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黄浦区2015年高三数学文理二模试卷


黄浦区 2015 年高考模拟考数学试卷(文理合卷)(2015 年 4 月 21 日)
一、填空题(本大题满分 56 分) 本大题共有 14 题,考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结 果,每题填对得 4 分,否则一律得零分. 1.函数 f ( x) ? lg( x ? 3) ?
( x ? 2)0 的定义域是 x ?1

. .

/>
2.函数 y ? log2 ( x2 ?1) 的单调递减区间是

2 3 . 已 知 集 合 A ? ? x| x ,若 B? A ,则正实数 a 的取值范围 ? 1 6 ? 0 ,x ? ? R ,B ? ? x | x? 3 ? a ,x?? R





4.若二次函数 y ? 2x2 ? (m ? 2) x ? 3m2 ? 1 是定义域为 R 的偶函数,则函数 f ( x) ? xm ? mx ? 2( x ? 1, x ? R) 的 反函数 f ?1 ( x) = .

5.已知角 ? 的顶点与平面直角坐标系的原点重合,始边在 x 轴的正半轴上,终边经过点

P ? ?3a,4a ? (a ? 0, a ? R) ,则 cos 2? 的值是

. .

6. 在△ ABC 中, 内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c , 且 a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc sin A , 则 ?A= 7.在等差数列 ?an ? 中,若 a8 ? ?3, a10 ? 1 , am ? 9 ,则正整数 m ? 8.已知点 A(?2,3)、B(1, ?4) ,则直线 AB 的点法向式方程是 9.已知抛物线 y 2 ? 16 x 的焦点与双曲线 是 . . .

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0) 的一个焦点重合,则双曲线的渐近线方程 a 2 12

10.已知 AB 是球 O 的一条直径,点 O1 是 AB 上一点,若 OO1 ? 4 ,平面 ? 过点 O1 且垂直 AB ,截得圆

O1 ,当圆 O1 的面积为 9? 时,则球 O 的表面积是



11 .若二次函数 y ? f ( x) 对一切 x ? R 恒有 x2 ? 2x ? 4 ? f ( x) ? 2x2 ? 4x ? 5 成立,且 f (5) ? 27 ,则
f (11) ?


? y ? 3 ? 2t

x ? 3 ? t, 12 . ( 理 科 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 直 线 l : ? (t是参数,t ? R) , 圆 ?

? x ? 2cos ? , (? 是参数,? ?[0, 2? )) ,则圆心到直线的距离是 C:? ? y ? 2 ? 2sin ?
1



? x? y ?3 (文科) 设点 ( x, y ) 位于线性约束条件 ? (含边界) , 则目标函数 z ? 2 x ? y 的 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 所表示的区域内 ? y ? 2x ?

最大值是



13.(理科)一个不透明的袋子里装有外形和质地完全一样的 5 个白球,3 个红球,2 个黄球,将它们 充分混合后,摸得一个白球计 2 分,摸得一个红球记 3 分,摸得一个黄球计 4 分,若用随机变量 ? 表 示随机摸一个球的得分,则随机变量 ? 的数学期望 E? 的值是 分.

(文科) 一个不透明的袋中装有大小形状质地完全相同的黑球、红球、白球共 10 个,从中任意摸出 1 个球,得到黑球的概率是
2 ,则从中任意摸出 2 个球得到至少 1 个黑球的概率是 5



14.(理科)已知点 B(4, 0)、C (2, 2) ,平面直角坐标系上的动点 P 满足 OP ? ? ? OB ? ? ? OC (其中 O 是坐标 原点,且 1 ? ? ? a,1 ? ? ? b ),若动点 P 组成的区域的面积为 8,则 a ? b 的最小值是 (文科) 在 ?ABC 中, | AB|= 3,| BC |? 1 ,且 | AC|cosB=|BC|cosA ,则 AC ? AB 的数值是 二、选择题(本大题满分 20 分) . .

本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题卷的

相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.在空间中,下列命题正确的是 [答] ( ).

