河北省邯郸一中2016届高三(上)月考数学试卷(11月份)(解析版)

2015-2016 学年河北省邯郸一中高三（上）月考数学试卷（11 月 份）
一、选择题： （每小题 5 分，共 60 分） 1．有关命题的说法错误的是（ ） 2 A．命题“若 x ﹣3x+2=0 则 x=1”的逆否命题为：“若 x≠1，则 x2﹣3x+2≠0” B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件 C．对于命题 p：? x0∈R，x02+x0+1＜0．则?p：? x∈R，x2+x+1≥0 D．若 p∧q 为假命题，则 p、q 均为假命题 2．若将函数 f（x）=sin2x+cos2x 的图象向右平移 φ 个单位，所得图象关于 y 轴对称，则 φ 的最小正值是（ ） A． B． C． D． ，当 x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间（﹣1，1] ）

3．若函数 f（x）满足

上，g（x）=f（x）﹣mx﹣2m 有两个零点，则实数 m 的取值范围是（ A． B． C． D．

4．在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且 BC 边上的高为 最大值是（ ） A．8 B．6 C．3 D．4 5．已知 ， ， ，是平面向量，下列命题中真命题的个数是（ ①（ ? ）? = ?（ ? ） ②| ? |=| || | ③| + |2=（ + ）2 ④ ? = ? ? = ． A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知函数 f（x）= 是递增数列，则实数 a 的取值范围是（

a，则

的

）

，若数列{an}满足 an=f（n） （n∈N﹡） ，且{an} ）

A．[ ，3） B． （ ，3） C． （2，3） D． （1，3） 7．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）

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A．54

B．27

C．18

D．9

8．设 z=x+y，其中 x，y 满足

，若 z 的最大值为 6，则 z 的最小值为（

）

A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5 9．函数 y=loga（x+3）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mx+ny+1=0 上， 其中 m，n＞0，则 + 的最小值为（ ）

A．6 B．8 C．4 D．10 10．设 m，n 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ A．若 m∥α，n⊥β 且 α⊥β，则 m⊥n B．若 m⊥α，n⊥β 且 m⊥n，则 α⊥β C．若 α⊥β，m∥n 且 n⊥β，则 m∥α D．若 m? α，n? β 且 m∥n，则 α∥β 11．现有两个命题： （1）若 lgx+lgy=lg（x+y） ，且不等式 y＞﹣2x+t 恒成立，则 t 的取值范围是集合 P； （2）若函数

）

，x∈（1，+∞）的图象与函数 g（x）=﹣2x+t 的图象没有交点，

则 t 的取值范围是集合 Q； 则以下集合关系正确的是（ ） A．P?Q B．Q?P C．P=Q D．P∩Q=? 12．如图，在三棱锥 P﹣ABC 中，PA⊥底面 ABC，∠ACB=90°，AE⊥PB 于 E，AF⊥PC 于 F，若 PA=AB=2，∠BPC=θ，则当△AEF 的面积最大时，tanθ 的值为（ ）

A．2

B．

C．

D．

二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题纸上.）
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13．观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，则 a10+b10=______． 14．设 则 、 为单位向量，非零向量 =x +y ，x、y∈R．若 、 的夹角为 ，

的最大值等于______．

15．已知数列{an}是公差不为 0 的等差数列，{bn}是等比数列，其中 a1=3，b1=1，a2=b2， 3a5=b3，若存在常数 u，v 对任意正整数 n 都有 an=3logubn+v，则 u+v=______． 16．已知函数 y=f（x）是 R 上的偶函数，对于任意 x∈R，都有 f（x+6）=f（x）+f（3）成 立，当 x1，x2∈[0，3]，且 x1≠x2 时，都有 ．给出下列命题：

①f（3）=0； ②直线 x=﹣6 是函数 y=f（x）的图象的一条对称轴； ③函数 y=f（x）在[﹣9，﹣6]上为增函数； ④函数 y=f（x）在[﹣9，9]上有四个零点． 其中所有正确命题的序号为______（把所有正确命题的序号都填上） 三、解答题（70 分，解答应写出文字说明，证明过程或步骤，写在答题纸的相应位置.） 17．已知二次函数 f （x）=x2+mx+n 对任意 x∈R，都有 f （﹣x）=f （2+x）成立，设向量 =（ sinx，2 ） ， =（2sinx， ） ， =（ cos2x，1 ） ， =（1，2） ， （Ⅰ）求函数 f （x）的单调区间； （Ⅱ）当 x∈[0，π]时，求不等式 f （ ? ）＞f （ ? ）的解集． 18．已知函数 f（x）=sin（2x﹣ （1）求 f（x）的单调递增区间； （2）在△ABC 中，三内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 f（A）= ，b，a，c 成 等差数列，且 ? =9，求 a 的值． 19．如图，已知直角梯形 ACDE 所在的平面垂直于平面 ABC，∠BAC=∠ACD=90°，∠ EAC=60°，AB=AC=AE． （1）在直线 BC 上是否存在一点 P，使得 DP∥平面 EAB？请证明你的结论； （2）求平面 EBD 与平面 ABC 所成的锐二面角 θ 的余弦值． ）+2cos2x﹣1（x∈R） ．

