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2012届高考数学知识点复习测试题1


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第2讲
1.等差数列的概念

等差数列
★ 知 识 梳理 ★

如果一个数列从第二项起, 每一项与它前一项的差等于同一个常数 d , 这个数列叫做等差数列, 常数 d 称为等差数列的公差. 2.通项公式与前

n 项和公式 ⑴通项公式 a n

? a1 ? (n ? 1)d , a1 为首项, d 为公差.

⑵前 n 项和公式 S n 3.等差中项

?

n(a1 ? an ) 1 或 S n ? na1 ? n( n ? 1)d . 2 2

如果 a, A, b 成等差数列,那么 即:

A 叫做 a 与 b 的等差中项.

A 是 a 与 b 的等差中项 ? 2 A ? a ? b ? a , A , b 成等差数列.

4.等差数列的判定方法 ⑴定义法: an ?1

? an ? d

( n ? N ? , d 是常数) ?

?a n ?是等差数列;

⑵中项法: 2a n ?1

? a n ? a n ?2 ( n ? N ? ) ? ?a n ?是等差数列.

5.等差数列的常用性质 ⑴数列

?a n ?是等差数列,则数列 ?an ? p?、 ?pan ?( p 是常数)都是等差数列; ?a n ?中,等距离取出若干项也构成一个等差数列,即 an , an?k , an?2k , an?3k ,? 为等

⑵在等差数列

差数列,公差为 kd . ⑶ an

? am ? (n ? m)d ;a n ? an ? b ( a , b 是常数);S n ? an2 ? bn ( a , b 是常数,a ? 0 )

⑷若 m ? n

? p ? q(m, n, p, q ? N ? ) ,则 am ? a n ? a p ? a q ;
Sn ? ?a n ?的前 n 项和 S n ,则 ? ? ? 是等差数列; ?n?

⑸若等差数列

⑹当项数为 2n( n ? N ? ) ,则 S 偶

? S奇 ? nd ,

S偶 S奇

? S偶 S奇

a n ?1 an ?



当项数为 2n ? 1( n ? N ? ) ,则 S 奇

? S偶 ? an ,

n ?1 . n

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★ 重 难 点 突 破 ★
1.重点:理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式、前 n 项和公式并能解决实际问题;理解等差 中项的概念,掌握等差数列的性质. 2.难点:利用等差数列的性质解决实际问题. 3.重难点:正确理解等差数列的概念,灵活运用等差数列的性质解题. ⑴求等差数列的公差、求项、求值、求和、求 S n 最值等通常运用等差数列的有关公式及其性质. 问题 1:已知 m ? n ,且 m, a1 , a 2 , a3 , n 和 m, b1 , b2 , b3 , b4 , n 都是等差数列,则

a3 ? a1 ? b3 ? b2

分析:问题转化为:在 m, n 插入若干个数,使其成等差,利用等差数列公差的求法公式解答. 解析:设等差数列 m, a1 , a 2 , a3 , n 和 m, b1 , b2 , b3 , b4 , n 的公差分别是 d 1 , d 2 则 a3

? a1 ? 2d1 , n ? m ? 4d1 ,? a3 ? a1 ?

n?m , 2

同理,得 b3

? b2 ? d 2 ?

a ? a1 5 n?m ,? 3 ? . b3 ? b2 2 5

⑵求“首末项和为常数”的数列的和,一般用倒序相加法.

问题 2:已知函数

f ( x) ?

4x .则 2 ? 4x



1 2 f( )? f( )? 3 3
.





f(

1 2 2008 )? f( ) ??? f ( )? 2009 2009 2009

分析:①可以直接代入计算,也可以整体处理;②寻找规律,整体处理. 解析:?

f ( x) ?

4x 2 ? 4x

,经计算,得

f ( x) ? f (1 ? x) ? 1 ,

? f(

1 2 2008 )? f( ) ??? f ( ) ? 1004 ? 1 ? 1004 . 2009 2009 2009
★ 热 点 考 点 题 型 探 析★

考点 1 等差数列的通项与前 n 项和 题型 1 已知等差数列的某些项,求某项
【例 1】已知

?a n ?为等差数列, a15 ? 8, a60 ? 20 ,则 a75 ?
?a15 ? a1 ? 14 d ? 8 64 4 ? a1 ? ,d ? 15 15 ?a60 ? a1 ? 59 d ? 20

【解题思路】可以考虑基本量法,或利用等差数列的性质 【解析】方法 1:? ?