A.若两直线 a,b 与直线 l 所成的角相等,那么 a∥b B.空间不同的三点 A、B、C 确定一个平面 C.如果直线 l//平面 ? 且 l //平面 ? ,那么 ? // ? D.若直线 a 与平面 M 没有公共点,则直线 a //平面 M 16.设实数 a1 , a2 , b1 , b2 均不为 0,则“ 解集相同”的 A.充分非必要条件
a1 b1 ? 成立”是“关于 x 的不等式 a1x ? b1 ? 0 与 a2 x ? b2 ? 0 的 a2 b2

[答] (

). C.充要条件 D.非充分非必要条件 ( ).

B.必要非充分条件

17. 若复数 z 同时满足 z ? z ? 2i ,z ? iz , 则z? A. 1 ? i B. i C. ? 1 ? i

( i 是虚数单位,z 是 z 的共轭复数) [答] D. ? 1 ? i
2

18.已知数列 ?an ? 共有 5 项,满足 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 0 ,且对任意 i、j (1 ? i ? j ? 5) ,有 ai ? a j 仍是 该数列的某一项,现给出下列 4 个命题: (1) a5 ? 0 ;(2) 4a4 ? a1 ;(3)数列 ?an ? 是等差数列; (4)集合 A ? ? x | x ? ai ? a j ,1 ? i ? j ? 5? 中共有 9 个元素. 则其中真命题的序号是
A .(1)、(2)、(3)、(4)

[答](
B .(1)、(4)

).
C .(2)、(3)
D .(1)、(3)、(4)

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内 写出必要的步骤. 19.(本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? BC ? 2 , AA1 ? 3 ,过 A1 、 C1 、 B 三点的平面截去长方体的一 个角后,得到如下所示的几何体 ABCD ? AC 1 1D 1. (理科)(1) 若 A1C1 的中点为 O1 , 求异面直线 BO1 与 A1D1 所成角的大小 (结果用反三角函数值表示) ; (2)求点D到平面 A1BC1 的距离 d . (文科) (1) 求几何体 ABCD ? AC 并画出该几何体的左视图( AB 平 1 1D 1 的体积, 行主视图投影所在的平面); (2)求异面直线 BC1 与 A1D1 所成角的大小(结果用反三角函数值表示) .
D A B
A1 D1 C1

C

3

20.(本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分. 已知函数 g( x) ? sin 2 x ? (1)求 y ? f ( x) 的解析式; (2)(理科)求函数 f ( x) 在 [0,? ] 上的单调递增区间. (2)(文科) 当 x ? [ ?
1 2 3 cos 2 x ? 1,x ? R ,函数 f ( x) 与函数 g ( x) 的图像关于原点对称. 2

? ?

, ] 时,求函数 f ( x) 的取值范围. 4 2

21.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 有一块铁皮零件,其形状是由边长为 40cm 的正方形截去一个三角形 ABF 所得的五边形 ABCDE , 其中 AF ? 12cm, BF ? 10cm ,如图所示.现在需要用这块材料截取矩形铁皮 DMPN ,使得矩形相邻两边 分别落在 CD, DE 上,另一顶点 P 落在边 CB 或 BA 边上.设 DM ? x cm,矩形 DMPN 的面积为 y cm2 . (1)试求出矩形铁皮 DMPN 的面积 y 关于 x 的函数解析式, 并写出定义域; (2)试问如何截取(即 x 取何值时),可使得到的矩形 DMPN 的面积最大?

4

22.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 7 分,第 3 小题满分 8 分. (理科)已知数列 ?an ? 满足 a1 ?
1 ,对任意 m、p ? N* 都有 am? p ? am ? ap . 2

(1)求数列 ?an ? ( n ? N* )的递推公式; (2)数列 ?bn ? 满足 an ?
b b1 b ? 2 2 ? 3 3 ?? 2 ?1 2 ?1 2 ?1 ? (?1)n ?1 bn ( n ? N* ),求通项公式 bn ; 2 ?1
n

(3)设 cn ? 2n ? ?bn ,问是否存在实数 ? 使得数列 ?cn ? ( n ? N* )是单调递增数列?若存在,求出 ? 的 取值范围;若不存在,请说明你的理由. (文科) 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 2 ,对任意 m、p ? N* 都有 am? p ? am ? ap . (1)求数列 ?an ? ( n ? N* )的通项公式 an ; (2)数列 ?bn ? 满足 an ? (3)设 cn ?
b b1 b + 22 ? 33 ? 2 ?1 2 ?1 2 ?1 ? bn ( n ? N* ),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Bn ; 2 ?1
n

