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三角函数公式推导(精简板)

时间:2014-06-24


三角公式及 推导
诱导公式:
公式一: 设 α 为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin(2kπ +α )=sinα cos(2kπ +α )=cosα tan(2kπ +α )=tanα cot(2kπ +α )=cotα

公式二: 设 α 为任意角,π +α 的三角函数值与 α 的三角函数值之间的关系: sin(π +α

)=-sinα cos(π +α )=-cosα tan(π +α )=tanα cot(π +α )=cotα

公式三: 任意角 α 与 -α 的三角函数值之间的关系: sin(-α )=-sinα cos(-α )=cosα tan(-α )=-tanα cot(-α )=-cotα

公式四: 利用公式二和公式三可以得到 π -α 与 α 的三角函数值之间的关系: sin(π -α )=sinα cos(π -α )=-cosα tan(π -α )=-tanα cot(π -α )=-cotα

公式五: 利用公式一和公式三可以得到 2π -α 与 α 的三角函数值之间的关系: sin(2π -α )=-sinα cos(2π -α )=cosα tan(2π -α )=-tanα cot(2π -α )=-cotα

公式六: π /2±α 及 3π /2±α 与 α 的三角函数值之间的关系: sin(π /2+α )=cosα cos(π /2+α )=-sinα tan(π /2+α )=-cotα cot(π /2+α )=-tanα

sin(π /2-α )=cosα cos(π /2-α )=sinα tan(π /2-α )=cotα cot(π /2-α )=tanα

sin(3π /2+α )=-cosα cos(3π /2+α )=sinα tan(3π /2+α )=-cotα cot(3π /2+α )=-tanα

sin(3π /2-α )=-cosα cos(3π /2-α )=-sinα tan(3π /2-α )=cotα cot(3π /2-α )=tanα

(以上 k∈z) 诱导公式记忆口诀

※规律总结※ 上面这些诱导公式可以概括为: 对于 k·π /2±α (k∈z)的个三角函数值, ①当 k 是偶数时,得到 α 的同名函数值,即函数名不改变; ②当 k 是奇数时,得到 α 相应的余函数值,即 sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan. (奇变偶不变) 然后在前面加上把 α 看成锐角时原函数值的符号。 (符号看象限)

两角和差公式
⒉两角和与差的三角函数公式 sin(α +β )=sinα cosβ +cosα sinβ sin(α -β )=sinα cosβ -cosα sinβ cos(α +β )=cosα cosβ -sinα sinβ cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ tanα +tanβ

tan(α +β )=——————-1-tanα ·tanβ tanα -tanβ

tan(α -β )=—————— 1+tanα ·tanβ

和差公式的证明: (1) 两角差的余弦

A

y (α-β
α

B

β β
β

ββ O ββ ββ α㎏β
?AOC ? ?? ?BOC ? ?? ?AOB ? ?? ? ??
令 AO=BO=r 点 A 的横坐标为 xA ? r cos ? 点 A 的纵坐标为 yA ? r sin ? 点 B 的横坐标为 xB ? r cos ? 点 B 的纵坐标为 yB ? r sin ?
β

C

x

αβ
β -β)

AB 2 ? ? y A ? yB ? ? ? x A ? xB ?
2 2

2 2

? ? r sin ? ? r sin ? ? ? ? r cos ? ? r cos ? ?

? r 2 sin 2 ? ? r 2 sin 2 ? ? 2r 2 sin ? sin ? ? r 2 cos 2 ? ? r 2 cos 2 ? ? 2r 2 cos ? cos ? ? r 2 ? sin 2 ? ? sin 2 ? ? 2sin ? sin ? ? cos 2 ? ? cos 2 ? ? 2 cos ? cos ? ? ? r 2 ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? 2sin ? sin ? ? 2 cos ? cos ? ? ? r2 ? ?1 ? 1 ? 2 ? sin ? sin ? ? cos ? cos ? ? ? ? ? r2 ? ? 2 ? 2 ? sin ? sin ? ? cos ? cos ? ? ? ? ? 2r 2 ? ?1 ? ? sin ? sin ? ? cos ? cos ? ? ? ?
可得: 由余弦公式

AB 2 ? AC 2 ? BC 2 ? 2 AC ? BC cos ?ACB ? r 2 ? r 2 ? 2r ? r cos ?? ? ? ? ? 2r 2 ? 2r 2 cos ?? ? ? ? ? r2 ? ? 2 ? 2 cos ?? ? ? ? ? ? ? 2r 2 ? ?1 ? cos ?? ? ? ? ? ?
综上得: cos ?? ? ? ? ? sin ? sin ? ? cos ? cos ? (2) 两角和的余弦

cos ?? ? ? ? ? cos ? ?? ? ? ? ? ? ? ?

