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三角恒等变换和解三角形测试题


三角恒等变换和解三角形测试题
一、选择题
1. 已知 x ? ( ? A.
7 24

?
2

, 0) , co s x ?
? 7 24

4 5

,则 tan 2 x ? ( D.
? 24 7



B.

C.

24 7

2. 函数 y ? 3 sin x ? 4 cos x ? 5 的最小正周期是( A.
?
5



B.

?
2

C.

?

D.

2?

3. 在△ABC 中, cos A cos B ? sin A sin B ,则△ABC 为( A. 锐角三角形
0

) D. 无法判定 ,

B. 直角三角形
0 0

C. 钝角三角形
0

4. 设 a ? sin 14 ? cos 14 , b ? sin 16 ? cos 16 , c ? 则 a , b , c 大小关系( A. C.
a?b?c c ? b? a

6 2


b? a?c a ? c? b

B. D.

5. 函数 y ?

2 sin(2 x ? ? ) cos[2( x ? ? )] 是(



A. 周期为 C. 周期为

?
4

的奇函数 的奇函数
2 3

B. 周期为 D. 周期为

?
4

的偶函数 的偶函数

?
2

?
2

6. 已知 cos 2 ? ?
13 18

,则 sin ? ? cos ? 的值为(
4 4



A.

B.

11 18

C.
0

7 9

D.

?1
0

7. 在△ABC 中,若 C ? 90 , a ? 6 , B ? 30 ,则 c ? b 等于( A.
1



B.

?1

C.

2 3

D.

?2 3

8. 若 A 为△ABC 的内角,则下列函数中一定取正值的是( A. s i n A B. c o s A C.
t a nA



D.

1 t a nA

9. 在△ABC 中,角 A , B 均为锐角,且 cos A ? sin B ,

则△ABC 的形状是( ) A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
0 10. 等腰三角形一腰上的高是 3 ,这条高与底边的夹角为 60 ,

则底边长为( A.
2


3 2

B.

C.

3

D.

2 3

11. 在△ A B C 中,若 b ? 2 a sin B ,则 A 等于( A.
30 或 60
0 0


0

B.

45 或 60

0

0

C.

120 或 60

0

D. )
0

30 或 1 5 0

0

0

12. 边长为 5, 7 , 8 的三角形的最大角与最小角的和是( A.
90
0

B.

120

0

C.

135

0

D.

150

二、填空题
1. 求值: tan 2 0 ? tan 4 0 ?
0 0

3 tan 2 0 tan 4 0 ? _____________.
0 0

2. 若

1 ? tan ? 1 ? tan ?

? 2 0 0 8, 则

1 co s 2 ?

? tan 2 ? ?

.

3. 函数 f ( x ) ? cos 2 x ? 2 3 sin x cos x 的最小正周期是___________.
?
2

4. 已知 sin

? co s

?
2

?

2 3 3

, 那么 sin ? 的值为

, cos 2? 的值为 时, co s A ? 2 co s

.
B?C 2

5.

? A B C 的三个内角为 A 、 B 、 C ,当 A 为

取得最大

值,且这个最大值为
0

.

6. 在 Rt △ABC 中, C ? 9 0 ,则 sin A sin B 的最大值是_______________. 7. 在△ABC 中,若 a ? b ? bc ? c , 则 A ? _________.
2 2 2

8. 在△ABC 中,若 b ? 2 , B ? 30 , C ? 135 , 则 a ? _________.
0 0

9. 在△ABC 中,若 sin A ∶ sin B ∶ sin C ? 7 ∶ 8 ∶ 13 ,则 C ? _____________. 10. 在△ABC 中, AB ?
6 ? 2 , C ? 3 0 ,则 A C ? B C 的最大值是________.
0

三、解答题
1. 已知 sin ? ? sin ? ? sin ? ? 0, cos ? ? cos ? ? cos ? ? 0, 求 co s( ? ? ? ) 的值.

2. 若 sin ? ? sin ? ?

2 2

, 求 cos ? ? cos ? 的取值范围.

3. 求值:

1 ? co s 2 0 2 sin 2 0
0

0

? sin 1 0 (tan
0

?1

5 ? tan 5 )
0 0

4. 已知函数 y ? sin

x 2

?

3 cos

x 2

, x ? R.

(1)求 y 取最大值时相应的 x 的集合;

(2)该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到 y ? sin x ( x ? R ) 的图象.

5. 在△ABC 中,若 a cos A ? b cos B ? c cos C , 则△ABC 的形状是什么?

6. 在△ABC 中,求证:

a b

?

b a

? c(

cos B b

?

cos A a

)

7. 在锐角△ABC 中,求证: sin A ? sin B ? sin C ? cos A ? cos B ? cos C .

8. 在△ABC 中,设 a ? c ? 2 b , A ? C ?

?
3

, 求 sin B 的值.

参考答案
一、选择题 1. D 2. D 3. C
x ? (?

?
2

, 0 ) , co s x ?

4 5

, sin x ? ? 2? 1 ? 2?

3 5

, tan x ? ?

3 4

, tan 2 x ?

2 tan x 1 ? tan x
2

? ?

24 7

y ? 5 sin ( x ? ? ) ? 5, T ?

cos A cos B ? sin A sin B ? cos( A ? B ) ? 0, ? cos C ? 0, cos C ? 0, C 为钝角

4. D

a ?

2 sin 5 9 , b ?
0

2 sin 6 1 , c ?
0

2 sin 6 0

0

5. C

y ? ?

2 sin 2 x co s 2 x ? ?

2 2

sin 4 x ,为奇函数, T ?

