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三角函数


锐角三角函数

任意角三角函数

图形

直角三角形

任意角三角函数

正弦(sin)

余弦 (cos) 正切(tan 或 tg) 余切(cot 或 ctg) 正割 (sec)

余割(csc)

2 函数关系

/>倒数关系: ; 商的关系: ; .

; 平方关系: ;







4 诱导公式
公式一:设 α 为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:

公式二:设 α 为任意角,π+α 与 α 的三角函数值之间的关系:

公式三:任意角-α 与 α 的三角函数值之间的关系:

公式四:π-α 与 α 的三角函数值之间的关系:

公式五:2π-α 与 α 的三角函数值之间的关系:

公式六:π/2± α 及 3π/2± α 与 α 的三角函数值之间的关系:
sin(π/2+α)= cosα sin(π/2-α)= cosα sin(3π/2+α)= -cosα sin(3π/2-α)= -cosα cos(π/2+α)= -sinα cos(π/2-α)= sinα cos(3π/2+α)= sinα cos (3π/2-α) = -sinα tan(π/2+α)= -cotα tan(π/2-α)= cotα tan (3π/2+α) = -cotα tan(3π/2-α)= cotα cot(π/2+α)= -tanα cot(π/2-α)= tanα cot(3π/2+α)= -tanα cot (3π/2-α) = tanα,一般 不用 诱导公式记背诀窍:奇变偶不变,符号看象限。

5 基本公式
和差角公式

证明正弦、余弦的和差角公式

证明正切的和差角公式

证明如图,负号的情况只需要用-β 代替 β 即可。 cot (α+β )推导只需把角 α 对边设为 1,过程与 tan (α+β)相同。

和差化积

口诀:正加正,正在前,余加余,余并肩 正减正,余在前,余减余,负正弦

积化和差

6 倍角公式
二倍角

三倍角 三倍角公式推导 sin(3a)→3sina-4sin^3a =sin(a+2a) =sin2acosa+cos2asina =2sina(1-sin^2a)+(1-2sin^2a)sina =3sina-4sin^3a cos3a→4cos^3a-3cosa =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina

=(2cos^2a-1)cosa-2(1-cos^2a)cosa =4cos^3a-3cosa sin3a→4sinasin(60° +a)sin(60° -a) =3sina-4sin^3a =4sina(3/4-sin^2a) =4sina[(√3/2)-sina][(√3/2)+sina] =4sina(sin60° +sina)(sin60° -sina) =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60° -a)/2]*2sin[(60° -a)/2]cos[(60° +a)/2] =4sinasin(60° +a)sin(60° -a) cos3a→4cosacos(60° -a)cos(60° +a) =4cos^3a-3cosa =4cosa(cos^2a-3/4) =4cosa[cos^2a-(√3/2)^2] =4cosa(cosa-cos30° )(cosa+cos30° ) =4cosa*2cos[(a+30° )/2]cos[(a-30° )/2]*{-2sin[(a+30° )/2]sin[(a-30° )/2]} =-4cosasin(a+30° )sin(a-30° ) =-4cosasin[90° -(60° -a)]sin[-90° +(60° +a)] =-4cosacos(60° -a)[-cos(60° +a)] =4cosacos(60° -a)cos(60° +a) tan3a→tanatan(60° -a)tan(60° +a) 上述两式相比可得 tan3a=tanatan(60° -a)tan(60° +a) 三倍角 sin3α=3sinα-4sin^3 α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)

cos3α=4cos^3 α-3cosα=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3α=tan(α)*(-3+tan(α)^2)/(-1+3*tan(α)^2)=tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 其他多倍角 四倍角 sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)) cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4) tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4) 五倍角 sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinA cos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosA tan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4) n 倍角 根据利莫夫定理,(cosθ+ i sinθ)^n = cos(nθ)+ i sin(nθ) 为方便描述,令 sinθ=s,cosθ=c 考虑 n 为正整数的情形: cos(nθ) + i sin(nθ) = (c+ i s)^n = C(n,0)*c^n + C(n,2) *c^(n-2) *(i s)^2 + C(n,4) *c^(n4)*(i s)^4 + ... …+C(n,1)*c^(n-1)*(i s)^1 + C(n,3)*c^(n-3)*(i s)^3 + C(n,5)*c^(n-5) *(i s)^5 + ... …=>;比较两边的实部与虚部 实部: cos(nθ) =C(n,0)*c^n + C(n,2) *c^(n-2) *(i s)^2 + C(n,4) *c^(n-4) *(i s)^4 + ... …i* 虚部:i*sin(nθ)=C(n,1)*c^(n-1)*(i s)^1 + C(n,3)*c^(n-3)*(i s)^3 + C(n,5)*c^(n-5) *(i s)^5 + ... … 对所有的自然数 n: ⒈ cos(nθ): 公式中出现的 s 都是偶次方, 而 s^2=1-c^2(平方关系), 因此全部都可以改成以 c(也 就是 cosθ)表示。

⒉ sin(nθ): ⑴ 当 n 是奇数时:公式中出现的 c 都是偶次方,而 c^2=1-s^2(平方关系),因此全部 都可以改成以 s(也 就是 sinθ)表示。 ⑵ 当 n 是偶数时:公式中出现的 c 都是奇次方,而 c^2=1-s^2(平方关系),因此即使 再怎么换成 s,都至少会剩 c(也就是 cosθ)的一次方无法消掉。 例. c^3=c*c^2=c*(1-s^2),c^5=c*(c^2)^2=c*(1-s^2)^2)

半角公式

(正负由

所在的象限决定)

万能公式

7 辅助角公式

asin α+bcos α=√(a^2+b^2)sin(α+φ),其中 tan φ=b/a 若在同一个三角形中: asinA+bcosB=(根号下 a 方+b 方)× (((根号下 a 方+b 方)分之 a×sinA)+(根号 下(a 方+b 方)分之 b×cosB)) ) 因为在一个三角形内 有根号下 a 方+b 方分之 a=cosC 则根号下 a 方+b 方分之 b=sinC asinA+bcosB=根号下 a 方+b 方(sinAcosC+cosBsinC)=根号下 a 方+b 方×sin(A+C)

8 三角形定理
正弦定理
正弦定理(1):在△ABC 中,a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R 其中,R 为△ABC 的外接圆的半径。 正弦定理(2):在△ABC 中,S=?a*b*sinC=?b*c*sinA=?a*c*sinB 其中,S 为△ABC 的面积。

余弦定理
余弦定理:在△ABC 中, a^2=b^2+c^2-2bc· cosA b^2 = a^2 + c^2 - 2ac· cosB c^2=b^2+a^2-2ab· cosC cosA=c^2+b^2-a^2/2bc cosB=a^2+c^2-b^2/2ac cosC=a^2+b^2-c^2/2ab

3 特殊值
sin30°=1/2 cos30°=√3/2 tan30°=√3/3 cot30°=√3 sin37°=0.6 cos37°=0.8 tan37°=3/4 cot37°=4/3 sin45°=√2/2 cos45°=√2/2 tan45°=1 cot45°=1 sin60°=√3/2 cos60°=1/2 tan60°=√3 cot60°=√3/3 sin18°=(√5-1)/4 sin15°=(√6-√2)/4 cos15°=(√6+√2)/4 tan15°=2-√3 sin75°=(√6+√2)/4 Cos75°=(√6-√2)/4 tan75°=2+√3


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