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福建省莆田一中09-10学年高一上学期期末考试(数学)


福建省莆田一中 09-10 学年高一上学期期末考试(数学)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一个是符合题目要求的) 1.下列命题中正确的是( A.第一象限角必是锐角 C.相等的角终边必相同 ) B.终边相同的角相等 D.不相等的角其终边必不相同 )

3m? , ?m ? 0? ,则 2

sin ? ? cos ? 的值是( 2.已知角 ? 的终边过点 P?? 4m,
2 2 ? B. 5 或 5

A.1 或-1

2 C.1 或 5 ?

2 D.-1 或 5


3.若点 P(sin ? ? cos ? , tan ? ) 在第一象限,则在 [0, 2? ) 内 ? 的取值范围是(

? 3? 5? ( , ) ? (? , ) 4 A. 2 4

5? , ) ? (? , ) 4 2 4 B. (

? ?

? 3? 5? 3? ( , )?( , ) 4 2 C. 2 4

? 3? 3? ( , ) ? ( ,? ) 4 D. 2 4


? ? ? ? ? ? ? ? ? | a a b 4.非零向量 和 满足 |?| b |?| a ? b | ,则 a 与 a ? b 的夹角为(
A. 30
?

B. 45

?

C. 60

?

D. 90

?

f ( x) ? sin(? x ? )( x ? R,? ? 0) 4 5. 已知函数 的最小正周期为 ? , 为了得到函数 g ( x) ? cos? x 的图象,
只要将 y ? f ( x) 的图象( )

?

?
A.向左平移 8 个单位长度

? B. 向右平移 8 个单位长度

? C. 向左平移 4 个单位长度

? D. 向右平移 4 个单位长度

π 6. 同时具有以下性质: “①最小正周期是 π ;②图象关于直线 x= 对称; 3 π π ③在[- , ]上是增函数”的一个函数是 ( 6 3 A. x π y=sin( + ) 2 6 B. )

π y=cos(2x+ ) 3

C.

π y=sin(2x- ) 6

D.

π y=cos(2x- ) 6

7. 在 ?ABC 中,已知 2 sin A cos B ? sin C ,那么 ?ABC 一定是( A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形



D.正三角形 )

8.已知 a 是实数,则函数 f ( x) ? 1 ? a sin ax 的图象不可能是(

??? ? ? OA ) ? 0 ,则?ABC OB OC OB OC 9.O 为平面上的定点,A、B、C 是平面上不共线的三点,若( )·( + -2
是( ) B.以 BC 为底边的等腰三角形 D.以 BC 为斜边的直角三角形

A.以 AB 为底边的等腰三角形 C.以 AB 为斜边的直角三角形

π 4 7π cos( ? ? ) ? sin ? ? 3 ,则 sin( α ? )的值是 6 5 6 10. 已知 (



2 3 A.- 5

2 3 B. 5

4 C.- 5

4 D. 5

11. 如图,平面内的两条相交直线 OP1 和 OP2 将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ(不包含边界) , 设 OP ? mOP1 ? nOP 2 ,且点 P 落在第Ⅲ部分,则实数 m、n 满足(
??? ? ??? ? ??? ?



A.m>0, n>0

B.m>0, n<0

C.m<0, n>0

D.m<0, n<0

12. 2002 年 8 月,在北京召开的国际数学家大会会标如图所示,它是由 4 个相同的直角三角形与中间的小 正方形拼成的一大正方形,若直角三角形中较小的锐角为 ? ,大正方形的面积是 1,小正方形的面积

1 , 则 sin 2 ? ? cos 2 ? 是 25 的值等于( 24 B. 25 ? 7 C. 25



A.1

7 D.- 25

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 3 分,共 12 分)

3
13.已知 ? , ? 为锐角,sin ? = 10 , sin ? =

2 5 ,则 ? + ? 的值为
.

14. 在平行四边形 ABCD 中, AC ? ?1,2?, BD ? ?? 3,2? ,则 AD ? AC ?

? ? ? ? ? ? 0 | 5 a ? b |? | a | ? 1,| b | ? 3 120 a b 15.已知向量 和 的夹角为 , ,则



16. 给出下列命题:①存在实数 x ,使

sin x ? cos x ?

