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山东省2014届理科数学一轮复习试题选编:双曲线


山东省 2014 届理科数学一轮复习试题选编:双曲线
一、选择题

x2 y 2 错误! 未指定书签。 . (山东省临沂市 2013 届高三 5 月高考模拟理科数学)双曲线 C : 2 ? 2 ? 1( a>0, b>0) a b 2 与抛物线 y ? 2 px( p>0) 相交于 A,B 两点,公共弦 AB 恰好过它们的公共焦点 F,则双曲线 C

的离心率为
( A. 2 B. 1 ? 2 C. 2 2 D. 2 ? 2 )

p p , 0) ,且 c ? ,所以 p ? 2c .根据对称性可知公共弦 AB ? x 轴,且 AB 2 2 p p p p 的 方 程 为 x? , 当 x? 时 , y A ? p , 所 以 A( , p ) . 所 以 F1 (? , 0) , 即 2 2 2 2 p p AF1 ? (? ? ) 2 ? p 2 ? 2 p, AF ? p , 所 以 2 p ? p ? 2a , 即 ( 2 ? 1) ? 2c ? 2a , 所 以 2 2
【答案】B 抛物线的焦点为 F (

c 1 ? ? 2 ? 1 ,选 a 2 ?1

B.

错误!未指定书签。 . (山东省 2013 届高三高考模拟卷(一)理科数学)若双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的 a 2 b2
( )

一个焦点到一条渐近线的距离等于其焦距的 A. x ? 2 y ? 0 B. 2 x ? y ? 0

1 ,则该双曲线的渐近线方程是 4 C. x ? 3 y ? 0 D. 3 x ? y ? 0

x2 y 2 【答案】 C【解析】由双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的对称性可取其一个焦点 (c,0) 和一条渐近线 a b b | ?c ?0| 3 b b 1 1 c, ? b ,而 ? ,因此 b ? c , a ? c 2 ? b 2 ? y ? x ,则该点到该渐近线的距离为 a 2 2c 4 2 a b2 1? 2 a
所以

b 3 ? ,因此双曲线的渐近线方程为 x ? 3 y ? 0 . a 3

B 错误! 未指定书签。(山东省烟台市 2013 届高三 3 月诊断性测试数学理试题) . 若点 P 是以 A ? 10 ,0 、
为焦点,实轴长为 2 2 的双曲线与圆 x +y =10 的一个交点,则|PA|+ |PB|的值为 A. 2 2 C. 4 3 B. 4 2 D. 6 2
2 2

?

? ? 10 ,0?




【答案】 D 由题意知 2a ? 2 2 ,c ?

10 ,所以 a ? 2 , b2 ? c2 ? a2 ? 10 ? 2 ? 8,所以双曲线方程为

? PA ? PB ? 2a ? 2 2 x2 y 2 ? ,所以 ? ?1 . 不 妨 设 点 P 在 第 一 象 限 , 则 由 题 意 知 ? 2 2 2 2 8 ? PA ? PB ? (2c) ? 40 ?
( PA ? PB ) 2 ? PA ? PB ? 2 PA PB
2 2 2 2

,





2P

A?

P 3 , B2 所
D.



( PA ? PB ) 2 ? PA ? PB ? 2 PA PB ? 72 ,所以 PA ? PB ? 72 ? 6 2 ,选

错误!未指定书签。 . (山东省莱钢高中 2013 届高三 4 月模拟检测数学理试题 )设 F1 、 F2 分别为双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a>0, b>0) 的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点 P ,满足 PF2 ? F1 F2 ,且 F2 到直线 a 2 b2 PF1 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为 ( ) 5 6 5 3 A. B. C. D. 4 5 3 2
【答案】C 错误! 未指定书签。(山东省德州市 2013 届高三 3 月模拟检测理科数学) . 双曲线 C1 :

x2 m
2

?

y2 ? 1(m ? 0, b ? 0) b2

与椭圆 C2 :

x a

2
2

?

