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高考数学必备提分知识点全归纳(文理兼备)


高中数学必备公式结论
1.集合
(1) n 元集合有 2 个子集,有 2 ? 1 个真子集,有 2 ? 2 个非空真子集
n n n

(2)空集是任何一个集合的子集,是一切非空集合的真子集 (3)交集“ ” ;并集“
A ” ;补集“ CU ”

2.函数
(1)映射可以多对一,但是不能一

对多,从 m 元集合到 n 元集合可以形成 n 个不同的映射 (2)函数的奇偶性 ①常见的奇函数: y ? x 2 k ?1 , y ? a x ? a ? x , y ?
m

a x ?1 , y ? lg( x 2 ? 1 ? x) , y ? sin x x a ?1

②常见的偶函数: y ? x , y ? x 2 k , y ? a x ? a ? x , y ? cos x , y ? C ( C 为常数) ③奇函数 ? 奇函数 ? 奇函数;偶函数 ? 偶函数 ? 偶函数 奇函数 ? 奇函数 ? 偶函数 ? 偶函数 ? 偶函数;奇函数 ? 偶函数 ? 奇函数 (3)函数的单调性 ①增函数 ? 增函数 ? 增函数;减函数 ? 减函数 ? 减函数 增函数 ? 减函数 ? 增函数;减函数 ? 增函数 ? 减函数 ②复合函数单调性:同增异减 (4)指对幂函数运算法则 (1) a ? a ? a
m n m? n
m n m?n ;a ?a ? a ; (a ) ? a

m n

mn

; a b ? (ab)
m m

m

(2) a

log a b

? b ; loga M ? loga N ? loga (MN ) ; log a M ? log a N ? log a

M N

log a N ?

n 1 log m N n ; log a m b ? log a b ; log a b ? m logb a log m a

2.常见函数的导函数
(1) C ? 0 ( C 为常数)
'

(2) ( x (3) (a

n '

' ) ? nxn?1 ;特别地, ( x ) ?

1 2 x

,(

1 ' 1 ) ?? 2 x x

x '

) ? a x ln a ;特别地, (e x )' ? e x
a

(4) (log

x)' ?

1 1 1 ' log a e ? ;特别地, (ln x ) ? x x ln a x
1

(5) (sin x)

'

' ? cos x ; (cos x) ? ? sin x

3.三角函数公式
l 1 ? ? ? ' ;扇形面积公式: S ? l ? R ; 180 ? ? rad , 1rad ? 57.3 ? 57 18 R 2 sin ? 2 2 ? tan ? (2) sin ? ? cos ? ? 1 ; cos ?
(1)圆心角弧度: ? ? (3)诱导公式:

sin(2k? ? x) ? sin x cos(2k? ? x) ? cos x tan(2k? ? x) ? tan x sin(2? ? x) ? ? sin x cos(2? ? x) ? cos x tan(2? ? x) ? ? tan x
(4)和角公式:

sin(? x) ? ? sin x cos(? x) ? cos x tan(? x) ? ? tan x
1 sin( ? ? x) ? cos x 2 1 cos( ? ? x) ? ? sin x 2 1 tan( ? ? x) ? ? cot x 2

sin(? ? x) ? ? sin x cos(? ? x) ? ? cos x tan(? ? x) ? tan x
1 sin( ? ? x) ? cos x 2 1 cos( ? ? x) ? sin x 2 1 tan( ? ? x) ? cot x 2

sin(? ? x) ? sin x cos(? ? x) ? ? cos x tan(? ? x) ? ? tan x

①两角和与差的正余弦,正切公式:

?cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ?cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?
tan ? ? tan ? ? ?tan(? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ? ? ? ?tan(? ? ? ) ? tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ? ?
②倍角公式:

(? ? ? ) ?s i n? ? (? ? ? ) ?s i n?

s? in s? in

c? o? s c? o? s

? c o s ?s i n ? c o s ?s i n

sin 2? ? 2 sin ? cos ? ; tan 2? ?

2 tan? 1 ? tan2 ?



cos 2? ? cos2 ? ? sin2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin2 ? ;
③辅助角公式:

a sin x ? b cos x ? a 2 ? b2 sin( x ? ? ) ,其中 tan ? ?
特别的,有: sin x ? cos x ?

