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广东省珠海一中等六校2013届高三第二次联考数学文试题与答案




2013 届高三广东六校第二次联考
(文科)数学试题 2012 年 12 月 26 日星期三
命题: 中山纪念中学 周建刚 珠海一中 参考学校:惠州一中 广州二中 东莞中学 中山纪中 深圳实验

本试题共 4 页,20 小题,满分 150 分,考试用时 120 分钟 一.选择题:本大题共 10 小题;每小题 5 分

,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,有 且只有一项是符合题目要求的 1. 函数 f ( x) ? A. (0,3) 2.复数 1 ? A. (1,1)

3? x 的定义域为 x
C. (??, 0) ? (0,3]

( D. x ? R x ? 0, x ? 3 ( D. (?1, ?1) (



B. (??,0) ? (0,3)

?

?


1 (i 为虚数单位)在复平面上对应的点的坐标是 i3
B. (1, ?1) C. (?1,1)

3.“ x ? 1 ”是“ ( x ? 1)( x ? 2) ? 0 ”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 4. tan 330° 的值为
5.5



B.必要不充分条件 D.即不充分也不必要条件
6

( B. 3 C.
3 3
5



A. ?

3 3

D. ? 3

4.5 4 5.下图为函数 f1 ( x) ? a1x , f 2 ( x) ? a2 x , f3 ( x) ? loga3 x 在同一直角坐标系下的部分图象,

则下列结论正确的是 A . a3 ? 1 ? a1 ? a2 ? 0 B. a3 ? 1 ? a2 ? a1 ? 0 C. a1 ? a2 ? 1 ? a3 ? 0 D. a2 ? a1 ? 1 ? a3 ? 0
4 3 2 1

3.5

y
3 2.5

f1 ( x)





2

f 2 ( x)

1.5

1

0.5

O
0.5 1

1

2

x

3

4

5

6

f3 ( x)
( D.无法确定 )

6.若 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 是定义在 R 上的偶函数,则 b 的值为
2

A. ?1

B. 0

C. 1



7.在 1 和 256 之间顺次插入三个数 a , b, c ,使 1, a, b, c, 256 成一个等比数列,则这 5 个数之积为 .. ( A. 2
18



B. 2

19

C. 2

20

D. 2

21

8.若函数 f ( x) ? x3 ? x ? 1 在区间 ( a, b)( a , b 是整数, b ? a ? 1 ) 且 上有一个零点, a ? b 则 的值为 A. 3 B. ?2 C. 2 D. ?3 ( ) ( )

??? ???? ? 9.如右图所示的方格纸中有定点 O,P,Q,E,F ,G,H ,则 OP ? OQ ? ???? G A. FO F ???? E B. OG ???? ? C. OH O ???? D. EO
P

Q

H 10. 如图,将等比数列 ?an ? 的前 6 项填入一个三角形的顶点及各边中点的位置,且在图中 每个三角形的顶点所填的三项也成等比数列, 数列 ?an ? 的前 2013 项和 S2013 ? 4026, 则满足
n nan ? an 的 n 的值为

( C. 2013 D. 4026



A. 2

B. 3

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分 11.已知函数 f ( x) ? ?

?log 2 x ( x ? 0) ,则 f (0) ? x ( x ? 0) ?3
1 ,则 2

12.已知 a, b, c 分别是 ?ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边,若 a ? 1, b ?

3, cos B ?

sin A ?
13.已知 | a |? 1 , | b |? 2 , (a ? b) ? a ,则 a 与 b 夹角为

? ?

?

14.已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 对任意实数 x 均有 f ( x ? 2) ? ?

1 f ( x) ,且 f ( x) 在区间 2

?0, 2? 上有表达式 f ( x) ? ? x2 ? 2x ,则函数 f (x) 在区间 [?3, ?2] 上的表达式为 f ( x) ?



_______________ 三.解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? cos 2 x ? sin 2 x (1)求 f ( x ) 的最大值和最小正周期; (2)设 ? , ? ? [0,

?
2

], f (

?