2? 4

?

?
2

6. B

sin ? ? co s ? ? (sin ? ? co s ? ) ? 2 sin ? co s ? ? 1 ?
4 4 2 2 2 2 2

1 2

sin 2 ?
2

?1 ?

1

11 2 ( 1 ? c o s? 2 ?) 2 18
0 0

7. C 8. A 9. C

b a

? tan 3 0 , b ? a tan 3 0 ? 2 3 , c ? 2 b ? 4 4 , c ? b ? 2 3

0 ? A ? ? , sin A ? 0

co s A ? sin (

?
2

? A ) ? sin B ,

?
2

? A , B 都是锐角,则

?
2

? A ? B, A ? B ?

?
2

,C ?

?
2

10. D 作出图形 11. D
b ? 2 a sin B , sin B ? 2 sin A sin B , sin A ?
5 ?8 ?7
2 2 2

1 2

, A ? 3 0 或1 5 0
0

0

12. B 设中间角为 ? ,则 co s ? ? 二、填空题 1.
3

2?5?8

?

1 2

, ? ? 6 0 ,1 8 0 ? 6 0 ? 1 2 0 为所求
0 0 0 0

tan 6 0 ? tan ( 2 0 ? 4 0 ) ?
0 0 0

tan 2 0 ? tan 4 0
0 0

0 0

1 ? tan 2 0 tan 4 0
0 0

?

3

3?

3 tan 20 tan 40 ? tan 20 ? tan 40
0 0

2.

2008

1 c o s? 2
?

?tan? ? 2
2

? c o? 2 s

1

sin 2 ?

? 1 s?i n 2 ? cos 2 ? ?c o s 2
? 1 ? tan ? 1 ? tan ? ? 2008

(co s ? ? sin ? )
2 2

co s ? ? sin ?

?

co s ? ? sin ? co s ? ? sin ?

3. 4. 5.

?

6.

? 2? 2 c x ?s (, T ? ) ? ? o 2 3 2 1 7 ? ? 2 4 1 7 2 (sin ? co s ) ? 1 ? sin ? ? , sin ? ? , co s 2 ? ? 1 ? 2 sin ? ? , 2 2 3 3 9 3 9 B? C A A A 0 3 2 60 , c o sA ? 2 c o s ? cos A? 2 ?i n s ? 1 2 sin ? 2 sin 2 2 2 2 2 A A 1 2 3 2 A ? ? 2 sin ? 2 sin ? 1 ? ? 2 (sin ? ) ? 2 2 2 2 2 A 1 B?C 3 0 ) m ax ? 当 sin ? ,即 A ? 60 时,得 (co s A ? 2 co s 2 2 2 2 1 1 1 sin A sin B ? sin A co s A ? sin 2 A ? 2 2 2
f ( x ) ? c o s x? 2 3 s i x ?2 n

7.

120

0

c o sA ?

b ?c ?a
2 2

2

? ?

1 2

A? ,

120

0

2bc
a sin A b sin B

8.

6 ?

2

A ? 15 ,
0

?

,a ?

b sin A sin B

? 4 sin A ? 4 sin 1 5 ? 4 ?
0

6 ?2 4

9.

120

0

a ∶ b ∶ c ? sin A ∶ sin B ∶ sin C ? 7 ∶ 8 ∶ 13 ,
a ?b ?c
2 2 2

令 a ? 7 k , b ? 8 k , c ? 13 k co s C ?
AC sin B ? 2( 6 ? ? 4 co s ? BC sin A ? AB

? ?

1 2

, C ? 120

0

2ab

10.

4

sin C sin B ? sin A

,

AC ? BC

?

AB sin C

, A C? B C A?B 2 co s A?B 2

2 )(sin A ? sin B ) ? 4 ( 6 ? ? 4, ( A C ? B C ) m ax ? 4

2 ) sin

A?B 2

三、解答题 1. 解: sin ? ? sin ? ? ? sin ? , cos ? ? cos ? ? ? cos ? ,
(sin ? ? sin ? ) ? (cos ? ? cos ? ) ? 1,
2 2

2 ? 2 co s( ? ? ? ) ? 1, co s( ? ? ? ) ? ?
2 co s 1 0
0 2 0 0

1 2

.
co s 5 sin 5
0 0

2. 解: 解:原式 ?

? sin 1 0 (
0

?

sin 5 co s 5

0 0

)

4 sin 1 0 co s 1 0 co s 1 0
0 0

?

? 2 co s 1 0 ?
0

co s 1 0 ? 2 sin 2 0
0

0

2 sin 1 0
0

2 sin 1 0
0 0

0

?

co s 1 0 ? 2 sin (3 0 ? 1 0 ) 2 sin 1 0
3 2
0

?

co s 1 0 ? 2 sin 3 0 co s 1 0 ? 2 co s 3 0 sin 1 0
0 0 0 0

0

2 sin 1 0

0

? co s 3 0 ?
0

3. 解: y ? sin (1)当
x 2

x 2 ?

?

3 cos

x 2

? 2 sin(

x 2

?

?
3

)

?
3

? 2k? ?

?
2

,即 x ? 4 k ? ?

?
3

, k ? Z 时, y 取得最大值

? ? ? ? x | x ? 4 k ? ? , k ? Z ? 为所求 3 ? ?

(2) y ? 2 sin (

x 2

?

?
3

3 ) ? ? ? ? ? y ? 2 sin ?

右移

?

