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知能巩固提升(六) 课后巩固作业(六) 1.3.2

时间:2013-04-08


人教 A 选修 2-2 1.3.2 课后巩固作业(六)
(30 分钟 一、选择题(每小题 4 分,共 16 分) 1.函数 f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数 f′(x)在(a,b)内的图象如图所 示,则函数 f(x)在开区间(a,b)内有极小值点的个数为( ) 50 分)

(A)1

(B)2

(C)3
2 x

(D)4 )

2.(2012·陕西高考)设函数 f(x)= +lnx,则(
1 2 1 (B)x= 为 f(x)的极小值点 2

(A)x= 为 f(x)的极大值点

(C)x=2 为 f(x)的极大值点 (D)x=2 为 f(x)的极小值点 3.三次函数当 x=1 时,有极大值 4;当 x=3 时,有极小值 0,且函数过原点,则 此函数是( ) (B)f(x)=x3-6x2+9x (D)f(x)=x3+6x2-9x )

(A)f(x)=x3+6x2+9x (C)f(x)=x3-6x2-9x

2 4.如图是函数 f(x)=x3+bx2+cx+d 的大致图象,则 x1 ? x 2 等于( 2

(A)

2 3

(B)

4 3
-1-

(C)

8 3

(D)

12 3

二、填空题(每小题 4 分,共 8 分) 5.(易错题)已知函数 f(x)= x 3 ? x 2 ? cx ? d 有极值, c 的取值范围为________. 则 6.(2012·昆明高二检测)如果函数 y=f(x)的导函数的图象如图所示,给出下列 判断:
1 3 1 2

(1)函数 y=f(x)在区间(-3, ? )内单调递增; (2)函数 y=f(x)在区间( ? ,3)内单调递减; (3)函数 y=f(x)在区间(4,5)内单调递增; (4)当 x=2 时,函数 y=f(x)有极小值; (5)当 x= ? 时,函数 y=f(x)有极大值. 则上述判断中正确的是______. 三、解答题(每小题 8 分,共 16 分) 7.a 为实数,函数 f(x)=x3-x2-x+a. (1)求 f(x)的极值; (2)当 a 在什么范围内取值时,曲线 y=f(x)与 x 轴仅有一个交点? 8.(2012·嘉兴高二检测)已知函数 f(x)=x2+(2a-1)x-alnx.a<0 时,求 f(x)的 极小值. 【挑战能力】 (10 分)设函数 f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8,其中 a∈R.
1 2 1 2

1 2

-2-

(1)若 f(x)在 x=3 处取得极值,求常数 a 的值; (2)若 f(x)在(-∞,0)上为增函数,求 a 的取值范围.

答案解析
1.【解析】选 A.从 f′(x)的图象可知 f(x)在(a,b)内从左到右的单调性依次为 增→减→增→减, ?在(a,b)内只有一个极小值点. 2.【解题指南】先根据导数等于 0 求出极值点,再根据导数的正、负判断函数 的单调性,判断极值点是极大值点还是极小值点. 【解析】选 D. ≧f(x)= +lnx,?f′(x)= ?
? 2 x 2 1 ? ,令 f′(x)=0,即 x2 x

2 1 x?2 ? ? 2 =0,解得 x=2.当 x<2 时,f′(x)<0;当 x>2 时,f′(x)>0,所以 x2 x x

x=2 为 f(x)的极小值点. 【变式训练】设 a∈R,若函数 y=f(x)=eax+3x,x∈R 有大于零的极值点,则( (A)a>-3 (C)a> ?
1 3

)

(B)a<-3 (D)a< ?
1 3

【解析】选 B.f′(x)=aeax+3,若函数有大于零的极值点,则 f′(x)=0 有正根,
?a<0, 1 3 显然 a<0,解 ae +3=0 得 x= ln(? ) ,由 x>0,得 ? 3 即 a<-3. ? a a ? <, 1 ? a ?
ax

3.【解析】选 B.设函数解析式为 f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),

-3-

则 f′(x)=3ax2+2bx+c.
?f ? 0 ? ? 0, ? ?f ?1? ? 4, 由题意知 ? ?f ? 3? ? 0, ?f ? 1 ? f ? 3 ? 0, ? ? ? ? ?

解得 a=1,b=-6,c=9,d=0. ?函数解析式为 f(x)=x3-6x2+9x.故选 B. 4.【解析】选 C.函数 f(x)=x3+bx2+cx+d 图象过点(0,0),(1,0),(2,0),得 d=0, b+c+1=0,4b+2c+8=0,则 b=-3,c=2,f′(x)=3x2+2bx+c=3x2-6x+2,且 x1,x2 是函 数 f(x)=x3+bx2+cx+d 的两个极值点,即 x1,x2 是方程 3x2-6x+2=0 的实根,
2 2 x1 ? x 2 ? ? x1 ? x 2 ? ? 2x1x 2 ? 4 ? 2

4 8 ? . 3 3

5.【解析】≧f′(x)=x2-x+c 且 f(x)有极值,?f′(x)=0 有不等的实数根,即 Δ=1-4c>0. 解得 c< . 答案:c<
1 4 1 4 1 4

【误区警示】 本题易出现Δ=1-4c≥0 即 c≤ 的情况, 这是因为对函数极值的概 念理解不透彻造成的.函数有极值,隐含导函数的图象过 x 轴. 6.【解析】由导函数的图象知: 当 x∈(-≦,-2)时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 当 x∈(-2,2)时,f′(x)>0,f(x)单调递增; 当 x∈(2,4)时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 当 x∈(4,+≦)时,f′(x)>0,f(x)单调递增; 在 x=-2 时,f(x)取极小值;

