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北师大版高中数学选修2-1教案:2-3向量的坐标表示和空间向量基本定理

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2.3 向量的坐标表示和空间向量基本定理 1.了解空间向量基本定理及其意义,掌握空间向量线性运算及数量积的坐标表示.(重点) 2.掌握空间向量的标准正交分解及其坐标表示,会求向量的坐标.(重点) 3.理解空间中的任何一个向量都可以用三个不共面的向量来表示,能够在具体问题中适当地选 取基底.能够利用空间向量的坐标运算求空间向量的长度与夹角。(难点) 知识点一 空间向量的标准正交分解与坐标表示 在给定的空间直角坐标系中,i,j,k 分别为 x 轴,y 轴,z 轴正方向上的单位向量,对于空间任 意向量 a,存在唯一一组三元有序实数(x,y,z),使得 a=xi+yj+zk.我们把 a=xi+yj+zk 叫作 a 的标准正交分解,把 i,j,k 叫作标准正交基.(x,y,z)叫作空间向量 a 的坐标,记作 a =(x,y,z),a=(x,y,z)叫作向量 a 的坐标表示.在空间直角坐标系中,点 P 的坐标为(x,y, → z),向量OP的坐标也是(x,y,z). 知识点二 投影 (1)一般地,若 b0 为 b 的单位向量,称 a·b0=|a|cos〈a,b〉为向量 a 在向量 b 上的投影.如 图所示,向量 a 在向量 b 上的投影为 OM=|a|cos〈a,b〉 . (2)向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影. 知识点三 空间向量基本定理 (1)如果向量 e1、e2、e3 是空间三个不共面的向量,a 是空间任一向量,那么存在唯一一组实数 λ 1、λ 2、λ 3,使得 a=λ 1e1+λ 2e2+λ 3e3. (2)空间中不共面的三个向量 e1、e2、e3 叫作这个空间的一个基底,a=λ 1e1+λ 2e2+λ 3e3 表示向 量 a 关于基底 e1、e2、e3 的分解,e1、e2、e3 都叫作基向量. (3)当向量 e1、e2、e3 两两垂直时,就得到这个向量的一个正交分解,当 e1=i,e2=j,e3=k 时, a=λ 1e1+λ 2e2+λ 3e3 叫作 a 的标准正交分解. 知识点四 空间向量运算的坐标表示 1.空间向量运算的坐标表示 设 a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则: (1)a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2),即,空间两个向量和的坐标等于它们对应坐标的和. (2)a-b=(x1-x2,y1-y2,z1-z2),即,空间两个向量差的坐标等于它们对应坐标的差. (3)λ a=(λ x1,λ y1,λ z1)(λ ∈R),即,实数与空间向量数乘的坐标等于实数与向量对应坐标 的乘积. (4)设 a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则 a·b=x1x2+y1y2+z1z2.即,空间两个向量的数量积 等于它们对应坐标的乘积之和. → 2.空间向量的坐标与起点和终点坐标的关系:若 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则AB=(x2-x1, y2-y1,z2-z1). 知识点五 空间向量平行、垂直、长度、夹角的表示 设 a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则 (1)若 b≠0,则 a∥b?a=λ b?x1=λ x2,y1=λ y2,z1=λ z2(λ ∈R); (2)a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2+z1z2=0. |a|= a = x1+y1+z1. cos〈a,b〉= 2 2 2 2 a·b x1x2+y1y2+z1z2 = 2 .(a≠0,b≠0) 2 2 2 2 2 |a||b| x1+y1 +z1 x2+y2+z2 考点一 空间向量的坐标表

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