y ? 1(a ? b ? 0) 有相同的焦点,双曲线 C1 的离心率是 e1,椭圆 C2 的离心率是 e2,则 b2
( B.1
2 2 2

2

1 1 ? 2 e12 e2 1 A. 2
所以



C. 2
2 2 2 2

D.2
2 2 2 2 2 2 2

【答案】D 双曲线的 c ? m ? b ,椭圆的 c ? a ? b ,所以 c ? a ? b ? m ? b ,即 m ? a ? 2b ,

1 1 a 2 ? 2b 2 a 2 2a 2 ? 2b 2 2(a 2 ? b 2 ) ? 2 ? ? 2 ? ? ? 2 ,选 e12 e2 c2 c c2 c2

D.

错误!未指定书签。 . (山东省莱芜市莱芜二中 2013 届高三 4 月模拟考试数学(理)试题)已知 O 为坐标原点,

双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右焦点 F,以 OF 为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点的两点 a 2 b2
( ( D. 3 ) )

???? ??? ??? ? ? A.B,若 ( AO ? AF ) ? OF ? 0 ,则双 曲线的离心率 e 为
A.2 B.3 C. 2
【答案】C 错误!未指定书签。 . (山东省威海市 2013 届高三上学期期末考试理科数学)已知三个数 2,m,

8 构成一个等
( )

比数列,则圆锥曲线 A.

x y ? ? 1 的离心率为 m 2
B. 3 C.

2

2

2 6 或 2 2 2 【答案】 因为三个数 2,m, 8 构成一个等比数列,所以 m ? 2 ? 8 ? 16 ,即 m ? ?4 .若 m ? 4 ,则圆锥 C
2 2
D. 曲线方程为

2 或 3 2

x2 y 2 ? ? 1 ,此时为椭圆,其中 a 2 ? 4, b 2 ? 2, c 2 ? 4 ? 2 ? 2 ,所以 a ? 2, c ? 3 ,离心率为 4 2 y 2 x2 c 3 ? ?1 , 此 时 为 双 曲 线 , 其 中 . 若 m ? ?4 , 则 圆 锥 曲 线 方 程 为 e? ? 2 4 a 2

a 2 ? 2, b 2 ? 4, c 2 ? 4 ? 2 ? 6 ,所以 a ? 2, c ? 6 ,离心率为 e ?

c 6 ? ? 3 .所以选 C. a 2

错 误 ! 未 指 定 书 签 。 . 山 东 省 青 岛 即 墨 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 考 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 过 双曲线 (

x2 y2 ? 2 ? 1(b ? a ? 0) 的左焦点 F (?c,0)(c ? 0) 作圆 x 2 ? y 2 ? a 2 的切线,切点为 E, 2 a b ??? 1 ??? ??? ? ? ? 2 延 长 FE 交 抛 物 线 y ? 4cx 于 点 P, O 为 坐 标 原 点 , 若 OE ? (OF ? OP) , 则 双 曲 线 的 离 心 率 为 2
( A. )

3? 3 2

B.

1? 3 2

C.

5 2

D.

1? 5 2
??? ?

【答案】D

? ? 1 ??? ??? (OF ? OP) , 2 所 以 E 是 FP 的 中 点 , 又 E 是 切 点 , 所 以 OE ? FP , 连 结 PF2 , 则 PF2 ? FP , 且 PF2 ? 2a , 所 以
【 解析】抛物线的焦点坐标为 F2 (c, 0) ,准线方程为 x ? ?c .圆的半径为 a ,因为 OE ?

PE ? b, PF ? 2b , 则 PF2 ? 2a , 过 P 做 准 线 的 垂 线 PM , 则 PM ? PF2 ? 2a , 所 以

MF ? PF 2 ? PM 2 ? (2 b) 2 ? (2 a)2 ? 2 b2 ? a2 ,在直角三角形 FPF2 中, PF ? PF2 ? FF2 ? MF ,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 即 2c ? 2 b ? a ? 2b ? 2a , 所 以 c (b ? a ) ? a b , 即 c (c ? 2a ) ? a (c ? a ) , 整 理 得

2

2

c 4 ? 3a 2c 2 ? a 4 ? 0 , 即 e 4 ? 3e 2 ? 1 ? 0 , 解 得 e 2 ?

e2 ?