个单位

x 2

? ? ? ? ? ? ?? y ? 2 sin x

横 坐 标 缩 小 到 原 来 的 2倍

? ? ? ? ? ? ?? y ? sin x

纵 坐 标 缩 小 到 原 来 的 2倍

4. 解: a cos A ? b cos B ? c cos C , sin A cos A ? sin B cos B ? sin C cos C
sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C , 2 sin( A ? B ) cos( A ? B ) ? 2 sin C cos C cos( A ? B ) ? ? cos( A ? B ), 2 cos A cos B ? 0

cos A ? 0 或 cos B ? 0 ,得 A ?

?
2

或B ?

?
2 A ?C cos 2
B 2 39 8 ?

所以△ABC 是直角三角形. 5. 解:∵ a ? c ? 2 b , ∴ sin A ? sin C ? 2 sin B ,即 2sin
B 2 1 2 B 2 A?C 2 B 2 3 4 3 4

A ? C 2
13 4

4sin ?

B cos 2

B 2



∴ sin

?

co s

?

,而 0 ?

B 2

?

?
2

, ∴ cos



∴ sin B ? 2 sin

co s

? 2?

?

13 4

?

课时作业
一、选择题

简单的三角恒等变换

π 1 1.(理用)(2011 辽宁高考)设 sin( +θ)= ,则 sin 2θ=( 4 3 7 A.- 9 1 C. 9 1 B.- 9 7 D. 9

)

π 1 2 2 1 解析:由 sin( +θ)= ,得 sin θ+ cos θ= , 4 3 2 2 3 即 sin θ+cos θ= 7 所以 sin 2θ=- . 9 答案:A 2 2 ,两边平方,得 1+sin 2θ= , 3 9

1.(文用)(2011 课标全国高考)已知角 θ 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合, 终边在直线 y=2x 上,则 cos 2θ=( 4 A.- 5 3 C. 5 ) 3 B.- 5 4 D. 5

cos2θ-sin2θ 1-tan2θ 解析:由题意知 tan θ=2,且 θ 为第一或第三象限角,故 cos 2θ= 2 = cos θ+sin2θ 1+tan2θ = 1-22 3 2=- . 5 1+2 答案:B 2.已知 π<α<2π,则 cos A.- C.- 1-cos α 2 1+cos α 2 α 等于( 2 ) B. D. 1-cos α 2 1+cos α 2

π α 解析:∵π<α<2π,∴ < <π, 2 2 α α ∴cos <0,∴cos =- 2 2 答案:C 2cos2α-1 3.化简 等于( π π 2tan? -α?sin2? +α? 4 4 A.1 C.cos α cos 2α 解析:原式= π 2sin? -α? 4 π · 2? +α? sin π 4 cos? -α? 4 = cos 2α cos 2α = =1. π π π 2sin? -α?cos? -α? sin? -2α? 4 4 2 ) 1+cos α . 2

B.-1 D.-sin α

答案:A sin?180° +2α? cos2α 4. · 等于( 1+cos 2α cos?90° +α? A.-sin α C.sin α ) B.-cos α D.cos α

?-sin 2α?· 2α cos 解析:原式= ?1+cos 2α?· ?-sin α? = 2sin α· α· 2α cos cos =cos α. 2cos2α· α sin

答案:D 1+cos 2x+8sin2x π 5.当 0<x< 时,函数 f(x)= 的最小值为( 2 sin 2x A.2 C.4 B.2 3 D.4 3 cos x 4sin x · =4,当且 sin x cos x )

1+cos 2x+8sin2x 2cos2x+8sin2x cosx 4sin x 解析:f(x)= = = + ≥2 sin 2x 2sinx cos x sin x cos x cos x 4sin x 1 π 仅当 = ,即 tan x=± 时,取等号.∵0<x< , sin x cos x 2 2 1 ∴存在 x 使 tan x= ,这时 f(x)min=4. 2 答案:C 6.设 a=

1-tan240° 31′ 2 (sin 56° -cos 56° ),b=cos 50° 128° cos +cos 40° 38° cos ,c= , 2 1+tan240° 30′ )

1 d= (cos 80° -2cos250° +1),则 a,b,c,d 的大小关系为( 2 A.a>b>d>c C.d>a>b>c 解析:a=sin(56° -45° )=sin 11° . B.b>a>d>c D.c>a>d>b

b=-sin 40° 52° cos +cos 40° 52° sin =sin(52° -40° )=sin12° . 1-tan240° 30′ c= =cos 81° =sin 9° . 1+tan240° 30′ 1 d= (2cos240° -2sin240° )=cos 80° =sin 10° . 2 ∴b>a>d>c. 答案:B 二、填空题 7.若锐角 α、β 满足(1+ 3tan α)(1+ 3tan β)=4,则 α+β=________. 解析:由(1+ 3tan α)(1+ 3tan β)=4, tan α+tan β 可得 = 3,即 tan(α+β)= 3. 1-tan αtan β π 又 α+β∈(0,π),∴α+β= . 3 π 答案: 3

1 8.已知 sin αcos β= ,则 cos αsin β 的取值范围是 2 ________________________________________________________________________. 解析:解法一:设 x=cos αsin β, 1 则 sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β= +x, 2 1 sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β= -x. 2 ∵-1≤sin(α+β)≤1,-1≤sin(α-β)≤1,