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20． Tn 满足 设等差数列{an}， {bn}前 n 项和 Sn，

=

， 且

+

= ， S2=6；

函数 g（x）= （x﹣1） ，且 cn=g（cn﹣1） （n∈N，n＞1） ，c1=1． （1）求 A； （2）求数列{an}及{cn}的通项公式； （3）若 dn= ，试求 d1+d2+…+dn．

21．已知某个几何体的三视图如图（主视图的弧线是半圆） ，根据图中标出的数据，

（Ⅰ）求这个组合体的表面积； （Ⅱ）若组合体的底部几何体记为 ABCD﹣A1B1C1D1，其中 A1B1BA 为正方形、 （i）求证：A1B⊥平面 AB1C1D； （ii）是否存在棱 A1D1 上一点 P，使直线 AP 与平面 AB1C1D 所成角为 30°？ 22．已知函数 f（x）=[ax2+（a﹣1）2x+a﹣（a﹣1）2]ex（其中 a∈R） ． （Ⅰ）若 x=0 为 f（x）的极值点，求 a 的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，解不等式 f（x）＞（x﹣1） （ +x+1） ；

（Ⅲ）若函数 f（x）在区间（1，2）上单调递增，求实数 a 的取值范围．

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2015-2016 学年河北省邯郸一中高三（上）月考数学试卷 （11 月份）
参考答案与试题解析

一、选择题： （每小题 5 分，共 60 分） 1．有关命题的说法错误的是（ ） A．命题“若 x2﹣3x+2=0 则 x=1”的逆否命题为：“若 x≠1，则 x2﹣3x+2≠0” B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件 C．对于命题 p：? x0∈R，x02+x0+1＜0．则?p：? x∈R，x2+x+1≥0 D．若 p∧q 为假命题，则 p、q 均为假命题 【考点】命题的真假判断与应用；四种命题间的逆否关系；命题的否定；必要条件、充分条 件与充要条件的判断． 【分析】A：命题的逆否命题是首先对换命题的条件与结论再分别对新的条件与结论进行否 定．B：因为方程 x2﹣3x+2=0 的解是 x=1 或 x=2，所以 B 是正确的．C：存在性命题的否定 是全称命题．D：根据真值表可得：若 p∧q 为假命题时则 p、q 至少有一个是假命题，故 D 错误． 【解答】解：A：命题的逆否命题是首先对换命题的条件与结论再分别对新的条件与结论进 行否定，故 A 正确． B：方程 x2﹣3x+2=0 的解是 x=1 或 x=2，所以“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件是正 确的． C：存在性命题的否定是全称命题，即把存在改为任意把小于改为大于等于，所以 C 正确． D：根据真值表可得：若 p∧q 为假命题时则 p、q 至少有一个是假命题，故 D 错误． 故选 D． 2．若将函数 f（x）=sin2x+cos2x 的图象向右平移 φ 个单位，所得图象关于 y 轴对称，则 φ 的最小正值是（ A． B． ） C． D．

【考点】函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【分析】利用两角和的正弦函数对解析式进行化简，由所得到的图象关于 y 轴对称，根据对 称轴方程求出 φ 的最小值． 【解答】解：函数 f（x）=sin2x+cos2x= 所得图象是函数 y= sin（2x+ ﹣2φ） ， ， sin（2x+ ）的图象向右平移 φ 的单位，

图象关于 y 轴对称，可得 即 φ=﹣ ，

﹣2φ=kπ+

当 k=﹣1 时，φ 的最小正值是

．
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故选：C．

3．若函数 f（x）满足

，当 x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间（﹣1，1] ）

上，g（x）=f（x）﹣mx﹣2m 有两个零点，则实数 m 的取值范围是（ A． B． C． D．

【考点】函数零点的判定定理． 0） f 【分析】 由条件求得当 x∈ （﹣1， 时， （x） 的解析式， 根据题意可得 y=f （x） 与 y=mx+2m m 的图象有两个交点，数形结合求得实数 的取值范围． 【解答】解：∵f（x）+1= 当 x∈[0，1]时，f（x）=x， ∴x∈（﹣1，0）时，f（x）+1= ∴f（x）= ﹣1， = ， ，

