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浙江省五校2014届高三第一次联考数学(理)试题


2013 学年浙江省第一次五校联考

数学(理科)试题卷
本试题卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分, 考试时间 120 分钟。

选择题部分(共 50 分)
参考公式: 如果事件 A, B 互斥, 那么 P(A+B)=P(A)+ P(B) 如果事件 A, B 相互独立,那么 P(A·B)=P(A)· P(B)

如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p, 那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 Pn(k)=C n pk (1-p)n-k (k = 0,1,2,…, n)
B B P P P P

棱柱的体积公式 V=Sh 其中 S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱的高 棱锥的体积公式 V=
1 3

Sh

其中 S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的高 球的表面积公式 S = 4πR2
P P

k

棱台的体积公式
V = 1 3
B

h ( S1 + S1S 2 + S 2 )

球的体积公式
4 3

其中S1, S2分别表示棱台的上、下底面积,
B B B

V=

πR3
P P

h 表示棱台的高

其中 R 表示球的半径

一、选择题: 本大题共 10 小题, 每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的。 1. 已知集合 P = ? y y = ( ) , x > 0 ? , Q = x y = 1g (2 x ? x ) , 则 (CR P ) I Q 为(
x 2

? ?

1 2

? ?

{

}



A. [1, 2)

B. (1,+∞ )

C. [ 2,+∞ ) )

D. [1,+∞ )

2. “ a < 2 ”是“对任意实数 x , x + 1 + x ? 1 ≥ a 成立”的( A.充要条件 3. 函数 y= 2sin( A. x = ? B.必要不充分条件

C.充分不必要条件

D.既不充分也不必要条件 ) D. x =

π π

x π x ? ) sin( + ) 的图象的一条对称轴为( 4 2 4 2
B. x =

π

2

2

C. x = π

3π 2

4. 在 ΔABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2ccos2 状是( )

A =b+c , 则 ΔABC 的形 2

A.正三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形

D.等腰直角三角形

5.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a1a5 a9 = 15 ,且 ( ) A. 27 B. 24

1 1 1 3 + + = ,则 S9 = a1a5 a5 a9 a9 a1 5
D. 18

C. 21

6. 用 0,1,2,3,4 这五个数字组成无重复数字的五位数,并且两个奇数数字之间恰有一个 偶数数字,这样的五位数有( A.12 个 ) B.28 个 C.36 个 D.48 个

?x ≥ 1 a+b+c ? =( 7. 已知 x , y 满足 ? x + y ≤ 4 ,且 2x + y 的取值范围是 [1, 7] ,则 a ?ax + by + c ≤ 0 ?
A.1 B.2 C.-1 D.-2



8. 已知 A、B 是单位圆上的两点, O 为圆心,且 ∠ AOB = 1200 , MN 是圆 O 的一条直径,点

uuuu uuur r uuur uuu r uuu r C 在圆内,且满足 OC = λ OA + (1 ? λ )OB (0 < λ < 1) ,则 CM ? CN 的取值范围是(
A. [?



1 ,1) 2

B. [ ?1,1)

C. [?

3 , 0) 4

D. [ ?1, 0)

9.已知函数 f ( x) =

1 3 1 2 m+n x + mx + x 的两个极值点分别为 x1 , x2 ,且 0 < x1 < 1 < x2 ,点 3 2 2

P ( m, n) 表示的平面区域内存在点 ( x0 , y0 ) 满足 y0 = log a ( x0 + 4) ,则实数 a 的取值范围是
( ) A. (0, ) U (1,3) 10. 对任意实数 x > 1 , y > 为( ) A. 2 B. 4 C.

1 2

B. (0,1) U (1, 3)

C. ( ,1) U (1,3]

1 2

D. (0,1) U [3, +∞ )

1 x2 4 y2 ,不等式 2 + 2 ≥ 1 恒成立,则实数 a 的最大值 2 a (2 y ? 1) a ( x ? 1)

14 2

D. 2 2
? 开始?

非选择题部分 (共 100 分)
二、 填空题: 本大题共 7 小题, 每小题 4 分, 共 28 分。 11.若复数 z = ( x ? 1) + ( x ? 1)i ( x ∈ R , i 为虚数单位)为纯虚数,
2

S=0? k=1?

