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二次函数解决实际问题12.28


二次函数解决实际问题 1、 已知二次函数 y=ax +bx+c 的图像过点 A(1,2) ,B(3,2) ,C(5,7) .若点 M(-2,y1) ,N(-1, y2) ,K(8,y3)也在二次函数 y=ax +bx+c 的图像上,则下列结论中正确的是( A.y1<y2<y3 B.y2<y1<y3 C.y3<y1<y2 D.y1<y3&l

t;y2
2 2



2、 、已知一次函数 y ? ?2 x ? 3 的图像与 x 轴、 y 轴分别交于 A、C 两点,二次函数 y ? x 2 ? bx ? c 的图 像过点 C 且与一次函数图像在第二象限交于另一点 B,若 AC∶CB=1∶2,则二次函数图像的顶点坐标 为( ) A、 (-1,3) B、 (?

1 11 , ) 4 4

C、 (?

1 11 , ) 4 2

D、 (?

1 11 , ) 8 2
2

3.某商店经营皮鞋,已知所获利润为 y(元)与销售的单价 x(元)之间的关系为 y=-x +24x+2956, 则获利最多为( ). A.3144 B.3100 C.144 D.2956 2 4.如图,二次函数 y=x -4x+3 的图象交 x 轴于 A、B 两点,交 y 轴于点 C,则△ABC 的面积为 ( ).A.6 B.4 C.3 D.1 2 5.童装专卖店销售一种童装,若这种童装每天获利 y(元)与销售单价 x(元)满足关系 y=-x +50x-500, 则要想获得最大利润每天必须卖出( ). A.25 件 B.20 件 C.30 件 D.40 件 6.某幢建筑物,从 10 米高的窗口 A 用水管向外喷水,喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在平面与墙 面垂直,如图).如果抛物线的最高点 P 离墙一米,离地面

40 米,则水流落地点 B 离墙的距离 OB 是 3

( ).A.2 米 B.3 米 C.4 米 D.5 米 7.长为 20cm,宽为 10cm 的矩形,四个角上剪去边长为 xcm 的小正方形,然后把四边折起来,作成 2 底面为 ycm 的无盖的长方体盒子,则 y 与 x 的关系式为( ). 2 A.y=(10-x)(20-x) (0<x<5) B.y=10×20-4x (0<x<5) 2 C.y=(10-2x)(20-2x) (0<x<5) D.y=200+4x (0<x<5) 8.某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物(如图所示),大门的地面宽度为 8 米,两侧距地面 4 米高处各有一个挂校名匾用的铁环,两铁环的水平距离为 6 米,则校门的高为(精确到 0.1 米,水泥建筑物的厚度忽略不记)( ). A.5.1 米 B.9 米 C.9.1 米 D.9.2 米 9. 如图所示是一学生推铅球时, 铅球行进高度 y(m)与水平距离 x(m)的函数图象. 现观察图象, 铅球推出的距离是_____m. 10.两个数的和为 6,这两个数的积最大可以达到 . 11.有一个抛物线形拱桥,其最大高度为 16 米,跨度为 40 米,现把它的示意图放在如图所示 的平面直角坐标系中,则此抛物线的解析式为 . 12.某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出 20 件,每件盈利 40 元.为了扩大销售, 增加利润,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现:如果每件衬 衫降价 1 元,商场平均每天可多售出 2 件.则商场降价后每天盈利 y(元)与降价 x(元)的函数关系式 为 . 13、心理学家发现,学生对概念的接受能力 y 和提出概念所用的时间 x(单位:分)之间满足函数关系 y= 2 -0.1x +2.6x+43(0≤x≤30),y 值越大,表示接受能力越强. (1)x 在什么范围内,学生的接受能力逐步增强?x 在什么范围内学生的接受能力逐步降低? (2)第 10 分钟,学生的接受能力是多少? (3)第几分钟时,学生的接受能力最强?

14、某商品现在的售价为每件 60 元,每星期可卖出 300 件,市场调查反映:每涨价 1 元,每星期少卖出 10 件;每降价 1 元,每星期可多卖出 20 件,已知商品的进价为每件 40 元,如何定价才能使利润最大?