? a75 ? a1 ? 74 d ?

64 4 ? 74 ? ? 24 15 15
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a60 ? a15 20 ? 8 4 ? ? , 60 ? 15 45 15 4 ? a75 ? a60 ? (75 ? 60)d ? 20 ? 15 ? ? 24 15
方法 2:? d ? 方法 3:令 a n ? an ? b ,则 ?

?15a ? b ? 8 16 8 ? a ? ,b ? 45 3 ?60 a ? b ? 20

? a75 ? 75a ? b ? 75 ?

16 8 ? ? 24 45 3

方法 4:? ?a n ?为等差数列,

? a15 , a30 , a45 , a60 , a75 也成等差数列,设其公差为 d 1 ,则 a15 为首项, a60 为第 4 项. ? a60 ? a15 ? 3d1 ? 20 ? 8 ? 3d ? d1 ? 4 ? a75 ? a60 ? d1 ? 20 ? 4 ? 24
方法 5:? ?a n ?为等差数列,? (15, a15 ), (60, a60 ), (75, a75 ) 三点共线

?

a60 ? a15 a75 ? a60 20 ? 8 a75 ? 20 ? ? ? ? a75 ? 24 60 ? 15 75 ? 60 45 15
【名师指引】给项求项问题,先考虑利用等差数列的性质,再考虑基本量法.

题型 2 已知前 n 项和 S n 及其某项,求项数.
【例 2】⑴已知 S n 为等差数列

?a n ?的前 n 项和, a4 ? 9, a9 ? ?6, Sn ? 63 ,求 n ;
? a1 ? (n ? 1)d 求出 a1 及 d ,代入 S n 可求项数 n ;

⑵若一个等差数列的前 4 项和为 36,后 4 项和为 124,且所有项的和为 780,求这个数列的项数 n . 【解题思路】⑴利用等差数列的通项公式 a n ⑵利用等差数列的前 4 项和及后 4 项和求出 a1

? an ,代入 S n 可求项数 n .

【解析】⑴设等差数列的首项为 a1 ,公差为 d ,则 ?

?a1 ? 3d ? 9 ? a1 ? 18, d ? ?3 ?a1 ? 8d ? ?6

? S n ? 18n ?
⑵? a1

3 n(n ? 1) ? 63 ? n1 ? 6, n2 ? 7 2

? a2 ? a3 ? a4 ? 36, an ? an ?1 ? an ?2 ? an ?3 ? 124

a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? a4 ? an?3

? 4(a1 ? an ) ? 160 ? a1 ? an ? 40 ? Sn ?
n(a1 ? an ) ? 780 ? 20n ? 780 ? n ? 39 2
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【名师指引】解决等差数列的问题时,通常考虑两种方法:⑴基本量法;⑵利用等差数列的性质.

题型 3 求等差数列的前 n 项和
【例 3】已知 S n 为等差数列 ⑴求 ⑵求 ⑶求

?a n ?的前 n 项和, S n

? 12 n ? n 2 .

a1 ? a 2 ? a 3

; ; .

a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? a10 a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? a n

【解题思路】利用 S n 求出 a n ,把绝对值符号去掉转化为等差数列的求和问题. 【解析】4.? S n

? 12 n ? n 2 ,

?当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 12 ? 1 ? 11 ,
当n 当n 由 an ⑴ ⑵

? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? (12 n ? n 2 ) ? 12(n ? 1) ? (n ? 1) 2 ? 13 ? 2n , ? 1 时, 13 ? 2 ? 1 ? 11 ? a1 , ? an ? 13 ? 2n .
13 ,?当 1 ? n ? 6 时, a n ? 0 ;当 n ? 7 时, a n ? 0 . 2

? 13 ? 2n ? 0 ,得 n ?

a1 ? a 2 ? a3 ? a1 ? a 2 ? a3 ? S 3 ? 12 ? 3 ? 32 ? 27 ; a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a10 ? a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? a6 ? (a7 ? a8 ? a9 ? a10 )
? 2S6 ? S10 ? 2(12 ? 6 ? 6 2 ) ? (12 ? 10 ? 10 2 ) ? 52 ;

⑶当 1 ? 当n

n ? 6 时, a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? 12 n ? n 2 ,

? 7 时, a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a6 ? (a7 ? a8 ? ? ? an )
? 2S6 ? Sn ? 2(12 ? 6 ? 62 ) ? (12 n ? n 2 ) ? n 2 ? 12 n ? 72.

