平面内的一条规定有单位长度的射线
,
为极点,
为极轴,选定一个长度单位和角的
正方向(通常取逆时针方向) ,这就构成了极坐标系。
2.极坐标系内一点
平面上一点 实数对 就叫做点 的极坐标。
的极坐标
的距离 称为极径 , 与 轴的夹角 称为极角,有序
到极点
(1)一般情况下,不特别加以说明时 当 时表示极点; 当 使 的点。 (2)点 时,点 ,在 与点
表示非负数;
的位置这样确定:作射线 的反向延长线上取一点 (
, ,使得 ,点 即为所求 的
)所表示的是同一个点,即角 与
终边是相同的。 综上所述,在极坐标系中,点与其点的极坐标之间不是一一对应而是一对多的对应, 即 , , 均表示同一个点.
3. 极坐标与直角坐标的互化
当极坐标系与直角坐标系在特定条件下(① 极点与原点重合;② 极轴与 轴正半轴重合; ③长 度 单 位 相 同 ) ,平面上一个点 的极坐标 和直角坐标 有如下
关系: 直角坐标化极坐标: ;
极坐标化直角坐标:
.
1
此即在两个坐标系下,同一个点的两种坐标间的互化关系.
4. 直线的极坐标方程:
(1)过极点倾斜角为 (2)过 的直线: 或写成 及 .
垂直于极轴的直线:
5. 圆的极坐标方程:
(1)以极点 (2)若 为圆心, , 为半径的圆: ,以 .
为直径的圆:
知识点二:柱坐标系与球坐标系: 1. 柱坐标系的定义:
空间点
与柱坐标
之间的变换公式:
2. 球坐标系的定义: 空间点 知识点三:参数方程
与球坐标
之间的变换公式:
1. 概念:一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 的函数:
都是某个变数
,并且对于 的每一个允许值,方程所确定的点 方程就叫做这条曲线的参数方程,联系
都在这条曲线上,那么
间的关系的变数 叫做参变数(简称参数). ,叫
相对于参数方程来说,前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程 做曲线的普通方程。
知识点四:常见曲线的参数方程 1.直线的参数方程
(1)经过定点 ,倾斜角为 的直线 的参数方程为:
( 为参数) ;
2
其中参数 的几何意义: 的距离。 (当 在 上方时,
, 有 , 在
, 即 下方时,
表示直线上任一点 M 到定点 )。
(2)过定点
,且其斜率为
的直线 的参数方程为:
( 为参数, 其中 的几何意义为:若
为为常数, 是直线上一点,则
) ; 。
2.圆的参数方程
(1)已知圆心为 ,半径为 的圆 的参数方程为:
( 是参数,
) ;
特别地当圆心在原点时,其参数方程为
( 是参数) 。
(2)参数 的几何意义为:由 轴的正方向到连接圆心和圆上任意一点的半径所成的角。
(3)圆的标准方程明确地指出圆心和半径,圆的一般方程突出方程形式上的特点,圆的 参数方程则直接指出圆上点的横、纵坐标的特点。
3. 椭圆的参数方程
(1)椭圆
(
)的参数方程
(
为参数) 。
3
(2)参数 的几何意义是椭圆上某一点的离心角。 如图中,点 交大圆即以 对应的角为 为直径的圆于 (过 作 轴, 。
) ,切不可认为是
(3)从数的角度理解,椭圆的参数方程实际上是关于椭圆的一组三角代换。
椭圆
上任意一点可设成
,
为解决有关椭圆问题提供了一条新的途径。
4. 双曲线的参数方程
双曲线
(
,
)的参数方程为
( 为参数) 。
5. 抛物线的参数方程
抛物线
(
)的参数方程为
( 是参数) 。
参数 的几何意义为:抛物线上一点与其顶点
连线的斜率的倒数,即
。
规律方法指导:
1、把参数方程化为普通方程,需要根据其结构特征,选取适当的消参方法. 常见的消参 方法有:代入消法 ;加减消参;平方和(差)消参法;乘法消参法;比值消参法;利用恒等 式消参法;混合消参法等. 2、把曲线 的普通方程 化为参数方程的关键:一是适当选取参数;二是确保
互化前后方程的等价性, 注意方程中的参数的变化范
【课前演练】
一、选择题
4
1.已知集合 M ? {x |1 ? x ? 0} , N ? {x | A.{x|-1≤x<1} B.{x |x>1}
1 ? 0} ,则 M 1? x
N=
D.{x |x≥-1}
C.{x|-1<x<1}
2.若复数(1+bi)(2+i)是纯虚数(i是虚数单位,b是实数),则b= A.-2
3
B. ?
1 2
C.