?-1≤2+x≤1, ∴? 1 ?-1≤2-x≤1,
1

?-2≤x≤2, ∴? 1 3 ?-2≤x≤2.
3 1

1 1 ∴- ≤x≤ . 2 2

1 解法二:设 x=cos αsin β,sin αcos βcos αsin β= x. 2 即 sin 2αsin 2β=2x.由|sin 2αsin 2β|≤1,得|2x|≤1, 1 1 ∴- ≤x≤ . 2 2 1 1 答案:[- , ] 2 2 三、解答题 → → 9.(金榜预测)已知角 A、B、C 为△ABC 的三个内角,OM=(sin B+cos B,cos C),ON= 1 → → (sin C,sin B-cos B),OM· =- . ON 5 (1)求 tan 2A 的值; A 2cos2 -3sin A-1 2 (2)求 的值. π 2sin?A+ ? 4 → → 解:(1)∵OM· =(sin B+cos B)sin C+cos C(sin B-cos B) ON 1 =sin(B+C)-cos(B+C)=- , 5 1 ∴sin A+cos A=- ,① 5 24 两边平方整理得:2sin Acos A=- , 25 24 π ∵- <0,∴A∈( ,π), 25 2 7 ∴sin A-cos A= 1-2sin Acos A= .② 5

3 4 联立①②得:sin A= ,cos A=- , 5 5 3 2tan A ∴tan A=- ,∴tan 2A= = 4 1-tan2A 3 (2)∵tan A=- , 4 A 2cos2 -3sin A-1 2 cos A-3sin A 1-3tan A ∴ = = π cos A+sin A 1+tan A 2sin?A+ ? 4 3 1-3×?- ? 4 = =13. 3 1+?- ? 4 10.(理用)(四川高考)(1)①证明:两角和的余弦公式 C(α+ β):cos(α+β)=cos αcos β- sin αsin β; ②由 C(α+β)推导两角和的正弦公式 S(α+β):sin(α+β)=sin αcos β+cos αsinβ. 1 → → 3 (2)已知△ABC 的面积 S= ,AB· =3,且 cos B= ,求 cos C. AC 2 5 3 2 24 =- . 9 7 1- 16 -

解:(1)证明:①如图,在直角坐标系 xOy 内作单位圆 O,并作出角 α,β 与-β,使角 α 的始边为 Ox,交⊙O 于点 P1,终边交⊙O 于点 P2;角 β 的始边为 OP2,终边交⊙O 于点 P3; 角-β 的始边为 Ox,终边交⊙O 于点 P4, 则 P1(1,0),P2(cos α,sin α), P3(cos(α+β),sin(α+β)), P4(cos(-β),sin(-β)). 由 P1P3=P2P4 及两点间的距离公式,得 [cos(α+β)-1]2+sin2(α+β) =[cos(-β)-cos α]2+[sin(-β)-sin α]2, 展开整理,得 2-2cos(α+β)=2-2(cos αcos β-sin αsin β). ∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β. π π ②由①易得,cos( -α)=sin α,sin( -α)=cos α. 2 2

π π sin(α+β)=cos[ -(α+β)]=cos[( -α)+(-β)] 2 2 π π =cos( -α)cos(-β)-sin( -α)sin(-β) 2 2 =sin αcos β+cos αsin β.∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β. (2)由题意,设△ABC 的角 B、C 的对边分别为 b、c, 1 1 则 S= bcsin A= ,即 bcsin A=1. 2 2 π → → 又AB· =bccos A=3>0,∴A∈(0, ),cos A=3sin A. AC 2 又 sin2A+cos2A=1,∴sin A= 3 4 由题知 cos B= ,得 sin B= . 5 5 ∴cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B= 10 . 10 10 . 10 10 3 10 ,cos A= . 10 10

∴cos C=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-

10. (文用)(四川高考)(1)①证明: 两角和的余弦公式 C(α+β): cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β; ②由 C(α+β)推导两角和的正弦公式 S(α+β):sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β. 4 3 1 π (2)已知 cos α=- ,α∈(π, π),tan β=- ,β∈( ,π),求 cos(α+β). 5 2 3 2 解:(1)证明:①如图,在直角坐标系 xOy 内作单位圆 O,并作出角 α,β 与-β, 使角 α 的始边为 Ox,交⊙O 于点 P1,终边交⊙O 于点 P2;角 β 的始边为 OP2,终边交⊙O 于点 P3;角-β 的始边为 Ox,终边交⊙O 于点 P4,则 P1(1,0),P2(cos α,sin α),P3(cos(α+β), sin(α+β)),P4(cos(-β),sin(-β)).

由 P1P3=P2P4 及两点间的距离公式,得 [cos(α+β)-1]2+sin2(α+β) =[cos(-β)-cos α]2 +[sin(-β)-sin α]2, 展开并整理,得 2-2cos (α+β)=2-2(cos αcos β-sin αsin β).

∴cos(α+β) =cos αcos β-sin αsin β. π π ②由①易得,cos( -α)=sin α,sin( -α)=cos α. 2 2 π π sin(α+β)=cos[ -(α+β)]=cos[( -α)+(-β)] 2 2 π π =cos( -α)cos(-β)-sin( -α)sin(-β) 2 2 =sin αcos β+cos αsin β. ∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β. 3 4 (2)∵α∈(π, π),cos α=- . 2 5 3 π 1 ∴sin α=- .∵β∈( ,π),tan β=- . 5 2 3 3 10 10 ∴cos β=- ,sin β= . 10 10 cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β 4 3 10 3 10 3 10 =(- )×(- )-(- )× = . 5 10 5 10 10

课时作业
一、选择题

正弦定理和余弦定理

1.(理用)(2011 辽宁高考)△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,asin Asin b B+bcos2A= 2a,则 =( a A.2 3 C. 3 解析:∵asin Asin B+bcos2A= 2a, 由正弦定理可得 sin2Asin B+sin Bcos2A= 2sin A, b ∴sin B= 2sin A,即 = 2. a 答案:D 1.(文用)(2011 浙江高考)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 acos A =bsin B,则 sin Acos A+cos2B=( 1 A.- 2 C.-1 ) 1 B. 2 D.1 ) B.2 2 D. 2