3 ? 5 6 ? 2 5 ( 5 ? 1) 2 ? ? 2 4 4

,

3? 9 ? 4 3? 5 3? 5 , 所 以 e2 ? ,即 ? 2 2 2 1? 5 所 以 , 选 e? 2

D.
错误!未指定书签。 . (山东省烟台市莱州一中 2013 届高三第三次质量检测数学(理)试题)点 P 在双曲线
? x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 上, F1 , F2 是这条双曲线的两个焦点, ?F1 PF2 ? 90 ,且 ?F1 PF2 的三条边长 2 a b

成等差数列,则此双曲线的离心率是 A.2 B.3

( C.4 D.5



【答案】 D【解析】因为 ?F1 PF2 的三条边长成等差数列,所以设

PF2 , PF1 , F1 F2 成等差数列,且设
d .又 2

PF2 ? x ? d , PF1 ? x, F1F2 ? x ? d ,则 x ? d ? 2c , x ? ( x ? d ) ? d ? 2a ,即 x ? 2c ? d , a ?
?F1 PF2 ? 90? , 所 以 ( x ? d ) 2 ? x 2 ? ( x ? d ) 2 , 解 得 x ? 4d , 即 c ?

5 d ,所以双曲线的离心率为 2

5 d c 2 e? ? ? 5 ,选 D d a 2
填空题
错误!未指定书签。(山东省泰安市 2013 届高三上学期期末考试数学理)以双曲线 .

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为圆 6 3
( )

心且与双曲线的渐近线线相切的圆的方程是 A. x ? 3
2

?

?

2

? y2 ? 3
3

B. x ? 3
2

?

?

2

? y2 ? 3

C. ? x ? 3? ? y 2 ?
【答案】D

D. ? x ? 3? ? y 2 ? 3

【 解 析 】 双 曲 线 的 右 焦 点 为 (3, 0) , 双 曲 线 的 渐 近 线 为 y ? ?

2 2 x ,不妨取渐近线 y ? x ,即 2 2 3 2 3 2 3 ? ? ? 3 ,所以圆 2 x ? 2 y ? 0 ,所以圆心到直线的距离等于圆的半径,即 r ? 2 2 6 3 ( 2) ? 2
2 2

的标准方程为 ( x ? 3) ? y ? 3 ,选
2 2

D.
( )

错误!未指定书签。(山东省潍坊市 2013 届高三上学期期末考试数学理 . A. 已知双曲线 )

x y ? 2 ? 1?a ? 0, b ? 0 ? 的一条渐近线的斜率为 2 ,且右焦点与抛物线 y 2 ? 4 3 x 的 2 a b
( C.2 D.2 3 ) B. 3

焦点重合,则该双曲线的离心率等于 A. 2
【答案】B

b b x ,由 ? 2 ,即 b ? 2a , a a 2 2 2 2 2 2 2 所以 b ? 2a ? c ? a ,所以 c ? 3a ,即 e ? 3, e ? 3 ,即离心率为 3 ,选 B. 错误!未指定书签。(山东省滨州市 2013 届高三第一次(3 月)模拟考试数学(理)试题)圆锥曲线 C 的两个 . 焦点分别为 F1 , F2 ,若曲线 C 上存在点 P 满足 PF1 ∶ F1 F2 ∶ PF2 =4∶3∶2,则曲线 C 的离心率为
【解析】 抛物线的焦点为 ( 3, 0) ,即 c ?

3 .双曲线的渐近线方程为 y ?





2 3 或 3 2 1 C. 或2 2
A.
【答案】D 因为

2 或2 3 1 3 D. 或 2 2
B.