Bn ,求数列 ?cn ? ( n ? N* )中最小项的值. n 2

5

23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 9 分. 已知点 F1 (? 2,0)、F2 ( 2,0) ,平面直角坐标系上的一个动点 P ( x, y ) 满足 |PF1|+|PF2 |=4 .设动点 P 的 轨迹为曲线 C . (1)求曲线 C 的轨迹方程; (2)点 M 是曲线 C 上的任意一点, GH 为圆 N : ( x ? 3)2 ? y 2 ? 1 的任意一条直径,求 MG ? MH 的取 值范围; (3) (理科) 已知点 A、B 是曲线 C 上的两个动点, 若 OA ? OB ( O 是坐标原点), 试证明: 直线 AB 与某个定圆恒相切,并写出定圆的方程. (文科)已知点 A、B 是曲线 C 上的两个动点,若 OA ? OB ( O 是坐标原点),试证明:原点 O 到直 线 AB 的距离是定值.

6

黄浦区 2015 年高考模拟考数学试卷(文理合卷) 参考答案 (2015 年 4 月 21 日) 一、填空题 1 . (3, +
- 1 ) ; 2 . (- ? , 1) ; 3 . (0,1] ; 4 . f ( x) = 1-

x - 1( x 1) ; 5 . -

p 7 ; 6 . ; 7 . 14 4 25



8. 7( x + 2) + 3( y 12. (理科) 7

3) = 0 也可以是 7( x - 1) + 3( y + 4) = 0 ;9.

y=

3x ; 10. 100p ;11. 153 ;

14 5; (文科)
5

3

; 13. (理科) 2.7 ; (文科) 16.B 17.D

2 3 ;14. (理科) 4 . (文科) 2 或 . 3 2

二、选择题 三、解答题

15.D

18.A

19.(本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分6分,第 2 小题满分6分. (理科) 解 (1)按如图所示建立空间直角坐标系. 由题知, 可得点 D(0,0,0) 、B(2, 2,0) 、D1 (0,0,3) 、A1 (2,0,3) 、

C1 (0, 2,3) .
由 O1 是 AC 1 1 中点,可得 O 1 (1,1,3) . 于是, BO1 ? (?1, ?1,3), A1D1 ? (?2,0,0) . 设异面直线 BO1 与 A1D1 所成的角为 ? ,则
cos ? ? BO1 ? A1 D1 2 11 . ? ? | BO1 || A1 D1 | 2 11 11
A1

z
D1 C1

D

C
B

y

xA
11 . 11
n ? BA1 ? 0, ∴? ? ?

因此,异面直线 BO1 与 A1D1 所成的角为 arccos (2)设 n ? ( x, y, z) 是平面 ABD 的法向量.
?2 y ? 3z ? 0, ∴? ? ??2 x ? 3z ? 0.
? x ? 3,

? ?n ? BC1 ? 0.

又 BA1 ? (0, ?2,3), BC1 ? (?2,0,3) ,

n ? (3,3, 2) . 取 z ? 2 ,可得 ? 即平面 BAC 1 1 的一个法向量是 ? y ? 3,
? z ? 2. ?

∴ d ? n ? DB
|n|

?

6 22 . 11

(文科)
7

解(1)

AB ? BC ? 2 , AA 1 ? 3,

?VABCD ? A1D1C1 ? V长方体 ? V三棱锥 1 1 =2 ? 2 ? 3 ? ? ? 2 ? 2 ? 3 ? 10. 3 2
左视图如右图所示. (2)依据题意,有 A1D1 AD, AD BC ,即 A1D1 BC . ∴ ?C1BC 就是异面直线 BC1 与 A1D1 所成的角. 又

C1C ? BC ,∴ tan ?C1 BC ?

C1C 3 ? . BC 2

3 ∴异面直线 BC1 与 A1D1 所成的角是 arc tan . 2

20.(本题满分 12 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分. 解(1)设点 ( x, y ) 是函数 y ? f ( x) 的图像上任意一点,由题意可知,点 (? x, ? y) 在 y ? g ( x) 的 图像上, 于是有 ? y ? sin(?2 x) ? (理科) (2)由(1)可知, f ( x) ? 1 sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 1 ? sin(2 x ? ? ) ? 1, x ?[0, ? ] ,记 D ? [0, ? ] .
2 2 3

1 2

3 1 3 cos(?2 x) ? 1, x ? R . 所以, f ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ,x ? R . 2 2 2

由 2k? ? ? ? 2 x ? ? ? 2k? ? ? , k ? Z ,解得 k? ?
2 3 2

5 ? ? ? x ? k? ? , k ? Z , 12 12

则函数 f ( x) 在形如 [k? ?

