构成的新数列 ?c n ?中的 ? an ?
1 2 1 4 ? 公比均是 8 ? , c2 ? a2 3 a1 3

奇数项与偶数项仍成等比数列, 首项分别是 c1 ? ……………………9 分

高三模拟考试数学试题参考答案

第 9 页(共 20 页)

T2016 ? (c1 ? c3 ? c5 ? ??? ? c2015 ) ? (c2 ? c4 ? c6 ? ??? ? c2016 )

2 4 ? (1 ? 81008 ) ? (1 ? 81008 ) 2 ? 81008 ? 2 . …………………………12 分 ?3 ?3 ? 1? 8 1? 8 7
19.(理科 本题满分 12 分) 已知各项均不相等的等差数列 ?a n ? 的前四项和为 16 ,且 a1 , a2 , a5 成等比数列.数 列 ?bn ?满足 bn ?

1 . an an ?1

(Ⅰ)求数列 ?an ?的通项公式 an 和 ?bn ?的前 n 项和 Tn ; (Ⅱ) 是否存在正整数 s, t ?1 ? s ? t ? , 使得 T1 , Ts , Tt 成等比数列?若存在, 求出 s, t 的值;若不存在,请说明理由. 解:(Ⅰ) 设数列 ?a n ? 的公差为 d ,则 ?

?4a1 ? 6d ? 16, ??a1 ? d ? ? a1 ?a1 ? 4d ?,
2

解得 d ? 2 或 d ? 0 (舍去), a1 ? 1 ,所以 an ? 2n ? 1 因为 bn ? 所以 Tn ?

………………3 分 ………………5 分

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? an an?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?
1? 1 1 1 ?1 ? ? ? ? 2? 3 3 5 1 1 ? n ? ?? 2n ? 1 2 n ? 1 ? 2 n ? 1

…………………7 分

(Ⅱ) T1 ?

1 s t , Ts ? , Tt ? 3 2s ? 1 2t ? 1
2

1? t ? ? s ? 若 T1 , Ts , Tt 成等比数列,则 ? ? ? ? ?, 3 ? 2t ? 1 ? ? 2s ? 1 ?

…………………8 分

s2 t 3 ? 2s 2 ? 4s ? 1 ? 即 2 ,可得 ? , t 4s ? 4s ? 1 6t ? 3 s2 3s 2 即t ? ? 2s 2 ? 4s ? 1
(方法一) :由 s ? t 得 s ? ……………………………………………………10 分

3s 2 2s 2 ? s ? 1 ?0 即 ?2s 2 ? 4s ? 1 ?2s 2 ? 4s ? 1
第 10 页(共 20 页)

高三模拟考试数学试题参考答案

所以 ?

2 2 ? ? ?2s ? s ? 1 ? 0, ?2s ? s ? 1 ? 0, 或? 2 2 ? ??2s ? 4s ? 1 ? 0, ? ??2s ? 4s ? 1 ? 0,

所以 1 ? s ? 1 ?

6 1 6 或 ? ? s ? 1? 2 2 2

又 s ? N ? ,且 s ? 1,所以 s ? 2 ,此时 t ? 12 因此当 s ? 2 , t ? 12 时, T1 , Ts , Tt 成等比数列. (方法二) :由 ? 2s 2 ? 4s ? 1 ? 0 得 1 ? ……………………12 分

6 6 ? s ? 1? 2 2

又 s ? N ? ,且 s ? 1,所以 s ? 2 ,此时 t ? 12 因此当 s ? 2 , t ? 12 时, T1 , Ts , Tt 成等比数列. ………………………12 分 20. (文科 本题满分 13 分) 如图所示的封闭曲线 C 由曲线 C1 :

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0, y ? 0 )和曲线 C2 : a 2 b2

x 2 ? y 2 ? r 2 ( y ? 0 )组成,已知曲线 C1 过点
3 1 ,点 A , B 分别为曲线 C ( 3, ) ,离心率为 2 2
与 x 轴、 y 轴的一个交点. (Ⅰ)求曲线 C1 和 C2 的方程; (Ⅱ) 若点 Q 是曲线 C2 上的任意点, 求 ?QAB 面 积的最大值; (Ⅲ)若点 F 为曲线 C1 的右焦点,直线 l : y ? kx ? m 与曲线 C1 相切于点 M , 与 x 轴交于点 N ,直线 OM 与直线 x ?