解析:根据正弦定理

a b = =2R 得, sin A sin B

a=2Rsin A,b=2Rsin B, ∴acos A=bsin B 可化为 sin Acos A=sin2B. ∴sin Acos A+cos2B=sin2B+cos2B=1. 答案:D → → 2.在△ABC 中,AB=7,BC=5,CA=6,则AB· 的值为( BC A.-19 C.-38 → → → → 解析:AB· =|AB||BC|cos(π-B) BC 72+52-62 → → =-|AB||BC|cos B=-7×5× =-19. 2×7×5 答案:A 3.(金榜预测)△ABC 中,AB= 3,AC=1,∠B=30° ,则△ABC 的面积等于( A. C. 3 2 3 或 3 2 1 3 3 = ,∴sin C= . sin 30° sin C 2 B. D. 3 4 3 3 或 2 4 ) B.19 D.38 )

解析:

∵0° <C<180° ,∴C=60° 120° 或 . (1)当 C=60° 时,A=90° ,∴BC=2,此时,S△ABC= (2)当 C=120° 时,A=30° , 1 3 S△ABC= × 3×1×sin 30° = . 2 4 答案:D B a+c 4.在△ABC 中,cos2 = ,(a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边),则△ABC 的形状 2 2c 为( ) A.正三角形 C.等腰三角形或直角三角形 B.直角三角形 D.等腰直角三角形 3 ; 2

cos B+1 a+c B a+c a 解析:∵cos2 = ,∴ = ,∴cos B= , 2 2c 2 2c c a2+c2-b2 a ∴ = ,∴a2+c2-b2=2a2,即 a2+b2=c2, 2ac c ∴△ABC 为直角三角形.

答案:B 5. (2011 天津高考)如图,在△ABC 中,D 是边 AC 上的点,且 AB=AD,2AB= 3BD,BC =2BD,则 sin C 的值为( )

A. C.

3 3 6 3

B. D.

3 6 6 6

解析:设 BD=a,则 BC=2a,AB=AD= 在△ABD 中,由余弦定理,得

3 a. 2

3 2 3 a? +? a?2-a2 2 2 AB +AD -BD 1 cos A= = = . 2AB· AD 3 3 3 2× a· a 2 2
2 2 2

?

2 2 又∵A 为△ABC 的内角,∴sin A= . 3 在△ABC 中,由正弦定理得, BC AB = . sin A sin C

3 a 2 2 2 AB 6 ∴sin C= · A= sin · = . BC 2a 3 6 答案:D b 6.(理用)在锐角△ABC 中,∠A=2∠B,∠B、∠C 的对边长分别是 b、c,则 的取 b+c 值范围是( 1 1 A.?4,3? ? ? 1 2 C.?2,3? ? ? 解析: ) 1 1 B.?3,2? ? ? 2 3 D.?3,4? ? ?

b sin B sin B sin B = = = b+c sin B+sin C sin B+sin 3B 2sin 2Bcos B

1 1 = · .因为△ABC 为锐角三角形, 2 cos 2B+1 π π 所以 0<2B< 且 0<π-3B< . 2 2 π π π π ∴ <B< ,∴ <2B< . 6 4 3 2

1 1 1 b ∴0<cos 2B< .故 ∈? , ?.故选 B. 2 b+c ?3 2? 答案:B a 6.(文用)锐角△ABC 中,若 A=2B,则 的取值范围是( b A.(1,2) C.( 2,2) B.(1, 3) D.( 2, 3) )

解析:∵△ABC 为锐角三角形,且 A=2B,

?0<2B<2, ∴? π ?0<π-3B<2,
答案:D 二、填空题

π

π π ∴ <B< , 6 4

a sin A ∴sin A=sin 2B=2sin Bcos B, = =2cos B∈( 2, 3). b sin B

7.(课标全国高考)在△ABC 中,D 为 BC 边上一点,BC=3BD,AD= 2,∠ADB=135° . 若 AC= 2AB,则 BD=______.

1 2 解析:如图,设 AB=c,AC=b,BC=a,则由题设可知 BD= a,CD= a,所以根据余 3 3 2 2 1 1 弦定理可得 b2=( 2)2+( a)2-2× 2× acos 45° 2=( 2)2+( a)2-2× 2× acos 135° ,c , 3 3 3 3 由题意知 b= 2 c,可解得 a=6+3 5, 1 所以 BD= a=2+ 5. 3 答案:2+ 5 a+b+c 8.在△ABC 中,A=60° ,b=1,△ABC 的面积为 3,则 =________. sin A+sin B+sin C 1 1 解析:S= bc· A= ×1· sin 60° 3,∴c=4, sin c· = 2 2 ∴a2=b2+c2-2bc· A cos =1+42-2×1×4×cos 60° 1 =1+16-2×4× =13,∴a= 13. 2



a+b+c a 13 2 39 = = = . sin A+sin B+sin C sin A sin 60° 3

2 39 答案: 3 三、解答题 9.(2011 陕西高考)叙述并证明余弦定理. 解:余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的 余弦之积的两倍.或:在△ABC 中,a,b,c 为 A,B,C 的对边,有 a2=b2+c2-2bccos A, b2=c2+a2-2cacos B, c2=a2+b2-2abcos C. 证法一:如图,

a2=B C · C B

→ → → → →

=(A C -A B )· C -A B ) (A =A C 2-2A C · B +A B 2 A =A C 2-2|A C |· B |cos A+A B 2 |A =b2-2bccos A+c2, 即 a2=b2+c2-2bccos A. 同理可证 b2=c2+a2-2cacos B, c2=a2+b2-2abcos C.