PF1 ∶ F1 F2 ∶ PF2 =4∶3∶2,所以设 PF1 ? 4 x, F1 F2 ? 3x , PF2 ? 2 x, x ? 0 .若曲
2c 3 x 1 ? ? . 2a 6 x 2

线为椭圆,则有 PF1 ? PF2 ? 4 x ? 2 x ? 6 x ? 2a, F1 F2 ? 3 x ? 2c ,所以椭圆的离心率为

若 曲 线 为 双 曲 线 , 则 有 PF1 ? PF2 ? 4 x ? 2 x ? 2 x ? 2a, F1 F2 ? 3 x ? 2c , 所 以 椭 圆 的 离 心 率 为

2c 3 x 3 ? ? .所以选 2a 2 x 2

D.

错误!未指定书签。 (山东省枣庄市 2013 届高三 3 月模拟考试数学(理)试题) 设 F1,F2 分别是双曲线 .

??? ???? ???? ? ? ? x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点 P,使 (OP ? OF2 ) ? F2 P ? 0 ,O 为坐 2 a b ???? ???? ? 标原点,且 | PF1 |? 3 | PF2 | ,则该双曲线的离心率为 ( )
A. 3 ? 1 B.

3 ?1 2

C. 6 ?

2

D.

6? 2 2

【答案】A

由 (OP ? OF2 ) ? F2 P ? 0 得 (OP ? OF2 ) ? (OP ? OF2 ) ? 0 ,即 OP ? OF2

??? ?

???? ???? ? ?

??? ???? ? ?

??? ???? ? ?

??? 2 ?

???? 2 ?

??? ? ???? ? ? 0 ,所以 OP ? OF2 ? c ,

所 以 △PF1F2 中 , 边 F1F2 上 的 中 线 等 于 |F1F2| 的 一 半 , 可 得 PF1 ? PF2 , 所 以 PF12 ? PF2 2 ? 4c 2 , 又

???? ???? ? c 2 | PF1 |? 3 | PF2 | ,解得 PF1 ? 3c, PF2 ? c ,又 PF1 ? PF2 ? 3c ? c ? 2a ,所以 ? ? 3 ?1, a 3 ?1 所以双曲线的离心率为为 3 ? 1 ,选 ( )
A.
错误!未指定书签。(山东省莱芜五中 2013 届高三 4 月模拟数学(理)试题)已知双曲线 .

x2 ? y 2 ? 1 (a ? 0) 2 a
( )

的一个焦点与抛物线 x ? A.

3 3 2

1 2 y 的焦点重合,则此双曲线的离心率为 8 2 3 4 3 B. 3 C. D. 3 3

【答案】C 错 误 ! 未 指 定 书 签 。 ( 山 东 省 实 验 中 学 2013 届 高 三 第 一 次 诊 断 性 测 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已知 双曲 线 .

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的 两 条 渐 近线 均 与 C : x 2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 相 切 ,则 该 双 曲 线离 心 率 等于 a 2 b2
( A. )

3 5 5

B.

6 2
2 2

C.

3 2

D.

5 5

【答案】A

【解析】圆的标准方程为 ( x ? 3) ? y ? 4 ,所以圆心坐标为 C (3, 0) ,半径 r ? 2 ,双曲线的渐近线为

b b x , 不 妨 取 y ? x , 即 bx ? ay ? 0 , 因 为 渐 近 线 与 圆 相 切 , 所 以 圆 心 到 直 线 的 距 离 a a 3b 4 9 d? ? 2 , 即 9b 2 ? 4(a 2 ? b 2 ) , 所 以 5b 2 ? 4a 2 , b 2 ? a 2 ? c 2 ? a 2 , 即 a 2 ? c 2 , 所 以 2 2 5 5 a ?b 9 3 5 ,选 ( ) e2 ? , e ? 5 5 y??
A.
错 误 ! 未 指 定 书 签 。 ( 山 东 省 德 州 市 2013 届 高 三 第 二 次 模 拟 考 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 双 曲 线 .

x2 y 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的离心率为 2,该双曲线与抛物线 y2= 16x 的准线交于 A,B 两点,若|AB|=6 5 ,则 2 a b
双曲线的方程为 A. x ?
2

( B



y ?1 3

2

x y ? ?1 6 . 2

2

2

C.

x ? y2 =1 3

2

D.