5 ? ? , k? ? ], k ? Z 的区间上单调递增. 12 12

结合定义域,可知上述区间中符合题意的整数 k 只能是 0 和 1.
? 令 k ? 0 得 D1 ? [? 5 ? , ? ] ; k ? 1 时,得 D1 ? [ 7 ? , 13 ? ] . 所以, D D1 ? [0, ] , D D2 ? [ 7 ? , ? ] .
12 12
12 12

12

12

于是,函数 f ( x) 在 [0, ? ] 上的单调递增区间是 [0, ? ] 和 [ 7 ? , ? ] .
12
12

(文科)

? ? (2)由(1)可知, f ( x) ? 1 sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 1 ? sin(2 x ? ? ) ? 1 . 又 x ? [ ? , ] ,所以, ? ? ? 2 x ? ? ? 4 ? . 4 2 6 3 3 2 2 3
考察正弦函数 y ? sin x 的图像,可知, ?
3 ? ? 1 ? sin(2 x ? ) ? 1 ? 0 2 3

? ? 3 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 , x ? [ ? , ] . 4 2 2 3

于是, ?

所以,当 x ? [ ?

? ?

, ] 时,函数 f ( x) 的取值范围是 ? 4 2

2? 3 ? f ( x) ? 0 . 2

21.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分.
8

解(1)依据题意并结合图形,可知:
10 当点 P 在线段 CB 上,即 0 ? x ? 30 时, y ? 40 x ; 20 当点 P 在线段 BA 上,即 30 ? x ? 40 时,由

6 PQ BF ? ,得 QA ? 48 ? x . 5 QA FA

6 于是, y ? DM ? PM ? DM ? EQ ? 76 x ? x 2 . 5

?40 x, 0<x ? 30 ? 所以, 定义域 D ? (0, 40] . y?? 6 76 x ? x 2 . 30 ? x ? 40 ? 5 ?

(2)由(1)知,当 0 ? x ? 30 时, 0 ? y ? 1200 ; 当 30 ? x ? 40 时, y ? 76 x ? 6 x 2 ? ? 6 ( x ? 95 )2 ? 3610 ? 3610 ,当且仅当 x ?
5 5 3 3 3

95 时,等号成立. 3

3610 因此, y 的最大值为 . 3 95 cm ,然后过点 M 作 DE 的垂线交 BA 于点 P ,再过点 P 作 DE 的平 3 3610 cm2 . 行线交 DC 于点 N ,最后沿 MP 与 PN 截铁皮,所得矩形面积最大,最大面积为 3

答:先在 DE 上截取线段 DM ?

22 本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 7 分,第 3 小题满分 8 分. (理科) 解(1) 对任意 m、p ? N* 都有 am? p ? am ? ap 成立, ∴令 m ? n, p ? 1 , 得 an?1 ? a1 ? an , n ? N* . ∴

1 ? ?a1 ? , 数列 ?an ? ( n ? N )的递推公式是 ? 2 ?a ? a ? a , n ? N* . ? n?1 1 n
*

(2)由(1)可知,数列 ?an ? ( n ? N* )是首项和公比都为 由 an ?

1 1 的等比数列,于是 an ? n ( n ? N* ) . 2 2

b b b1 b ? 2 2 ? 3 3 ? ? ? (?1)n ?1 n n ( n ? N* ),得 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 b3 b b1 b2 ?1 an ?1 ? ? 2 ? 3 ? ? ? (?1) n n ?n ( n ? 2 ). 1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 b b 3 1 故 an ? an ?1 ? (?1) n ?1 n n ? bn ? (?1) n ( n ? 1)(n ? 2) . 当 n ? 1 时 , a1 ? 1 ? b1 ? . 所 以 2 ?1 2 2 ?1 2

?3 , (n ? 1) ? ?2 bn ? ? ?(?1) n ( 1 ? 1). (n ? 2, n ? N* ) ? ? 2n

(3) ∵ cn ? 2n ? ?bn , ∴当 n ? 3 时, cn ? 2n ? (?1) n (

1 ? 1)? , 2n

cn ?1 ? 2n ?1 ? (?1) n ?1 (

1 ? 1)? 2n ?1

9

依据题意,有 cn ? cn ?1 ? 2n ?1 ? (?1)n ? (2 ?

