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2014届高考数学一轮专题复习 高效测试5 函数的奇偶性与周期性 新人教A版


高效测试 5:函数的奇偶性与周期性
一、选择题 1.设函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是( ) A.|f(x)|-g(x)是奇函数 B.|f(x)|+g(x)是偶函数 C.f(x)-|g(x)|是奇函数 D.f(x)+|g(x)|是偶函数 解析:设 F(x)=f( x)+|g(x)|,由 f( x)和 g(x)分别是 R 上的

偶函数和奇函数,得 F(-x) =f(-x)+|g(-x)|=f(x)+|g(x)|=F(x), ∴f(x)+|g(x)|是偶函数, 又可判断其他选项 不恒成立. 答案:D 2.对于函数 y=f(x),x∈R,“y=|f(x)|的图象关于 y 轴对称”是“y=f(x)是奇函数” 的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而 不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:函数 y=|f(x)|的图象关于 y 轴对称,说明对任意 x 恒有|f(-x)|=|f(x)|,由此得 f(-x)=-f(x)或者 f(-x)=f(x), 此时说明 y=f(x)可以是奇函数也可以是偶函数, 条件 不充分;而当 f(x)是奇函数时,|f(-x)|=|-f(x)|对于任意 x 恒成立,即函数 y=|f(x)| 的图象关于 y 轴对称,故条件是必要的. 答案:B 3.若定义在 R 上的偶函数 f(x)和奇函数 g(x)满足 f(x)+g(x)=ex,则 g(x)=( ) A.ex-e-x 1 C. (e-x-ex) 2 1 B. (ex+e-x) 2 1 D. (ex-e-x) 2

解析:由 f(x)+g(x)=ex 可得 f(-x)+g(-x)=e-x,又 f(x)为偶函数,g(x)为奇函数, ex-e-x 可得 f(x)-g(x)=e-x,则两式相减可得 g(x)= ,选 D. 2 答案:D 1? ? 4.已知函数 f(x)是定义在(-2,2)上的奇函数,当 x∈(0,2)时,f(x)=2x-1,则 f?log2 ? 3? ? 的值为( ) C.2 3 D. 2-1

2 A.-2 B.- 3

解 析:当 x∈(-2,0)时,-x∈(0,2),又∵当 x∈(0,2)时,f(x)=2x-1,∴f(-x)=2- x-1,又因为函数 f(x)是定义在(-2,2)上的奇函数,∴f(-x)=-f(x)=2-x-1,∴x∈ 1
log 2 1 1 1 3 (-2,0)时,f(x)=1- .∵-2<log2 <0,∴f(log2 )=1- 2 =-2.故选 A. 2x 3 3 答案:A 5.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x2+2x,若 f(2-a2)>f(a),则 实数 a 的取值范围是( ) A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-1,2) C.(-2,1) D.(-∞ ,-2)∪(1,+∞) 1

1

解析:∵f(x )是奇函数, ∴当 x<0 时,f(x)=-x2+2x,作出 f(x)的大致图象如图所示.结合图象,可知 f(x)是 R 上的增函数, 由 f(2-a2)>f(a),得 2-a2>a,即-2<a<1. 答案:C 6.定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x)=f(x +2),当 x∈[3,4]时,f(x)=x-2,则( )

? 1? ? 1? A.f?sin ?<f?cos ? ? 2? ? 2?
C.f(sin1)<f(cos1)

? π? ? π? B.f?sin ?>f?cos ? 3? ? 3? ? ? 3? ? 3? D.f?sin ?>f?cos ? ? 2? ? 2?