→ →

→ → →







证法二:已知△ABC 中 A,B,C 所对边分别为 a,b,c,以 A 为原点,AB 所在直线为 x 轴建立直角坐标系,则 C(bcos A,bsin A),B(c,0), ∴a2=|BC|2=(bcos A-c)2+(bsin A)2 =b2cos2A-2bccos A+c2+b2sin2A =b2+c2-2bccos A. 同理可证 b2=c2+a2-2cacos B, c2=a2+b2-2abcos C. 10.(2012 广州调研)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知向量 m=

?2cos A,sin A?, 2 2? ?
A A n=?cos 2 ,-2sin 2 ?,m· n=-1. ? ? (1)求 cos A 的值; (2)若 a=2 3,b=2,求 c 的值. A A 解:(1)∵m=?2cos 2 ,sin 2 ?, ? ? A A n=?cos 2 ,-2sin 2 ?,m· n=-1, ? ? A A ∴2cos2 -2sin2 =-1. 2 2 1 ∴cos A=- . 2 1 (2)由(1)知 cos A=- ,且 0<A<π, 2 2π ∴A= .∵a=2 3,b=2, 3 a b 由正弦定理得 = , sin A sin B 即 2 3 2 = , 2π sin B sin 3

1 π ∴sin B= .∵0<B<π,B<A,∴B= . 2 6 π ∴C=π-A-B= .∴c=b=2. 6 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1 3 1. 已知角 2α 的顶点在原点, 始边与 x 轴的非负半轴重合, 终边经过点?- , ?, 2α 且 ? 2 2? ∈[0,2π),则 tan α 等于( ) A.- 3 B. 3 3 3 C. D.- 3 3 1 3 解析: 因 2α 的终边经过点?- , ?,且 2α∈[0,2π), ? 2 2? 2 ∴2α= π, 3 π ∴α= , 3 ∴tan α= 3. 答案: B 2.函数中周期为 2 的函数是( )

π π π 解析: 因为 y=tan x 的周期为 π,所以 y=tan?2x+3?的周期为 T= =2. ? ? π 2 答案: C π 3.已知 sin(π-α)=-2sin?2+α?,则 sin α· α=( cos ) ? ? 2 2 A. B.- 5 5 2 2 1 C. 或- D.- 5 5 5 π ? 解析: 由于 sin(π-α)=-2sin?2+α??sin α=-2cos α, sin2α+cos2α=1, 又 所以 cos2α ? 1 2 = ,则 sin αcos α=-2cos2α=- ,故选 B. 5 5 答案: B π π → → → 4.函数 y=tan?4x-2?的部分图象如图所示,则(OB-OA)· =( OB ) ? ?

A.y=2cos2πx-1 π π C.y=tan?2x+3? ? ?

B.y=sin2π x+cos 2πx D.y=sin πxcos πx

B.2 D.4 → → → 解析: 由题意知 A(2,0),B(3,1),所以(OB-OA)· =(1,1)· OB (3,1)=4,故选 D. 答案: D 1 sin235° - 2 5.化简 =( ) cos 10° 80° cos 1 A.-2 B.- 2 C.-1 D.1 1-cos 70° 1 1 1 sin235° - - - cos 70° 2 2 2 2 解析: = = =-1.故选 C. cos 10° 80° cos 10°sin 10° 1 cos · sin 20° 2 答案: C 6.若把函数 y= 3cos x-sin x 的图象向右平移 m(m>0)个单位后,所得到的图象关于 y 轴对称,则 m 的最小值是( ) π π A. B. 6 3 2π 5π C. D. 3 6 解析: 目标意识下,逆用三角公式化为一个角的三角函数,选择值验证,y= 3cos x π π -sin x=2cos?x+6?,向右移 个单位后得到 y=2cos x,故选 A. ? ? 6 答案: A 7.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,如果 c= 3a,B=30° ,则 C=

A.-4 C.-2

(

) A.120° C.90°

B.105° D.75° 3 3 cos C+ sin 2 2

解析: 由正弦定理得,sin C= 3sin A,sin C= 3sin(150° -C),sin C=

1 3 C,- sin C= cos C,tan C=- 3,又 0° <C<180° ,∴C=120° ,故选 A. 2 2 答案: A 8.一艘轮船按照北偏西 50° 的方向,以 15 海里每小时的速度航行,一座灯塔 M 原来在 轮船的北偏东 10° 方向上,经过 40 分钟,轮船与灯塔的距离是 5 3海里,则灯塔和轮船原来 的距离为( ) A.2 2海里 B.3 海里 C.4 海里 D.5 海里 解析:

如图,由题知 AB=10, BM=5 3,∠MAB=60° . 设 AM=x, 在△ABM 中, BM2=AM2+AB2-2AM· ABcos 60° , 2 即 75=100+x -20xcos 60° , 解得 x=5.故选 D. 答案: D 2 9.函数 f(x)=sin2x+2cos x 在区间?-3π,θ?上的最大值为 1,则 θ 的值是( ? ? A.0 π B. 3 )

