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高一数学等差数列练习题


【等差数列】
本卷共 100 分,考试时间 90 分钟 一、选择题 (每小题 4 分,共 40 分) 1. 数列 1,0,1,0,1,? 的一个通项公式是 (
n ?1


n ? ? 1? ? 1 ?

1 ? ?? 1? A. a n ? 2

n ?1

1 ?

?? 1? B. a n ? 2

C. a n

2

? 1 ? ?? 1? D. a n ? 2

n

2. 已知 an?1 ? an ? 3 ? 0 ,则数列 ?an ? 是 ( A. 递增数列 B. 递减数列 C. 常数列

) D. 摆动数列 )A. 第

3. 数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 3n 2 ? 28n ,则数列 ?an ? 各项中最小项是 ( 4项 B. 第 5 项 C. 第 6 项 D. 第 7 项

4. 设 {an } 是公差为正数的等差数列,若 a1 ? a2 ? a3 ? 15, a1a2 a3 =80,则 a11 ? a12 ? a13 = (A)120 (B)105 (C)90 (D)75

5. 等差数列 {an } 中,前 n 项 S n ? A.

1 2 a3 n ? n ,则 a3 的值为 2 2
C.

3

B.

4

5

D. 6 )

6. 已知某等差数列共有 10 项,其奇数项之和为 15,偶数项之和为 30,则其公差为( A.3 B.4 C.5 D.2 ( D.-8

7. 等差数列 {an } 中, a1 ? 3a8 ? a15 ? 120 , 则2a9 ? a10 ? A.24 B.22 C.20



8. 已知等差数列 ?an ? 中, a 2 ? 7 , a4 ? 15 ,则前 10 项和 S10 = (A)100 (B)210 (C)380 (D)400

9. 设 S n 是等差数列 {an } 的前 n 项和,若 S7=35,则 a4= (A)8 (B)7 (C)6 (D)5

10. 已知 ?an ? 为等差数列, a1 ? a3 ? a5 ? 105 , a2 ? a4 ? a6 ? 99 , Sn 是等差数列 ?an ? 的 前 n 项和,则使得 Sn 达到最大值的 n 是( A.21 B.20 C.19 ) D.18

二、填空题 (每小题 4 分,共 16 分)

11. 数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 2n2 ? 3n ,则 an ? 12. 已知{an}为等差数列,且 a7-2a4=-1,a3=0,则公差 d= 13. 已知椭圆 的公差不小于

。 .

x2 y2 + =1 上有 n 个不同的 P1,P2,P3,……Pn,设椭圆的右焦点为 F, 数列{|FPn|} 4 3

1 的等差数列,则 n 的最大值为 1004



14. 某单位用 3.2 万元购买了一台实验仪器, 假设这台仪器从启用的第一天起连续使用, 第

n 天的维修保养费为
天.

n ? 49 (n ? N ? ) 元,若使用这台仪器的日平均费用最少,则一共使用了 10

三、解答题 (共 44 分,写出必要的步骤) 15.(本小题满分 10 分) 已知数列 {a n } 中, a1 ? , an ? 2 ? 足
bn ? 1 (n ? N ? ) ; an ? 1
3 5

1 (n ? 2, n ? N ? ) ,数列 {b n } 满 an?1

(1) (2)

求证:数列 {b n } 是等差数列; 求数列 {a n } 中的最大值和最小值,并说明理由

16. (本小题满分 10 分) 在数列 ? an ?中, a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 2n (1)设 bn ?

an , 证明 ?bn ?是等差数列; 2 n ?1

(2)求数列 ? an ?的前 n 项和 Sn 。 17. (本小题满分 12 分)已知等差数列 ?an ? 的前三项为 a ? 1, 4, 2a, 记前 n 项和为 Sn . (Ⅰ)设 Sk ? 2550 ,求 a 和 k 的值;

Sn ,求 b3 ? b7 ? b11 ???? ? b4n?1 的值. n 18. (本小题满分 12 分)设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 10, an?1 ? 9Sn ? 10 。
(Ⅱ)设 bn ? (I)求证: {lg an } 是等差数列; (Ⅱ)设 Tn 是数列 ?

?