因为 g（x）=f（x）﹣mx﹣2m 有两个零点， 所以 y=f（x）与 y=mx+2m 的图象有两个交点， 根据图象可得，当 0＜m≤ 时，两函数有两个交点， 故选：A．

4．在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且 BC 边上的高为 最大值是（ ） A．8 B．6 C．3 D．4 【考点】基本不等式在最值问题中的应用． 【分析】利用三角形的面积公式、余弦定理，化简 论． 【解答】解： = ，这个形式很容易联想到余弦定理：cosA=
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a，则

的

，再利用辅助角公式，即可求得结

①

而条件中的“高”容易联想到面积，a? 即 a2=2 bcsinA②，将②代入①得： b2+c2=2bc（cosA+ sinA） ， ∴ =2（cosA+ sinA）=4sin（A+

a=bcsinA，

） ，当 A=

时取得最大值 4，

故选 D． 5．已知 ， ， ，是平面向量，下列命题中真命题的个数是（ ①（ ? ）? = ?（ ? ） ②| ? |=| || | ③| + |2=（ + ）2 ④ ? = ? ? = ． A．1 B．2 C．3 D．4 ）

【考点】命题的真假判断与应用． 【分析】 根据向量数量积的定义与运算性质、 向量模的公式， 对各项中的等式依次加以分析， 可得只有③中的等式是正确的，其它各项都可以举出反例，从而不正确． 【解答】解：对于①，由于向量的数量积是一个实数 所以（ ? ）? 是与向量 共线的一个向量， ?（ ? ）是与向量 共线的一个向量， 而 与 不一定共线，故（ ? ）? ≠ ?（ ? ） ，得①不正确； 对于②，由向量数量积的定义，可得 ? =| |?| |cosθ，其中 θ 是两个向量的夹角 因此| ? |=| |?| |?|cosθ|≤| |?| |，得②不正确； 对于③，根据向量模的公式得| + |= ∴| + |2=（ + ）2 成立，可得③正确； 对于④，由向量数量积的定义， 可得 ? = ? 即 、 在 上的投影相等，不一定有 = ，故④不正确 因此正确的命题只有③ 故选：A

6．已知函数 f（x）= 是递增数列，则实数 a 的取值范围是（

，若数列{an}满足 an=f（n） （n∈N﹡） ，且{an} ）

A．[ ，3） B． （ ，3） C． （2，3） D． （1，3） 【考点】数列的函数特性． 【分析】根据题意，首先可得 an 通项公式，这是一个类似与分段函数的通项，结合分段函 数的单调性的判断方法，可得 ；解可得答案．

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【解答】解：根据题意，an=f（n）=

；

要使{an}是递增数列，必有 解可得，2＜a＜3； 故选：C．

；

7．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（

）

A．54

B．27

C．18

D．9

【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】由几何体的三视图可知，这是一个四棱锥，由体积公式可求． 【解答】解：由几何体的三视图可知，这是一个四棱锥， 且底面为矩形，长 6，宽 3；体高为 3． 则 故选：C． =18．

8．设 z=x+y，其中 x，y 满足

，若 z 的最大值为 6，则 z 的最小值为（

）

A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5 【考点】简单线性规划的应用． 【分析】确定不等式对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，及 z 的最大值为 6，即可 求得 z 的最小值．

【解答】解：由题意，

构成一个三角形区域，三个顶点的坐标为（0，0） ， （k，k） ，

（﹣2k，k）
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∵z=x+y 的几何意义是直线 y=﹣x+z 的纵截距 ∴在（﹣2k，k）处函数取得最小值，在（k，k）处函数取得最大值 ∵z 的最大值为 6，∴k+k=6，解得 k=3 ∴z 的最小值为﹣2k+k=﹣k=﹣3 故选 B． 9．函数 y=loga（x+3）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mx+ny+1=0 上， 其中 m，n＞0，则 + 的最小值为（ A．6 B．8 C．4 D．10 ）