x y ? ?1 4 12

2

2

【答案】A

x2 y 2 错误! 未指定书签。 山东省德州市 2013 届高三上学期期末校际联考数学 ( . (理)双曲线 2 ? 2 ? 1( a ? 0, b ? 0) ) a b 的左、 右焦点分别为 F1,F2,渐近线分别为 l1 , l2 ,点 P 在第一象限内且在 l1 上,若 l2 ⊥PF1, l2 //PF2,则双曲线
的离心率是 A. 5
【答案】B

( B.2 C. 3 D. 2



b b x , l2 : y ? ? x ,因为点 P 在第一 a a 1 象限内且在 l1 上,所以设 P ( x0 , y0 ), x0 ? 0 ,因为 l2 ⊥PF1, l2 //PF2,所以 PF1 ? PF2 ,即 OP ? F1 F2 ? c , 2 b b 即 x0 2 ? y0 2 ? c 2 , 又 y0 ? x0 , 代 入 得 x0 2 ? ( x0 ) 2 ? c 2 , 解 得 x0 ? a, y0 ? b , 即 P (a, b) . 所 以 a a b b b ? b l2 ⊥PF1, 所 以 a ? c ? (? a ) ? ? 1 , 即 a , 因 为 , l2 的 斜 率 为 k PF1 ? a?c b 2 ? a (a ? c) ? a 2 ? ac ? c 2 ? a 2 ,所以 c 2 ? ac ? 2a 2 ? 0 ,所以 e 2 ? e ? 2 ? 0 ,解得 e ? 2 ,所以双曲线
【解析】 双曲线的左焦点 F1 (?c, 0) ,右焦点 F2 (c, 0) ,渐近线 l1 : y ? 的离心率 e ? 2 ,所以选 B.

x2 y 2 错误!未指定书签。(山东省潍坊市 2013 届高三第二次模拟考试理科数学)已知双曲线 2 ? 2 ? 1 的实轴长 . a b
为 2,焦距为 4,则该双曲线的渐近线方程是 A. y ? ?3 x B. y ? ? ( D. y ? ?2 x )

3 x 3

C. y ? ? 3 x

【答案】C 由题意知 2a ? 2, 2c ? 4 ,所以 a ? 1, c ? 2 ,所以 b ?

c 2 ? a 2 ? 3 .又双曲线的渐近线方程

是y??

b x ,即 y ? ? 3 x ,选 a

C.

x2 y 2 错误!未指定书签。(山东省济宁市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学 )过双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0) . a b 2 2 2 2 的左焦点 F(-c,0)作圆 x ? y ? a 的切线,切点为 E,延长 FE 交抛物线 y ? 4cx 于点 P,O 为原点,若 ??? 1 ??? ??? ? ? ? ( ) OE ? ( OF ? OP ) ,则双曲线的离心率为 2 1? 5 3? 3 5 1? 3 A. B. C. D. 2 3 2 2
【答案】A

【解析】因为 OE ?

??? ?

? ? 1 ??? ??? ( OF ? OP ) ,所以 E 是 F , P 的中点.设右焦点为 F1 ,则 F1 也是抛物线的焦点.连 2
4c 2 ? 4a 2 ? 2b , 设 P( x, y ) , 则 x ? c ? 2a , 则

接 PF1 , 则 PF1 ? 2a , 且 PF ? PF1 , 所 以 PF ?

x ? 2a ? c, 过点 F 作 x 轴的垂线,点 P 到该垂线的距离为 2a ,由勾股定理得 y 2 ? 4a 2 ? 4b 2 ,即
4c(2a ? c) ? 4a 2 ? 4(c 2 ? a 2 ) ,解得 e ?
A.
错误!未指定书签。 (山东省枣庄市 2013 届高三 4 月(二模)模拟考试数学(理)试题) F1 , F2 为双曲线 .