【名师指引】含绝对值符号的数列求和问题,要注意分类讨论. 【新题导练】 1.已知

?a n ?为等差数列, am ? p, an ? q ( m, n, k 互不相等) ,求 a k .
am ? an ak ? an p ? q ak ? q p ( k ? n ) ? q( m ? k ) ? ? ? ? ak ? m?n k ?n m?n k ?n m?n

【解析】

2.已知 S n 为等差数列

?a n ?的前 n 项和, a1 ? 1, a4 ? 7, Sn ? 100 ,则 n ?
? a 4 ? a1 7 ? 1 ? ?2 4 ?1 3

.

【解析】设等差数列的公差为 d ,则 d

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1 n(n ? 1) ? 2 ? 100 ? n ? 10 . 2 3.已知 5 个数成等差数列,它们的和为 5 ,平方和为 165 ,求这 5 个数. 【解析】设这 5 个数分别为 a ? 2d , a ? d , a, a ? d , a ? 2d . 则 Sn ? n ?

?( a ? 2d ) ? ( a ? d ) ? a ? ( a ? d ) ? ( a ? 2d ) ? 5 ?a ? 1 ? ? ? 2 2 2 2 2 2 2 ?( a ? 2d ) ? ( a ? d ) ? a ? ( a ? d ) ? ( a ? 2d ) ? 165 ?5a ? 10 d ? 165

? 1, d ? ?4 当 a ? 1, d ? 4 时,这 5 个数分别为: ? 7,?3,1,5,9 ; 当 a ? 1, d ? ?4 时,这 5 个数分别为: 9,5,1,?3,?7.
解得 a 4.已知 S n 为等差数列

?a n ?的前 n 项和, S10 ? 100, S100 ? 10 ,求 S110 .

11 ? ?a1 ? ? 50 ?10 a1 ? 45d ? 100 【解析】方法 1:设等差数列的公差为 d ,则 ? ?? 1099 ?100 a1 ? 4950 d ? 10 ?d ? 100 ? 1 ? S110 ? 110 a1 ? ? 110 ? 109 d ? ?110 ; 2 90(a11 ? a100 ) 方法 2:? S100 ? S10 ? ? ?90 ? a11 ? a100 ? ?2 2 110 (a1 ? a110 ) 110 (a11 ? a100 ) ? ? ?110 . ? S110 ? 2 2
考点 2 证明数列是等差数列
【例 4】已知 S n 为等差数列 求证:数列

?a n ?的前 n 项和, bn ? S n (n ? N ? ) .
n

?bn ?是等差数列.

【解题思路】利用等差数列的判定方法⑴定义法;⑵中项法. 【解析】方法 1:设等差数列

?a n ?的公差为 d , Sn ? na1 ? 1 n(n ? 1)d ,
2

S 1 ? bn ? n ? a1 ? (n ? 1)d n 2 1 1 d ? bn ?1 ? bn ? a1 ? nd ? a1 ? (n ? 1)d ? (常数) 2 2 2

?数列 ?bn ?是等差数列.
Sn 1 ? a1 ? (n ? 1)d , n 2 1 1 ? bn?1 ? a1 ? nd , bn ?2 ? a1 ? (n ? 1)d 2 2 1 1 ? bn ?2 ? bn ? a1 ? (n ? 1)d ? a1 ? (n ? 1)d ? 2a1 ? nd ? 2bn ?1 , 2 2
方法 2:? bn

?

?数列 ?bn ?是等差数列.

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【名师指引】判断或证明数列是等差数列的方法有: ⑴定义法: an ?1

? an ? d

( n ? N ? , d 是常数) ?