【考点】基本不等式． 【分析】利用对数函数的性质可得：函数 y=loga（x+3）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点 A（﹣2，﹣1） ，把点 A 代入直线 mx+ny+1=0，2m+n=1．再利用“乘 1 法”和基本不等式的性 质即可得出． 【解答】解：函数 y=loga（x+3）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点 A（﹣2，﹣1） ， 把点 A 代入直线 mx+ny+1=0，可得﹣2m﹣n+1=0，化为 2m+n=1． ∵m，n＞0， ∴ + =（2m+n） ∴ + 的最小值为 8． 故选：B． 10．设 m，n 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ A．若 m∥α，n⊥β 且 α⊥β，则 m⊥n B．若 m⊥α，n⊥β 且 m⊥n，则 α⊥β C．若 α⊥β，m∥n 且 n⊥β，则 m∥α D．若 m? α，n? β 且 m∥n，则 α∥β 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系． 【分析】利用空间中线线、线面、面面间的关系求解． 【解答】解：若 m∥α，n⊥β 且 α⊥β，则 m 与 n 相交、平行或异面，故 A 错误； 若 m⊥α，n⊥β 且 m⊥n，则由平面与平面垂直的判定定理知 α⊥β，故 B 正确； 若 α⊥β，m∥n 且 n⊥β，则 m∥α 或 m? α，故 C 错误； 若 m? α，n? β 且 m∥n，则 α 与 β 相交或平行，故 D 错误． 故选：B． 11．现有两个命题： （1）若 lgx+lgy=lg（x+y） ，且不等式 y＞﹣2x+t 恒成立，则 t 的取值范围是集合 P； （2）若函数 ，x∈（1，+∞）的图象与函数 g（x）=﹣2x+t 的图象没有交点， ） =4+ ≥4+2 =8，当且仅当 n=2m= 时取等号．

则 t 的取值范围是集合 Q； 则以下集合关系正确的是（ ） A．P?Q B．Q?P C．P=Q D．P∩Q=? 【考点】函数恒成立问题；根的存在性及根的个数判断．

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【分析】由不等式 y＞﹣2x+t 恒成立，即 y+2x＞t 恒成立，转化为求 y+2x 的最小值即可； 要使函数 ，x∈（1，+∞）的图象与函数 g（x）=﹣2x+t 的图象没有交点，先考

虑有交点时 t 的取值范围，再考虑其补集． 【解答】解：由 lgx+lgy=lg（x+y） ，得 xy=x+y，两边同除以 xy 得 ═ 又 由 f（x）=g（x） ，得 ∴函数 值范围时 故选 C． 12．如图，在三棱锥 P﹣ABC 中，PA⊥底面 ABC，∠ACB=90°，AE⊥PB 于 E，AF⊥PC 于 F，若 PA=AB=2，∠BPC=θ，则当△AEF 的面积最大时，tanθ 的值为（ ） ，所以 ，g（x）=﹣2x+t ， ； ，∴2x+y=（2x+y）

，x∈（1，+∞）的图象与函数 g（x）=﹣2x+t 的图象没有交点时 t 的取

A．2

B．

C．

D．

【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离． 【分析】等腰 Rt△PAB 中，算出 AE=PE=BE= PB= PB⊥面 AEF，得 PB⊥EF．在 Rt△PEF 中算出 EF= AF= ，可得 S△ AEF= AF?EF= ．由线面垂直的判定与性质，证出 tanθ，在 Rt△AEF 中，算出 ，利用二次函数的

图象与性质，即可得出当且仅当 tanθ=

时 S△ AEF 有最大值，可得答案． ，

【解答】解：在 Rt△PAB 中，PA=AB=2，∴PB=2 ∵AE⊥PB，∴AE= PB= ，∴PE=BE= ．

∵PA⊥底面 ABC，得 PA⊥BC，AC⊥BC，PA∩AC=A ∴BC⊥平面 PAC，可得 AF⊥BC ∵AF⊥PC，BC∩PC=C，∴AF⊥平面 PBC ∵PB? 平面 PBC，∴AF⊥PB
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∵AE⊥PB 且 AE∩AF=A，∴PB⊥面 AEF， 结合 EF? 平面 AEF，可得 PB⊥EF． Rt△PEF 中，∠EPF=θ，可得 EF=PE?tanθ= tanθ， ∵AF⊥平面 PBC，EF? 平面 PBC．∴AF⊥EF． ∴Rt△AEF 中，AF= = ，