4 3 交于点 P ,求证: MF ∥ PN . 3
第 11 页(共 20 页)

高三模拟考试数学试题参考答案

解:(Ⅰ)由已知得,

3 1 ? 2 ?1 2 a 4b



a 2 ? b2 3 3 又e ? ,所以 ? ,即 a 2 ? 4b2 2 a 4 2
由①②得 a 2 ? 4, b2 ? 1 ,



所以曲线 C1 的方程为 从而 A ? ?2, 0 ? ,

x2 ? y 2 ? 1? y ? 0 ? 4

………………………………3 分

所以曲线 C2 的方程为 x ? y ? 4 ( y ? 0 )………………………………4 分
2 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 A ? ?2,0 ? , B ? 0,1? 所以 AB 直线方程为 x ? 2 y ? 2 ? 0 ………………………………5 分

由题意知,当曲线 C2 在点 Q 上的切线与直线 AB 平行时,

?QAB 面积最大.…………………………………………………………6 分
设切线方程为 x ? 2 y ? t ? 0

由直线与圆相切得:

t 5

? 2 ,所以 t ? ?2 5 或 t ? 2 5 (舍去)

此时 ?QAB 的高为 h ?

2 ? ?2 5 5

?

? ? 2? 2

5 5

…………………8 分

所以 S?QAB

?

?

max

?

? 1 1 2 5? AB ? h ? ? 5 ? ? 2 ? ? ? ? ? 5 ?1 2 2 5 ? ?
………………………………9 分

所求 ?QAB 面积最大值为 5 ? 1 . (Ⅲ)证明:由题意得 k ? 0 , F

?

? m ? 3, 0 , N ? ? , 0 ? ? k ?
第 12 页(共 20 页)

?

高三模拟考试数学试题参考答案

? y ? kx ? m ? 设 M ? x0 , y0 ? ,由 ? x 2 得 2 ? y ? 1 ? ?4

?1 ? 4k ? x
2

2

? 8kmx ? 4m2 ? 4 ? 0 ,

…………………………………10 分

又直线 l 与曲线 C1 相切于 M , 所以 ? ? ? 8km ? ? 4 1 ? 4k
2

?

2

?? 4m

2

? 4? ? 0

即 m2 ? 4k 2 ? 1 ,

………………………………………………………11 分

m 1 ? 8km ? 4km , y0 ? kx0 ? m ? x0 ? ? ? ? ?? 2 ? 2 1 ? 4k 2 2 ? 1 ? 4k ? 1 ? 4k
所以 M ? ?

1 m ? ? 4km ? 4k 1 ? ,即 M ? ? , , ? ,从而 kOM ? ? , 2 2 ? 4k ? 1 ? 4k 1 ? 4k ? ? m m?
………………………………………12 分

所以 P ?

?4 3 3? , ? ? ? 3 3k ? ? ?

所以 FM ? ? ?

1? 1 ? 4k ? 3, ? ? ?4k ? 3m,1 , m? m ? m

?

?

?m 4 3 3? 3 NP ? ? ? k ? 3 , ? 3k ? ? ? ? 3k ?4k ? 3m,1 ? ?

?

?

所以 FM ? ?

3k NP m
…………………………………………………13 分

所以 MF ∥ PN

20. (理科 本题满分 13 分) 如图所示的封闭曲线 C 由曲线 C1 :

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0, y ? 0 )和曲线 C2 : a 2 b2
高三模拟考试数学试题参考答案 第 13 页(共 20 页)

1 3 ,点 A ,B 分 y ? nx 2 ? 1( y ? 0 )组成,已知曲线 C1 过点 ( 3, ) ,离心率为 2 2
别为曲线 C 与 x 轴、 y 轴的一个交点. (Ⅰ)求曲线 C1 和 C2 的方程; (Ⅱ)若点 Q 是曲线 C2 上的任意点,求 ?QAB 面积的最大值及点 Q 的坐标; (Ⅲ)若点 F 为曲线 C1 的右焦点,直线 l : y ? kx ? m 与曲线 C1 相切于点 M , 且与直线 x ?

