高考文科数学复习第一轮

平面内的一条规定有单位长度的射线

，

为极点，

为极轴，选定一个长度单位和角的

正方向（通常取逆时针方向） ，这就构成了极坐标系。

2．极坐标系内一点
平面上一点 实数对 就叫做点 的极坐标。

的极坐标
的距离 称为极径 ， 与

轴的夹角 称为极角，有序

到极点

（1）一般情况下，不特别加以说明时 当 时表示极点； 当 使 的点。 （2）点 时，点 ，在 与点

表示非负数；

的位置这样确定：作射线 的反向延长线上取一点 （

， ，使得 ，点 即为所求 的

）所表示的是同一个点，即角 与

终边是相同的。 综上所述，在极坐标系中，点与其点的极坐标之间不是一一对应而是一对多的对应， 即 ， , 均表示同一个点.

3. 极坐标与直角坐标的互化
当极坐标系与直角坐标系在特定条件下（① 极点与原点重合；② 极轴与 轴正半轴重合； ③长 度 单 位 相 同 ） ，平面上一个点 的极坐标 和直角坐标 有如下

关系： 直角坐标化极坐标： ；

极坐标化直角坐标：

.
1

此即在两个坐标系下，同一个点的两种坐标间的互化关系.

4. 直线的极坐标方程：
（1）过极点倾斜角为 （2）过 的直线： 或写成 及 .

垂直于极轴的直线：

5. 圆的极坐标方程：
（1）以极点 （2）若 为圆心， ， 为半径的圆： ，以 .

为直径的圆：

知识点二：柱坐标系与球坐标系： 1. 柱坐标系的定义：

空间点

与柱坐标

之间的变换公式：

2. 球坐标系的定义： 空间点 知识点三：参数方程

与球坐标

之间的变换公式：

1. 概念：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 的函数：

都是某个变数

，并且对于 的每一个允许值，方程所确定的点 方程就叫做这条曲线的参数方程，联系

都在这条曲线上，那么

间的关系的变数 叫做参变数（简称参数）. ，叫

相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程 做曲线的普通方程。

知识点四：常见曲线的参数方程 1．直线的参数方程
（1）经过定点 ，倾斜角为 的直线 的参数方程为：

（ 为参数） ；

2

其中参数 的几何意义： 的距离。 （当 在 上方时，

， 有 ， 在

， 即 下方时，

表示直线上任一点 M 到定点 )。

（2）过定点

，且其斜率为

的直线 的参数方程为：

（ 为参数， 其中 的几何意义为：若

为为常数， 是直线上一点，则

） ； 。

2．圆的参数方程
（1）已知圆心为 ，半径为 的圆 的参数方程为：

（ 是参数，

） ；

特别地当圆心在原点时，其参数方程为

（ 是参数） 。

（2）参数 的几何意义为：由 轴的正方向到连接圆心和圆上任意一点的半径所成的角。

（3）圆的标准方程明确地指出圆心和半径，圆的一般方程突出方程形式上的特点，圆的 参数方程则直接指出圆上点的横、纵坐标的特点。

3. 椭圆的参数方程

（1）椭圆

（

）的参数方程

（

为参数） 。

3

（2）参数 的几何意义是椭圆上某一点的离心角。 如图中，点 交大圆即以 对应的角为 为直径的圆于 （过 作 轴， 。

） ，切不可认为是

（3）从数的角度理解，椭圆的参数方程实际上是关于椭圆的一组三角代换。

椭圆

上任意一点可设成

，

为解决有关椭圆问题提供了一条新的途径。

4. 双曲线的参数方程

双曲线

（

,

）的参数方程为

（ 为参数） 。

5. 抛物线的参数方程

抛物线

(

)的参数方程为

（ 是参数） 。

参数 的几何意义为：抛物线上一点与其顶点

连线的斜率的倒数，即

。

规律方法指导：
1、把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法. 常见的消参 方法有：代入消法 ；加减消参；平方和（差）消参法；乘法消参法；比值消参法；利用恒等 式消参法；混合消参法等. 2、把曲线 的普通方程 化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保

互化前后方程的等价性， 注意方程中的参数的变化范

【课前演练】
一、选择题

4

1.已知集合 M ? {x |1 ? x ? 0} , N ? {x | A．{x|-1≤x＜1} B．{x |x>1}

1 ? 0} ,则 M 1? x

N=
D．{x |x≥-1}

C．{x|-1＜x＜1}

2.若复数(1+bi)(2+i)是纯虚数(i是虚数单位，b是实数)，则b= A．-2
3

B． ?

1 2

C.

1 2

D．2

3.若函数f(x)=x (x∈R)，则函数y=f(-x)在其定义域上是

A．单调递减的偶函数 C．单凋递增的偶函数

B.单调递减的奇函数 D．单涮递增的奇函数

4．若向量 a, b 满足 | a |?| b |? 1 , a 与 b 的夹角为 60 ? ,则 a ? a ? a ? b ?