∴S△ AEF= AF?EF= × ∴当 tan2θ= ，即 tanθ= 故选：D

tanθ×

=

时，S△ AEF 有最大值为

二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题纸上.） 13．观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，则 a10+b10= 123 ． 【考点】类比推理；等差数列的通项公式． 【分析】观察可得各式的值构成数列 1，3，4，7，11，…，所求值为数列中的第十项．根据 数列的递推规律求解． 【解答】解：观察可得各式的值构成数列 1，3，4，7，11，…， 其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项． 继续写出此数列为 1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十项为 123， 即 a10+b10=123， ． 故答案为：123．

14．设 则

、

为单位向量，非零向量 =x

+y

，x、y∈R．若

、

的夹角为

，

的最大值等于 2 ．

【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】利用数量积运算性质、二次函数的单调性即可得出． 【解答】解： = 只考虑 x＞0， 则 = = = ≤2， = ． =

当且仅当 ∴

时取等号．

的最大值等于 2．

故答案为：2．

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15．已知数列{an}是公差不为 0 的等差数列，{bn}是等比数列，其中 a1=3，b1=1，a2=b2， 3a5=b3，若存在常数 u，v 对任意正整数 n 都有 an=3logubn+v，则 u+v= 6 ． 【考点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式． 【分析】设{an}的公差为 d， ，{bn}的公比为 q，由题设条件解得 q=9 时，d=6，故 an=6n﹣3， bn=9n﹣1．由 an=3logubn+v= +v，知 6n﹣3﹣v= ，分别今 n=1

和 n=2，能够求出 u+v． 【解答】解：设{an}的公差为 d， ，{bn}的公比为 q， ∵a1=3，b1=1，a2=b2，3a5=b3， ∴a2=3+d=q=b2， 3a5=3（3+4d）=q2=b3， 解方程得 q=3，或 q=9， 当 q=3 时，d=0，不符合题意，故舍去； 当 q=9 时，d=6． an=3+（n﹣1）×6=6n﹣3，bn=qn﹣1=9n﹣1． ∵an=3logubn+v= ∴6n﹣3﹣v= 当 n=1 时，3﹣v=logu1=0， ∴v=3． 当 n=2 时，12﹣3﹣3= u6=93，u=3， ∴u+v=6． 故答案为：6． 16．已知函数 y=f（x）是 R 上的偶函数，对于任意 x∈R，都有 f（x+6）=f（x）+f（3）成 立，当 x1，x2∈[0，3]，且 x1≠x2 时，都有 ．给出下列命题： ， ， +v，

①f（3）=0； ②直线 x=﹣6 是函数 y=f（x）的图象的一条对称轴； ③函数 y=f（x）在[﹣9，﹣6]上为增函数； ④函数 y=f（x）在[﹣9，9]上有四个零点． 其中所有正确命题的序号为 ①②④ （把所有正确命题的序号都填上） 【考点】函数的零点；函数单调性的判断与证明；函数的周期性；对称图形． 【分析】 （1） 、赋值 x=﹣3，又因为 f（x）是 R 上的偶函数，f（3）=0． （2） 、f（x）是 R 上的偶函数，所以 f（x+6）=f（﹣x） ，又因为 f （x+6）=f （x） ，得周期 6 为 ， 从而 f（﹣6﹣x）=f（﹣6+x） ，所以直线 x=﹣6 是函数 y=f（x）的图象的一条对称轴 （3） 、有单调性定义知函数 y=f（x）在[0，3]上为增函数，f（x）的周期为 6，所以函数 y=f （x）在[﹣9，﹣6]上为减函数． （4） 、f（3）=0，f（x）的周期为 6，所以：f（﹣9）=f（﹣3）=f（3）=f（9）=0．
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【解答】解：①：对于任意 x∈R，都有 f （x+6）=f （x）+f （3）成立，令 x=﹣3，则 f （﹣3+6）=f（﹣3）+f （3） ，又因为 f（x）是 R 上的偶函数，所以 f（3）=0． ②：由（1）知 f （x+6）=f （x） ，所以 f（x）的周期为 6， 又因为 f（x）是 R 上的偶函数，所以 f（x+6）=f（﹣x） ， 而 f（x）的周期为 6，所以 f（x+6）=f（﹣6+x） ，f（﹣x）=f（﹣x﹣6） ， 所以：f（﹣6﹣x）=f（﹣6+x） ，所以直线 x=﹣6 是函数 y=f（x）的图象的一条对称轴． ③：当 x1，x2∈[0，3]，且 x1≠x2 时，都有 所以函数 y=f（x）在[0，3]上为增函数， 因为 f（x）是 R 上的偶函数，所以函数 y=f（x）在[﹣3，0]上为减函数 而 f（x）的周期为 6，所以函数 y=f（x）在[﹣9，﹣6]上为减函数． ④：f（3）=0，f（x）的周期为 6， 所以：f（﹣9）=f（﹣3）=f（3）=f（9）=0 函数 y=f（x）在[﹣9，9]上有四个零点． 故答案为：①②④． 三、解答题（70 分，解答应写出文字说明，证明过程或步骤，写在答题纸的相应位置.） 17．已知二次函数 f （x）=x2+mx+n 对任意 x∈R，都有 f （﹣x）=f （2+x）成立，设向量 =（ sinx，2 ） ， =（2sinx， ） ， =（ cos2x，1 ） ， =（1，2） ， （Ⅰ）求函数 f （x）的单调区间； （Ⅱ）当 x∈[0，π]时，求不等式 f （ ? ）＞f （ ? ）的解集． 【考点】平面向量的综合题． 【分析】 （Ⅰ）由条件 f （﹣x）=f （2+x）可知 f（x）的图象关于直线 x=1 对称，又由于 函数图象开口向上，故可求函数 f （x）的单调区间； （Ⅱ）利用函数的单调性将函数符号脱去，从而转化为解三角不等式． 【解答】解： （Ⅰ）设 f（x）图象上的两点为 A（﹣x，y1） 、B（2+x，y2） ， 因为 =1