4 3 交于点 N ,求证:以 MN 为直径的圆过点 F . 3
3 1 ? 2 ?1 2 a 4b


解:(Ⅰ)由已知得,

又e ?

a 2 ? b2 3 3 ,所以 ? ,即 a 2 ? 4b2 a2 4 2
2 2



由①②得 a ? 4, b ? 1 ,所以曲线 C1 的方程为 从而 A ? ?2, 0 ? ,所以曲线 C2 的方程为 y ?

x2 ? y 2 ? 1? y ? 0 ? ………3 分 4
………4 分

1 2 x ?1 ( y ? 0 ) 4

(Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)知 A ? ?2,0 ? , B ? 0,1? 所以 AB 直线方程为 x ? 2 y ? 2 ? 0 ………………………………5 分

由题意知,当曲线 C2 在点 Q 上的切线与直线 AB 平行时,

?QAB 面积最大.
易知,切线斜率为

……………………………………………………6 分

1 1 ,又 y? ? x 2 2

所以切点坐标为 ?1, ?

? ?

3? ? ,切线方程为 2 x ? 4 y ? 5 ? 0 4?
第 14 页(共 20 页)

高三模拟考试数学试题参考答案

? 3? 1? 2? ? ? ? 2 9 5 ? 4? 此时 ?QAB 的高为 h ? …………………………8 分 ? 10 5
所以 ? ?QAB ?max ?

1 1 9 5 9 AB ? h ? ? 5 ? ? 2 2 10 4
9 3? ? ,此时 Q 点的坐标为 ?1, ? ? ……………9 分 4 4? ?

所以 ?QAB 面积最大值为

解法二:由(Ⅰ)知 A ? ?2,0 ? , B ? 0,1? 所以 AB 直线方程为 x ? 2 y ? 2 ? 0 设 Q ? x0 , y0 ?? y0 ? 0 ? , y0 ? ………………………………5 分

1 2 x0 ? 1 , 4

由 Q 点在直线 AB 的同侧,所以 ?QAB 的高为

h?

x0 ? 2 y0 ? 2 5

?

1 1 ? x0 2 ? 2 x0 ? 8? ? x0 ? 2 y0 ? 2 ? ? ? 5 2 5

?

1 ? 9 5 2 (当且仅当 x0 ? 1 时,取等号) ……8 分 ? ? x0 ? 1? ? 9? ? ? ? 10 2 5
1 1 9 5 9 AB ? h ? ? 5 ? ? 2 2 10 4
9 3? ? ,此时 Q 点的坐标为 ?1, ? ? . ……………9 分 4 4? ?

所以 ? ?QAB ?max ?

所以 ?QAB 面积最大值为 (Ⅲ)证明:由题意得 F

?

3, 0 ,

?

? y ? kx ? m ? 设 M ? x0 , y0 ? ,由 ? x 2 , 2 ? ? y ?1 ?4
得 1 ? 4k 2 x 2 ? 8kmx ? 4m2 ? 4 ? 0 ,
高三模拟考试数学试题参考答案

?

?

………………………10 分
第 15 页(共 20 页)

又直线 l 与曲线 C1 相切于 M , 所以 ? ? ? 8km ? ? 4 1 ? 4k
2

?

2

?? 4m

2

? 4? ? 0

即 m2 ? 4k 2 ? 1 ,

…………………………………………………11 分

m 1 ? 8km ? 4km , y0 ? kx0 ? m ? x0 ? ? ? ? ?? 2 ? 2 1 ? 4k 2 2 ? 1 ? 4k ? 1 ? 4k
所以 M ? ?

m ? ? 4km ? 4k 1 ? ,即 M ? ? , , ? 2 2 ? ? 1 ? 4k 1 ? 4k ? ? m m?
……………………………………………12 分

易得 N ?

? 4 3 4 3k ? , ? m ? ? 3 ? 3 ? ?

所以 FM ? ? ?

? 3 4 3k ? 1? ? 4k , ? m ? 3, ? , FN ? ? ? ? 3 ? 3 m? ? m ? ?

? 4 3k 4 3k ? 4k ? 3 1 ? 4 3k FM ? FN ? ? ? ? 3 ? ? ? ? m ?? ?1? ?1 ? 0 ? ? ? 3 m 3 m ? m ? 3 m? 3 ?
所以 FM ? FN ? 0 ,所以以 MN 为直径的圆过点 F .……………………13 分 21. (文科) 设函数 f ( x) ? x(e ? 1) ? ax (e ? 2.71828 ??? 是自然对数的底数) .
x 2

(Ⅰ)若 a ?