? 3 ? 的前 n 项和,求 Tn ; ? (lg an )(lg an ?1 ) ?
2

? (Ⅲ)求使 Tn ? ( m ? 5m) 对所有的 n ? N 恒成立的整数 m 的取值集合。

1 4

答案

一、选择题 1. B 2. A 3. B 4. B 5. C 6. A 7. A 8. B 9. D

10. 解析:由题设求得: a3 ? 35, a4 ? 33 ? d ? ?2, a1 ? 39 ? an ? 41 ? 2n ,

a20 ? 1, a21 ? ?1, 所以当 n ? 20 时 Sn 最大。故选 B

二、填空题 11. an ? 4n ? 5 12. -
1 ; 2

13. 2009 14. 800 三、解答题 15. 解析: (1) bn ?
1 1 1 a , ? ? n ?1 ,而 bn ?1 ? an ?1 ? 1 an ? 1 (2 ? 1 ) ? 1 an ?1 ? 1 an ?1
5 1 5 ? ? ;故数列 {b n } 是首项为 ? ,公差为 1 的等差数列; 2 a1 ? 1 2 2 1 2 ;设函数 f ( x) ? 1 ? , ? 1? 2x ? 7 bn 2n ? 7

∴ bn ? bn?1 ? 1(n ? 2, n ? N ? ) , b1 ?
7 2

(2)由(1)得 bn ? n ? ,则 an ? 1 ? 函数 f ( x) ? 1 ?

2 7 7 在 (??, ) 和 ( ,??) 上均为减函数,当 x ? 3 时, f ( x) ? f (3) ? ?1 ;当 2x ? 7 2 2 3 ,当 n 趋向于 ?? 时, f ( x ) 接近 1, 5

x ? 4 时, f ( x ) ? f ( 4) ? 3 ;且 f (1) ?

∴ (an )min ? a3 ? ?1 , (an )max ? a4 ? 3 . 16. 解析: (1)由已知 an?1 ? 2an ? 2n 得

bn ?1 ?

an ?1 2an ? 2 n a ? ? nn ? 1 ? bn ? 1, n n 2 2 2 ?1

又 b1 ? a1 ? 1

? ?bn ?是首项为 1,公差为 1 的等差数列;
(2)由(1)知

an ? n,? a n ? n ? 2 n ?1 2 n ?1

Sn ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 22 ? ? ? n ? 2n?1 2S n ? 2 ? 2 ? 2 2 ? 3 ? 2 3 ? ? ? n ? 2 n
两式相减得 ? Sn ? 1 ? 2 ? 22 ? 23 ? ?2n?1 ? n ? 2n

? Sn ? (n ? 1) ? 2n ? 1

17. 解析:(Ⅰ)由已知得 a1 ? a ?1, a2 ? 4, a3 ? 2a ,又 a1 ? a3 ? 2a2 ,

? (a ? 1) ? 2a ? 8, 即 a ? 3 .

…………………………(2 分)

? a1 ? 2 ,公差 d ? a2 ? a1 ? 2 .
由 S k ? ka1 ?

2k ?

k (k ? 1) ? 2 ? 2550 2

k (k ? 1) d ,得 2

…………………………(4 分)

2 即 k ? k ? 2550 ? 0 .解得 k ? 50 或 k ? ?51 (舍去).

? a ? 3, k ? 50 .
(Ⅱ)由 S n ? na1 ?

…………………………(6 分)

n(n ? 1) d, 得 2 n(n ? 1) S n ? 2n ? ? 2 ? n 2 ? n. 2 S ? bn ? n ? n ? 1 n

…………………………(8 分) …………………………(9 分)

??bn ? 是等差数列.
则 b3 ? b7 ? b11 ? ? ? b4n?1 ? (3 ? 1) ? (7 ? 1) ? (11 ? 1) ? ?? (4n ?1 ? 1)

?

(4 ? 4n) n 2

………………………(11 分) ……………………(12 分)

?b3 ? b7 ? b11 ? ?? b4n?1 ? 2n2 ? 2n
18. 解析: (I)依题意, a2 ? 9c1 ? 10 ? 100 故

a2 ? 10 a1

当 n ? 2 时, an?1 ? 9Sn ? 10

an ? 9Sn?1 ? 10

①-②得:

an ?1 ? 10 an

故 {an } 为等比数列,且 an ? a1qn?1 ? 10n (n ? N ? ) ,

? lg an ? n

?lg aa?1 ? lg an ? (n ? 1) ? n ? 1
即 {lg an} 是等差数列 (Ⅱ)由(I)知, Tn ? 3(

1 1 1 ? ??? ) 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1)

1 1 1 1 1 3 ? 3(1 ? ? ? ? ? ? ? ) ? 3? 2 2 3 n n ?1 n ?1
(Ⅲ)? Tn ? 3 ?

3 n ?1
3 2

? 当 n ? 1 时, Tn 取最小值
依题意有

3 1 2 ? ( m ? 5m ) 2 4

解得 ?1 ? m ? 6 故所求整数 m 的取值集合为{0,1,2,3,4,5}


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