? sin ? sin ? ? ? ? ? cos ? cos ? ? ? ? ? ? sin ? sin ? ? cos ? cos ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?

(3) 两角和的正弦

sin ?? ? ? ? ? cos ? ?90? ? ?? ? ? ? ? ? ? cos ? ?? 90? ? ? ? ? ? ? ? ? sin ? 90? ? ? ? sin ? ? cos ? 90? ? ? ? cos ? ? cos ? sin ? ? sin ? cos ?
(4) 两角差的正弦

sin ?? ? ? ? ? sin ? ?? ? ? ? ? ? ? ?

? cos ? sin ? ? ? ? ? sin ? cos ? ? ? ? ? ? cos ? sin ? ? sin ? cos ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?

(5) 两角和的正切
tan ?? ? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? cos ?? ? ? ?

cos ? sin ? ? sin ? cos ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? cos ? sin ? ? sin ? cos ? cos ? cos ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? cos ? cos ? sin ? sin ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? 1? cos ? cos ? tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ?

(6) 两角差的正切
tan ?? ? ? ? ? tan ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? ? ? ? 1 ? tan ? tan ? ? ? ? tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

二倍角公式
二倍角的正弦、余弦和正切公式(升幂缩角公式) 表示一:sin2α =2sinα cosα 证明:因为 sin(? +?)=sin??cos?+cos??sin?,令?=?=? ,
所以,可得: sin2?=2?sin??cos? 表示二:(以正切表示二倍角)

sin2?= 證明:

2tan? 1+tan2?

sin? 1 2tan? sin2?=2sin?cos?=2 cos2? =2tan?( )= cos? sec2? 1+tan2? 余弦二倍角公式:

1+tan2? 2?

2tan?

表示一:

1?tan2?

cos2α =cos^2(α )-sin^2(α )=2cos^2(α )-1=1-2sin^2(α ) 证明:因为由和角公式:cos(? +?)=cos??cos??sin??sin?,令?=?=? ,
所以,可得: cos2?=cos2??sin2?=2cos2??1=1?2sin2?

表示二: cos2?= 證明: cos2?=2cos2??1 = 2 2 1?tan2? ? 1 = ? 1 = sec2? 1+tan2? 1+tan2? 1?tan2? 1+tan2?

2tanα tan2α =————— 1-tan^2(α ) 证明:因为由和角公式:tan(? +?)=
所以,可得: tan2?= tan?+tan? ,令?=?=? , 1?tan??tan?

2tan? 1?tan2?

結論:利用 tan?可以將 sin2?,cos2?,tan2?表示出來,

整理如下:
(a) sin2?= 2tan? 1+tan2? (b) cos2?= 1?tan2? 1+tan2? (c) tan2?= 2tan? 1?tan2?

1+tan2? 2?

2tan?

用三角形直观表示如下:(图)

1?tan2?

半角公式

1

1-cosα 或:sin^2(α /2)=————— 2 1+cosα cos^2(α /2)=————— 2 1-cosα tan^2(α /2)=————— 1+cosα

万能公式推导
sin2α =2sinα cosα =2sinα cosα /(cos^2(α )+sin^2(α ))......*, (因为 cos^2(α )+sin^2(α )=1) 再把*分式上下同除 cos^2(α ),可得 sin2α =tan2α /(1+tan^2(α )) 然后用 α /2 代替 α 即可。 同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。

积化和差公式

积化和差公式推导
附推导: 首先,我们知道 sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb 我们把两式相加就得到 sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb 所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2 同理,若把两式相减,就得到 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2 同样的,我们还知道 cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb 所以,把两式相加,我们就可以得到 cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb 所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2 同理,两式相减我们就得到 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2 这样,我们就得到了积化和差的四个公式: sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2 cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2 也可以这样证:

sin ? cos ? ?

1 ? 2sin ? cos ? ? 2 1 ? ? sin ? cos ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? cos ? sin ? ? 2 1 ? ? sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? ? 2?

cos ? cos ? ?