1 ,求 f ( x) 的单调区间; 2

(Ⅱ)若当 x ? 0 时 f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围; (Ⅲ)若 f ( x) 无极值,求 a 的值. 解:(Ⅰ)当 a ?

1 1 2 x 时, f ( x) ? x(e ? 1) ? x ,所以 2 2

f ?( x) ? e x ? 1 ? xe x ? x ? (e x ? 1)( x ? 1) . ……………………………1 分
当 x ? (??, ?1) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (?1 ,0) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (0, ??) 时,
高三模拟考试数学试题参考答案 第 16 页(共 20 页)

f ?( x) ? 0 .
故 f ( x) 在 (??, ?1) , (0, ??) 单调递增,在 (?1, 0) 单调递减.…………3 分 (Ⅱ) f ( x) ? x(e ? 1 ? ax) ,令 g ( x) ? e ? 1 ? ax ,则 g ?( x) ? e ? a .
x x

x

若 a ?1, 则当 x ? 0 时,g ?( x) ? 0 ,g ( x) 为增函数, 而 g (0) ? 0 , 从而当 x ? 0 时, g ( x) ? 0 ,即 f ( x) ? 0 ; ……………………………………5 分

若 a ? 1 ,则当 x ? (0,ln a) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 为减函数,而 g (0) ? 0 ,从而 当 x ? (0,ln a) 时, g ( x) ? 0 ,即 f ( x) ? 0 . 综上得 a 的取值范围为 (??,1] . …………………………………………7 分 (Ⅲ)若 f ( x) 无极值,所以 f ( x) 在 R 上单调.又 f ?( x) ? ( x ? 1)e ? 2ax ? 1
x

若 f ( x) 在 R 上单调递减,则 f ?( x) ? 0 ,对 x ? R 恒成立.而当 x0 ? 2 1 ? a ? 1 时,利用不等式 e ? 1 ? x ( x ? R ) ,可得
x

f ?( x0 ) ? ( x0 ? 1)e x0 ? 2ax0 ?1 ? ( x0 ? 1)2 ? 2ax0 ?1
? x0 [ x0 ? 2(1 ? a)] ? (2 1 ? a ? 1)[2 1 ? a ? 1 ? 2(1 ? a)] ? 2 1 ? a ? 1 ? 0 ,
与假设矛盾. …………………………………………………8 分
x

因此, f ( x) 在 R 上单调递增,则 f ?( x) ? ( x ? 1)e ? 2ax ? 1 ? 0 ,对 x ? R 恒成 立.显然 f ?(0) ? 0 对任意 a ? R 成立;

( x ? 1)e x ? 1 x e x ? 1 ex ?1 x ?e ? ①当 x ? 0 时, 2a ? .令 g ( x) ? e ? , x x x h( x ) ? ex ?1 x
高三模拟考试数学试题参考答案 第 17 页(共 20 页)

下面证明 h( x) 在 (??,0) 和 (0, ??) 上单调递增: 因为 h?( x) ?

( x ? 1)e x ? 1 x x) ? (x 1 ? ) e 1? , 令 r( 2 x

) ? ( x1 )? e 1 ? ? xe , , 则 r ?( x
x x

当 x ? 0 时, r ?( x) ? 0 , r ( x) 单调递增, r ( x) ? r (0) ? 0 , h?( x) ? 0 , h( x) 在

(0, ??) 上单调递增;当 x ? 0 时, r ?( x) ? 0 , r ( x) 单调递减, r ( x) ? r (0) ? 0 , h?( x) ? 0 , h( x) 在 (??,0) 上单调递增.
x

………………10 分

ex ?1 ?1 ,从而 g ( x) ? e x ? h( x) ? 2 ,于 当 x ? 0 时,由 e ? 1 ? x ,得 h( x) ? x
是有 2a ? g ( x) ,得 2a ? 2 , a ? 1 ; ②当 x ? 0 时, 2a ? g ( x) ,此时 h( x) ? 于是得 2a ? 2 , a ? 1 . 综上得 a ? 1 时 f ( x) 无极值. 21. (理科) 设函数 f ( x) ? x(e ? 1) ? ax (e ? 2.71828 ??? 是自然对数的底数) .
x 2

…………………………………12 分

ex ?1 ? 1 ,从而 g ( x) ? e x ? h( x) ? 2 , x

…………………………………………14 分

(Ⅰ)若 a ?