15、为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神,最近,州委州政府又出台了一系列“三 农”优惠政策,使农民收入大幅度增加.某农户生产经销一种农副产品,已知这种产品的成本价为 20 元/千克.市场调查发现,该产品每天的销售量w(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系:w= -2x+80.设这种产品每天的销售利润为y(元) . (1)求y与x之间的函数关系式; (2)当销售价定为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少? (3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于 28 元/千克,该农户想要每天获得 150 元的销售利 润,销售价应定为多少元?

16、有一种螃蟹,从海上捕获后不放养,最多只能存活两天.如果放养在塘内,可以延长存活时间,但 每天也有一定数量的蟹死去.假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变,现有一经销商,按市场价收 购这种活蟹 1000 kg 放养在塘内,此时市场价为每千克 30 元,据测算,此后每千克活蟹的市场价每天 可上升 1 元,但是,放养一天需支出各种费用为 400 元,且平均每天还有 10 kg 蟹死去,假定死蟹均 于当天全部销售出,售价都是每千克 20 元. (1)设 x 天后每千克活蟹的市场价为 p 元,写出 p 关于 x 的函数关系式; (2)如果放养 x 天后将活蟹一次性出售,并记 1000 kg 蟹的销售总额为 Q 元,写出 Q 关于 x 的函数关系式. (3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售,可获最大利润(利润=Q-收购总额)?

17、某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品.已知每件产品的进价为 40 元,每年销售该 种产品的总开支(不含进价)总计 120 万元.在销售过程中发现,年销售量 y(万件)与销售单价 x(元) 之间存在着如图所示的一次函数关系. (1)求 y 关于 x 的函数关系式. (2)试写出该公司销售该种产品的年获利 z(万元)关于销售单价 x(元)的函数关系式(年获利=年销售 额-年销售产品总进价-年总开支),当销售单价 x 为何值时,年获利最大?并求出这个最大值. (3)若公司希望该种产品一年的销售获利不低于 40 万元,借助(2)中函数的图象,请你帮助该公司确 定销售单价的范围.在此情况下,要使产品销售量最大,你认为销售单价应定为多少元?

18.如图,正方形 ABCD 的边长为 4cm,点 P 是 BC 边上不与点 B、C 重合的任意一点, 连结 AP,过点 P 作 PQ⊥AP,交 DC 于点 Q.设 BP 的长为 x(cm),CQ 的长为 y(cm). 求点 P 在 BC 上运动的过程中,y 的最大值.

19、某居民小区要在一块一边靠墙(墙长 15m)的空地上修建一个矩形花园 ABCD,花园的一边靠墙,另三 边用总长为 40m 的栅栏围成.若设花园的宽为 x(m) ,花园的面积为 y(m?). (1)求 y 与 x 之间的函数关系,并写出自变量的取值范围; (2)根据(1)中求得的函数关系式,描述其图象的变化趋势;并结合题意判断当 x 取何值时,花园 的面积最大,最大面积是多少?

20、随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展,对花木的需求量逐年提高.某园林专业户计划投资种植 花卉及树木,根据市场调查与预测,种植树木的利润 植花卉的利润 与投资量 成正比例关系,如图 12-①所示;种

与投资量 成二次函数关系,如图 12-②所示(注:利润与投资量的单位:万元) 与 关于投资量 的函数关系式;

(1)分别求出利润

(2)如果这位专业户以 8 万元资金投入种植花卉和树木,他至少获得多少利润?他能获取的最大利润是 多少?

23.大众服装店今年 4 月用 4000 元购进了一款衬衣若干件,上市后很快售完,服装店于 5 月初又购进同样 数量的该款衬衣,由于第二批衬衣进货时价格比第一批衬衣进货时价格提高了 20 元,结果第二批衬衣 进货用了 5000 元. (1)第一批衬衣进货时的价格是多少 (2) 第一批衬衣售价为 120 元/件,为保证第二批衬衣的利润率不低于第一批衬衣的利润率,那么第二 批衬衣每件售价至少 是多少元?(提示:利润=售价-成本,利润率= 利润 ×100%) .. 成本

24.商场某种新商品每件进价是 120 元,在试销期间发现,当每件商品售价为 130 元时,每天可销售 70 件,当每件商品售价高于 130 元时,每涨价 1 元,日销售量就减少 1 件.据此规律,请回答: (1)当每件商品售价定为 170 元时,每天可销售多少件商品商场获得的日盈利是多少? (2) 在上述条件不变, 商品销售正常的情况下, 每件商品的销售价定为多少元时, 商场日盈利可达到 1600 元?