f （﹣x）=f （2+x） ，所以 y1=y2 由 x 的任意性得 f（x）的图象关于直线 x=1 对称， ∴x≥1 时，f（x）是增函数；x≤1 时，f（x）是减函数， ∴函数的单调增区间是[1，+∞） ；单调减区间是（﹣∞，1]． （Ⅱ）∵ ? =（sinx，2）?（2sinx， ）=2sin2x+1≥1， ? =（cos2x，1）?（1，2）=cos2x+2≥1， ∵f（x）在是[1，+∞）上为增函数， ∴f （ ? ）＞f （ ? ）?f（2sin2x+1）＞f（cos2x+2） ?2sin2x+1＞cos2x+2?1﹣cos2x+1＞cos2x+2 ?cos2x＜0?2kπ+ ?kπ+ ＜x＜kπ+ ＜2x＜2kπ+ ，k∈z
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，k∈z

∵0≤x≤π，∴

＜x＜ ＜x＜ }．

综上所述，不等式 f （ ? ）＞f （ ? ）的解集是：{ x|

18．已知函数 f（x）=sin（2x﹣ （1）求 f（x）的单调递增区间；

）+2cos2x﹣1（x∈R） ．

（2）在△ABC 中，三内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 f（A）= ，b，a，c 成 等差数列，且 ? =9，求 a 的值． 【考点】正弦函数的单调性；数列与三角函数的综合；三角函数中的恒等变换应用． 【分析】 （I）利用两角和差的三角公式化简 f（x）的解析式，得到 sin（2x+ ≤（2x+ ）≤2kπ+ ，解出 x 的范围，即得 f（x）的单调递增区间． ，求得 A 的值；根据 b，a，c 成等差数列以及 =9， ） ，由 2kπ﹣

（II）在△ABC 中，由 利用余弦定理求得 a 值． 【解答】解： （I）f（x）= 令 2kπ﹣ ≤（2x+

= ，可得 ，kπ+ kπ﹣ ]，k∈z．

sin2x+ cos2x=sin（2x+ ，k∈z．

） ．

）≤2kπ+

≤x≤kπ+

即 f（x）的单调递增区间为[kπ﹣ （II）在△ABC 中，由 ∴2A+ = 或 ，∴A=

，可得 sin（2A+

）= ，∵

＜2A+

＜2π+

，

（或 A=0 舍去） ．

=9，∴bccosA=9，即 bc=18． ∵b，a，c 成等差数列可得 2a=b+c，∵ 2 2 2 2 由余弦定理可得 a =b +c ﹣2bc?cosA=（b+c） ﹣3bc=4a2﹣54， 求得 a2=18，∴a=3 ． 19．如图，已知直角梯形 ACDE 所在的平面垂直于平面 ABC，∠BAC=∠ACD=90°，∠ EAC=60°，AB=AC=AE． （1）在直线 BC 上是否存在一点 P，使得 DP∥平面 EAB？请证明你的结论； （2）求平面 EBD 与平面 ABC 所成的锐二面角 θ 的余弦值．

