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2012全国高中数学联赛加试题第一题另解

时间:2013-02-27


一、 解法一: 延长 AM、AN 分别交 ? O1 于 D、E 两点,

A

? ? BAM= ? CAN
? ? ? BD = CE

o o
B M

2

1

? DE//BC
??A M N∽ ?ADE ??A M N与 ?ADE 关于点 A 位似,

L

N

C

D

E

? A 、 O1 、 O2 三点共线.

解法二:

? O1 为 ?ABC 的外心, ??BAO1 =90 ? ?
1 ?AO1B =90 ? ? ? C, 2

A

同理, ?MAO2 =90 ? ? ? ANM

? ?B A O = ?MAO2 + ? BAM 2
=90 ? ? ? ANM+ ? BAM =90 ? ? ( ? ANM ? ? CAN) =90 ? ? ? C

o o
B M

2

1

N

C

? ?B A O= ?BAO2 1 ? A 、 O1 、 O2 三点共线.

解法三: 作 AL ? BC 与 L 点,

A

? O1 为 ?ABC 的外心, ??BAO1 =90 ? ?
1 ?AO1B 2

=90 ? ? ? C= ? LAC, 同理 ?MAO2 = ? LAN,又 ? BAM= ? CAN

o o
B M

2

1

L N

C

? ?BAO2 = ? BAM+ ?MAO2
= ? CAN+ ? LAN = ? LAC= ?BAO1

? A 、 O1 、 O2 三点共线.


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