则 x + i 2013 的值为___▲____
U U

否?
U U

12.执行右图程序,其结果是____▲____
输出 S 结束? ]?

k<2013?? 是 S=1+1/[k(k+1)

13. 若对任意的实数 x ,有

x 4 = ao + a1 ( x + 2) + a2 ( x + 2) 2 + a3 ( x + 2)3 + a4 ( x + 2) 4 ,
则 a3 的值为____▲____
U U

1 1 1 1 15 9 , a6 a7 = ? ,则 + + + =▲ a5 a6 a7 a 8 8 8 uuu r uuu r 15. 已知 O (0, 0) ,A(cos α , sin α ) ,B (cos β , sin β ) ,C (cos γ , sin γ ) , 若 kOA + (2 ? k )OB uuur r +OC = 0 (0 < k < 2) ,则 cos(α ? β ) 的最大值是 ▲
14.在等比数列 {an } 中,若 a5 + a6 + a7 + a8 =
U U U U

2 2 16. 设平面点集 M = {( x, y ) ( y ? x )( y ? ) > 0}, 其中 k > 0 , N = {( x, y ) x + y < 4}, 则

k x

M I N 所表示的平面图形的面积为____▲____
U U

17. 若实数 x, y 满足 2 x + 2 y = 4 x + 4 y ,则 8 x + 8 y 的取值范围是____▲____
U U

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) = ( 3 sin ω x + cos ω x ) cos ω x ?

1 ,其中 ω > 0 , f ( x ) 的最小正周期为 2

4π .
(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调递增区间;

b c 且满足 (2a ? c ) cos B = b cos C , (Ⅱ) ΔABC 中, 角 A、B、C 的对边分别是 a 、 、 , 在
求函数 f ( A) 的取值范围.

19. (本小题满分 14 分) 设向量 p = ( x,1), q = ( x + a, 2), ( x ∈ R ), 函数 f ( x ) = p ? q . (Ⅰ)若不等式 f ( x ) ≤ 0 的解集为 [1, 2] ,求不等式 f ( x) ≥ 1 ? x 2 的解集; (Ⅱ)若函数 g ( x) = f ( x) + x + 1 在区间 (1, 2) 上有两个不同的零点, 求实数 a 的取值范
2

u r

r

u r r

围.

20. (本小题满分 14 分) 甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛: 第一局由甲、乙参加而丙轮空,以后每一 局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛, 而前一局的失败者轮空. 比赛按这种规则一直进行到 其中一人连胜两局或打满 6 局时停止. 设在每局中参赛者胜负的概率均为 互独立. 求: (Ⅰ)打满 4 局比赛还未停止的概率; (Ⅱ)比赛停止时已打局数 ξ 的分布列与期望 Eξ .

1 , 且各局胜负相 2

21. (本小题满分 14 分)
2 正项数列 an } 中, a1 = 4 ,其前 n 项和 S n 满足: S n ? ( an +1 + n ? 1) S n ? (an +1 + n) = 0 .

{

(Ⅰ)求 an 与 S n ; (Ⅱ)令 bn =

2n ?1 + 1 2 , 数列{ bn }的前 n 项和为 Tn . 证明: 对于任意的 n ∈ N * ,都有 (3n ? 2)an

Tn <

5 . 12

22. (本小题满分 16 分)

对于定义在 D 上的函数 y = f ( x ) , 若存在 x0 ∈ D , 对任意的 x ∈ D , 都有 f ( x ) ≥ f ( x0 )

或者 f ( x ) ≤ f ( x0 ) ,则称 f ( x0 ) 为函数 f ( x ) 在区间 D 上的“下确界”或“上确界”. (Ⅰ)求函数 f ( x) = ln(2 ? x) + x 在 [0,1] 上的“下确界”;
2

(Ⅱ)若把“上确界”减去“下确界”的差称为函数 f ( x ) 在 D 上的“极差 M ”, 试求函数

F ( x) = x x ? 2a + (a > 0) [1 , 2] 上的“极差 M ”; 3 在
(Ⅲ)类比函数 F ( x ) 的“极差 M ”的概念, 请求出 G ( x, y ) = (1 ? x)(1 ? y ) + 在 D = {( x, y ) x, y ∈ [0,1]} 上的“极差 M ”.

x y + 1+ y 1+ x

2013 学年浙江省第一次五校联考 数学(理科)参考答案
一、选择题: 本大题共 10 小题, 每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的。 1. A 2.C 3. C 12 . 1+ 4.B 5.A 6. B 7. D 14 . ? 8. C 9.B 10. D 16. 3π 二、 填空题: 本大题共 7 小题, 每小题 4 分, 共 28 分。 11 . ?1 + i 17. ( 2] 1, 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18. (本小题满分 14 分) 解: f ( x ) =

1 2012 ? 2013

13. -8

5 3

15. ?

1 2

3 sin ω x ? cos ω x + cos 2 ω x ?

