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2012全国高中数学联赛加试题四另解


四、证法一 证明: (1)令 n ? 2 k
(k ? 2 , )

则 Sn ? 1 ? ? ? ...... ?

1 1 1 2 3 n 1 1 1 1 1 1 ? 1 ? ? ( ? ) ? ...... ? ( k ?1 ? k ?1 ? ...... ? k ) 2 3 4 2 ?1 2 ? 2 2 1 1 1 1 1

1 ? 1 ? ? ( ? ) ? ...... ? ( k ? k ? ...... ? k ) 2 4 4 2 2 2 k ? ?1 2

? 对 ?x ? 0 ,均存在 n ? N? 使 Sn ? x ,

即 n 趋于无穷大时, Sn 趋于无穷大. (2)?0 ? a ? b ? 1,
? 存在正整数 N ,使得: N ?

1 ? N ? 1, b?a



1 1 ?b?a ? . N ?1 N

令 ? Sn ? ? A , 由(1)中结论对 ?j ? 2( j ? N? ) 存在一个最大的下标 m j ( m j 由 j 唯一确定 ) , 满足 Sm j ? A ? j ? a , 则 Sm j ?1 ? A ? j ? a , 又 SN ?1 ? SN ?
1 ? A ?1?1 ? A ? j ? a , N ?1



?mj ? N ?1 .

而 Sm ?1 ? Sm ?
j j

1 1 ? A? j ? a ? ? A ? j ? a ? (b ? a) mj ?1 N ?1

? A? j ?b


j



由①、②得 A ? j ? a ? Sm ?1 ? A ? j ? b ,
? Sm j ?1 ? ? Sm j ?1 ? ? (a, b) (对 ?j ? 2, j ? N? 成立) . ? ?

又 Sn?1 ? Sn ?1 (对 ?n ? N? ) ,以及对 m j 的定义得: 对 ?k ? l , mk ? ml .
? 存在无穷多个 n ,使得 ( Sn ? ? Sn ?) ? (a, b) .

证法二
先证 ?ln n? 在 ? 0,1? 上稠密 ( n 为正整数)其中 ?ln n? ? ln n ? ? ln n ? 引理1: ?ln n? 可以无限趋近于 0 对于 ?? ? 0 (正向趋近)

存在 t ,使得 ? ?

1 t

现将 ? 0,1? 分成 t 份为 ? 0, t ? , ?t , 2t ? ......?1 ? t ,1? 由于存在 m ,使得 ln m 为无理数,设为 ? 考察 ??n? ? (n ? 1, 2,3...... t ?1) 由抽屉原理知必存在 i, j ,使得 ??i? ? , ?? j? ? 落入同一区间 不妨设 i ? j 则 ??( j ? i)? ? ? ? 0, t ? 或 ?1 ? t ,1? (1)若 ??( j ? i)? ? ? ?1 ? t ,1? ? (1 ? ? ,1)

??( j ? i)?? ? ? 0, ? ? 得证!
(2) ??( j ? i)? ? ? ? 0, t ?

存在 q 使得 q ??( j ? i)? ? ? 1 ? (q ? 1) ??( j ? i)? ? 考察 ??( j ? i)q? ? ,由 q ??( j ? i)? ? ? 1

??( j ? i)q?? ? q ??( j ? i)??
若 q ??( j ? i)? ? ? 1 ? t ,则 (q ? 1) ??( j ? i)? ? ? 1 ? t ? t ? 1 而 1 ? (q ? 1) ??( j ? i)? ? 矛盾!

??( j ? i)q?? ? ?1 ? t,1? ? (1 ? ? ,1)
??( j ? i)q? ? ? ? 0, ? ?
成立 存在无穷多 mi

引理2:由稠密定义知要证 ?n1 , n2

使 ?ln mi ? 在 ?ln n1? 和 ?ln n2 ? 之中即可 不妨设 ?ln n2 ? ? ?ln n1? 设 t ? ?ln n2 ? ? ?ln n1?