解析: ∵f(x)=f(x+2), ∴f(x)是周期函数且 2 为它的一个周期, 又 f(x)是偶函数, 由 f(x) 在区间[3,4]上是增函数知, f(x)在区间[-1, 0]上是增函数, f(x)在区间[0,1]上是减函数. 1 1 ? 1? ? 1? ∵0<sin <cos <1,∴f?sin ?>f?cos ?; 2 2 ? 2? ? 2? π π ? π? ? π? ∵1>sin >cos >0,∴f?sin ?<f?cos ?; 3? ? 3? 3 3 ? ∵1>sin1>cos1>0,∴f(sin1)<f(cos1); 3 3 ? 3? ? 3? ∵1>sin >cos >0,∴f?sin ?<f?cos ?. 2 2 ? 2? ? 2? 答案:C 二、填空题 7.若函数 f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数 a=______. 解析:由题意知,函数 f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则 f(1)=f(-1), ∴1-|1+a|=1-|-1+a|,∴a=0. 答案:0 8.已知 f(x)为奇函数,g(x)=f(x)+9,g(-2)=3,则 f(2)=__________.解析:根据已 知 g(-2)=f(-2)+9,即 3=-f(2)+9,即 f(2)=6. 答案:6 9.设函数 f(x)=x3cosx+1.若 f(a)=11,则 f(-a)=__________. 解析:观察可知,f(x)=x3cosx 为奇函数,且 f(a )=a3cosa+1=11,∴a3cosa=10,则 f(-a)=-a3cosa+1=-10+1=-9. 答案:-9 三、解答题 1 10.已知函数 f(x)=( )|x+m|+a,且 f(x)为偶函数. 2 (1)求 m 的值; (2)若方程 f(x)=0 有两个实数解,求 a 的取值范围. 解析:(1)∵f(x)为偶函数,

2

1 1 ∴f(-x)=f(x)恒成立,即( )|x+m|+a=( )|-x+m|+a, 2 2 ∴|x+m|=|x-m|恒成立,故必有 m=0; 1 (2)f(x)=( )|x|+a, 2

1 1 方程 f(x)=0 即为( )|x|+a=0,( )|x|=-a,方程 f(x) =0 有两个实数解,即函数 g(x) 2 2 1 =( )|x|的图象与 y=-a 的图象有两个交点,画出 y=g( x )的图象(如图),可知当 0<-a 2 <1,即-1<a<0 时,两图象有两个交点, 即方程 f(x)=0 有两个实数解. -2x+b 11.已知定义域为 R 的函数 f(x)= 是奇函数.[中国教育出版网 zzstep.com] 2x+1+a (1)求 a,b 的值; (2)若对任意的 t∈R,不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成立,求 k 的取值范围. 解析:(1)因为 f(x)是奇函数,所以 f(0)=0, -1+b 即 =0,解得 b=1. 2+a -2x+1 从而有 f(x)= . 2x+1+a 1 - +1 2 -2+1 又由 f(1)=-f(-1)知 =- , 4+a 1+a 解得 a=2. -2x+1 1 1 (2)由(1)知 f(x)= =- + . 2x+1+2 2 2x+1 由上式易知 f(x)在(-∞,+∞)上为减函数. 又因 f(x)是奇函数, 从而不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 等价于 f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(-2t2+k). 因 f(x)是减函数,由上式推得 t2-2t>-2t2+k. 即对一切 t∈R 有 3t2-2t-k>0. 1 从而判别式 Δ =4+12k<0,解得 k<- . 3 12.(2013·合肥质检)已知 f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且 f(1)=1,若对任意的 a、 f? b∈[-1,1],当 a+b≠0 时,总有 a? +f? b? >0. a+b

(1)判断函数 f(x)在[-1, 1]上的单调性,并证明你的结论;

3

(2)解不等式:f(x+1)<f?

? 1 ?. ? ?x-1?
f? x1? -f? x2? x1-x2 =

解析:(1)f(x)在[-1,1]上 是增函数,证明如下: 任 取 x1 、 x2 ∈ [ - 1,1] , 且 x1 < x2 , 则 x1 - x2 < 0 , 于 是 有

f? x1? +f? -x2? >0, 而 x1-x2<0, 故 f(x1)<f(x2), 故 f(x)在[-1,1]上是增函数. [中, x1+? -x2? 国教,育出,版网]

? 1 ? -1≤ ≤1, x - 1 (2)由 f(x)在[-1,1]上是增函数知:? 1 ? ?x+1<x-1.
-1≤x+1≤1,

?-2≤x≤0, 解得?x≥2或x≤0, ?x<- 2或1<x<

2.

即-2≤x<- 2,故不等式的解集为{x|-2≤x<- 2}.

4


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