25、某超市经销一种水果,其成本为 40 元/千克。市场调查发现,按 50 元/千克销售,一个月可售出 500 千克,若售价每涨 1 元,月销售量就减少 10 千克。针对这种销售情况,超市在月成本不超过 10000 元的 情况下,月销售利润达到 8000 元,销售单价应定为多少元?

26.某水果专卖店销售樱桃,其进价为每千克 40 元,按每千克 60 元出售,平均每天可售出 100 千克, 后来经过市场调查发现,单价每千克降低 1 元,则平均每天的销售可增加 10 千克,若该专卖店销售这种 樱桃要想平均每天获利 2240 元,请回答: (1)每千克樱桃应降价多少元? (2)在平均每天获利不变的情况下,为尽可能让利于顾客,赢得市场,该店应按原售价的几折出售?

27.某工厂设门市部专卖某产品,该产品每件成本 40 元,从开业一段时间的每天销售统计中,随机抽取 一部分情况如下表所示: 每件销售价(元) 每天售出件数 50 300 60 240 70 180 75 150 80 120 85 90 ? ?

假设当天定的售价是不变的,且每天销售情况均服从这种规律. (1)观察这些统计数据,找出每天 售出件数 y 与每件售价 x (元)之间的函数关系,并写出该函数关系式. (2)门市部原设有两名营业员,但当销售量较大时,在每天售出量超过 168 件时,则必须增派一名 营业员才能保证营业有序进行,设营业员每人每天工资为 40 元. 求每件产品应定价多少元,才能使每天门市部纯利润最大(纯利润指的是收入总价款扣除成本及营 业员工资后的余额,其它开支不计)

28.某校九年级的一场篮球比赛中,如图队员甲正在投篮,已知球出手时离地面高 20 m,与篮圈中心的
9

水平距离为 7m,当球出手后水平距离为 4m 时到达最大高度 4m,设篮球运动的轨迹为抛物线,篮圈 距地面 3m. (1)建立如图所示的平面坐标系,求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中? (2)此时,若对方队员乙在甲前面 1 米处跳起盖帽拦截,已知乙的最大摸高为 3.1m,那么他能否获得 成功?

解:设涨价(或降价)为每件 x 元,利润为 y 元,

y1 为涨价时的利润, y 2 为降价时的利润 则: y1 ? (60 ? 40 ? x)(300? 10x)

? ?10( x 2 ? 10x ? 600) ? ?10( x ? 5) 2 ? 6250
当 x ? 5 ,即:定价为 65 元时, y max ? 6250(元)

y2 ? (60 ? 40 ? x)(300? 20x) ? ?20( x ? 20)(x ? 15)

? ?20( x ? 2.5) 2 ? 6125 当 x ? 2.5 ,即:定价为 57.5 元时, y max ? 6125(元)
综合两种情况,应定价为 65 元时,利润最大.

李克强;解: y ? ( x ? 20)w ? ( x ? 20)(?2 x ? 80)

? ?2( x ? 20)(x ? 40)

? ?2( x 2 ? 60x ? 800) ? ?2( x ? 30) 2 ? 200 ? ?2 x 2 ? 120x ? 1600 当 x ? 30 , ymax ? 200 (元)
(1) y 与 x 之间的的函数关系式为; y ? ?2x ? 120x ? 1600 (2)当销售价定为 30 元时,每天的销售利润最大,最大利润是 200 元.
2

(3) ? 2( x ? 30) ? 200 ? 150, ( x ? 30) ? 25
2 2

x1 ? 35 ? 28 (不合题意,舍去) x2 ? 25 答:该农户想要每天获得 150 元的销售利润,销售价应定为 25 元. ***********螃蟹解:(1)由题意知:p=30+x, (2)由题意知:活蟹的销售额为(1000-10x)(30+x)元, 死蟹的销售额为 200x 元. 2 ∴Q=(1000-10x)(30+x)+200x=-10x +900x+30000. (3)设总利润为 W 元 2 则:W=Q-1000×30-400x=-10x +500x 2 2 =-10(x -50x) =-10(x-25) +6250. 当 x=25 时,总利润最大,最大利润为 6250 元.