2 sin( x ? ) , sin x ? cos x ? 2 sin( x ? ) 4 4

?

b a

?

3 sin x ? cos x ? 2sin( x ? ) , 3 sin x ? cos x ? 2sin( x ? ) 6 6
2

?

?

sin x ? 3 cos x ? 2sin( x ? ) , sin x ? 3 cos x ? 2sin( x ? ) 3 3
④特殊结论:

?

?

sin 15? ? cos75? ?
(5)正弦定理:

6? 2 6? 2 ? ? ? ? , sin 75 ? cos15 ? ; tan15 ? 2 ? 3 , tan 75 ? 2 ? 3 4 4

a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C
2 2 2

(6)余弦定理: a ? b ? c ? 2bc cos A , cos A ?

b2 ? c2 ? a 2 ; 2bc

b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B , cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 ; 2ac
a 2 ? b2 ? c 2 2ab

c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C , cos C ?

5.数列
(1)等差数列 ① an ? an?1 ? d ; an ? am ? (n ? m)d ② an ? a1 ? (n ?1)d ? am ? (n ? m)d ③ Sn ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1)d ? na1 ? ; 2 2

④当 m ? n ? p ? q 时, am ? an ? ap ? aq ; S2n?1 ? (2n ?1)an (2)等比数列 ①

an a ? q ; n ? q n?m an ?1 am

② an ? a1 ? qn?1 ? am ? qn?m

?na1 , q ? 1 ? ③ S n ? ? a1 (1 ? q n ) ? 1? q , q ? 1 ?
④当 m ? n ? p ? q 时, am ? an ? a p ? aq ;

6.不等式
2 2 (1)若 a , b ? R ,则 a ? b ? 2ab (当且仅当 a ? b 时等号成立)

? 若 x , y ? R ,则 x ? y ? 2 xy (当且仅当 x ? y 时等号成立)

3

(2)若 a , b ? R ,则 ab ?
?

( a ? b) 2 a 2 ? b 2 ? (当且仅当 a ? b 时等号成立) 4 2

(3)若 a , b , c ? R ,则有: a ? b ? c ? 3 3 abc (当且仅当 a ? b ? c 时等号成立)

7.平面向量
(1)若 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) ①a ?

x12 ? y12 , a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ; a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ;

② a ? b ? x1x2 ? y1 y2 ; a ? b ? a ? b cos ? ( ? 为 a 与 b 的夹角) (2)若 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) ①当 a ∥ b 时, x1 y2 ? x2 y1 ? 0 ;②当 a ? b 时, x1 y1 ? x2 y2 ? 0 (3) AB ? BC ? AC ; AB ? AC ? CB (4) AB ? AC ? 2 AD ( D 为 BC 中点)

8.立体几何
(1)异面直线 AB 与 CD 的夹角: cos ? ?

AB ? CD AB ? CD

(2)线面角: sin ? ?

l ?n l?n

( l 为直线的方向向量, n 为平面的法向量)

(3)二面角: cos ? ?

n1 ? n2 n1 ? n2

( n1 , n2 为两个平面的法向量)

(4)点 P 到平面 ? 的距离: d ?

PA ? n n

( A 为平面 ? 内任意一点, n 为平面 ? 的法向量)

9.直线和圆
(1)距离公式: ①点 P 1P 2 ? 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) 之间的距离: P

( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2

②点 P( x0 , y0 ) 到直线 Ax ? By ? C ? 0 的距离: d ?

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2 | C1 ? C2 | A2 ? B 2

③平行线间的距离: Ax ? By ? C1 ? 0 与 Ax ? By ? C2 ? 0 的距离: d ? (2)位置关系
4

① y ? k1 x ? b1 与 y ? k2 x ? b2 平行: k1 ? k2 且 b1 ? b2 ;

y ? k1 x ? b1 与 y ? k2 x ? b2 垂直: k1k2 ? ?1
②A 1x ? B 1 y ? C1 ? 0 与 A 2 x ? B2 y ? C2 ? 0 平行: A 1 B2 ? A 2B 1 且 AC 1 2 ? A2C1 且 B 1C2 ? C1 B2