π π C. D.- 2 2 2 2 解析: 因为 f(x)=sin x+2cos x=-cos x+2cos x+1=-(cos x-1)2+2,又其在区间 ?-2π,θ?上的最大值为 1,结合选项可知 θ 只能取-π,故选 D. ? 3 ? 2 答案: D 10.关于函数 f(x)=sin x+cos x,下列命题正确的是( ) A.函数 f(x)的最大值为 2 π B.函数 f(x)的一条对称轴为 x= 4 π C.函数 f(x)的图象向左平移 个单位后对应的函数是奇函数 4 D.函数 y=|f(x)|的周期为 2π π π 解析: f(x)=sin x+cos x= 2sin?x+4?,函数的最大值为 2;一条对称轴为 x= ;向 ? ? 4 π 右平移 个单位后对应的函数是奇函数;f(x)的周期为 2π,函数 y=|f(x)|的周期为 π.故选 B. 4 答案: B π 11.已知 x∈(0,π],关于 x 的方程 2sin?x+3?=a 有两个不同的实数解,则实数 a 的取 ? ?

值范围为( ) A.[- 3,2] C.( 3,2]

B.[ 3,2] D.( 3,2)

π 解析: 令 y1=2sin?x+3?,x∈(0,π],y2=a,作出 y1 的图象如图 ? ? 所示: π 若 2sin?x+3?=a 在(0, π]上有两个不同的实数解, y1 与 y2 应有两 则 ? ? 个不同的交点,所以 3<a<2,故选 D. 答案: D 3 12.已知 tan α=- ,且 tan(sin α)>tan(cos α),则 sin α 的值为( ) 4 3 3 A.- B. 5 5 3 4 C.± D.- 5 5 解析: ∵sin α,cos α∈[-1,1],且 y=tan x 在[-1,1]上递增, 3 ∴sin α>cos α.而 tan α=- <0, 4 3 ∴sin α>0,且 cos α<0.∴sin α= ,选 B. 5 答案: B 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.请把正确答案填在题中横线上) 4 13.已知 α 是第二象限的角,tan(π+2α)=- ,则 tan α=________. 3 4 4 2tan α 解析: ∵tan(π+2α)=- ,∴tan 2α=- = , 3 3 1-tan2α 1 ∴tan α=- 或 tan α=2. 2 1 又 α 在第二象限,∴tan α=- . 2 1 答案: - 2 AC 14.在锐角△ABC 中,BC=1,∠B=2∠A,则 =________. cos A AC BC AC 1 AC 解析: 由正弦定理得: = ,所以 = ,故 =2. sin B sin A sin 2A sin A cos A 答案: 2 π 15.若 是函数 f(x)=sin 2x+acos2x(a∈R,为常数)的零点,则 f(x)的最小正周期是 4 ________. π π π 解析: 由题意得 f?4?=sin +acos2 =0, ? ? 2 4 1 ∴1+ a=0,∴a=-2. 2 ∴f(x)=sin 2x-2cos2 x π =sin 2x-cos2x-1= 2sin?2x-4?-1, ? ? ∴f(x)的最小正周期为 π. 答案: π 16.给出下列命题: 1 1 ①半径为 2,圆心角的弧度数为 的扇形面积为 ; 2 2

1 1 π ②若 α、β 为锐角,tan(α+β)= ,tan β= ,则 α+2β= ; 2 3 4 ③若 A、B 是△ABC 的两个内角,且 sin A<sin B,则 BC<AC; ④若 a、b、c 分别是△ABC 的三个内角 A、B、C 的对边,且 a2+b2-c2<0,则△ABC 是 钝角三角形.其中真命题的序号是________. 1 1 1 解析: ①中,S 扇形= α· 2= × ×22=1, R 2 2 2 ∴①不正确. ②中,由已知可得 tan(α+2β)=tan[(α+β)+β] 1 1 + 3 2 tan?α+β?+tan β = = =1. 1 1 1-tan?α+β?tanβ 1- × 3 2 1 又 α、β 为锐角,tan(α+β)= >0, 2 π ∴0<α+β< , 2 1 π 又由 tan β= <1,得 0<β< , 3 4 3 π ∴0<α+2β< π,∴α+2β= .∴②正确. 4 4 BC AC ③中,由 sin A<sin B? < (2R 为△ABC 的外接圆半径) 2R 2R ?BC<AC.∴③正确. ④中,由 a2+b2-c2<0 知 cos C<0, ∴C 为钝角,∴△ABC 为钝角三角形,∴④正确. 答案: ②③④ 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤) 17.(12 分)在△ABC 中,BC= 5,AC=3,sin C=2sin A. (1)求 AB 的值; π (2)求 sin?2A-4?的值. ? ? AB BC 解析: (1)在△ABC 中,根据正弦定理, = . sin C sin A sin C 于是 AB= BC=2BC=2 5. sin A (2)在△ABC 中,根据余弦定理, AB2+AC2-BC2 2 5 得 cos A= = . 2AB· AC 5 5 于是 sin A= 1-cos2A= . 5 4 从而 sin 2A=2sin A· A= , cos 5 3 cos 2A=cos2 A-sin2 A= . 5 π π π 2 所以 sin?2A-4?=sin 2Acos -cos 2Asin = . ? ? 4 4 10 18.(12 分)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的图象如图所示.