? 5 ? ? )? , f ( ? ? ) ? 2 ,求 sin(? ? ? ) 的值 2 8 2 2

16. (本小题满分 12 分) 已知 a ? (sin ? ,cos? ) 、 b ? ( 3,1) (1)若 a // b ,求 tan ? 的值; (2)若 f (? ) ? a ? b , ?ABC 的三个内角 A, B, C 对应的三条边分别为 a 、 b 、 c ,且

?

?

? ?

? ?

??? ??? ? ? ? ? a ? f (0) , b ? f (? ) , c ? f ( ) ,求 AB ? AC 。 6 3

17. (本小题满分 14 分) 在等比数列 {an } 中,公比 q ? 1 ,且满足 a2 ? a3 ? a4 ? 28 , a3 (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 bn ? log2 an?5 ,且数列 ?bn ? 的前 n 的和为 Sn ,求数列 ?

? 2 是 a2 与 a4 的等差中项.

? Sn ? ? 的前 n 的和 Tn ?n?



18. (本小题满分 14 分)

3 1 ? ?an ? 4 an ?1 ? 4 bn ?1 ? 1 ? 已知数列 {an } ,{bn } 满足 a1 ? 2 ,b1 ? 1 ,且 ? ( n ≥ 2 ),数列 {cn } ?b ? 1 a ? 3 b ? 1 ? n 4 n ?1 4 n ?1 ? 满足 cn ? an ? bn (1)求 c1 和 c 2 的值,
(2)求证:数列 {cn } 为等差数列,并求出数列 {cn } 的通项公式 (3)设数列 {cn } 的前 n 和为 Sn ,求证:

1 1 1 1 ? ? ?? ? ? 1 S1 S2 S3 Sn

19. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 2tx ? 1 , g ( x) ? b ln x ,其中 b, t 为实数
2

(1)若 f ( x ) 在区间 [3, 4] 为单调函数,求实数 t 的取值范围 (2)当 t ? 1 时,讨论函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在定义域内的单调性

20. (本小题满分 14 分) 已知三次函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a、b、c、d ? R) 为奇函数,且在点 (1, f (1)) 的 切线方程为 y ? 3x ? 2 (1)求函数 f ( x ) 的表达式. (2)已知数列 ?an ? 的各项都是正数,且对于 ?n ? N ,都有 (
*

? ai )2 ? ? f (ai ) ,求数列 ?an ? 的
i ?1 i ?1

n

n

首项 a1 和通项公式 (3)在(2)的条件下,若数列 ?bn ? 满足 bn ? 4n ? m ? 2 值.
an ?1

(m ? R, n ? N * ) ,求数列 ?bn ? 的最小



2013 届高三六校第二次联考(文科)数学试题
参考答案及评分标准
命题: 中山纪念中学 周建刚 审题:中山纪念中学高三文科数学备课组

第Ⅰ 卷选择题(满分 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1.(C) 2.(B) 3.(A) 4.(A) 6.(B) 7.(C) 8.(D) 9.(A) 5.(C) 10.(B)

第Ⅱ 卷非选择题(满分 100 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 11. 1 12.

1 2

13.

2? 3

14. f ( x) ? ?4( x ? 2)( x ? 4)

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 12 分) 解:(1)? f ( x) ? cos 2 x ? sin 2 x ?

2(

2 2 cos 2 x ? sin 2 x) …………………1 分 2 2

? 2 sin(2 x ? ) ………………………4 分 4
且 x ? R ? f ( x) 的最大值为 2 …………………………5 分 最小正周期 T ? (2)? f (

?

2? ? ? ……………………………………6 分 2

?

? ) ? 2 sin(2( ? ) ? ) ? 2 sin(? ? ) …………………7 分 2 8 2 8 4 2

?

?

?

?

?

? 2 c o? ? s
又? ? ? [0,

5 10 ,? cos ? ? 2 4

…………………8 分

?
2

] ,? sin ? ?

6 …………………9 分 4

?f(

?
2

? ? ) ? 2 sin(2(

?

? ? ) ? ) ? 2 sin( ? ? ? 2? ) …………………10 分 2 4 4

?