1 2
……………………………

=
3分

π 3 1 sin 2ω x + cos 2ω x = sin(2ω x + ) 6 2 2

(Ⅰ) Q

x π 2π 1 = 4π ∴ ω = , f ( x ) = sin( + ) . 2 6 2ω 4 π x π π 4π 2π 由 2 k π ? ≤ + ≤ 2 kπ + ( k ∈ Z ) 得: 4kπ ? ≤ x ≤ 4 kπ + 3 3 . 2 2 6 2
的 单 调 递 增 区 间 是

∴ f ( x)

[4kπ ?

(Ⅱ)由正弦定理: (2 sin A ? sin C ) cos B = sin B ? cos C

4π 2π , 4 kπ + ]( k ∈ Z ) 3 3

……………………………7 分

2 sin A cos B = sin( B + C ) Q sin( B + C ) = sin(π ? A) = sin A > 0 1 π ,B= , ∴ cos B = 2 3


…………………………11

∴ 0< A<

2π π A π π , < + < 3 6 2 6 2

, ∴ f ( A) ∈ ( ,1) .

1 2

………………………… 14

分 19. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ) f ( x ) = p ? q = x ( x + a ) + 2 = x + ax + 2 ,不等式 f ( x ) ≤ 0 的解集为 [1, 2] ,
2

u r r



a = ?3



于 ……………………………3 分



f ( x) = x 2 ? 3 x + 2 .

由 f ( x) ≥ 1 ? x 得,1-x2≤x2-3x+2,解得x≤
2
P P P P

1 或x≥1, 2
……………………………7

所以, 不等式 f ( x) ≥ 1 ? x 的解集为{x|x≤
2

1 或 x≥1}. 2

分 (Ⅱ) g ( x) = 2 x + ax + 3 在区间 (1, 2) 上有两个不同的零点,则
2

? g (1) > 0, ? g (2) > 0, ? ? ……………10 分 a ? ?1 < ? 4 < 2, ? 2 ? a ? 24 > 0, ?


?a + 5 > 0, ?2a + 11 > 0, ? 即? 得:?5 < a < ?2 6 . ?8 < a < ?4, ? ?a < ?2 6或a > 2 6, ?
的 取 值 范 围 是

a

(?5, ?2 6) .
20. (本小题满分 14 分)

……………………………14 分

解:令 Ak , Bk , Ck 分别表示甲、乙、丙在第 k 局中获胜. (Ⅰ)由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知,打满 4 局比赛还未 停止的概率为 分)

P ( A1C2 B3 A4 ) + P ( B1C2 A3 B4 ) =

(Ⅱ) ξ 的所有可能值为 2,3,4,5,6,且

1 1 1 + = . ……………………6 分 (各 3 24 24 8

P (ξ = 2) = P ( A1 A2 ) + P ( B1 B2 ) =

1 1 1 + 2 = , 2 2 2 2 1 1 1 P (ξ = 3) = P ( A1C2C3 ) + P ( B1C2C3 ) = 3 + 3 = . 2 2 4 1 1 1 P (ξ = 4) = P ( A1C2 B3 B4 ) + P ( B1C2 A3 A4 ) = 4 + 4 = . 2 2 8 1 1 1 P (ξ = 5) = P ( A1C2 B3 A4 A5 ) + P ( B1C2 A3 B4 B5 ) = 5 + 5 = , 2 2 16 1 1 1 P (ξ = 6) = P ( A1C2 B3 A4C5 ) + P ( B1C2 A3 B4C5 ) = 5 + 5 = , 2 2 16

……………………11

分 故分布列为

ξ
. P

2

3

4

5

6

1 2

1 4

1 8

1 16

1 1 1 1 1 47 . ∴ Eξ = 2 × + 3 × + 4 × + 5 × + 6 × = 2 4 8 16 16 16
21. (本小题满分 14 分)

……………………………14 分

2 解: (Ⅰ)由 S n ? ( an +1 + n ? 1) S n ? ( an +1 + n) = 0 ,得 [ Sn ? (an +1 + n) ] ( Sn + 1) = 0 .

由于 {an } 是正项数列,所以 S n > 0, S n = an +1 + n . 于是,当 n ≥ 2 时, an = S n ? S n ?1 = an +1 + n ? an ? (n ? 1) . 所以 an +1 = 2an ? 1, an +1 ? 1 = 2( an ? 1), ( n ≥ 2 ) 分 又 a1 = S1 = a2 + 1, a1 = 4 ,∴ a2 = 3 ∴ an ? 1 = ( a2 ? 1)2 n ? 2 ,∴ an = 2 n ?1 + 1, ( n ≥ 2) 综 上 , 数 列 ……………………………4

{an }







? 4, n =1 ? an = ? n ?1 ? 2 + 1, n ≥ 2 ?

.

