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高中数学必修2(北师版)第一章1.8(与最新教材完全匹配)知识点总结含同步练习题及答案


高中数学必修2(北师版)知识点总结含同步练习题及答案
第一章 立体几何初步 1.8 表面距离及球面距离(补充)

一、知识清单
表面距离 球面距离

二、知识讲解
1.表面距离 描述: 连接空间形体的表面上两点,且包含于空间形体的表面的曲线段的最小长度称为这两点在该空间 形体上的表面距离. 例题: 如下图,在所

有棱长均为 1 的直三棱柱上,有一只蚂蚁从点 A 出发,围着三棱柱的侧面爬行一 周到达点 A 1 ,则爬行的最短路程为______.

? 解:√? 10 将三棱柱沿着 AA 1 展开如图所示,则线段 AD 1 即为最短路线,即 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?. AD 1 = √AD 2 + DD 2 1 = √10

如图,在圆锥中,其母线长为 2 ,底面半径为

面爬行一周后又回到 A 点,则这只虫子爬行的最短路程是多少?

1 ,一只虫子从底面圆周上一点 A 出发沿圆锥表 2

解:将圆锥侧面沿母线 SA 展开得到扇形 A ′ SA,连接 AA ′ ,则线段 AA ′ 即为虫子所爬最短

nπ × 2

1

nπ × 2 1 = 2π × ,所以 θ = 90 .所以 △A ′ SA 为等腰直角三角 180 2 ? ? ? ? ? ? 形,所以 AA ′ = √2 2 + 2 2 = 2√2 .从而虫子爬行的最短路程为 2√2 .
路径.设 ∠A ′ SA = n? ,由

2.球面距离 描述: 球面距离指在球面上两点之间的最短距离,也即经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长 度. 例题: 如图,在半径为 3 的球面上有 A 、B 、C 三点,∠ABC = 90? ,BA = BC,球心 O 到平面

ABC 的距离是

3√2 ,则 B ,C 两点的球面距离是( 2



A.

? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? 2 ? 3√2 3√2 2 ? , △ABC 所在的小圆的半径为 r = 3 ? ( ) = ? 2 2
解:B

π 3

B.π

C.

4 π 3

D.2π

√2 = 3. 2 π 在 △OBC 中,OB = OC = BC = 3,所以 ∠BOC = ,所以 B 、C 两点的球面距离是 3 π . 3× =π 3 BC = AC × sin 45? = 3√2 ×
如图,球 O 的半径为 2 ,圆 O 1 是一个小圆,OO 1 = √2,A 、B 是圆 O 上两点,若 A 、

B 两点间的球面距离为

2π ,则 ∠AO 1 B =______. 3

解:

2 π l π ∠AOB = = 3 = ,则 AB = r = 2. r 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 O 1 A = √OA ? O 1 O 2 = √2 2 ? (√2 )2 = √2 ,O 1 B = O 1 A = √2,故有 π O 1 B 2 + O 1 A 2 = AB 2 ,所以 ∠AO 1 B = . 2 π 地球上 A 、B 两点都在北纬 45? 圈上,A 、B 的球面距离为 R ,A 在东经 30? 线上,求 3 点 B 位置及 A 、B 两点间的纬度圈上的圆弧的长度. 解:如图,设北纬 45? 圈的中心为 O ′ ,球心为 O ,地轴为 EF .过 A 、B 作与轴 EF 垂直 ???? π π 的圆,则由已知,得 AB = R ,故 ∠AOB = ,AB = R . 3 3 因为 A 、B 在北纬 45? 线上,所以 ∠OBO ′ = 45? ,则 △OBO ′ 为等腰直角三角形,不难求 √2 得 O′ B = R.所以 ∠AO ′ B = 90? . 2 所以点 B 的位置是东经 120 ? 北纬 45? 或西经 60? 北纬 45? . π √2 √2 所以 A 、B 间的纬度线长为 l = O ′ B × ∠AO ′ B = R× = πR. 2 2 4

π 2

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