?

? 2 sin( ? ? ) ? 2 …………………11 分 4
又? ? ? [0,

?

?
2

],? ? ?

?

? 3? ? ? ? ? [ , ],? ? ? ? ? ? ? 4 4 4 4 2 4



sin(? ? ? ) ? sin(? ? ) ? sin ? ? cos ? cos ? ? sin ? 4 4 4
16. (本小题满分 12 分)

?

?

?

3? 5 …………………12 分 4

解:(1)? a // b,?sin ? ? 3 cos? ? 0 …………………3 分

? ?

?sin ? ? 3 cos? ? tan ? ? 3 …………………6 分 ? ? (2)? a ? b ? (sin ? ? 3,cos? ? 1) …………………7 分 ? ? ? a ? b ? (sin ? ? 3)2 ? (cos ? ? 1)2
? 5 ? 2 3 sin ? ? 2cos ? ? 5 ? 4sin(? ? ) …………………8 分 6 ? a ? f (0) ? 5 ? 4sin

?

?
6

? 7

? b ? f (? ) ? 5 ? 4sin 0 ? 5 6

?

? c ? f ( ) ? 5 ? 4sin ? 3 …………………10 分 3 2
由余弦定理可知: cos A ?

?

?

b2 ? c 2 ? a 2 7 5 …………………11 分 ? 2bc 30

??? ???? ??? ???? ? ? 7 ? AB ? AC ? AB AC cos A ? bc cos A ? …………………12 分 (其它方法酌情给分) 2
17. (本小题满分 14 分) 解(1)由题可知: 2(a3

? 2) ? a2 ? a4 …………………1 分

? a2 ? a4 ? 28 ? a3 ,? 2(a3 ? 2) ? 28 ? a3 ,? a3 ? 8 …………………3 分
? a2 ? a4 ? 20 ? a3 1 1 ? a3 q ? 8( ? q ) ? 20,? q ? 2 或 q ? (舍去)…………5 分 q q 2

? an ? a3q n?3 ? 8 ? 2n?3 ? 2n …………………7 分
(2)? an

? 2n ,? an?5 ? 2n?5 , bn ? log2 2n?5 ? n ? 5 ,?b1 ? 6 …………………9 分

所以数列 ?bn ? 是以 6 为首项 1 为公差的等差数列,

? Sn ? ?

(b1 ? bn )n (n ? 11)n ? …………………11 分 2 2

Sn n ? 11 1 11 ? ? n ? …………………12 分 n 2 2 2



所以数列 ?

1 ? Sn ? ? 是以 6 为首项, 为公差的等差数列,所以 2 ?n?

1 11 (6 ? n ? )n 2 2 2 ? n ? 23n …………………14 分 Tn ? 2 4
18. (本小题满分 14 分) 解(1) c1 ? a1 ? b1 ? 3 …………………1 分

a2 ? b2 ?

3 1 11 a1 ? b1 ? 1 ? , …………………2 分 4 4 4 1 3 9 a1 ? b1 ? 1 ? , …………………3 分 4 4 4

c2 ? a2 ? b2 ? 5 …………………4 分
3 1 ? ?an ? 4 an ?1 ? 4 bn ?1 ? 1 ? (2)证明:因为 ? , ?b ? 1 a ? 3 b ? 1 ? n 4 n ?1 4 n ?1 ?
3 1 1 3 ? cn ? an ? bn ? ( an ?1 ? bn ?1 ? 1) ? ( an ?1 ? bn ?1 ? 1) ? an ?1 ? bn ?1 ? 2 ? cn ?1 ? 2 4 4 4 4
……………6 分

? n ? 2, cn ? cn?1 ? 2 ,即数列 {cn } 以 c1 ? 3 为首项,2 为公差的等差数列……………7 分
?cn ? 3 ? (n ?1)2 ? 2n ? 1 …………………8 分
(3)? S n ? 解法一:

(3 ? 2n ? 1)n ? n(n ? 2) …………………10 分 2

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ??? S1 S2 S3 Sn 1? 3 2 ? 4 n ? (n ? 2)

