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2014年江苏省名校模拟数学试卷03(南京清江花苑严老师)


2014 年江苏省名校模拟数学试卷 03
一、填空题
1. 已知 A={x|1≤x≤2},B={x|x +2x+a≥0},A,B 的交集不是空集,则实数 a 的取值范围是________. 1. 双曲线 x - =1 的渐近线被圆 x +y -6x-2y+1=0 所截得的弦长为________. 4 π 2. 已知向量 p 的模是 2,向量 q 的模为 1 ,

p 与 q 的夹角为 ,a=3p+2q,b=p-q,则以 a、b 为邻边 4 的平行四边形的长度较小的对角线的长是________. 3.
2 2

y2

2

2

?x-y+5≥0, ? 若 x,y 满足不等式组?x≤3, ?x+y-k≥0, ?

且 z=2x+4y 的最小值为-6,则 k 的值为________.

5. 右图是一个算法流程图,则输出的 S 的值是_____ 6. lg x
2

7.已知函数

? 6 ? (| x | ?2010)(| x | ?2012) 的解的个数为 f ( x) 满足:①对任意 x ? (0, ??) ,恒有 f (2 x) ? 2 f ( x) 成立;②当 x ? (1, 2] 时,
1? x x?2

f ( x) ? 2 ? x .若 f (a ) ? f (2012) ,则满足条件的最小的正实数 a 是
y?
8.函数 的值域为

9 已知矩形 ABCD,AB=1,BC= 2 .将△ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻折,在翻折过程中,下 列哪一个说法是对的 (A)存在某个位置,使得直线 AC 与直线 BD 垂直 (B)存在某个位置,使得直线 AB 与直线 CD 垂直 (C)存在某个位置,使得直线 AD 与直线 BC 垂直 (D)对任意位置,三对直线“AC 与 BD”“AB 与 CD”“AD 与 BC”均不垂直 , , 10 如果一个正四位数的千位数 a 、百位数 b 、十位数 c 和个位数 d 满足关系 ( a 11 己知实数 a 使得只有一个实数 x 满足关于 x 的不等式 |

b)(c - d ) < 0 ,则称

其为“彩虹四位数” ,例如 2012 就是一个“彩虹四位数”.那么,正四位数中“彩虹四位数”的个数为

x 2 ? 2ax ? 3a |? 2 求满足条件的所有的实数

a 的值

.

1 ,则 cosA=______ 10 1 ? sin ? ? cos ? 1 ? sin ? ? cos ? 13..已知 ? 、 ? 为锐角,且 ? ? 2 ,则 tan ? tan ? = sin ? sin ?
12 在△ABC 中,已知 b =6, c =5,cos(C-B)= 南京清江花苑严老师

1

14.在复平面内,设点 A、P 所对应的复数分别为 ? i 、 cos( 2t 则当 t 由

?

?
3

) ? i sin( 2t ?
.

?
3

, ) ( i 为虚数单位)

?
12

连续变到

?
4

时,向量

??? ? AP 所扫过的图形区域的面积是

二,解答题
15.已知命题 p:方程 a x +ax?2=0 在[?1,1]上有解;命题 q:只有一个实数 x 满足不等式 x +2ax+2a?0, 若命题“p 或 q”是假命题,求 a 的取值范围.
2 2 2

16.已知集合 A={x|x ?3(a+1)x+2(3a+1)<0},B={x|
2

x?2a <0}, x?(a2+1)

(Ⅰ)当 a=2 时,求 A?B; (Ⅱ)求使 B?A 的实数 a 的取值范围.

17. 某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如图所示的一个矩形综合性休闲广场, 其总面积为 3000 平方米,其中场地四周(阴影部分)为通道,通道宽度均为 2 米,中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作 为运动场地(其中两个小场地形状相同),塑胶运动场地占地面积为 S 平方米. (Ⅰ)分别写出用 x 表示 y 和用 x 表示 S 的函数关系式 (写 出函数定义域) ; (Ⅱ)怎样设计能使 S 取得最大值,最大值为多少?