1 ? 2 cos ? cos ? ? 2 1 ? ? cos ? cos ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? sin ? sin ? ? 2 1 ? ? cos ?? ? ? ? ? cos ?? ? ? ? ? ? 2? 1 sin ? sin ? ? ? 2sin ? sin ? ? 2 1 ? ? sin ? sin ? ? sin ? sin ? ? cos ? cos ? ? cos ? cos ? ? 2 1 ? ? cos ?? ? ? ? ? cos ?? ? ? ? ? ? 2?

和差化积公式

和差化积的公式推导:
好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.我们把 上述四个公式中的 a+b 设为 x,a-b 设为 y,那么 a=(x+y)/2,b=(x-y)/2 把 a,b 分别用 x,y 表示就可以得到和差化积的四个公式: sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2) sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2) cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2) cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

特殊的三角函数值(表)
?? ? 15? ? ? ? 12 ? 6? 2 4
6? 2 4

0? ? 0?

?? ? 30? ? ? ?6?

?? ? 45? ? ? ?4? 2 2
2 2

?? ? 60? ? ? ?3? 3 2

? 5? ? 75? ? ? ? 12 ? 6? 2 4
6? 2 4

?? ? 90? ? ? ?2?

sin

0

1 2
3 2

1

cos

1

1 2

0

tan

0

2? 3

3 3

1

3

2? 3

N/A

其它一些恒等变换的有用公式:也必须熟记
(a)cos2?=cos2??sin2?=2cos2??1=1?2sin2?

1+tan2?
(b) cos?=2cos 2 ? 1=1?2sin 2 (c)cos2?=
2? 2?

2tan?

2? 1?tan2?

1+cos2? 1?cos2? ,sin2?= 2 2

三角函数公式集中记忆表:
和差的三角函数 积化和差公式

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? sin ? sin ? tan ? ? tan ? tan(? ? ? ) ? 1 tan ? tan ?

sin ? cos ? ?

1 ?sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )? 2 1 cos ? sin ? ? ?sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? ) ? 2

倍角、半角的三角函数

sin 2? ? 2sin ? cos ? 1 cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ? sin ? sin ? ? ? ? cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? 2 2 tan ? 证明: tan 2? ? 1 ? tan 2 ? ① sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? 1 ? cos ? 2 ? 2 ? ② sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? cos ? ? 1 ? 2sin ? sin ? 2 2 2 ①+②,得 1 ? cos ? 2 ? 2 ? cos ? ? 2 cos ? 1 ? cos ? sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? ) ? 2sin ? cos ? 2 2 2 1 ? sin ? cos ? ? ?sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )? 将上面两式左右两边分别相除,得: 2 1 ? cos ? 2 ? tan ? ①-②得: 2 1 ? cos ? sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? ) ? 2cos ? sin ? ? 1 ? cos ? 1 ?sin ? ? ? cos ? sin ? ? ?sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? ) ? 2 2 2

cos ? cos ? ?

1 ?cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )? 2

cos

1 ? cos ? 2 2 ? 1 ? cos ? 1 ? cos ? sin ? tan ? ? = ? 2 1 ? cos ? sin ? 1 ? cos ? ??
sin cos

?

另两式证明方法相同。 和差化积公式

(证明:

sin ? ? sin ? ? 2sin

? ?? ? ??
2

cos

? ?? ? ??
2

tan

?
2

? ?
2 ? 2

?

2 ? 1 ? cos ? ) ? ? sin ? 2sin ? cos 2 2 2
万能公式

2sin

?

? sin

?

sin ? ? sin ? ? 2 cos

sin 2 2 ? ?? ? ?? cos ? ? cos ? ? 2 cos cos 2 2 ? ?? ? ?? cos ? ? cos ? ? ?2sin sin 2 2

2 tan ? 1 ? tan 2 ? 1 ? tan 2 ? cos ? ? 1 ? tan 2 ? ? 1 ? cos ? tan 2 ? 2 1 ? cos ? sin ? ?
三倍角公式

证明: ①

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?

② ①+②,得 ③

sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? ) ? 2sin ? cos ?

sin 3? ? 3sin ? ? 4sin 3 ? cos3? ? 4cos3 ? ? 3cos ? 3 tan ? ? tan 3 ? tan 3? ? 1 ? tan 2 ?

? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? 2 令? ,则 ? ,代人③式, ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 2


sin ? ? sin ? ? 2sin ? cos ? ? 2sin
另三式证明方法相同。

? ??
2

cos

? ??
2

.


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