因为

1 1 1 1 ? ? ? ,…………………12 分 n ? (n ? 2) n ? (n ? 1) n n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ?? ? ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? ) ? 1? ?1 1? 3 2 ? 4 n ? (n ? 2) 1 2 2 3 n n ?1 n ?1
…………………14 分

所以

解法二:

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ??? S1 S2 S3 Sn 1? 3 2 ? 4 n ? (n ? 2)

因为

1 1 1 1 ? ( ? ) …………………12 分 n ? (n ? 2) 2 n n ? 2



所以

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ??? S1 S2 S3 Sn 1? 3 2 ? 4 n ? (n ? 2)

?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? )? ( ? )? ( ? ) 2 1 3 2 2 4 2 3 5 2 4 6 2 n ? 2 n 2 n ?1 n ? 1 2 n n ? 2
…………………13 分

?

1 1 1 1 3 1 1 3 (1 ? ? ? ) ? ?( ? ) ? ? 1 …………………14 分 2 2 n ?1 n ? 2 4 n ?1 n ? 2 4

19. (本小题满分 14 分) 解:(1) f ( x) ? x2 ? 2tx ? 1 的对称轴为 x ? t ,…………………2 分 开口向上,所以当 t ? 3 时,函数在 [3, 4] 单调递增,…………………4 分 当 t ? 4 时函数在 [3, 4] 单调递减,…………………6 分 所以若 f ( x ) 在区间 [3, 4] 为单调函数,则实数 t 的取值范围 t ? 3 或 t ? 4 ……………7 分 (2) h( x) ? x2 ? 2 x ? 1 ? b ln x 的定义域为 (0, ??) ……………8 分

h?( x) ? 2 x ? 2 ?

b 2 x2 ? 2 x ? b ? ,……………9 分 x x

令 g ( x) ? 2 x2 ? 2 x ? b , (0, ??) , 所以 g ( x) 在 (0, ??) 的正负情况与 h?( x) 在 (0, ??) 的正负情况一致 ① ? ? 4 ? 8b ? 0 时,即 b ? 当

1 2 时,则 g ( x) ? 2 x ? 2 x ? b ? 0 在 (0, ??) 恒成立,所以 2

h?( x) ? 0 在 (0, ??) 恒成立,所以函数 h( x) 在 (0, ??) 上为单调递增函数……………10 分
② ? ? 4 ? 8b ? 0 时,即 b ? 当

1 2 时,令方程 g ( x) ? 2 x ? 2 x ? b ? 0 的两根为 x1 , x2 ,且 2

x1 ?

1 ? 1 ? 2b 1 ? 1 ? 2b , x2 ? ? 0 ……………11 分 2 2 1 ? 1 ? 2b 1 2 不等式 g ( x) ? 2 x ? 2 x ? b ? 0 ? 0 ? 1 ? 1 ? 2b ? 0 ? b ? 时, 2 2

(i) x1 ? 当

解集为 (0,

1 ? 1 ? 2b 1 ? 1 ? 2b )?( , ??) , g ( x) ? 2 x2 ? 2 x ? b ? 0 解集为 2 2

1 ? 1 ? 2b 1 ? 1 ? 2b 1 ? 1 ? 2b 1 ? 1 ? 2b ( , ) ,所以 h( x) 的单调增区间为 (0, ), ( , ??) ; 2 2 2 2
单调减区间为 ( (ii) 当 x1 ?

1 ? 1 ? 2b 1 ? 1 ? 2b , ) ……………12 分 2 2

1 ? 1 ? 2b 2 ? 0 ? 1 ? 1 ? 2b ? b ? 0 时, 不等式 g ( x) ? 2 x ? 2 x ? b ? 0 解集 2



为(

1 ? 1 ? 2b 1 ? 1 ? 2b , ??) , g ( x) ? 2 x2 ? 2 x ? b ? 0 解集为 (0, ) ,所以 h( x) 的单调 2 2 1 ? 1 ? 2b 1 ? 1 ? 2b , ??) ;单调减区间为 (0, ) ……………13 分 2 2
1 时,函数 h( x) 在 (0, ??) 上为单调递增函数 2 1 1 ? 1? 2 b ? ? b2 1 1 时, h( x) 的单调增区间为 ( 0 , ), ( ?? ; ) , 2 2 2
单调减区间为 ( 当 b ? 0 时, h( x) 的单调增区间为 (

增区间为 (

综上所述:当 b ?