3 2 n ?1 n ) ? 0 ( ? 1) ? ? ? ,即 . 3 2n ?2 2n
3 ?2 2n
n ?1 恒成立,又 2

n ?1 10 当 n 为大于或等于 4 的偶数时,有 ? ? ? 2

3 ?2 2n

随 n 增大而增大,则

? ? 128 ? 2n?1 ? 128 ; (n ? 4) ,故 ? 的取值范围为 ? ? ? ? 3 ? ? 35 35 ? n ?2? ?2 ?min
n ?1 32 20 当 n 为大于或等于 3 的奇数时,有 ? ? 2 恒成立,故 ? 的取值范围为 ? ? ; 19 3

2n

?2

5 3 30 当 n ? 2 时,由 c2 ? c1 ? (22 ? ? ) ? (2 ? ? ) ? 0 ,得 ? ? 8 . 4 2 128 32 ??? 综上可得,所求 ? 的取值范围是 ? . 35 19

(文科) 解(1) 对任意 m、p ? N* 都有 am? p ? am ? ap 成立,a1 ? 2 , ∴令 m ? n, p ? 1 ,得 an?1 ? a1 ? an , n ? N* . ∴数列 ?an ? ( n ? N* )是首项和公比都为 2 的等比数列. (2) 由 an ? ∴ an ? a1 ? 2n?1 ? 2n (n ? N* ) .

b b b1 b + 2 2 ? 3 3 ? ? n n ( n ? N* ), 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 b3 bn ?1 b1 b2 + ? ? ? n ?1 ( n ? 2 ) 得 an ?1 ? 2 ? 1 2 2 ? 1 23 ? 1 2 ?1 bn b ? bn ? 2n ?1 (2n ? 1) ? 22 n ?1 ? 2n ?1 (n ? 2) .当 n ? 1 时, a1 ? 1 ? b1 ? 6 . .故 an ? an ?1 ? n 2 ?1 2 ?1

于是,

?6, (n ? 1) bn ? ? 2 n ?1 n ?1 * ?2 ? 2 . (n ? 2, n ? N )
当 n ? 1 时, B1 ? b1 ? 6 ; 当 n ? 2 时,

Bn ? b1 ? b2 ? b3 ?

? bn +22?n?1 )+(22?1 +23?1 +24?1 + +2n?1 )

=6+(22?2?1 +22?3?1 +22?4?1 + =6+

23 (1 ? 4n ?1 ) 2(1 ? 2n ?1 ) ? 1? 4 1? 2 2 4 = ? 4n ? 2n ? . 3 3 2 4 又 n ? 1 时, Bn ? ? 41 ? 21 ? ? 6 , 3 3
10

综上,有 Bn ? (3)
n ? N*

2 n 4 ? 4 ? 2 n ? ,n ? N * . 3 3 B1 Bn c1 ? 1 ?3 , cn ? n 2 2





cn ?

2 n 4 1 ? 2 ? ? n ?1 3 3 2

, .

? cn ? cn ?1 ?

2 n 4 1 2 4 1 ? 2 ? ? n ? 1 ? ( ? 2 n ?1 ? ? n ?1 ? 1) 3 3 2 3 3 2 2 1 = (2n ?1 ? n ?1 ) ? 0(n ? 2). 3 2

∴数列 ?cn ? ( n ? N* )是单调递增数列,即数列 ?cn ?

中数值最小的项是 c1 ,其值为 3. 23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满 3 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 9 分. 解(1)依据题意,动点 P ( x, y ) 满足 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4 .
? ?2a ? 4, ?b? 2. P ( x , y ) 又| F ,因此,动点 的轨迹是焦点在 轴上的椭圆,且 x F | ? 2 2 ? 4 ? 1 2 ? ? 2c ? 2 2

所以,所求曲线 C 的轨迹方程是

x2 y 2 ? ? 1. 4 2

(2) 设 M ( x0 , y0 ) 是曲线 C 上任一点.依据题意,可得 MG ? MN ? NG, MH ? MN ? NH .
GH 是直径,

? NH ? ? NG .又 |NG|=1 ,
? MG ? MH =( MN ? NG) ? ( MN ? GH ) =( MN ? NG) ? ( MN ? NG) =|MN |2 ? | NG |2 .