?a n ?是等差数列;

⑵中项法: 2a n ?1

? a n ? a n ?2 ( n ? N ? ) ? ?a n ?是等差数列;

⑶通项公式法: a n

? kn ? b ( k , b 是常数) ? ?a n ?是等差数列;
? An 2 ? Bn ( A, B 是常数, A ? 0 ) ? ?a n ?是等差数列.

⑷前 n 项和公式法: S n 【新题导练】 5.设 S n 为数列 ⑴求常数

?a n ?的前 n 项和, Sn ? pnan (n ? N ? ) , a1 ? a2 .

p 的值;

⑵求证:数列

?an ?是等差数列.
? pnan , a1 ? a2 ,? a1 ? pa1 ? p ? 1

【解析】⑴? S n ⑵由⑴知: S n 当n

? nan ,

? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? nan ? (n ? 1)an?1 ? (n ? 1)( an ? an ?1 ) ? 0 ,

? an ? an ?1 ? 0(n ? 2) ,?数列 ?an ?是等差数列.
考点 3 等差数列的性质
【例 5】⑴已知 S n 为等差数列 ⑵已知 S n 为等差数列

?a n ?的前 n 项和, a6 ? 100 ,则 S11 ?

; .

?a n ?的前 n 项和, Sn ? m, Sm ? n(n ? m) ,则 Sm?n ?

【解题思路】利用等差数列的有关性质求解. 【解析】⑴ S11

?

11(a1 ? a11 ) 11 ? 2a6 ? ? 11a6 ? 1100 ; 2 2
? An 2 ? Bn ,则

⑵方法 1:令 S n

? An 2 ? Bn ? m ? A( n 2 ? m 2 ) ? B ( n ? m ) ? m ? n . ? 2 ? Am ? Bm ? n

? n ? m ,? A(n ? m) ? B ? ?1 , ? S m?n ? A(m ? n) 2 ? B(m ? n) ? ?(m ? n) ;
方法 2:不妨设 m ? n

S m ? S n ? an ?1 ? an ?2 ? an ?3 ? ? ? am?1 ? am ?

(m ? n)( an ?1 ? am ) ? n ? m. 2

? a1 ? am?n ? an ?1 ? am ? ?2 ,
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? S m?n ?
方法 3:?

(m ? n)( a1 ? am?n ) ? ?(m ? n) ; 2
Sn ? ?a n ?是等差数列,? ? ? ? 为等差数列 ?n?

S ? S ?? S ?? ? ? ? n, n ?, ? m, m ?, ? m ? n, m?n ? 三点共线. m?? m?n? ? n ??

S m?n n m n ? ? ? m n ? m ? n m ? S m ? n ? ?( m ? n ) . m?n n
【名师指引】利用等差数列的有关性质解题,可以简化运算. 【新题导练】 6.含 2n ? 1 个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为( )

A.

2n ? 1 n

B.

n ?1 n

C.

n ?1 n

D.

n ?1 2n

【解析】 (本两小题有多种解法)? S奇

? a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a2 n ?1 ?

(n ? 1)( a1 ? a2 n ?1 ) 2

S偶 ? a 2 ? a 4 ? a6 ? ? ? a 2 n ?

S n ?1 n( a 2 ? a 2 n ) a1 ? a2 n ?1 ? a 2 ? a2 n ? 奇 ? , .?选 B. S偶 n 2
? a 7n ? 2 ,则 5 ? n?3 b5
.

7.设 S n 、 Tn 分别是等差数列

?a n ?、 ?a n ?的前 n 项和, S n
Tn

【解析】

a n S 2 n ?1 7(2n ? 1) ? 2 14 n ? 5 a 14 ? 5 ? 5 65 65 ? ? ? ? 5 ? ? ?填 . bn T2 n ?1 ( 2n ? 1) ? 3 2n ? 2 b5 2 ? 5 ? 2 12 12

考点 4 等差数列与其它知识的综合
【例 6】已知 S n 为数列

?a n ?的前 n 项和, Sn ? 1 n 2 ? 11 n ;数列 ?bn ?满足: b3 ? 11 ,
2 2

bn ?2 ? 2bn?1 ? bn ,其前 9 项和为 153 .
⑴求数列

?a n ?、 ?bn ?的通项公式;
?cn ?的前 n 项和,cn
? 6 k , 求使不等式 Tn ? 对 ?n ? N ? ( 2a n ? 11)( 2bn ? 1) 57

⑵设 Tn 为数列

都成立的最大正整数 k 的值. 【解题思路】 ⑴利用 a n 与 S n 的关系式及等差数列的通项公式可求; ⑵求出 Tn 后, 判断 Tn 的单调性. 【解析】⑴? S n

?

