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2009年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题


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2009 年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题
一、填空题(每小题 6 份,共 60 分,本题共 10 小题,要求直接将答案写在横线上) 1. 已 知 集 合 A ? { x ? R || x ? 2 |? 1} ,
B ? {x ? R | x?5 2? x ? 0}

r />
, 则

A? B=

; ;

2. 1 是一个算法流程图, 图 若输入 n ? 1, 则最终输出的数据是
2 2

3. 设圆 x ? y ? 1 的一条切线与 x 轴、 y 轴分别交于点 A 、B , | AB | 则 的最小值为 4.已知函数 f ( x ) ? ? ;
?2 2? x , x ? 2 ? log 3 ( x ? 1), x ? 2

,若关于 x 的方程

f ( x ) ? m 有两个不同的实根,则实数 m 的取值范围是

用区间形式表示) 5.设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数, f (1) ? 2 ,当 x ? 0 时, f ( x ) 是增函 数,且对任意的 x 、 y ? R ,都有 f ( x ? y ) ? f ( x ) ? f ( y ) ,则函数 f ( x ) 在 敬意[-3,-2]上的最大值是 6. 对于 n ? N , 若 n ? 2 ? 1 是 3 的整数倍, n 被 6 除所得余数构成的集合是 则
n

?



7.如图 2,AB 是半圆 O 的直径,C、D 是半圆上的两个动点,且 CD∥AB,若 半圆的半径为 1,则梯形 ABCD 周长的最大值是 8.如图 3,在△ABC 中,AB=3,AC=5,若 O 为 △ABC 的外心,则 AO ? BC 的值是 9.一个含有底面的半球形容器内放置有三个两两外切的小球,若这三个小球 的半径均为 1,且每个小球都与半球的底面和球面相切,则该半球的半径 R= 10.把长为 a 的线段分成三段,这三条线段能构成三角形的概率为 二、解答题(每小题 20 分,共 60 分) 11.设 0 ? ? ? ? , ? ? ? ? 2 ? , 若对任意的 x ? R ,等式 cos( x ? ? ) ? sin( x ? ? ) + 2 cos x ? 0 恒成立,试求 ? 、 ? 的值。

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12.如图 4,已知两点 A ( ? 5 , 0 ) 、 B ( 5 , 0 ) , ? ABC 的内切圆的圆心在直线 x ? 2 上移动。 (1).求点 C 的轨迹方程; (2).过点 M ( 2 , 0 ) 作两条射线,分别交(1)中所求轨迹于 P 、 Q 两点,且 MP ? MQ =0, 求证:直线 PQ 必过定点。

13.已知函数 f ( x ) ?

16 x ? 7 4x ? 4

,数列{ a n }、{ b n }满足 a 1 ? 0 , b1 ? 0 , a n ? f ( a n ?1 ) ,

b n ? f ( b n ?1 ) , n ? 2 ,3 ? .

(1).求 a 1 的取值范围,使得对任意的正整数 n , 都有 a n ?1 ? a n (2).若 a 1 ? 3 , b1 ? 4 , 求证: 0 ? b n ? a n ?
1 8
n ?1

, n ? 1, 2 ,3 ? .

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第二试

一、数列 { a n } 满足 a 1 ? 4 , a n ? 1 a n ? 6 a n ? 1 ? 4 a n ? 8 ? 0 ,记 b n ?

6 an ? 2

,n ? N

?

(1)求数列 { b n } 的通项公式; (2)求数列 { a n ? b n } 前 n 项和 S n

二、如图,PA、PB 为圆 O 的两条切线,切点分别为 A、B,过点 P 的直线交圆 O 于 C、D 两 点,交弦 AB 于点 Q, 求证: PQ
2

? PC ? PD ? QC ? QD

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p q n

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n ?1

三、设 ( x ? 1) ? ( x ? 3 ) ? x ? a 1 x

? a2 x

n?2

? ? ? a n ?1 x ? a n , p , q ? N

?

.

(1).若 a 1 ? a 2 ,求证: 3 n 是完全平方数; (2)证明:存在无穷多个正整数对 ( p , q ) ,使得 a 1 ? a 2 .

四、(1)证明:对任意的 x ? 0 , y ? 0 有

1 1? x

?

1 1? y

?

1 (1 ? y )
2

? (x ? y) ;

(2)证明: C n ?
0

3
0

0

3 ?1

? Cn ?
1

3
1

1

3 ?1

? Cn ?
2

3
2

2

3 ?1

? ? ? Cn ?
n

3
n

n

3 ?1

?