1 2
D.2
3.若函数f(x)=x (x∈R),则函数y=f(-x)在其定义域上是
A.单调递减的偶函数 C.单凋递增的偶函数
B.单调递减的奇函数 D.单涮递增的奇函数
4.若向量 a, b 满足 | a |?| b |? 1 , a 与 b 的夹角为 60 ? ,则 a ? a ? a ? b ?
A.
1 2
B.
3 2
C. 1 ?
3 2
D.2
5.客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地,在乙地停留了半小时,然后以80km /h的速度匀速行驶l小时到达丙地。下列描述客车从甲地出发,经过乙地,最后到达 丙 地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中,正确的是
二、填空题 11.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线关于x轴对称,顶点在原点O,且过点P(2,4),则该 抛物线的方程是 .
12.函数f(x)=xlnx(x>0)的单调递增区间是
.
5
13.已知数列{an}的前n项和Sn=n -9n,则其通项an=
2
;若它的第k项满足5<ak<8,则k=
14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,直线l的方程为ρsinθ=3,则点(2,π/6)到直 线l的距离为 .
15.(几何证明选讲选做题)如图4所示,圆O的直径AB=6,C为圆周上一点,BC=3过C作圆的切线 l,过A作l的垂线AD,垂足为D, 则∠DAC= .
【经典例题精析】 类型二:参数方程与普通方程互化
4.把参数方程化为普通方程
(1) 参数) ;
(
, 为参数);
(2)
(
, 为
(3)
(
, 为参数);
(4)
( 为参数).
思路点拨: (1)将第二个式子变形后,把第一个式子代入消参; (2)利用三角恒等式进行消参; (3)观察式子的结构,注意到两式中分子分母的结构特点,因而可以采取加减消参的办 法;或把 用 表示,反解出 后再代入另一表达式即可消参; 而已,因而消参方法依旧,但需要注意 、
(4)此题是(3)题的变式,仅仅是把 换成 的范围。
总结升华: 1. 消参的方法主要有代入消参,加减消参,比值消参,平方消参,利用恒等式消参等。 2.消参过程中应注意等价性,即应考虑变量的取值范围,一般来说应分别给出 、 的范 围.在这过程中实际上是求函数值域的过程,因而可以综合运用求值域的各种方法.
6
举一反三: 【变式 1】化参数方程为普通方程。
(1)
(t 为参数) ;
(2)
(t 为参
【变式 2】 (1)圆
的半径为_________ ;
(2)参数方程
(
表示的曲线为(
) 。
A、双曲线一支,且过点
B、抛物线的一部分,且过点
C、双曲线一支,且过点
D、抛物线的一部分,且过点
【变式 3】 (1)直线 : A、 B、
(t 为参数)的倾斜角为( C、
) 。 D、
(2 )
为锐角,直线
的倾斜角(
) 。
A、
B、
C、
D、
5.已知曲线的参数方程 (1)当 为常数( ), 为参数(
(
、
为常数) 。
)时,说明曲线的类型;
(2)当 为常数且
, 为参数时,说明曲线的类型。
7
思路点拨:通过消参,化为普通方程,再做判断。
总结升华: 从本例可以看出: 某曲线的参数方程形式完全相同, 但选定不同的字母为参数, 则表示的意义也不相同,表示不同曲线。因此在表示曲线的参数方程时,一般应标明选定的字 母参数。 举一反三:
【变式】已知圆锥曲线方程为 (1)若 为参数, (2)若
。
为常数,求此曲线的焦点到准线距离。
为参数, 为常数,求此曲线的离心率。
【课堂检测】
选择题
30.椭圆 ?
? x ? 3 ? 3 cos? 的两个焦点坐标是( ? y ? ?1 ? 5 sin ?
B.(3, 3),(3, -5) D.(7, -1),(-1, -1)
)。
A.(-3, 5),(-3, -3) C.(1, 1),(-7, 1) 六、1.若直线的参数方程为 ?
? x ? 1 ? 2t (t为参数) ,则直线的斜率为( ? y ? 2 ? 3t
)
2 3 3 C. 2
A.
B. ?
2 3 3 D. ? 2
2.下列在曲线 ?
? x ? sin 2? (? 为参数) 上的点是( ? y ? cos ? ? sin ?