A．

1 2

B．

3 2

C. 1 ?

3 2

D．2

5．客车从甲地以60km／h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km ／h的速度匀速行驶l小时到达丙地。下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达 丙 地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是

二、填空题 11．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点O，且过点P(2,4)，则该 抛物线的方程是 ．

12．函数f(x)=xlnx(x>0)的单调递增区间是

．

5

13．已知数列{an}的前n项和Sn=n -9n，则其通项an=

2

；若它的第k项满足5<ak<8，则k=

14．(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，直线l的方程为ρsinθ=3，则点(2，π/6)到直 线l的距离为 ．

15．(几何证明选讲选做题)如图4所示，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3过C作圆的切线 l，过A作l的垂线AD，垂足为D， 则∠DAC= ．

【经典例题精析】 类型二：参数方程与普通方程互化
4．把参数方程化为普通方程

(1) 参数） ；

(

， 为参数)；

（2）

(

， 为

（3）

(

, 为参数)；

（4）

( 为参数).

思路点拨: （1）将第二个式子变形后，把第一个式子代入消参； （2）利用三角恒等式进行消参； （3）观察式子的结构，注意到两式中分子分母的结构特点，因而可以采取加减消参的办 法；或把 用 表示，反解出 后再代入另一表达式即可消参； 而已，因而消参方法依旧，但需要注意 、

（4）此题是（3）题的变式，仅仅是把 换成 的范围。

总结升华： 1. 消参的方法主要有代入消参，加减消参，比值消参，平方消参，利用恒等式消参等。 2.消参过程中应注意等价性，即应考虑变量的取值范围，一般来说应分别给出 、 的范 围.在这过程中实际上是求函数值域的过程，因而可以综合运用求值域的各种方法.
6

举一反三： 【变式 1】化参数方程为普通方程。

（1）

(t 为参数) ；

（2）

（t 为参

【变式 2】 （1）圆

的半径为_________ ；

（2）参数方程

(

表示的曲线为（

） 。

A、双曲线一支，且过点

B、抛物线的一部分，且过点

C、双曲线一支，且过点

D、抛物线的一部分，且过点

【变式 3】 （1）直线 : A、 B、

(t 为参数)的倾斜角为（ C、

） 。 D、

（2 ）

为锐角，直线

的倾斜角（

） 。

A、

B、

C、

D、

5．已知曲线的参数方程 （1）当 为常数( )， 为参数(

（

、

为常数） 。

)时，说明曲线的类型；

（2）当 为常数且

， 为参数时，说明曲线的类型。

7

思路点拨:通过消参，化为普通方程，再做判断。

总结升华： 从本例可以看出： 某曲线的参数方程形式完全相同， 但选定不同的字母为参数， 则表示的意义也不相同，表示不同曲线。因此在表示曲线的参数方程时，一般应标明选定的字 母参数。 举一反三：

【变式】已知圆锥曲线方程为 （1）若 为参数， （2）若

。

为常数，求此曲线的焦点到准线距离。

为参数， 为常数，求此曲线的离心率。

【课堂检测】
选择题
３０．椭圆 ?

? x ? 3 ? 3 cos? 的两个焦点坐标是( ? y ? ?1 ? 5 sin ?
B．(3, 3)，(3, -5) D．(7, -1)，(-1, -1)

)。

A．(-3, 5)，(-3, -3) C．(1, 1)，(-7, 1) 六、1．若直线的参数方程为 ?

? x ? 1 ? 2t (t为参数) ，则直线的斜率为（ ? y ? 2 ? 3t

）

2 3 3 C． 2
A．

B． ?

2 3 3 D． ? 2

2．下列在曲线 ?

? x ? sin 2? (? 为参数) 上的点是（ ? y ? cos ? ? sin ?
B． ( ?

）

A． (

1 , ? 2) 2

3 1 , ) 4 2

C． (2,

3)

D． (1,

3)
）

2 ? ? x ? 2 ? sin ? (? 为参数) 化为普通方程为（ 3．将参数方程 ? 2 ? ? y ? sin ?

A．

y ? x?2

B．

y ? x?2

C．

y ? x ? 2(2 ? x ? 3)

D．

y ? x ? 2(0 ? y ? 1)

6．极坐标方程 ? cos ?

? 2sin 2? 表示的曲线为（
B．两条直线

） D．一个圆

A．一条射线和一个圆

C．一条直线和一个圆

8

七、1．直线 l 的参数方程为 ? 间的距离是（ ） B． 2 t1

?x ? a ? t (t为参数) ， l 上的点 P1 对应的参数是 t1 ，则点 P1 与 P(a, b) 之 ?y ? b ?t

A．

t1

C．

2 t1

D．

2 t1 2

1 ? ?x ? t ? 2．参数方程为 ? t (t为参数) 表示的曲线是（ ? ?y ? 2
A．一条直线 B．两条直线 C．一条射线

）

D．两条射线

1 ? x ? 1? t ? 2 ? 3．直线 ? (t为参数) 和圆 x2 ? y 2 ? 16 交于 A, B 两点， ? y ? ?3 3 ? 3 t ? ? 2
则

AB 的中点坐标为（
A． (3, ?3) B ． (?