18(金陵中学高三)(本小题满分 16 分)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0),⊙O:x +y =b ,点 A,F 分别 是椭圆 C 的左顶点和左焦点,点 P 是⊙O 上的动点.

x2 y2 a b

2

2

2

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2

(1) 若 P(-1, 3),PA 是⊙O 的切线,求椭圆 C 的方程; (2) 是否存在这样 的椭圆 C,使得

PA 是常数?如果存在, PF

求 C 的离心率,如果不存在,说明理由.

?f(x), x?0 2 19(苏州中学高三月考) .已知函数 f(x)=ax +bx+1(a,b 为常数),x?R.记 F(x)=? . ??f(x),x<0 (Ⅰ)若 f(?1)=0,且函数 f(x)的值域为[0,+??,求 F(x)的表达式; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,当 x?[?2,2]时,g(x)=f(x)?kx 是单调函数,求实数 k 的取值范围; (Ⅲ)设 m?n<0,m+n>0,a>0 且 f(x)为偶函数,判断 F(m)+F(n)能否大于零?

20. (2013 苏州第一中学三模) (本小题满分 16 分) 已知数列 {a n } , {bn } ,且满足 an ?1

? an ? bn ( n ? 1, 2,3,? ).

(1)若 a1 ? 0, bn ? 2n ,求数列 {a n } 的通项公 式; (2)若 bn ?1 ? bn ?1 ? bn (n ≥ 2) ,且 b1 ? 1, b2 ? 2 .记 cn ? a6 n ?1 (n ≥ 1) ,求证:数列 {cn } 为常数列; (3)若 bn ?1bn ?1 ? bn (n ≥ 2) ,且 a1 ? 1 , b1

? 1, b2 ? 2 .求数列 {an } 的前 36 项和 S36 .

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数学Ⅱ(附加题) 21.[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作 ................... 答.若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .. A.[选修 4 - 1:几何证明选讲](本小题满分 10 分) 如图,在梯形 ABCD 中, AD ∥BC,点 E , F 分别在边 AB , CD 上,设 ED 与 AF 相交于点 G ,若 B , C , F , E 四点共圆,求证: AG ? GF ? DG ? GE . E

A

D

F

B

C

(第 21—A 题图)
B.[选修 4 - 2:矩阵与变换](本小题满分 10 分)

?1 b ? ? 2? M ?? ? 有 特 征 值 ?1 ? 4 及 对 应 的 一 个 特 征 向 量 e1 ? ?3 ? ?c 2 ? ? ? 2 2 5 x ? 8 xy ? 4 y ? 1 在 M 的作用下的新曲线方程.
已知矩阵

,求曲线

C.[选修 4 - 4:坐标系与参数方程](本小题满分 10 分)

1 ? ? x ? 2t ? 在直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,若以直角坐标系 xOy 的 O 点 ?y ? 2 ? 3 t ? ? 2 2
为极点, Ox 为极轴,且长度单位相同,建立极坐标系,得曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2 cos(? ? 线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点,求 AB .

?

4

) .直

D.[选修 4 - 5:不等式选讲](本小题满分 10 分) 设

f ( x) ? x 2 ? x ? 13 ,实数 a 满足 x ? a ? 1 ,求证: f ( x) ? f (a) ? 2( a ? 1) .

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【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明 ........ 过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 在某社区举办的《有奖知识问答比赛》中,甲、乙、丙三人同时回答某一道题,已知甲回答对这道题 的概率是

3 1 1 ,甲、丙二人都回答错的概率是 ,乙、丙二人都回答对的概率是 . 4 12 4

(Ⅰ)求乙、丙二人各自回答对这道题的概率; (Ⅱ)设乙、丙二人中回答对该题的人数为 X,求 X 的分布列和数学期望.

23. (本小题满分 10 分)

A ? {a1 , a 2 ,? ? ?, a n } , 其 中 0 ? a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a n , 且 n ? 3 , 若 对 ?i, j ( 1 ? i ? j ? n ) a j ? a i 与 a j ? a i 两数中至少有一个属于 A ,则称数集 A 具有性质 P . , (Ⅰ)分别判断数集 {0,1,3} 与数集 {0,2,4,6} 是否具有性质 P ,说明理由; (Ⅱ)已知数集 A ? ?a1 , a 2 ,? , a8 ?具有性质 P . ①求证: 0 ? A ; ②判断数列 a1 , a 2 ,? , a8 是否为等差数列,若是等差数列,请证明;若不是,请说明理由.
已知数集

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