5 ?1 ,选 2





x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的 左 右 焦 点 , 过 点 F2 作 此 双 曲 线 一 条 渐 近 线 的 垂 线 , 垂 足 为 M , 满 足 a 2 ? b2 ???? ???? ? | MF1 |? 2 | MF2 | ( )
A. y ? ?2 x
【答案】A

B. y ? ?

1 x 2

C. y ? ? 2 x

D. y ? ?

2 x 2

x2 y2 错误!未指定书签。(山东省文登市 2013 届高三 3 月二轮模拟考试数学(理) 方程 . ) ? ? 1 表示双 2?m m ?3 曲线,则 m 的取值范围是 ( )

A. 2 ? m ? 3 C. m ? 3 或 ? 3 ? m ? 2 【答案】D

B. ?3 ? m ? 0 或 0 ? m ? 2 或 m ? 3 D. 2 ? m ? 3 或 m ? ?3

错误! 未指定书签。 . (山东威海市 2013 年 5 月高三模拟考试数学 (理科) 已知双曲线 )

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 ) a 2 b2 ???? ? ???? ???? ? ???? ???? ???? ? ? 的左、右焦点为 F1 , F2 ,设 P 是双曲线右支上一点, F1 F2 cos ? F1 F2 , F1 P ? ? F1 P ,且 ? F1 F2 , F1 P ?? , 6 则双曲线的离心率 e ? ( ) 3 ?1 5 ?1 5 ?1 A. 3 ? 1 B. C. D. 2 4 2
【答案】





A.
错误!未指定书签。(山东省济南市 2013 届高三上学期期末考试理科数学)已知椭圆方程 .

x2 y 2 ? ? 1 ,双曲线 4 3
( )

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦点是椭圆的顶点, 顶点是椭圆的焦点,则双曲线的离心率为 a 2 b2 A. 2 B. 3 C.2 D.3
【答案】C

【 解 析 】 椭 圆 的 焦 点 为 (1, 0) , 顶 点 为 (2, 0) , 即 双 曲 线 中 a ? 1, c ? 2 , 所 以 双 曲 线 的 离 心 率 为

e?

c 2 ? ? 2 ,选 C. a 1
( )

错误!未指定书签。(山东省菏泽市 2013 届高三 5 月份模拟考试数学(理)试题)已知三个数 2,m,8 构成一个 .

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 等比数列,则圆锥曲线 m 2 2 2 A. B. 3 C. 或 2 2
【答案】C 错误!未指定书签。 (2011 年高考(山东理) 已知双曲线 . )

3

D.

2 6 或 2 2

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线均和圆 a 2 b2
( )
2 2

C : x 2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 相切,且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心,则该双曲线的方程为

x y x y ? ?1 ? ?1 D. 3 6 6 3 3b 2 2 【答案】解析:圆 C : ( x ? 3) ? y ? 4 , c ? 3, 而 ? 2 ,则 b ? 2, a 2 ? 5 ,答案应选 c
A. B. C. A.

x y ? ?1 5 4

2

2

x y ? ?1 4 5

2

2

2

2





错误!未指定书签。(山东省菏泽市 2013 届高三第二次模拟考试数学(理)试题)已知中心在原点的椭圆与双 .

曲线有公共焦点,左、右焦点分别为 F1、F2,且两条曲线在第一象限的交点为 P,△PF1F2 是以 PF1 为底边的 等腰三角形,若|PF1|=10,椭圆与双曲线的离心率分别为 e1 , e2 ,则 e1e2 +1 的取值范围是 ( ) A.(1, ?? )
【答案】B 错误! 未指定书签。 . (2012 年山东理) (10)已知椭圆 C:

B.(

4 , ?? ) 3

C.(

6 , ?? ) 5

D.(

10 ,+ ? ) 9

的离心率为 ,双曲线 x?-y?=1 的渐近线与椭圆有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16,则椭圆 c 的方程为

【 答 案 】 双 曲 线 x?-y?=1 的 渐 近 线 方 程 为

y ? ?x , 代 入

可得

3 a 2b 2 可得 a ? 2b ,则 b 4 ? 5b 2 , , S ? 4 x 2 ? 16 ,则 a 2 b 2 ? 4(a 2 ? b 2 ) ,又由 e ? 2 2 2 a ?b x2 y2 2 2 ? ? 1 ,答案应选 于是 b ? 5, a ? 20 .椭圆方程为 D. 20 5 错误!未指定书签。(山东省泰安市 2013 届高三第二次模拟考试数学(理)试题)斜率为 3 的直线与双曲 线 . 2 2 x y ( ) ? 2 ? 1 恒有两个公共点,则双曲线离心率的取值范围是 2 a b 3, ?? A. ? 2, ?? ? B. ? 2, ?? ? C. 1, 3 D.

x2 ?