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【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定． 【分析】 （1）由题意及图形取 AB 的中点 F，AC 的中点 M，得到四边形 EMCD 为矩形，利 用线面平行的判定定理证得线面平行； （2）由题意利用二面角的定义得到二面角的平面角，然后在三角形中解出即可． 【解答】解： （1）线段 BC 的中点就是满足条件的点 P． 证明如下： 取 AB 的中点 F 连接 DP、PF、EF，则 FP∥AC， 取 AC 的中点 M，连接 EM、EC， ∵AE=AC 且∠EAC=60°， ∴△EAC 是正三角形，∴EM⊥AC． ∴四边形 EMCD 为矩形， ∴ ．又∵ED∥AC， ，

∴ED∥FP 且 ED=FP， 四边形 EFPD 是平行四边形． ∴DP∥EF， 而 EF? 平面 EAB，DP?平面 EAB， ∴DP∥平面 EAB． （2）过 B 作 AC 的平行线 l，过 C 作 l 的垂线交 l 于 G，连接 DG， ∵ED∥AC， ∴ED∥l，l 是平面 EBD 与平面 ABC 所成二面角的棱． ∵平面 EAC⊥平面 ABC，DC⊥AC， ∴DC⊥平面 ABC， 又∵l? 平面 ABC，∴l⊥平面 DGC， ∴l⊥DG， ∴∠DGC 是所求二面角的平面角． 设 AB=AC=AE=2a，则 ，GC=2a， ∴ ∴ ， ．

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20． Tn 满足 设等差数列{an}， {bn}前 n 项和 Sn，

=

， 且

+

= ， S2=6；

函数 g（x）= （x﹣1） ，且 cn=g（cn﹣1） （n∈N，n＞1） ，c1=1． （1）求 A； （2）求数列{an}及{cn}的通项公式； （3）若 dn= ，试求 d1+d2+…+dn．

【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等差关系的确定． 【分析】 （1） 利用等差中项的概念， 把 转化为 ， 结合

得到

，从而 A 的值可求；

（2）由 A=1，可令 Sn=kn（n+1） ，由 S2=6 求出 k，则 Sn 可求，分 n=1 和 n≥2 求得 an．把 给出的 cn=g（cn﹣1）变形，得到数列{cn+1}是 为公比，以 c1+1=2 为首项的等比数列，由 等比数列的通项公式求出 cn+1，从而得到 cn； （3）分 n=2k 和 n=2k+1 两类写出 d1+d2+…+dn，然后利用分组求和． 【解答】解： （1）∵{an}，{bn}是等差数列， 由 ，得 ，

而

，

∴

，解得 A=1； ．

（2）令 Sn=kn（n+1） ，∵S2=6，得 6k=6，k=1，即

当 n=1 时，a1=S1=2，当 n≥2 时，an=Sn﹣Sn﹣1=n2+n﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）]=2n， 该式对 n=1 时成立，所以 an=2n； 由题意 ，变形得 （n≥2） ，

∴数列{cn+1}是 为公比，以 c1+1=2 为首项的等比数列． ，即 ；

（3）当 n=2k+1 时，d1+d2+…+dn=（a1+a3+…a2k+1）+（c2+c4+…+c2k）
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=[2+6+10+…+2（2k+1）]+[（1﹣1）+（ = = ．

）+…+（

）]

当 n=2k 时，d1+d2+…+dn=（a1+a3+…a2k﹣1）+（c2+c4+…+c2k） =[2+6+10+…+2（2k﹣1）]+[（1﹣1）+（ ）+…+（ ）]

=

．

综上：

．

21．已知某个几何体的三视图如图（主视图的弧线是半圆） ，根据图中标出的数据，

（Ⅰ）求这个组合体的表面积； （Ⅱ）若组合体的底部几何体记为 ABCD﹣A1B1C1D1，其中 A1B1BA 为正方形、 （i）求证：A1B⊥平面 AB1C1D； （ii）是否存在棱 A1D1 上一点 P，使直线 AP 与平面 AB1C1D 所成角为 30°？ 【考点】异面直线及其所成的角；由三视图求面积、体积；直线与平面垂直的判定． 【分析】 （I）由三视图知组合体底部为长方体，上部为半个圆柱 长方体的棱长分别为 8，8， 10，做出长方体所露出的部分的表面积，做出半个圆柱的表面积，得到结果． （II） （i）要证明线与面垂直，需要先在面上找出两条相交直线，证明这两条相交直线与已 知直线垂直，选择的线是 AD，AB1 （i）建立坐标系，写出要用的几个点的坐标，根据长方体的性质作出面的法向量，根据直 线的方向向量与面的法向量之间的角是 60 度，根据两个向量的夹角公式，列出关于 x 的方 程，得到结果． 【解答】解： （Ⅰ）此组合体底部为长方体，上部为半个圆柱 长方体的棱长分别为 8，8，10， ∴长方体所露出的部分的表面积是 2×8×8+2×8×10+8×10=368 半个圆柱的表面积是 π×4×10+4×4×π=56π， ∴空间组合体的表面积是 368+56π
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（Ⅱ） （i）∵长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 ∴AD⊥平面 A1B1BA ∵A1B? 平面 A1B1BA ∴AD⊥A1B 又∵A1B1BA 是边长为 8 的正方形