1 ? | MN |2 ? ( x0 ? 3)2 ? ( y0 ? 0)2 = ( x0 ? 6) 2 ? 7 . 2

2 2 由 x ? y ? 1, 可得 ?2 ? x ? 2 , 即 ?2 ? x0 ? 2 .

4

2

?1 ?| MN |2 ? 25,0 ?| MN |2 ? | NG |2 ? 24 . ? MG ? MH 的取值范围是 0 ? MG ? MH ? 24 .
(另解 1 ?| MN |2 ? 25 :结合椭圆和圆的位置关系,有 || OM | ? | ON ||?| MN |?| OM | ? | ON | (当且仅 当 M、N、O 共线时,等号成立),于是有 1 ?| MN |? 5 .) (理科) (3)证明 因 A、B 是曲线 C 上满足 OA ? OB 的两个动点,由曲线 C 关于原点对称,可知直线 AB 也关

于原点对称.若直线 AB 与定圆相切,则定圆的圆心必在原点.因此,只要证明原点到直线 AB 的距
11

离( d )是定值即可.
? ? 设 | OA |? r1 ,| OB |? r2 ,点 A(r1 cos? , r1 sin ? ) ,则 B(r2 cos( ? ? ),r2 sin( ? ? )) ? ? (r2 sin ? r2 , cos ? . ) 利
2 2
2 2 1 1 1 r2 用面积相等,有 | OA | ? | OB |? | AB | ?d ,于是 d 2 ? r ? 2 2

2

2

r1 ? r2

1 . 又 A、B 两点在曲线 C 上,故 1 1 ? r12 r12

? cos 2 ? sin 2 ? 1 ? r12 cos 2 ? r1 2 sin 2? ? 4 ? 2 ? r2 , ? ? 1, ? ? ? 1 4 2 可 得 因 此 , 12 ? 12 ? 3 ? 2 ? 2 2 2 2 2 r1 r2 4 ? sin ? ? cos ? ? 1 . ? r2 sin ? ? r2 cos ? ? 1. ? ? 2 r22 ? 4 2 ? 4

所以, d2 ?

4 ,即 d 为定值 3

4 2 3 . 所以,直线 AB 总与定圆相切,且定圆的方程为: x 2 ? y 2 ? . 3 3

(文科) (3)证明 设原点到直线 AB 的距离为 d ,且 A、B 是曲线 C 上满足 OA ? OB 的两个动点.

1 1 ab 2 3 10 若点 A 在坐标轴上,则点 B 也在坐标轴上,有 | OA || OB |? | AB | ?d ,即 d ? . ? 2 2 3 a 2 ? b2

1 2 若点 A( xA , yA ) 不在坐标轴上,可设 OA : y ? kx, OB : y ? ? x . k
0

4 ? 2 ? x2 y 2 xA ? , 2 ? ? ? 1, ? ? 1 ? 2 k 由? 4 2 得? 设 4k 2 2 ? y ? kx. ? y ? . ? ? A 1 ? 2k 2 ?
1 ? 2k
2 , | OB |? 2 1 ? k 2 ,

点 B( xB , yB ) , 同 理 可 得 ,

? 2 4k 2 xB ? , ? ? 2 ? k2 ? ? y2 ? 4 . B ? 2 ? k2 ?

2 于 是 , | OA |? 2 1 ? k 2

2?k

| AB |? OA2 ? OB 2 ?

2 3(1 ? k 2 ) (2 ? k 2 )(1 ? 2k 2 )



1 1 2 3 利用 | OA || OB |? | AB | ?d ,得 d ? . 2 2 3

综合 10 和20 可知,总有 d ?

2 3 2 3 ,即原点 O 到直线 AB 的距离为定值 . 3 3

(方法二:根据曲线 C 关于原点和坐标轴都对称的特点,以及 OA ? OB ,求出 A、B 的一组坐标, 再用点到直线的距离公式求解,也可以得出结论)

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