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北京市朝阳区2015年高三第一次综合练习数学文试题


北京市朝阳区高三年级第一次综合练习

数学试卷(文史类)
2015.4 (考试时间 120 分钟 满分 150 分)

本试卷分为选择题(共 40 分)和非选择题(共 110 分)两部分

第一部分(选择题 共 40 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四

个选项中,选出 符合题目要求的一项. (1)已知全集 U ? {a, b, c, d },集合 A ? {a, b}, B ? {b, c} ,则 ? U (A A. {b} B. {d } C. {a, c, d}

B) 等于

D. {a, b, c}

(2)已知命题 p : ?x ? R , sin x ? 1 ,则 A. ?p : ?x ? R , sin x ? 1 C. ?p : ?x0 ? R , sin x0 ? 1 B. ?p : ?x ? R , sin x ? 1 D. ?p : ?x0 ? R , sin x0 ? 1

(3)若抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点与双曲线 x2 ? y 2 ? 2 的右焦点重合,则 p 的值为 A. 2 B. 2 C. 4 D. 2 2 开始

(4)如图所示的程序框图表示的算法功能是 A.计算 S ? 1? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 的值 B.计算 S ? 1? 2 ? 3 ? 4 ? 5 的值 C.计算 S ? 1? 2 ? 3 ? 4 的值 D.计算 S ? 1? 3 ? 5 ? 7 的值 (5)已知 x1 ? log 1 2 , x2 ? 2
3 ? 1 2

S ? 1, t ? 2

t ? t ?1
1 3

, x3 满足 ( ) x3 ? log3 x3 ,则

S ? S ?t

A. x1 ? x2 ? x3 B. x1 ? x3 ? x2 C. x2 ? x1 ? x3 D. x3 ? x1 ? x2

S ? 100 ?
否 输出 S


Sh i

结束 第(4)题图

1

π π (6)函数 f ( x) ? 2sin( x ? )cos( x ? ) 图象的一条对称轴方程是 6 6
A. x ?

π 6

B.

x?

π 3

C. x ?

5π 12

D. x ?

2π 3

? 2 x ? y ? 0, ? (7)已知实数 x , y 满足 ? 2 x ? y ? 0, 其中 t ? 0 .若 z ? 3x ? y 的最大值为 5,则 z 的最 ?0 ? y ? t , ?
小值为 A.

5 2

B. 1

C. 0

D. ? 1

(8)已知边长为 3 的正方形 ABCD 与正方形 CDEF 所在的平面互相垂直, M 为线段 CD 上的动点(不含端点) ,过 M 作 MH //DE 交 CE 于 H ,作 MG //AD 交 BD 于 G ,连 结 GH .设 CM ? x (0 ? x ? 3) ,则下面四个图象中大致描绘了三棱锥 C ? GHM 的 体积 y 与变量 x 变化关系的是
y
y

O

3x

O

3x

A
y

B
y

O

3x

O

3x

C

D

2

第二部分(非选择题 共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上. (9) i 为虚数单位,计算

1? i = 1? i



b 满足 a ? b ? 1 , (10) 已知平面向量 a , a 与 b 的夹角为 60 ? ,
则 a ? (a ? b) ? .
1 正视图 1 侧视图

(11)圆 C : ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 8 与 y 轴相交于 A, B 两点,则 弦 AB 所对的圆心角的大小为 .

(12)一个四棱锥的三视图如图所示,其中侧视图为正三角形, 则该四棱锥的体积是 是 . ,四棱锥侧面中最大侧面的面积
俯视图

第(12)题图 (13)稿酬所得以个人每次取得的收入,定额或定率减除规定费用后的余额为应纳税所得额, 每次收入不超过 4000 元,定额减除费用 800 元;每次收入在 4000 元以上的,定率减除 20%的费用.适用 20%的比例税率,并按规定对应纳税额减征 30%,计算公式为: (1)每次收入不超过 4000 元的:应纳税额=(每次收入额-800)× 20%× (1-30%) (2)每次收入在 4000 元以上的:应纳税额=每次收入额× (1-20%)× 20%× (1-30%). 已知某人出版一份书稿,共纳税 280 元,这个人应得稿费(扣税前 )为 ...
x

元.

(14)记 x 2 ? x1 为区间 [ x1 , x2 ] 的长度.已知函数 y ? 2 , x ? ? ?2, a? ( a ? 0 ),其值域为

?m, n? ,则区间 ?m, n? 的长度的最小值是
(15) (本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中, A ?



三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.

π 6 , cos B ? , BC ? 6 . 3 3

(Ⅰ)求 AC 的长; (Ⅱ)求 ?ABC 的面积.

3

(16) (本小题满分 13 分) 某次考试结束后,为了解甲、乙两所学校学生的数学考试情况,随机抽取甲、乙两校 各 10 名学生的考试成绩, 得茎叶图如图所示 (部分数据 不清晰) : (Ⅰ )请根据茎叶图判断哪个学校的数学成绩平均水 平较高(直接写出结果) ; (Ⅱ )若在抽到的这 20 名学生中,分别从甲、乙两校
6 * 甲校 3 2 2 2 1 * 6 8 9 8 7 6 5 乙校 0 0 3 5 1 * 5 2 6 8

随机各抽取 1 名成绩不低于 90 分的学生, 求抽到的学生中, 甲校学生成绩高于乙校 学生成绩的概率.

(17) (本小题满分 14 分) 如图,在三棱柱 ABC ?

C1

A1 B1C1 中,各个侧面均是边长为 2 的

A1

B1

正方形, D 为线段 AC 的中点. (Ⅰ)求证: BD ⊥平面 ACC1 A1 ; (Ⅱ)求证:直线 AB1 ∥平面 BC1 D ; (Ⅲ) 设 M 为线段 BC1 上任意一点, 在D 使 CE ? DM ,并说明理由. A D C B

BC1 D 内的平面区域 (包括边界) 是否存在点 E ,

(18) (本小题满分 13 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? 4 , an?1 ? Sn , n ? N .
?

(Ⅰ )写出 a2 , a3 , a4 的值; (Ⅱ )求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ )已知等差数列 ?bn ? 中,有 b2 ? a2 , b3 ? a3 ,求数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和 Tn .

4

(19) (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的两个焦点分别为 F1 (?2,0), F2 (2,0) ,离心率 a 2 b2



6 .过焦点 F2 的直线 l (斜率不为 0)与椭圆 C 交于 A, B 两点,线段 AB 的中点为 D , 3

O 为坐标原点,直线 OD 交椭圆于 M , N 两点.
(Ⅰ )求椭圆 C 的方程; (Ⅱ )当四边形 MF1 NF2 为矩形时,求直线 l 的方程. (20) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? )e , a ? R .
x

a x

(Ⅰ )当 a ? 0 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ )当 a ? ?1 时,求证: f ( x ) 在 (0, ??) 上为增函数; (Ⅲ )若 f ( x ) 在区间 (0,1) 上有且只有一个极值点,求 a 的取值范围.

5

6

7

8

9

10


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