A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 与 A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 垂直: A1 A2 ? B1B2 ? 0
(3)直线 Ax ? By ? C ? 0 和圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? R2 的位置关系: 判断圆心 O (a, b) 到直线 Ax ? By ? C ? 0 的距离 d ? 当 d ? R 时,直线和圆相交(有两个交点) ; 当 d ? R 时,直线和圆相切(有且仅有一个交点) ; 当 d ? R 时,直线和圆相离(无交点) ; (4)圆和圆的位置关系: 判断圆心距 d ? O1O2 与两圆半径之和 R1 ? R2 ,半径之差 R1 ? R2 ( R1 ? R2 )的大小关系 当 d ? R1 ? R2 时,两圆相离,有 4 条公切线;当 d ? R1 ? R2 时,两圆外切,有 3 条公切线; 当 R1 ? R2 ? d ? R1 ? R2 时,两圆相交,有 2 条公切线; 当 d ? R1 ? R2 时,两圆内切,有 1 条公切线;当 0 ? d ? R1 ? R2 时,两圆内含,没有公切线;

| Aa ? Bb ? C | A2 ? B 2

与半径 R 的大小关系

10.圆锥曲线
(1)离心率: e ?

c a
类别 椭圆 范围 特征

0 ? e ?1

e 越接近于 0 ,椭圆越圆

e 越接近于1 ,椭圆越扁 e 越接近于1 ,双曲线张角越小

双曲线

e ?1

e 越接近于 ?? ,双曲线张角越大
e2 ? 1 ? k 2 ( k 为双曲线渐近线斜率)

(2)通径:过焦点作与焦点所在坐标轴垂直的直线与曲线两个交点的距离

曲线

x2 y 2 椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ) a b

x2 y 2 ? ? 1( a ? 0 , b ? 0 ) a 2 b2
5

y 2 ? 2 px ( p ? 0 )

通径

l?

2b2 a

l?

2b2 a

l ? 2p

(3)焦点三角形:椭圆(或双曲线)上一点 P( x0 , y0 ) 与两焦点形成的三角形,记 ?F 1 PF2 ? ? 类别 焦半径 面积公式 顶角

PF1 ? a ? ex0
椭圆

PF1 ? a ? ex0
PF1 ? ?ex0 ? a
P( x0 , y0 ) 在左支上
双曲线

S ?PF1F2 ? b ? tan
2

?
2

点 P( x0 , y0 ) 离短轴顶点越远 顶角 ?F 1PF 2 越小

PF2 ? ?ex0 ? a PF1 ? ex0 ? a

S ?PF1F2 ?

b2 tan

?
2

点 P( x0 , y0 ) 离对应顶点距离越远 顶角 ?F 1PF 2 越小

P( x0 , y0 ) 在右支上

PF2 ? ex0 ? a

(4)渐近线:

b x2 y 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的渐近线方程为 y ? ? x 2 a a b



x2 y 2 x2 y2 ? ? 1 ? ?? 具有相同渐近线的双曲线方程: a 2 b2 a 2 b2

等轴双曲线:实轴与虚轴长相等, x2 ? y 2 ? ? ,离心率 e ?

2

共轭双曲线:实虚对调, (5)抛物线的焦半径:

x2 y 2 y 2 x2 ? ? 1 ? ?1 的共轭双曲线是 a 2 b2 b2 a 2
A

p p p p ① AF ? x A ? ? , BF ? xB ? ? 2 1 ? cos ? 2 1 ? cos ?
② AF ? BF ? x A ? xB ? p ? (6)弦中点问题(点差法) : 直线 y ? kx ? b 与

?
B

2p 1 1 2 , ? ? 2 sin ? AF BF p

x2 y 2 b 2 x0 A B AB a ? b ? 0 ? ? 1 ( )交于 , 两点, 的中点为 ,则 P ( x , y ) k ? ? ? 0 0 a 2 b2 a 2 y0

x2 y 2 b 2 x0 直线 y ? kx ? b 与 2 ? 2 ? 1( a ? 0 ,b ? 0 )交于 A , B 两点, AB 的中点为 P( x0 , y0 ) ,则 k ? 2 ? a b a y0
直线 y ? kx ? b 与 y ? 2 px 交于 A , B 两点, AB 的中点为 P( x0 , y0 ) ,则 k ?
2

p y0

6

(7)弦长公式

AB ? 1 ? k 2 x2 ? x1 ? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2

AB ? 1 ?