1 2 11 n ? n, 2 2

?当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 6 ;

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当n 当n

? 2 时, an ? S n ? S n?1 ?

1 2 11 1 11 n ? n ? (n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? n ? 5 2 2 2 2

? 1 时, 1 ? 5 ? 6 ? a1 ,? an ? n ? 5 ;
bn ? bn ?2 2
,?

? bn ?2 ? 2bn ?1 ? bn ? bn ?1 ?
则?

?bn ?是等差数列,设其公差为 d .

?b1 ? 2d ? 11 ? b1 ? 5, d ? 3 , ?9b1 ? 36 d ? 153

? bn ? 5 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 2 .
⑵? c n

?

6 6 ? ( 2a n ? 11)( 2bn ? 1) ?2( n ? 5) ? 11??2(3n ? 2) ? 1?

?

2 1 1 ? ? (2n ? 1)( 2n ? 1) 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ) ? 1? ? Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( 3 3 5 5 7 2n ? 1 2 n ? 1 2n ? 1

? n ? N ? ,? Tn 是单调递增数列. ?当 n ? 1 时, ?Tn ?min ? T1 ? 1 ? ? Tn ?
1 2 ? 3 3

k k 2 k 对 ?n ? N ? 都成立 ? ?Tn ?min ? ? ? ? k ? 38 57 57 3 57 ?所求最大正整数 k 的值为 37 .
【名师指引】本题综合考察等差数列、通项求法、数列求和、不等式等知识,利用了函数、方程思想, 这是历年高考的重点内容. 【新题导练】 8.已知 S n 为数列 ⑴求数列 ⑵数列

?a n ?的前 n 项和, a1 ? 3 , Sn Sn?1 ? 2an (n ? 2) .

?a n ?的通项公式;
? ak ?1 对任意不小于 k 的正整数都成立?若存在,求

?a n ?中是否存在正整数 k ,使得不等式 ak

最小的正整数 k ,若不存在,说明理由. 【解析】⑴当 n

? 2 时, Sn Sn?1 ? 2an ? Sn Sn ?1 ? 2( Sn ? Sn ?1 )
,且

?

1 1 1 ? ?? S n S n ?1 2

1 1 1 1 ? ,? ?a n ?是以 ? 为公差的等差数列,其首项为 . S1 3 3 2

?

1 1 1 5 ? 3n 6 ? ? (n ? 1) ? ? Sn ? S n S1 2 6 5 ? 3n

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?当 n ? 2 时, a n ?

1 18 S n S n ?1 ? 2 (3n ? 8)( 3n ? 5)

?3( n ? 1) 18 18 ? 18 当 n ? 1 时, ; ? ? a1 ,? ? ( n ? 2) (3 ? 8)( 3 ? 5) 10 ? ? (3n ? 8)( 3n ? 5)
⑵ ak

? ak ?1 ?

18 2 5 8 ? 0 ,得 ? k ? 或 k ? , (3k ? 8)( 3k ? 5)( 3k ? 2) 3 3 3

?当 k ? 3 时, ak ? ak ?1 恒成立,所求最小的正整数 k ? 3.
★ 抢 分 频 道 ★ 基础巩固训练
1.(2009 广雅中学)设数列 A. S10

?an ? 是等差数列,且 a2 ? ?8 , a15 ? 5 , S n 是数列 ?an ? 的前 n 项和,则
B. S10

? S11

? S11

C. S 9

? S10

D. S 9

? S10

a2 ? a16 a2 ? a15 ? d (a ? d ) ? a15 ? , S10 ? 2 ? S9 ? S10 2 2 2 5 ? ( ?8) 13 69 另法:由 a2 ? ?8 , a15 ? 5 ,得 d ? ,计算知 S9 ? S10 ? , a1 ? a 2 ? d ? 15 ? 8 7 7
【解析】C. S 9

?