1 ,求 f ( x) 的单调区间; 2

(Ⅱ)若 f ( x) 在 (?1, 0) 内无极值,求 a 的取值范围;

x x2 xn ? ??? ? . (Ⅲ)设 n ? N , x ? 0 ,求证: e ? 1 ? ? 1! 2! n!
*
x

注: n! ? n ? (n ? 1) ????? 2 ?1 . 解证:(Ⅰ)当 a ?

1 1 2 x 时, f ( x) ? x(e ? 1) ? x , 2 2
第 18 页(共 20 页)

高三模拟考试数学试题参考答案

x x x 所以 f ?( x) ? e ? 1 ? xe ? x ? (e ? 1)( x ? 1) . …………………………1 分

当 x ? (??, ?1) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (?1 ,0) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (0, ??) 时,

f ?( x) ? 0 .
故 f ( x) 在 (??, ?1) , (0, ??) 单调递增,在 (?1, 0) 单调递减.…………3 分 (Ⅱ)若 f ( x) 在 (?1, 0) 内无极值,则 f ( x) 在 (?1, 0) 上单调.
x 又 f ?( x) ? ( x ? 1)e ? 2ax ? 1

①若 f ( x) 在 (?1, 0) 上单调递减,则 f ?( x) ? 0 ,对 x ? (?1,0) 恒成立.于是,有

2a ?

( x ? 1)e x ? 1 x e x ? 1 ex ?1 ex ?1 x ?e ? ,令 g ( x) ? e ? , h( x ) ? x x x x

下面证明 h( x) 在 (??,0) 上单调递增:

( x ? 1)e x ? 1 x 因为 h?( x) ? ,令 r ( x) ? ( x ? 1)e ? 1 , 2 x
则 r ?( x) ? ( x ? 1)e ? 1 ? xe ,
x x

当 x ? 0 时, r ?( x) ? 0 , r ( x) 单调递减, r ( x) ? r (0) ? 0 , h?( x) ? 0 ,

h( x) 在 (??,0) 上单调递增.
x

………………………………………5 分

当 x ? (?1,0) 时,由 g ( x) ? e ? h( x) 是增函数,得 g ( x) ? g (?1) ? 1 ,由

2a ? g ( x) ,得 2a ? 1 , a ?

1 ; 2

…………………………………………7 分

②若 f ( x) 在 (?1, 0) 上单调递增,则 f ?( x) ? 0 ,对 x ? (?1,0) 恒成立.于是,有

2a ? g ( x) ,当 x ? (?1,0) 时,由 e x ? 1 ? x ,得 h( x) ?

ex ?1 ? 1 ,从而增函数 x

高三模拟考试数学试题参考答案

第 19 页(共 20 页)

g ( x) ? e x ? h( x) ? 2 ,从而 2a ? 2 , a ? 1 .
综上得 a ? (??, ] [1, ??) 时 f ( x) 在 (?1, 0) 内无极值. …………………9 分 (Ⅲ)用数学归纳法证明: ①当 n ? 1 时, e ? 1 ? x ,不等式成立.
x

1 2

……………………………10 分

②假设 n ? k 时不等式成立 ,即 e ? 1 ?
x

x x2 xk . ? ? ??? ? 1! 2! k!

…………11 分

当 n ? k ? 1 时,令 ? ( x) ? e ? (1 ?
x

x x2 x k ?1 ? ? ??? ? ), x ? 0. 1! 2! (k ? 1)!
x

显然 ? (0) ? 0 ,由归纳假设, ? ?( x) ? e ? (1 ? 立.

x x2 xk ? ? ??? ? ) ? 0 对 x ? 0 成 1! 2! k!

所以 ? ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,当 x ? 0 时有 ? ( x) ? ? (0) ? 0 . 即 e ? 1?
x

x x2 x k ?1 , n ? k ? 1 时不等式成立. ? ? ??? ? 1! 2! (k ? 1)!
*
x

由①②知 n ? N , x ? 0 时,e ? 1 ?

x x2 xn ? ? ??? ? 成立. ………………14 分 1! 2! n!

高三模拟考试数学试题参考答案

第 20 页(共 20 页)


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