?

?

?

?

【答案】B 二、填空题 错误!未指定书签。(山东省烟台市莱州一中 2013 届高三第三次质量检测数学(理)试题)以抛物线 y = 20x .
2

的焦点为圆心,且与双曲线

x2 y2 = 1 的两条渐近线都相切的圆的方程为_________. 16 9 2 2 【答案】 ( x - 5) + y = 9 【解析】抛物线的焦点坐标为 (5, 0) ,所以圆心坐标为 (5, 0) .双曲线的渐 3 近 线 为 y ? ? x , 即 3x ? 4 y ? 0 , 不 妨 取 直 线 3x ? 4 y ? 0 , 则 圆 心 到 直 线 的 距 离 4 3? 5 15 d? ? ? 3 ,即圆的半径 r ? 3 ,所以圆的方程为 (x - 5) 2 + y 2 = 9 . 5 32 ? 42

错 误 ! 未 指 定 书 签 。 ( 山 东 省 潍 坊 市 2013 届 高 三 第 一 次 模 拟 考 试 理 科 数 学 ) 已 知 双 曲 线 .

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的 一 条 渐 近 线 与 直 线 x ? 2 y ? 1 ? 0 垂 直 , 则 a 2 b2
______________.
【答案】

双曲线的离心率等于

5

双曲线的渐近线为 y ? ?

b 1 b x .直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 的斜率为 y ? ? .因为 y ? x 与直 a 2 a

线 x ? 2 y ? 1 ? 0 垂直,所以

b 1 ? (? ) ? ?1 ,即 b ? 2a .所以 c 2 ? a 2 ? b 2 ? 5a 2 ,即 e 2 ? 5, e ? 5 . a 2

错误!未指定书签。 (山东省济南市 2012 届高三 3 月高考模拟题理科数学(2012 济南二模) 过双曲线 . )

x2 y 2 a2 ? 2 =1(a>0,b>0)的左焦点 F,作圆 x 2 ? y 2 ? 的切线,切点为 E,延长 FE 交双曲线右支于点 P,若 E a2 b 4
为 PF 的中点,则双曲线的离心率为__________.
【答案】

10 2 c 10 3a 3a 2 a 2 10 2 2 ,又 FE 为切线,所以有 c ? ( ) ? ( ) ? . a ,所以 e ? ? a 2 2 2 2 4

【解析】设双曲线的右焦点为 M ,连接 PM,因为 E 为 PF 的中点,所以 OE 为三角形 FPM 的中位线,所以 PM=2OE= a ,所以 PF=3 a ,EF=

错误!未指定书签。(山东省莱芜市第一中学 2013 届高三 12 月阶段性测试数学(理)试题)已知 F1、F2 分别 .

x2 y 2 是双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左 、 右焦点,P 为双曲线上的一点,若 ?F1 PF2 ? 90? ,且 ?F1 PF2 的 a b
三边长成等差数列,则双曲线的离心率是________.
【答案】 解析】 PF2 ? x , PF1 ? y ( x ? y ) ,则 y ? x ? 2a ,又 x, y,2c 为等差数列,所以 x ? 2c ? 2 y , 【 设

? x ? 2c ? 4a 2 2 2 2 2 ,代入 x ? y ? 4c 整理得, 5a ? 6ac ? c ? 0 ,解得 c ? 5a ,所以双曲线的离 y ? 2c ? 2a ? c 心率为 e ? ? 5 . a
整理得 ?