∴A1B⊥AB1 ∵AB1∩AD=A ∴A1B⊥平面 AB1C1D． （ii）存在点 P，满足条件， 以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1 为 z 轴建立坐标系， A（10，0，O） ，A1（10，0，8） ，B（10，8，0） ，P（x，0，8） AB 由题意知 1 是面的一个法向量 ， ∵直线 AP 与平面 AB1C1D 所成角为 30°， ∴ =﹣ ， ，

∴x2﹣20x+36=0 ∴x=2，或 x=18（舍去） ∴存在一个点 P，这个点在距离 D1 长度为 2 的地方． 22．已知函数 f（x）=[ax2+（a﹣1）2x+a﹣（a﹣1）2]ex（其中 a∈R） ． （Ⅰ）若 x=0 为 f（x）的极值点，求 a 的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，解不等式 f（x）＞（x﹣1） （ +x+1） ；

（Ⅲ）若函数 f（x）在区间（1，2）上单调递增，求实数 a 的取值范围． 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究 函数的极值． 【分析】 （1）利用导数求极值，由 x=0 为 f（x）的极值点得，f′（0）=ae0=0，即得 a 的值； （2）由不等式 得， （x﹣1）[ex﹣（ x2+x+1）]＞0，利用导数

判断函数 g（x）=）ex﹣（ x2+x+1）的单调性，进而得证； （3）由导数与函数单调性的关系，通过讨论求得 a 的范围． 【解答】解： （Ⅰ）因为 f（x）=[ax2+（a﹣1）2x+a﹣（a﹣1）2]ex
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所以 f′（x）=[2ax+（a﹣1）2]ex+[ax2+（a﹣1）2x+a﹣（a﹣1）2]ex=[ax2+（a2+1）x+a]ex﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 因为 x=0 为 f（x）的极值点，所以由 f′（0）=ae0=0，解得 a=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 检验，当 a=0 时，f′（x）=xex，当 x＜0 时，f′（x）＜0，当 x＞0 时，f′（x）＞0， 所以 x=0 为 f（x）的极值点，故 a=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （Ⅱ） 当 a=0 时，不等式不等式 x2+x+1） ， 整理得（x﹣1）[ex﹣（ x2+x+1）]＞0， ?（x﹣1）ex＞（x﹣1） （

即

或

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

令 g（x）=）ex﹣（ x2+x+1） ，h（x）=g′（x）=ex﹣（x+1） ，h′（x）=ex﹣1， 当 x＞0 时，h′（x）=ex﹣1＞0，当 x＜0 时，h′（x）=ex﹣1＜0， 所以 h（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增， 所以 h（x）＞h（0）=0，即 g′（x）＞0， 所以 g（x）在 R 上单调递增，而 g（0）=0； 故 ex﹣（ x2+x+1）＞0?x＞0；ex﹣（ x2+x+1）＜0?x＜0， 所以原不等式的解集为{x|x＜0 或 x＞1}；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣ （Ⅲ） 当 a≥0 时，f′（x）=[ax2+（a2+1）x+a]ex， 因为 x∈（1，2） ，所以 f′（x）＞0，所以 f（x）在（1，2）上是增函数．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣ 当 a＜0 时，f′（x）=a（x+a） （x+ ）?ex，x∈（1，2）时，f（x）是增函数，f′（x）＞0． ①若 a＜﹣1，则 f′（x）=a（x+a） （x+ ）?ex＞0? x∈（﹣ ，﹣a） ，由（1，2）? （﹣ ， ﹣a）得 a≤﹣2； ②若﹣1＜a＜0，则 f′（x）=a（x+a） （x+ ）?ex＞0? x∈（﹣a，﹣ ） ，由（1，2）? （﹣ a，﹣ ）得﹣ ≤a＜0． ③若 a=﹣1，f′（x）=﹣（x﹣1）2?ex≤0，不合题意，舍去． 综上可得，实数 a 的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[﹣ ，+∞）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣

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2016 年 9 月 26 日

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