3 2;

②若 ? , ? 是第一象限角,且 ? ? ? ,则 cos ? ? cos ? ;

2 ? y ? sin( x ? ) 3 2 是偶函数; ③函数

? ? y ? sin(2 x ? ) 4 的图象 ④函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移 4 个单位,得到函数
其中正确命题的序号是____________ (把正确命题的序号都填上)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 52 分,解答应有证明或演算步骤) 17. (本小题满分 9 分)已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), x ? R (其中

A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ?

?
2)

? 的图象与 x 轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为 2 ,且图象上一个最低点
M(


2? ? ? , ?2) x ?[ , ] f ( x ) 3 12 2 ,求 f ( x) 的值域. .(Ⅰ)求 的解析式; (Ⅱ)当

? ? 3x 3x x x a ? (cos , sin ) b ? (cos ,? sin ) ? ?1) , 2 2 , 2 2 , c ? ( 3, 18. (本题满分 9 分)已知向量 ? ? ? ? | a x ? R 其中 . (Ⅰ)当 a ? b 时,求 x 值的集合; (Ⅱ)求 ? c | 的最大值.

19. (本小题满分 9 分)

? ? 3 3? 5 ? 3? 0?? ? sin( ? ?) ? cos( ? ? ) ? ? ?? ? 4 13 ,求 sin ?? ? ? ? 的值. 4, 4 5, 4 , 已知 4

20. (本小题满分 9 分)已知向量 a ? (sin? ,?2) 与 b ? (1, cos? ) 互相垂直,其中

? ? ? (0, )

2 .

(1)求 sin ? 和 cos ? 的值; (2)若

sin(? ? ? ) ?

10 ? ,0 ? ? ? 10 2 ,求 cos ? 的值.

21.(本小题满分 8 分)已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ), 其中 ? ? 0 ,

| ? |?

?
2

cos
(I)若

?
4

cos, ? ? sin

?? sin ? ? 0, ? 4 求 的值;

(Ⅱ)在(I)的条件下,若函数 f ( x ) 的图像的相邻两条对

? 称轴之间的距离等于 3 ,求函数 f ( x ) 的解析式;并求最小正实
数 m ,使得函数 f ( x ) 的图像象左平移 m 个单位所对应的函数是偶函数。

22.(本小题满分 8 分)如图,某市拟在长为 8km 的道路 OP 的一侧修建一

条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段 OSM,该曲线段为函数 y=Asin ? x(A>0,

? >0) x? [0,4]的图象,

o 且图象的最高点为 S(3, 2 3 ); 赛道的后一部分为折线段 MNP, 为保证参赛运动员的安全, 限定 ? MNP=120

(I)求 A ,

? 的值和 M,P 两点间的距离;

(II) 设?PMN ? ? ,当? 为多少时,才能使折线段赛道 MNP 最长?

a b c ? ? sin A sin B sin C ,其中 a, b, c 分别为 ?ABC 中角 A, B, C 所对 (友情提示:在 ?ABC 中有正弦定理 :
的边)

参考答案
一. 选择题 1. C 2. B 7. B 8. A 二. 填空题 3. B 4. C 5. A 6. C

9. B. 10. C

11. B 12. D

13. 135

14. 3

15.7

16. 3

三. 解答题

M(
17. 解(1)由最低点为

2? , ?2) 3 得 A=2.

? T ? 2? 2? ?? ? ?2 T ? 由 x 轴上相邻的两个交点之间的距离为 2 得 2 = 2 ,即 T ? ? ,
M(
由点

2? 2? 4? , ?2) 2sin(2 ? ? ? ) ? ?2, 即sin( ? ? ) ? ?1 3 3 3 在图像上的 ?? ? 2 k? ? 11? 6

4? ? ? ? ? 2 k? ? , k ? Z 2 故 3

? ? ? ? ? (0, ),?? ? , 故f ( x) ? 2sin(2 x ? )


2

6

6

? ? ? ? 7? ? x ? [ , ],      ? 2 x ? ?[ , ] 12 2 6 3 6 (2)
2x ?


? ?
6 = 2 ,即

x?

?
6 时, f ( x) 取得最大值 2;当

2x ?

?
6

?

7? 6

x?