当0 ? b ?

1 ? 1 ? 2b 1 ? 1 ? 2b , ) 2 2

1 ? 1 ? 2b , ??) ; 2 1 ? 1 ? 2b ) ……………14 分 2

单调减区间为 (0, 20. (本小题满分 14 分) 解:(1)? f ( x) 为奇函数, ? f (? x) ? ? f ( x) ,即

?ax3 ? bx2 ? cx ? d ? ?ax3 ? bx2 ? cx ? d

? ? 2b x2 ? 2 d ? 0 b ? d ? 0 …………2 分

? f ( x) ? ax3 ? cx ,又因为在点 (1, f (1)) 的切线方程为 y ? 3x ? 2
? f ?(1) ? 3a ? c ? 3 ?? ? a ? 1, c ? 0 ,? f ( x) ? x3 …………4 分 ? f (1) ? a ? c ? 1
(2)由题意可知: (

?a )
i ?1 i

n

2

2 ? (a1 ? a2 ? ? ? an )2 ? Sn

? f (a ) ?
i ?1 i

n

3 3 3 3 f (a1 ) ? f (a2 ) ??? f (an ) ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? an

3 3 3 3 2 所以 a1 ? a2 ? a3 ? ?? an ? Sn …….. …....①

由① 式可得 a1 ? a1 , a1 ? 0 ? a1 ? 1………….5 分
3 2

当 n ? 2 ,?a1 ? a2 ? a3 ? ?? an?1 ? Sn?1 ………②
3 3 3 3 2

由① 可得: -②
3 2 2 an ? Sn ? Sn?1 ? an (Sn ? Sn?1 )


2 ??an ? 为正数数列?an ? Sn ? Sn?1 ? 2Sn ? an …..③…………..6 分

2 ?an?1 ? 2Sn?1 ? an?1 ………..④ 2 2 由③ 可得: an ? an?1 ? an ? an?1 -④

? an ? an?1 ? 0 ,? an ? an?1 ? 1 ,??an ? 是以首项为 1,公差为 1 的等差数列,…………..8 分

?an ? n(n ? N * ) …………9 分
(注意:学生可能通过列举然后猜测出?an ? n(n ? N * ) ,扣 2 分,即得 7 分) (3) ? an ? n(n ? N? ) ,?bn ? 4n ? m ? 2n?1 ? (2n ? m)2 ? m2 (n ? N? ) 令 2 ? t (t ? 2) ,?bn ? (t ? m)2 ? m2 (t ? 2) …………10 分
n

(1)当 m ? 2 时,数列 ?bn ? 的最小值为当 n ? 1 时, bn ? b1 ? 4 ? 4m ……….11 分 (2)当 m ? 2 时 ① m ? 2k (k ? N * , k ? 2) 时, 数列 ?bn ? 的最小值为当 n ? k 时, bk ? ?m2 若 ② m? 若

2k ? 2k ?1 (k ? N * , k ? 2) 时, 数列 ?bn ? 的最小值为, 当 n ? k 时或 n ? k ? 1 2

bk ? bk ?1 ? (2k ? m)2 ? m2
③若 2 ?m?
k

2k ? 2k ?1 (k ? N * , k ? 2) 时 , 数 列 ?bn ? 的 最 小 值 为 , 当 n ? k 2

时, bk ? (2k ? m)2 ? m2 ④ 若

2k ? 2k ?1 ? m ? 2k ?1 (k ? N * , k ? 2) 时,数列 ?bn ? 的最小值为,当 n ? k ? 1 时 2

bk ?1 ? (2k ?1 ? m)2 ? m2 …………14 分


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