?0 ? t ? 1

由引理1知存在 ?ln p1? 可以无限趋近于0 从而可以找到 0 ? ?ln p1? ? t

??ln n2 ? ? ?ln n1? ? ?ln p1? ? ?ln n1?
这时 ?ln n1? ? ?ln p1? ? (0,1)

??ln n1? ? ?ln p1? ? ?ln n1 ? ln p1? ? ?ln n1 p1?
取 m1 ? n1 p1 即可 接下来可以找到 ?ln p2 ? 使得:

0 ? ?ln p2 ? ? ?ln p1?

同理取 m2 ? n1 p2

重复以上步骤

? 存在无穷多 mi ? ?ln n? 在 ?0,1? 上稠密
补充引理: y ? ?ln n? 为单射 ( n 为正整数) 反证,若不是则存在 t1 、 t 2 ( t1 ? t2 ) 使得: ?ln t1? ? ?ln t2 ? ? a

? t1 ? e k1 ? a , t2 ? e k2 ? a

k1 , k2 ? N ?

?

t1 ? ek1 ? k2 t2

左边为有理数,右边为无理数 矛盾!

? y ? ?ln n? 为单射 ? 之前 mi 取的无穷多个得以保证
设 f ? n? ? 1?

1 1 1 ? ? ...... ? ? ln(n ? 1) ? Sn ? ln(n ? 1) 2 3 n

先证: x ? ln( x ? 1) 令 g ( x) ? x ? ln( x ? 1)

(x ? ? 1 )

? g ?( x) ?

x 1? x

? g ( x ) 在 ? 0, ?? ? 单增, ? ?1, 0 ? 单减

? g ? 0 ? 为极小值
? g ( x) ? g (0) ? 0 ? x ? ln( x ? 1) 得证


1 n ?1 1 n ?1 ? ? ln( ) ? ln( ) n n n ?1 n 1 1 1 ? f ? n ? ? 1 ? ? ? ...... ? ? ln(n ? 1) 2 3 n 2 3 n ?1 ? ln( ) ? ln( ) ? ...... ? ln( ) ? ln(n ? 1) ? 0 1 2 n 1 1 1 ? f ? n ? ? 1 ? ? ? ...... ? ? ln(n ? 1) 2 3 n 2 3 4 n ? 1 ? ln( ) ? ln( ) ?ln( ) ? ...... ? ln( ) ? ln(n ? 1) 1 2 3 n ?1 n ?1 ? 1 ? ln( ) ?1 n
? 1 ? f (n) ? 0
下证: f ( n) 单增

1 1 1 f (n ? 1) ? f (n) ? 1 ? ? ? ...... ? ? ln(n ? 2) 2 3 n ?1
1 ? 1 1 ? ? ?1 ? ? ? ...... ? ? ln(n ? 1) ? n ? 2 3 ?

1 n?2 1 1 ? ln( )? ? ln(1 ? ) n ?1 n ?1 n ?1 n ?1 1 由① x ? 知成立 n ?1 ?
? 1 ? f (n) ? 0 且 f (n) 单增
? f (n) 存在极限,设为 ?
当 n ? A 时, 0 ? ? ? f (n) ? ?

(? ? 0) ( A 可以很大)

?? ? ln(n ?1) ? Sn ? ? ? ln(n ?1) ? ?
?n ? 2 S n 不再是整数
可以找到 ? ,使??? ? ln(n ? 1)? ? ?? ? ln(n ? 1) ? ? ?

??? ? ln(n ? 1)? ? ?Sn ? ? ?? ? ln(n ? 1) ? ? ?

??ln(n ? 1)? 在 ?0,1? 稠密
? ?ln(n ? 1) ? ? ? 在 ?0,1? 稠密

?? 可以无限的接近 0
??ln(n ? 1) ? ? ? ? ? 在 ?0,1? 稠密 ??Sn ? 在 ?0,1? 稠密 (两边夹)
? 存在无穷多 ? S n ? 使得 0 ? a ? ?Sn ? ? b ? 1


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