-4-

在 x=2 时,f(x)取极大值; 在 x=4 时,f(x)取极小值. 所以只有(3)正确. 答案:(3) 7.【解析】(1)f′(x)=3x2-2x-1. 令 f′(x)=0,则 x= ? 或 x=1. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f'(x) f(x) (-≦, ? ) + ↗
1 3 1 3 ? 1 3 1 3

( ? ,1) ↘

1 3

1 0 a-1

(1,+≦) + ↗

0
5 +a 27

?f(x)的极大值是 f( ? )= (2)函数 f(x)=x3-x2-x+a =(x-1)2(x+1)+a-1,

5 +a,极小值是 f(1)=a-1. 27

由此可知,x 取足够大的正数时,有 f(x)>0,x 取足够小的负数时,有 f(x)< 0, ?曲线 y=f(x)与 x 轴至少有一个交点. 由(1)知 f(x)极大值=f( ? )= f(x)极小值=f(1)=a-1, ≧曲线 y=f(x)与 x 轴仅有一个交点, ?f(x)极大值<0 或 f(x)极小值>0,
5 +a<0 或 a-1>0. 27 5 ?a< ? 或 a>1. 27 1 3 5 +a, 27



-5-

【方法技巧】利用函数的极值研究方程的根的个数的方法 对于函数 y=f(x)的图象与直线 y=a 的交点问题我们可以转化为方程 f(x)=a 的根 的个数问题来解决.解题时,我们可以遵循以下步骤: (1)利用导数判断函数 y=f(x)的单调性及极值等情况,进而得到函数的大致图 象; (2)研究函数 y=f(x)与 y=a 的交点问题; (3)根据交点个数写出方程根的情况. 如果方程是三次方程 f(x)=0,也可按照如下步骤处理: (1)求导函数 y=f′(x),解不等式 f′(x)>0 和 f′(x)<0,确定函数的单调性 及极值等情况,进而得到函数的大致图象; (2)由大致图象结合交点个数或根的个数写出不等式(组),主要看极大值和极小 值与 0 的关系; (3)解不等式(组)即可. 8.【解析】f(x)的定义域为(0,+≦),f′(x)=2x+2a-1- = 令 f′(x)=0 得 x1=-a>0,x2= . ①若-a> 即 a< ? 时,f′(x),f(x)随 x 的变化情况如下表:
1 2 1 2 1 2 a x

? x ? a ?? 2x ? 1? .
x

x f′(x) f(x)

(0, ) + ↗

1 2

1 2

( ,-a) ↘

1 2

-a 0 极小值

(-a,+≦) + ↗

0 极大值

此时 f(x)的极小值为 f(-a)=-a2+a-aln(-a);
-6-

②若-a= 即 a= ? 时, f′(x)≥0,f(x)在(0,+≦)上无极值; ③ 若-a< 即 a> ? 时,f′(x),f(x)随 x 变化情况如下表: x f′(x) f(x) (0,-a) + ↗
1 2 1 2 1 2

1 2

1 2

-a 0 极大值
1 4

(-a, ) ↘
1 2

1 2

1 2

( ,+≦) + ↗

1 2

0 极小值

此时 f(x)的极小值为 f( )=a- -aln . 综上所述:a< ? 时, 极小值为 f(-a)=-a2+a-aln(-a); a= ? 时,无极小值; a> ? 时,极小值为 f( ) ? a ? ? aln . 【挑战能力】 【解析】(1)f′(x)=6x2-6(a+1)x+6a =6(x-a)(x-1). 因 f(x)在 x=3 处取得极值, 所以 f′(3)=6(3-a)(3-1)=0,解得 a=3. 经检验知当 a=3 时,x=3 为 f(x)为极值点. (2)令 f′(x)=6(x-a)(x-1)=0 得 x1=a,x2=1. 当 a<1 时,若 x∈(-≦,a)∪(1,+≦), f′(x)>0, 则 所以 f(x)在(-≦,a)和(1,+ ≦)上为增函数,故当 0≤a<1 时,f(x)在(-≦,0)上为增函数. 当 a≥1 时, x∈(-≦,1)∪(a,+≦), f′(x)>0, 若 则 所以 f(x)在(-≦,1)和(a, +≦)上为增函数,从而 f(x)在(-≦,0)上也为增函数.
-7-

1 2

1 2

1 2

1 2

1 4

1 2

综上所述,当 a∈[0,+≦)时,f(x)在(-≦,0)上为增函数. 【举一反三】(2011·安徽高考)设 f(x)= (1)当 a= 时,求 f(x)的极值点; (2)若 f(x)为 R 上的单调函数,求 a 的取值范围. 【解析】≧f′(x)= e x
4 3 4 3

ex ,其中 a 为正实数. 1 ? ax 2

1 ? ax 2 ? 2ax

?1 ? ax 2 ?

2

.①

(1)当 a= 时,若 f′(x)=0,则 4x2-8x+3=0, 解得 x= 或 x= . 可知当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x)
3 2 3 2 1 2

(-≦, ) + ↗
1 2

1 2

1 2

( , ) ↘

1 3 2 2

3 2

( ,+≦) + ↗

3 2

0
3 1 e2 4

0
3

e2 4

所以,x= 是极小值点,x= 是极大值点. (2)若 f(x)为 R 上的单调函数,则 f′(x)在 R 上不变号,结合①与条件 a>0, 知 ax2-2ax+1≥0 在 x∈R 上恒成立,因此Δ=4a2-4a=4a(a-1)≤0,由此并结合 a >0,知 0<a≤1.

-8-


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