）

3,3)

C． (

3, ?3)

D． (3, ?

3)
）

5．与参数方程为 ?

? ?x ? t ? ? y ? 2 1? t

(t为参数) 等价的普通方程为（
y2 ? 1(0 ? x ? 1) 4 ?

A． x

2

?

y2 ?1 4 y2 ? 1(0 ? y ? 2) 4

B． x

2

?

C． x

2

?

D． x

2

y2 ? 1(0 ? x ? 1, 0 ? y ? 2) 4
）

6．直线 ?

? x ? ?2 ? t (t为参数) 被圆 ( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 25 所截得的弦长为（ ? y ? 1? t
98
B． 40

A．

1 4

C．

82

D．

93 ? 4 3
）

八、1．把方程 xy
1 ? 2 x ? t ? A． ? 1 ? y ? t?2 ?

? 1 化为以 t 参数的参数方程是（

B． ?

? x ? sin t ? 1 y? ? sin t ?

C． ?

? x ? cos t ? 1 y? ? cos t ?
）

D． ?

? x ? tan t ? 1 y? ? tan t ?

2．曲线 ?

? x ? ?2 ? 5t (t为参数) 与坐标轴的交点是（ ? y ? 1 ? 2t

9

A． (0,

2 1 )、 ( , 0) 5 2

B． (0,

(8, 0) C． (0, ?4)、
3．直线 ?

1 1 )、 ( , 0) 5 2 5 (8, 0) D． (0, )、 9
）

? x ? 1 ? 2t (t为参数) 被圆 x 2 ? y 2 ? 9 截得的弦长为（ ?y ? 2 ? t
B．

12 5 9 5 C． 5
A．

12 5 5 9 10 D． 5

4．若点 P(3, m) 在以点 F 为焦点的抛物线 ?

? x ? 4t 2 ? y ? 4t

(t为参数) 上，

则

PF
A． 2 C． 4

等于（ B． 3 D． 5

）

6．在极坐标系中与圆 ? A． ? cos ? C． ?

? 4sin ? 相切的一条直线的方程为（
B． ? sin ?

）

?2

?2

? 4 sin(? ?

?
3

)

D． ?

? 4 sin(? ? ) 3

?

填空题
参、５．把参数方程 ?

? x ? sin ? (α 为参数)化为普通方程，结果是 ? y ? cos? ? 1

。

六、1．直线 ?

? x ? 3 ? 4t (t为参数) 的斜率为______________________。 ? y ? 4 ? 5t

t ?t ? ?x ? e ? e (t为参数) 的普通方程为__________________。 2．参数方程 ? t ?t ? ? y ? 2(e ? e )

3．已知直线 l1 : ?

? x ? 1 ? 3t (t为参数) 与直线 l2 : 2 x ? 4 y ? 5 相交于点 B ，又点 A(1, 2) ， ? y ? 2 ? 4t

则

AB ? _______________。

10

1 ? x ? 2? t ? ? 2 (t为参数) 被圆 x2 ? y2 ? 4 截得的弦长为______________。 4．直线 ? 1 ? y ? ?1 ? t ? ? 2

1 ? ?x ? 1? 5．七、1．曲线的参数方程是 ? t (t为参数,t ? 0) ，则它的普通方程为__________________。 ? y ? 1? t2 ?
2．直线 ?

? x ? 3 ? at (t为参数) 过定点_____________。 ? y ? ?1 ? 4t
2

3．点 P(x,y)是椭圆 2 x

? 3 y 2 ? 12 上的一个动点，则 x ? 2 y 的最大值为___________。
? tan ? ? 1 cos ?
，则曲线的直角坐标方程为________________。

4．曲线的极坐标方程为 ? 5．设

y ? tx(t为参数) 则圆 x2 ? y 2 ? 4 y ? 0 的参数方程为__________________________。

八 、 1 ． 已 知曲 线

? x ? 2 pt 2 (t为参数,p为正常数) 上 的 两 点 M , N ? y ? 2 pt ?
=_______________。

对 应 的 参 数 分别 为 t1和t2, ，

且t1 ? t2 ? 0 ，那么 MN
2．直线 ?

? ? x ? ?2 ? 2t ? ? y ? 3 ? 2t

(t为参数) 上与点 A(?2,3) 的距离等于 2 的点的坐标是_______。

3．圆的参数方程为 ?

? x ? 3sin ? ? 4cos ? (? 为参数) ，则此圆的半径为_______________。 ? y ? 4sin ? ? 3cos ?
? cos?
与?

4．极坐标方程分别为 ?

? sin ? 的两个圆的圆心距为_____________。

5．直线 ?

? x ? t cos ? ? y ? t sin ?

与圆 ?

? x ? 4 ? 2cos ? 相切，则 ? ? _______________。 ? y ? 2sin ?

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