?
2 时, f ( x) 取得最小值-1,故 f ( x) 的值域为[-1,2] cos 3x x 3x x cos ? sin sin ? 0 2 2 2 2 .

18. 解: (Ⅰ)由 a ? b ,得 a ? b ? 0 ,即

则 cos 2 x ? 0 ,得

x?

kπ π ? ( k ? Z) 2 4 .



kπ π ? ? ? ,k ? Z? ?x | x ? 2 4 ? ? 为所求.
3x 3x 3x π ? 3 ) 2 ? (sin ? 1) 2 ? 5 ? 4 sin( ? ) 2 2 2 3 ,

| a ? c |2 ? (cos
(Ⅱ)

所以 | a ? c | 有最大值为 3

? 3? ??? 4 19. 解:∵ 4 ? ? ? 3 ? ??? ? cos( ? ?) ? ? 4 5 ∴2 4 又
? 4 sin( ? ?) ? 4 5 ∴

0???


? 4

3? 3? 3? 5 ? ?? ? ? sin( ? ?) ? 4 4 13 ∴ 4 又

cos(


3? 12 ? ?) ? ? 4 13 ? sin[( ? 3? ? ?) ? ( ? ?)] 4 4

∴sin(? + ?) = ?sin[? + (? + ?)] =

? ?[sin(

? 3? ? 3? 4 12 3 5 63 ? ?) cos( ? ?) ? cos( ? ?) sin( ? ?)] ? ?[ ? (? ) ? ? ] ? 4 4 4 4 5 13 5 13 65

20. 解: (1)∵ a 与 b 互相垂直,则 a ? b ? sin ? ? 2 cos? ? 0 ,即 sin ? ? 2 cos ? ,

代入 sin ? ? cos ? ? 1 得
2 2

sin ? ? ?

? 2 5 5 ? ? (0, ) , cos? ? ? 2 , 5 5 ,又

sin ? ?


2 5 5 , cos? ? 5 5 .

0?? ?
(2)∵

?
2,

0 ?? ?

?
2 ,∴

?

?
2

? ? ?? ?

?
2,

cos(? ? ? ) ? 1 ? sin 2 (? ? ? ) ?


3 10 10 , 2 2 .



cos ?

? cos[? ? (? ? ? )] ? cos? cos(? ? ? ) ? sin ? sin(? ? ? ) ?

cos
21.(I)由

?
4

cos ? ? sin

3? ? ? sin ? ? 0 cos cos ? ? sin sin ? ? 0 4 4 4 得

cos( ? ? ) ? 0 | ? |? ,?? ? 4 2 4 即 又

?

?

?

? T ? f ( x) ? sin(? x ? ) ? 4 依题意, 2 3 (Ⅱ)由(I)得,
T?


2?

? 故

,

? ? ? 3,? f ( x) ? sin(3x ? )
4

函数 f ( x ) 的图像向左平移 m 个单位后所对应的函数为

?? ? g ( x) ? sin ?3( x ? m) ? ? 4? ?

g ( x) 是偶函数当且仅当
m?


3m ?

?
4

? k? ?

?
2

(k ? Z )

k? ? ? (k ? Z ) 3 12

m?
从而,最小正实数

? 12

2? ? ? T T? ?? ? ? y ? 2 3 sin x ?3 A ? 2 3 ? 6 6 22.(Ⅰ)依题意,有 ,4 ,又 , 。 2? ? y ? 2 3 sin ?3 2 2 ? M (4, 3) 3 x ? 4 当 是, 又 p(8, 3) ? MP ? 4 ? 3 ? 5

(Ⅱ)在△MNP 中∠MNP=120°,MP=5, 设∠PMN= ? ,则 0°< ? <60°
MP NP MN ? ? sin 1200 sin ? sin(60 0 ? ? )

由正弦定理得
? NP ?

10 3 10 3 sin(600 ? ? ) sin ? ? MN ? 3 3 , 10 3 10 3 10 3 1 3 sin ? ? sin(600 ? ? ) ? ( sin ? ? cos ? ) 3 3 3 2 3

NP ? MN ?


?

10 3 sin(? ? 600 ) 3

? 0°< ? <60°,? 当 ? =30°时,折线段赛道 MNP 最长

亦即,将∠PMN 设计为 30°时,折线段道 MNP 最长


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