2.在等差数列

?a n ?中, a5 ? 120 ,则 a2 ? a4 ? a6 ? a8 ?
a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? 4a5 ? 480 .

.

【解析】 480 3.数列

?a n ?中, an ? 2n ? 49 ,当数列 ?a n ?的前 n 项和 S n 取得最小值时, n ?
由 an

.

【解析】 24 4.已知等差数列

? 2n ? 49 知 ?a n ?是等差数列, a n ? 0 ? n ? 25. ? n ? 24.
.

?a n ?共有 10 项,其奇数项之和为 10 ,偶数项之和为 30 ,则其公差是
? 20 ? d ? 4.
.

【解析】 4 已知两式相减,得 5d 5.设数列

?an ? 中, a1 ? 2, an?1 ? an ? n ? 1 ,则通项 an ?

1 ,也可以用归纳—猜想—证明的方法. n(n ? 1) ? 1 利用迭加法(或迭代法) 2 6.从正整数数列 1,2,3,4,5, ? 中删去所有的平方数,得到一个新数列,则这个新数列的第 1964 项是 【解析】 2008
【解析】

.

综合拔高训练
7.(2009 广雅中学)已知等差数列

?an ? 中, a2 ? ?20, a1 ? a9 ? ?28 .

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⑴求数列 ⑵若数列

?an ? 的通项公式;
?bn ? 满足 an ? log 2 bn ,设 Tn ? b1b2 ?bn ,且 Tn ? 1 ,求 n 的值.

【解析】⑴设数列

?an ? 的公差为 d ,则 ?

?a1 ? d ? ?20 ? a1 ? ?22, d ? 2 ?2a1 ? 8d ? ?28

? an ? ?22 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 24
⑵? log 2

bn ? 2n ? 24 ,? bn ? 2 2 n ?24

? Tn ? b1b2 b3 ? bn ? 2 2(1?2?3???n )?24n ? 2 n ( n ?1)?24n
令 n(n ? 1) ? 24n ? 0 ,得 n 8.已知 S n 为等差数列

? 23 ∴当 n ? 23 时, Tn ? 1.

?a n ?的前 n 项和, a1 ? 25, a4 ? 16.

⑴当 n 为何值时, S n 取得最大值; ⑵求 a 2

? a4 ? a6 ? a8 ? ? ? a20 的值;

⑶求数列

?a ?的前 n 项和 T .
n
n

【解析】⑴?等差数列

?a n ?中, a1 ? 25, a4 ? 16. ?公差 d ? a4 ? a1
4 ?1

? ?3

? a n ? ?3n ? 28 ,令 an ? ?3n ? 28 ? 0 ? n ? 9 ?当 n ? 9 时, an ? 0 ;当 n ? 9 时, an ? 0 .?当 n ? 9 时, S n 取得最大值; ⑵?数列 ?a n ?是等差数列 10(a2 ? a20 ) ? 10a11 ? 10(25 ? 3 ? 9) ? ?20 ; ? a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? ? ? a20 ? 2 ⑶由⑴得,当 n ? 9 时, a n ? 0 ;当 n ? 9 时, a n ? 0 . ? Tn ? a1 ? a2 ? ? ? a9 ? (a10 ? a11 ? ? ? an ) ? 2S9 ? S n
3 53 ? ? 3 ? 2(9 ? 25 ? 36 ? 3) ? ?25n ? n(n ? 1)? ? n 2 ? n ? 234 2 2 ? ? 2
9.(2009 执信中学)已知数列 ⑴证明:数列 ⑵求数列 ⑶若数列

?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 3, an?2 ? 3an?1 ? 2an (n ? N * ).