1 1 y2 ? y1 ? 1 ? 2 ( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 2 k k

11.排列组合(理科)
n m (1) An ? n! ? n ? (n ?1) ? (n ? 2) ??????2 ?1 ; An ? n ? (n ?1) ? (n ? 2) ??????(n ? m ? 1)

(2) Cn ?
m

n ? (n ? 1) ??????? (n ? m ? 1) m n?m , Cn ? Cn 1? 2 ??????? (m ? 1) ? m

0 n 1 n?1 2 n ?2 2 r n ?r r n n (3) (a ? b)n ? Cn a ? Cn a b ? Cn a b ? …? Cn a b ? …? Cn b

12.概率统计
(1)如果在 1 次试验中某事件发生的概率为 p ,那么在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率为:
k k Pn (k ) ? Cn p ?1 ? p ? n?k

(2)离散型随机变量分布列的期望方差:

E? ? ?1 p1 ? ?2 p2 ??????? ??n pn ; D? ? (?1 ? E? )2 p1 ? (?2 ? E? )2 p2 ??????? ?(?n ? E? )2 pn
(2)二项分布: ? ~ B(n, p) ,
k k ① P(? ? k ) ? Cn p (1 ? p)n?k ;② E? ? np , D? ? np(1 ? p)

(3)正态分布: X ~ N (? , ? )
2

① P(? ? ? ? X ? ? ? ? ) ? 0.6826 ; ② P(? ? 2? ? X ? ? ? 2? ) ? 0.9544 ; ③ P(? ? 3? ? X ? ? ? 3? ) ? 0.9973 ;

13.简易逻辑
(1)逻辑联结词:或( ? ) ,且( ? ) ,非( ? ) 若 p ? q 为真,当且仅当 p、 q 均为真; 若 p ? q 为假,当且仅当 p、 q 均为假; 若 ? p 为真,当且仅当 p 为假; (2)原命题:若 A ,则 B 命题的否定(非 p ) :若 A ,则 ? B (命题的否定条件不否,结论否)
7

逆命题:若 B ,则 A ; 否命题:若 ? A ,则 ? B (否命题是条件和结论全否) 逆否命题:若 ? B ,则 ? A (3)若 A ? B ,则 A 是 B 的充分条件, B 是 A 的必要条件

14.复数
(1) i ? ?1 ,若 z ? a ? bi
2

① a 为实部, b 为虚部, z ?

a 2 ? b 2 ,其共轭复数 z ? a ? bi

② z ? a ? bi 且在复平面内对应的点的坐标为 ( a, b) (2)若 z1 ? a ? bi , z2 ? c ? di , ① z1 ? z2 ? (a ? c) ? (b ? d )i ; z1 ? z2 ? (a ? c) ? (b ? d )i ② z1 ? z2 ? (ac ? bd ) ? (ad ? bc)i ;

z1 (a ? bi)(c ? di) ac ? bd bc ? ad ? ? ? i z2 (c ? di)(c ? di) c 2 ? d 2 c 2 ? d 2

15.极坐标和参数方程
(1)过点 P( x0 , y0 ) 且倾斜角为 ? 的直线 l 的参数方程为: ?

? x ? x0 ? t cos ? ( t 为参数) ? y ? y0 ? t sin ?

(2)圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? R 的参数方程为: ?
2 2 2

? x ? a ? R cos ? ( ? 为参数) ? y ? b ? R sin ?

? x ? a cos ? x2 y 2 (3)椭圆 2 ? 2 ? 1 的参数方程为: ? ( ? 为参数) a b ? y ? b sin ?
? x ? ? cos ? ? (4)极坐标系与平面直角坐标系的互化标准: ? y ? ? sin ? ?? 2 ? x2 ? y2 ?

16.不等式选讲
(1)绝对值不等式: a ? b ? a ? b ? a ? b
2 2 2 2 2 (2)柯西不等式: ( x1 ? x2 ??????? xn )( y12 ? y2 ??????? yn ) ? ( x1 y1 ? x2 y2 ??????? xn yn )2 (等号当且仅当

x x1 x2 ? ? ?????? ? n 时成立) y1 y2 yn

8


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