通讯 26.解(1)设 y=kx+b,它过点(60,5)、(80,4).

?5 ? 60k ? b, ∴? ?4 ? 80k ? b.

1 ? ?k ? ? , 解得 ? 20 ∴ ? b ? 8 . ?

y=-

1 x+8. 20 1 1 2 1 2 x+8)(x-40)-120=- x +10x-440=- (x-100) +60.∴当 x 20 20 20

(2)z=yx-40y-120=-(

=100 元时,年获利最大,为 60 万元. (3)令 z=40,得 40=-

1 2 x +10x-440.整理,得 x2-200x+9600=0.解 20

得 x1=80,x2=120. 由右图可知, 要使年获利不低于 40 万元, 销售单价应在 80 元到 120 元之间. 又 因为销售单价越低,销售量越大,所以要使销售量最大,又要使年获利 不低于 40 万元,销售单价应定为 80 元. 解: y ? x(40 ? 2 x) ? ?2( x 2 ? 20x)

? ?2( x ? 10) 2 ? 200
∵ 0 ? 40 ? 2 x ? 15 ∴ 12.5 ? x ? 20 ∵二次函数的顶点不在自变量 x 的范围内, 而当 12.5 ? x ? 20 内, y 随 x 的增大而减小, ∴当 x ? 12 .5 时,

ymax ? ?2(12.5 ? 10) 2 ? 200 ? 187.5 (平方米)
答:当 x ? 12 .5 米时花园的面积最大,最大面积是 187.5 平方米

解: (1)设 故利润

=

,由图 12-①所示,函数 =

= ;

的图像过(1,2) ,所以 2=



关于投资量 的函数关系式是

因为该抛物线的顶点是原点,所以设 y 2 = ,

,由图 12-②所示,函数 y 2 =

的图像过(2,2) ,所以

故利润 y 2 关于投资量 的函数关系式是 y 2 ?

1 2 x ; 2

(2)设这位专业户投入种植花卉 万元( 他获得的利润是 万元,根据题意,得 = y1 ? y 2 ? = ∵a ? + =

) ,则投入种植树木( 8 ? x )万元,

1 ? 0 ∴当 2

时, 的最小值是 14;

∴他至少获得 14 万元的利润.

因为 ,所以在对称轴 x ? 2 的右侧, z 随 x 的增大而增大 所以,当 x ? 8 时, z 的最大值为 32. 5.某工厂设门市部专卖某产品,该产品每件成本 40 元,从开业一段时间的每天销售统计中,随机抽取 一部分情况如下表所示: 每件销售价(元) 每天售出件数 50 300 60 240 70 180 75 150 80 120 85 90 ? ?

假设当天定的售价是不变的,且每天销售情况均服从这种规律. (1)观察这些统计数据,找出每天售出件数 y 与每件售价 x (元)之间的函数关系,并写出该函数 关系式. (2)门市部原设有两名营业员,但当销售量较大时,在每天售出量超过 168 件时,则必须增派一名 营业员才能保证营业有序进行,设营业员每人每天工资为 40 元. 求每件产品应定价多少元,才能使每天门市部纯利润最大(纯利润指的是收入总价款扣除成本及营 业员工资后的余额,其它开支不计) 5.解: (1)由统计数据知,该函数关系为一次函数关系,每天售出件数 y 与每件售价 x 之间的函数关系 为:

y ? 600? 6 x .
(2)当 y ? 168时,

168 ? ?6 x ? 600 , 解得: x ? 72 ;

设门市部每天纯利润为 z

①当 x ? 72 时, y ? 168 当 x ? 70 时, zmax ? 5280

z ? ?x ? 40??600 ? 6 x ? ? 40 ? 3 ? ?6?x ? 70? ? 5280
2

②当 x ? 72 时, y ? 168

z ? ?x ? 40??600 ? 6 x ? ? 40 ? 2 ? ?6?x ? 70? ? 5320
2

? x ? 70 时, y 随 x 的增大而减少? x ? 72 时, zmax ? ?6 ? 22 ? 5320? 5296
? 5296 ? 5280

?当x ? 72 时,纯利润最大为 5296 元.


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