?an?1 ? an ? 是等比数列;

?an ? 的通项公式;
?bn ? 满足 4b ?14b ?1...4b ?1 ? (an ? 1)b (n ? N * ), 证明 ?bn ? 是等差数列.
1 2 n n

【解析】⑴证明:? an ? 2

? 3an ?1 ? 2an ,
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? an ?2 ? an ?1 ? 2(an ?1 ? an ) ,? a1 ? 1, a2 ? 3 ,?

a n ?2 ? a n ?1 ? 2( n ? N ? ) a n ?1 ? a n

??an ?1 ? an ? 是以 a2 ? a1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列。
⑵解:由(I)得 an ?1 ? an

? 2n (n ? N * ),

? an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ... ? (a2 ? a1 ) ? a1

? 2n ?1 ? 2n ? 2 ? ... ? 2 ? 1 ? 2n ? 1(n ? N * ).
⑶证明:? 4 1
b ?1 b2 ?1

4

...4bn ?1 ? (an ? 1)bn , ? 4(b1 ?b2 ?...?bn )?n ? 2nbn ,
① ②

? 2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ) ? n] ? nbn ,

2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ? bn ?1 ) ? (n ? 1)] ? (n ? 1)bn ?1.

②-①,得 2(bn ?1 ? 1) ? (n ? 1)bn ?1 ? nbn , 即, (n ? 1)bn ?1 ? nbn

? 2 ? 0.



nbn? 2 ? (n ? 1)bn ?1 ? 2 ? 0.
④-③,得 nbn ? 2

④ 即, bn ? 2

? 2nbn ?1 ? nbn ? 0,

? 2bn?1 ? bn ? 0,

? bn ? 2 ? bn ?1 ? bn ?1 ? bn (n ? N * ), ??bn ? 是等差数列.
10.(2008 北京)数列 ⑴当 a 2

?a n ?满足 a1 ? 1, an?1 ? (n 2 ? n ? ? )an (n ? 1,2, ?) , ? 是常数.

? 1 时,求 ? 及 a 3 的值; ⑵数列 ?a n ?是否可能为等差数列?若可能,求出它的通项公式;若不可能,说明理由; ⑶求 ? 的取值范围,使得存在正整数 m ,当 n ? m 时总有 a n ? 0 .
【解析】⑴由于 a1 所以当 a 2 由 a1

? 1, an ?1 ? (n 2 ? n ? ? )an (n ? 1,2, ?) ,且 a1 ? 1 ,

? 1 时,得 ? 1 ? 2 ? ? , 故 ? ? 3 .从而 a3 ? (2 2 ? 2 ? 3) ? ( ?1) ? ?3 . ⑵数列 ?a n ?不可能为等差数列.证明如下:

? 1 , an ?1 ? (n 2 ? n ? ? )an 得 a2 ? 2 ? ? , a3 ? (6 ? ? )( 2 ? ? ), a4 ? (12 ? ? )( 6 ? ? )( 2 ? ? ).

若存在 ? ,使

(5 ? ? )( 2 ? ? ) ? 1 ? ? ? ? ? 3. 于是 a2 ? a1 ? 1 ? ? ? ?2, a4 ? a3 ? (11 ? ? )( 6 ? ? )( 2 ? ? ) ? ?24.
这与

?a n ?为等差数列,则 a3 ? a2 ? a2 ? a1 ,即

?a n ?为等差数列矛盾,所以,对任意 ? , ?a n ?都不可能是等差数列.
n

⑶记 bn

? n 2 ? n ? ? ( n ? 1,2, ?) 根据题意可知, b1 ? 0 且 bn ? 0 ,即 ? ? 2 且

? ? n 2 ? n(n ? N ? ) ,这时总存在 n? ? N ? ,满足:当 n ? n? 时,b >0;当 n ? n? ? 1 时,bn ? 0.
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? bn a n 及 a1 ? 1 ? 0 可知,若 n? 为偶数,则 an? ? 0 ,从而当 n ? n? 时 an ? 0 ;
?

若 n ? 为奇数,则 a n

? 0 ,从而当 n ? n? 时 an ? 0.

因此“存在 m ? N ? ,当 n ? m 时总有 a n 记 n?

? 0 ”的充分必要条件是: n? 为偶数,

?b ? ( 2k ) 2 ? 2k ? ? ? 0 ? 2k (k ? 1,2, ?) ,则 ? 满足: ? 2 k 2 ?b2 k ?1 ? ( 2k ? 1) ? 2k ? 1 ? ? ? 0
2

故 ? 的取值范围是 4k

? 2k ? ? ? 4k 2 ? 2k (k ? N ? ).

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