3 ?2
n n

n n

3 ?2

.

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参考答案
x ?5 2? x

1.已知集合 A ? { x ? R || x ? 2 |? 1} ,B

? {x ? R |

则 ? 0} ,

A? B =



2.图 1 是一个算法流程图,若输入 n ? 1, 则最终输出的数据是



2 2 3.设圆 x ? y ? 1 的一条切线与 x 轴、 y 轴分别交于点 A 、 B ,则 | AB | 的最小值





?2 2? x , x ? 2 4.已知函数 f ( x ) ? ? ,若关于 x 的方程 f ( x ) ? m 有两个不同的实根,则 ? log 3 ( x ? 1), x ? 2

实数 m 的取值范围是

用区间形式表示)

5.设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数, f (1) ? 2 ,当 x ? 0 时, f ( x ) 是增函 数,且对任意的 x 、 y ? R ,都有 f ( x ? y ) ? f ( x ) ? f ( y ) ,则函数 f ( x ) 在敬意[-3,-2]上的 最大值是

6. 对于 n ? N , 若 n ? 2 ? 1 是 3 的整数倍, n 被 6 除所得余数构成的集合是 则
n

?



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7.如图 2,AB 是半圆 O 的直径,C、D 是半圆上的两个动点,且 CD∥AB,若半 圆的半径为 1,则梯形 ABCD 周长的最大值是

8.如图 3,在△ABC 中,AB=3,AC=5,若 O 为 △ABC 的外心,则 AO ? BC 的值是

9.一个含有底面的半球形容器内放置有三个两两外切的小球,若这三个小球的半径均为 1, 且每个小球都与半球的底面和球面相切,则该半球的半径 R=

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10.把长为 a 的线段分成三段,这三条线段能构成三角形的概率为

二、解答题(每小题 20 分,共 60 分) 11.设 0 ? ? ? ? , ? ? ? ? 2 ? , 若对任意的 x ? R ,等式 cos( x ? ? ) ? sin( x ? ? ) + 2 cos x ? 0 恒成立,试求 ? 、 ? 的值。

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12.如图 4,已知两点 A ( ? 5 , 0 ) 、 B ( 5 , 0 ) , ? ABC 的内切圆的圆心在直线 x ? 2 上移动。 (1).求点 C 的轨迹方程; (2).过点 M ( 2 , 0 ) 作两条射线,分别交(1)中所求轨迹于 P 、 Q 两 点,且 MP ? MQ =0,求证:直线 PQ 必过定点。

13.已知函数 f ( x ) ?

16 x ? 7 4x ? 4

,数列{ a n }、{ b n }满足 a 1 ? 0 , b1 ? 0 , a n ? f ( a n ?1 ) ,

b n ? f ( b n ?1 ) , n ? 2 ,3 ? .

(1).求 a 1 的取值范围,使得对任意的正整数 n , 都有 a n ?1 ? a n (2).若 a 1 ? 3 , b1 ? 4 , 求证: 0 ? b n ? a n ?
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1 8
n ?1

, n ? 1, 2 ,3 ? .

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第二试

一、数列 { a n } 满足 a 1 ? 4 , a n ? 1 a n ? 6 a n ? 1 ? 4 a n ? 8 ? 0 ,记 b n ?

6 an ? 2

,n ? N

?

(1)求数列 { b n } 的通项公式; (2)求数列 { a n ? b n } 前 n 项和 S n

二、如图,PA、PB 为圆 O 的两条切线,切点分别为 A、B,过点 P 的直线交圆 O 于 C、D 两 点,交弦 AB 于点 Q, 求证: PQ
2

? PC ? PD ? QC ? QD

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三、设 ( x ? 1) ? ( x ? 3 ) ? x ? a 1 x
p q n

n ?1

? a2 x

n?2

? ? ? a n ?1 x ? a n , p 、 q ? N

?

.

(1).若 a 1 ? a 2 ,求证: 3 n 是完全平方数; (2)证明:存在无穷多个正整数对(p,q),使得 a 1 ? a 2 .

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1 1? x ? 1 1? y ? 1 (1 ? y )
2

四、(1)证明:对任意的 x ? 0 , y ? 0 有

? (x ? y) ;

(2)证明: C n ?
0

3
0

0

3 ?1

? Cn ?
1

3
1

1

3 ?1

? Cn ?
2

3
2

2

3 ?1

? ? ? Cn ?
n

3
n

n

3 ?1

?

3 ?2
n n

n n

3 ?2

.

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