S n = 2n + n + 1

……………………………7 分

(Ⅱ) 证明:由于 b1 = 分

1 1 , bn = (n ≥ 2) , 2 3n ? 2

……………………………9

则当 k ≥ 2 时,有 bk =
2

1 1 1 1 1 < = ( ? ), 2 (3k ? 2) (3k ? 4)(3k ? 1) 3 3k ? 4 3k ? 1

所以,当 n ≥ 2 时,有

Tn =

1 n 2 1 1? 1 1 1 1 1 1 ? + ∑ bk < + ?( ? ) + ( ? ) + … + ( ? ) 4 k =2 4 3? 2 5 5 8 3n ? 4 3n ? 1 ? ? 1 1 1 1 1 1 1 5 = + ( ? )< + ? = . 4 3 2 3n ? 1 4 3 2 12
又 n = 1 时, T1 = b12 = 所 以 , 对

1 5 < , 4 12
于 任 意 的

n∈ N*

,





Tn <

5 . 12

…………………………14 分

22. (本小题满分 16 分) 解:Ⅰ)令 f ′( x ) = (

显然, x1 ∈ [0,1],列表有: x 0

?1 2 2 则 + 2 x = 0 , 2 x 2 ? 4 x + 1 = 0 ,∴ x1 = 1 ? < 1 < x2 = 1 + 2? x 2 2
(0, x1) B B

f ( x) f ( x)

/

x1 0
B B

(x1, 1) +
B B

1 1

ln 2



极小值



所以, f ( x ) 在 [0,1] 上的“下确界”为 f ( x1 ) = ln(1 + (Ⅱ)①当 0 < a ≤

2 3 ) + ? 2 . ………………4 分 2 2

1 时, F ( x) max = F (2) , F ( x) min = F (1) , 2

极差 M = F (2) ? F (1) = 3 ? 2a ; ②当

1 5 < a ≤ 时, F ( x) max = F (2) , F ( x) min = F (2a) , 2 6

极差 M = F ( a ) ? F (2a ) = 4 ? 4a ;

5 < a ≤ 1 时, F ( x) max = F (1) ,F ( x) min = F (2a) , 极差 M = F ( a ) ? F (2) = 2 a ? 1 ; 6 3 F ( x) min = F (2) , ④当 1 < a < 时, F ( x ) max = F ( a ) 2
③当 极差 M = F (a ) ? F (2) = (a ? 2) 2 ⑤当 ;

3 ≤ a ≤ 2 时,F ( x) max = F (a ) ,F ( x) min = F (1) , 极差 M = F ( a ) ? F (1) = ( a ? 1) 2 ; 2

⑥当 a > 2 时, F ( x) max = F (2) , 极差 M = F (2) ? F (1) = 2a ? 3 .

F ( x) min = F (1) ,

1 ? ?3 ? 2a, 0<a ≤ 2 ? ? 4 ? 4 a, 1 < a ≤ 5 ? 2 6 ? ? 2a ? 1, 5 < a ≤ 1 ? 综上所述: M = ? 6 ? 3 2 ?(a ? 2) , 1 < a ≤ 2 ? ? 3 2 ?(a ? 1) , 2 < a ≤ 2 ? ? 2a ? 3, a > 2 ?
(Ⅲ) 因为 G ( x, y ) =

………………10 分(每一项得 1 分)

xy (1 ? xy ) 1 + x + y + x2 y 2 = 1? ≤ 1, (1 + x)(1 + y ) (1 + x)(1 + y )
………………12 分

当 xy = 0 或 xy = 1 时等号成立,所以 G ( x, y ) 的最大值为 1. 令T =

xy (1 ? xy ) , t = xy ,则 (1 + x)(1 + y )

T=

xy (1 ? xy ) xy (1 ? xy ) t 2 (1 ? t 2 ) t 2 (1 ? t ) ≤ = = , t ∈ [0,1]. 1 + x + y + xy 1 + 2 xy + xy (1 + t ) 2 1+ t

令 g (t ) =

t 2 (1 ? t ) ,则 1+ t

(2t ? 3t 2 )(1 + t ) ? (t 2 ? t 3 ) g ′(t ) = = (1 + t ) 2
令 g ′(t ) = 0 ,得 t =

?2t (t ?

?1 ? 5 ?1 + 5 )(t ? ) , 2 2 2 (1 + t )

?1 + 5 g ( t ) 是 的极大值点,也是 g (t ) 的最大值点, 2

∴ g (t ) ≤ g (

?1 + 5 5 5 ? 11 5 5 ? 11 ,从而 T ≤ , )= 2 2 2 5 5 ? 11 13 ? 5 5 = 2 2
………………14 分

所以

G ( x, y ) ≥ 1 ?

当x= y =

?1 + 5 13 ? 5 5 时等号成立,所以 G ( x, y ) 的最小值为 .………15 分 2 2 5 5 ? 11 2
………………………………16 分

由此 M =


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