错误!未指定书签。 (山东省淄博市 2013 届高三复习阶段性检测(二模)数学(理)试题) 若双曲线 .

x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点分别为 F1,F2,线段 F1F2 被抛物线 y 2 ? 2bx 的焦点分成 5:3 两段, 2 a b
则此双曲线的离心率为______.

2 3 【答案】 3

b ? ( ?c ) b 5 抛 物 线 的 焦 点 坐 标 为 ( , 0) , 由 题 意 知 2 ? , c ? 2b , 所 以 b 2 3 c? 2 c 2 2 3 ? . c 2 ? 4 b2 ? 4 (c 2 ? a 2,即 4a 2 ? 3c2 ,所以 2a ? 3c ,所以 e ? ? ) a 3 3
x2 y 2 右焦点,过 F1 的直线与双曲线的左、 右两支分别交于 A,B 两点.若 | AB | : ? ? 1 (a>0,b>0)的左、 a 2 b2

错误!未指定书签。 (山东省济南市 2013 届高三 4 月巩固性训练数学(理)试题) 如图,F1,F2 是双曲线 .

C:

| BF2 | : | AF2 |=3 : 4 : 5,则双曲线的离心率为____________.

16 题图
【答案】 13

x2 y 2 ? ? 1的 错误!未指定书签。(山东省泰安市 2013 届高三第一轮复习质量检测数学(理)试题)设双曲线 . m n 2 离心率为 2,且一个焦点与抛物线 x ? 8 y 的焦点相同,则此双曲线的方程为______.
【答案】 y ?
2

x2 ?1 3

y 2 x2 ? ?1 , 抛物线的焦点坐标为 (0, 2) ,所以双曲线的焦点在 y 轴上且 c ? 2 ,所以双曲线的方程为 n ?m c 2 2 2 即 a ? n ? 0, b ? ?m ? 0 ,所以 a ? n ,又 e ? ? ? 2 ,解得 n ? 1 ,所以 b2 ? c2 ? a2 ? 4 ?1 ? 3 , a n 2 x 2 ? 1. 即 ?m ? 3, m ? ?3 ,所以双曲线的方程为 y ? 3 x2 y2 错误!未指定书签。(山东省临沂市 2013 届高三第三次模拟考试 理科数学)过双曲线 2 ? 2 ? 1 的一个焦点 . a b
F 作 一 条 渐 近 线 的 垂 线 , 若 垂 足 恰 在 线 段 OF(O 为 原 点 ) 的 垂 直 平 分 线 上 , 则 双 曲 线 的 离 心 率 为
___________.
【答案】 2 三、解答题 错误!未指定书签。(2010 年高考(山东理) 如图,已知椭圆 . )

x2 y2 2 ? ? 1(a>b>0) 的离心率为 ,以该椭 a2 b2 2

圆上的点和椭圆的左、右焦点 F1 , F2 为顶点的三角形 的周长为 4( 2 ? 1) .一等轴双曲线的顶 点是该椭

圆的焦点,设 P 为该双曲线上异于顶点的任一点,直线 PF1 和 PF2 与椭圆的交点分别为 A、B 和

C、D .

(Ⅰ)求椭圆和双曲线的标准方程;

k (Ⅱ)设直线 PF1 、 PF2 的斜率分别为 k1 、 k 2 ,证明 k1 ·2 ? 1 ;
(Ⅲ)是否存在常数 ? ,使得 AB ? CD ? ? AB ·CD 恒成立 ?若存在,求 ? 的值;若不存在,请说明理 由.

2 c ,得 a ? 2c ,又 2a ? 2c ? 4( 2 ? 1) ,所以可解 ? 2 a x2 y 2 2 2 2 得 a ? 2 2 , c ? 2 ,所以 b ? a ? c ? 4 ,所以椭圆的标准方程为 ? ? 1 ;所以椭圆的焦点坐标为 8 4 ( ?2 ,0),因为双曲线为等轴双曲线,且顶 点是该椭圆的焦点,所以该双曲线的标准方程为 x2 y 2 ? ? 1. 4 4
【答案】 【解析】(Ⅰ)由题意知,椭圆离心率为


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