(1)求 ω、φ 的值; π (2)设 g(x)=f(x)f?x-4?,求函数 g(x)的单调递增区间.?【解析方法代码 108001047】 ? ? π π 2π 解析: (1)由图可知 T=4?2-4?=π,ω= =2, ? ? T π? 又由 f?2?=1 得,sin(π+φ)=1,sin φ=-1. ? π ∴|φ|<π,∴φ=- . 2 π (2)由(1)知 f(x)=sin?2x-2?=-cos 2x. ? ? π 因为 g(x)=(-cos 2x)?-cos?2x-2??=cos 2xsin 2x ? ? ?? 1 = sin 4x, 2 π π 所以 2kπ- ≤4x≤2kπ+ , 2 2 kπ π kπ π 即 - ≤x≤ + (k∈Z). 2 8 2 8 kπ π kπ π 故函数 g(x)的单调增区间为? 2 -8, 2 +8?(k∈Z). ? ? 19.(12 分)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边长,已知 2sin A= 3cos A. (1)若 a2-c2=b2-mbc,求实数 m 的值; (2)若 a= 3,求△ABC 面积的最大值.?【解析方法代码 108001048】 解析: (1)由 2sin A= 3cos A两边平方,得 2sin2A=3cos A, 即(2cos A-1)(cosA+2)=0. 1 π π 解得 cos A= >0,∵0<A< ,∴A= . 2 2 3 2 b +c2-a2 m 2 2 2 而 a -c =b -mbc 可以变形为 = , 2bc 2 m 1 即 cos A= = ,∴m=1. 2 2 1 3 (2)由(1)知 cos A= ,则 sin A= . 2 2 b2+c2-a2 1 又 = ,∴bc=b2+c2-a2≥2bc-a2,即 bc≤a2. 2bc 2 bc a2 3 3 3 故 S△ABC= sin A≤ · = , 2 2 2 4 3 3 ∴△ABC 面积的最大值为 . 4 π π 20. 分)已知向量 a=(1+cos(2x+φ), b=(1, (12 1), a+ 3sin(2x+φ))?φ为常数且-2<φ<2?, ? ? 函数 f(x)=a· 在 R 上的最大值为 2. b (1)求实数 a 的值; π (2)把函数 y=f(x)的图象向右平移 个单位,可得函数 y=2sin2x 的图象,求函数 y=f(x) 12 的解析式及其单调增区间.

解析: (1)f(x)=1+cos(2x+φ)+a+ 3sin(2x+φ) π =2sin?2x+φ+6?+a+1. ? ? 因为函数 f(x)在 R 上的最大值为 2, 所以 3+a=2,即 a=-1. π (2)由(1)知:f(x)=2sin?2x+φ+6?. ? ? π? π 把函数 f(x)=2sin?2x+φ+6?的图象向右平移 个单位可得函数 y=2sin(2x+φ)=2sin 2x, ? 12 ∴φ=2kπ,k∈Z. π π 又∵- <φ< ,∴φ=0. 2 2 π ∴f(x)=2sin?2x+6?. ? ? π π π 因为 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ 2 6 2 π π ?kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z, 3 6 π π 所以,y=f(x)的单调增区间为?kπ-3,kπ+6?,k∈Z. ? ? 21.(12 分)如图,扇形 AOB,圆心角 AOB 等于 60° ,半径为 2,在 弧 AB 上有一动点 P, P 引平行于 OB 的直线和 OA 交于点 C, 过 设∠AOP ? =θ, 求△POC 面积的最大值及此时 θ 的值. 【解析方法代码 108001049】 解析: 因为 CP∥OB,所以∠CPO=∠POB=60° -θ, ∴∠OCP=120° . 在△POC 中,由正弦定理得 OP CP 2 CP = ,∴ = , sin 120° sin θ sin∠PCO sin θ 4 所以 CP= sin θ. 3 OC 2 又 = , sin 120° sin?60° -θ? 4 ∴OC= sin(60° -θ). 3 因此△POC 的面积为 1 S(θ)= CP· OCsin 120° 2 1 4 4 3 = · sin θ· sin(60° -θ)× 2 3 2 3 4 4 3 1 sin θsin(60° -θ)= sin θ? cos θ- sin θ? 2 ?2 ? 3 3 2 1 = [cos(2θ-60° ],θ∈(0° )- ,60° ). 2 3 = 3 . 3 22.(14 分)△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,向量 m=(-1,1),n 3 =?cos Bcos C,sin Bsin C- ?,且 m⊥n. 2? ? 所以当 θ=30° 时,S(θ)取得最大值为 (1)求 A 的大小; (2)现给出下列四个条件: ①a=1;②b=2sin B;③2c-( 3+1)b=0;④B=45° .

试从中再选择两个条件以确定△ABC,求出你所确定的△ABC 的面积. 3 解析: (1)∵m⊥n,∴-cos Bcos C+sin Bsin C- =0. 2 3 即 cos Bcos C-sin Bsin C=- , 2 3 ∴cos(B+C)=- . 2 ∵A+B+C=180° ,∴cos(B+C)=-cos A, 3 ∴cos A= ,A=30° . 2 (2)方案一:选择①③可确定△ABC. ∵A=30° ,a=1,2c-( 3+1)b=0. ? 3+1 ?2-2b· 3+1b· 3, 由余弦定理 12=b2+? ? 2 2 ? 2 b? 6+ 2 整理得 b2=2,b= 2,c= . 2 6+ 2 1 3+1 1 1 ∴S△ABC= bcsin A= × 2× × = . 2 2 2 2 4 方案二:选择①④可确定△ABC. ∵A=30° ,a=1,B=45° ,∴C=105° . 又 sin 105° =sin(60° +45° ) =sin 60° 45° cos +cos 60° 45° sin 6+ 2 = . 4 a b asin B sin 45° ∵ = ,∴b= = , sin A sin B sin A sin 30° ∴b= 2. 6+ 2 1 1 ∴S△ABC= absin C= ×1× 2× 2 2 4 3+1 = 4


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