B. ( ?
)
A. (
1 , ? 2) 2
3 1 , ) 4 2
C. (2,
3)
D. (1,
3)
)
2 ? ? x ? 2 ? sin ? (? 为参数) 化为普通方程为( 3.将参数方程 ? 2 ? ? y ? sin ?
A.
y ? x?2
B.
y ? x?2
C.
y ? x ? 2(2 ? x ? 3)
D.
y ? x ? 2(0 ? y ? 1)
6.极坐标方程 ? cos ?
? 2sin 2? 表示的曲线为(
B.两条直线
) D.一个圆
A.一条射线和一个圆
C.一条直线和一个圆
8
七、1.直线 l 的参数方程为 ? 间的距离是( ) B. 2 t1
?x ? a ? t (t为参数) , l 上的点 P1 对应的参数是 t1 ,则点 P1 与 P(a, b) 之 ?y ? b ?t
A.
t1
C.
2 t1
D.
2 t1 2
1 ? ?x ? t ? 2.参数方程为 ? t (t为参数) 表示的曲线是( ? ?y ? 2
A.一条直线 B.两条直线 C.一条射线
)
D.两条射线
1 ? x ? 1? t ? 2 ? 3.直线 ? (t为参数) 和圆 x2 ? y 2 ? 16 交于 A, B 两点, ? y ? ?3 3 ? 3 t ? ? 2
则
AB 的中点坐标为(
A. (3, ?3) B . (?
)
3,3)
C. (
3, ?3)
D. (3, ?
3)
)
5.与参数方程为 ?
? ?x ? t ? ? y ? 2 1? t
(t为参数) 等价的普通方程为(
y2 ? 1(0 ? x ? 1) 4 ?
A. x
2
?
y2 ?1 4 y2 ? 1(0 ? y ? 2) 4
B. x
2
?
C. x
2
?
D. x
2
y2 ? 1(0 ? x ? 1, 0 ? y ? 2) 4
)
6.直线 ?
? x ? ?2 ? t (t为参数) 被圆 ( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 25 所截得的弦长为( ? y ? 1? t
98
B. 40
A.
1 4
C.
82
D.
93 ? 4 3
)
八、1.把方程 xy
1 ? 2 x ? t ? A. ? 1 ? y ? t?2 ?
? 1 化为以 t 参数的参数方程是(
B. ?
? x ? sin t ? 1 y? ? sin t ?
C. ?
? x ? cos t ? 1 y? ? cos t ?
)
D. ?
? x ? tan t ? 1 y? ? tan t ?
2.曲线 ?
? x ? ?2 ? 5t (t为参数) 与坐标轴的交点是( ? y ? 1 ? 2t
9
A. (0,
2 1 )、 ( , 0) 5 2
B. (0,
(8, 0) C. (0, ?4)、
3.直线 ?
1 1 )、 ( , 0) 5 2 5 (8, 0) D. (0, )、 9
)
? x ? 1 ? 2t (t为参数) 被圆 x 2 ? y 2 ? 9 截得的弦长为( ?y ? 2 ? t
B.
12 5 9 5 C. 5
A.
12 5 5 9 10 D. 5
4.若点 P(3, m) 在以点 F 为焦点的抛物线 ?
? x ? 4t 2 ? y ? 4t
(t为参数) 上,
则
PF
A. 2 C. 4
等于( B. 3 D. 5
)
6.在极坐标系中与圆 ? A. ? cos ? C. ?
? 4sin ? 相切的一条直线的方程为(
B. ? sin ?
)
?2
?2
? 4 sin(? ?
?
3
)
D. ?
? 4 sin(? ? ) 3
?
填空题
参、5.把参数方程 ?
? x ? sin ? (α 为参数)化为普通方程,结果是 ? y ? cos? ? 1
。
六、1.直线 ?
? x ? 3 ? 4t (t为参数) 的斜率为______________________。 ? y ? 4 ? 5t
t ?t ? ?x ? e ? e (t为参数) 的普通方程为__________________。 2.参数方程 ? t ?t ? ? y ? 2(e ? e )
3.已知直线 l1 : ?
? x ? 1 ? 3t (t为参数) 与直线 l2 : 2 x ? 4 y ? 5 相交于点 B ,又点 A(1, 2) , ? y ? 2 ? 4t
则
AB ? _______________。
10
1 ? x ? 2? t ? ? 2 (t为参数) 被圆 x2 ? y2 ? 4 截得的弦长为______________。 4.直线 ? 1 ? y ? ?1 ? t ? ? 2
1 ? ?x ? 1? 5.七、1.曲线的参数方程是 ? t (t为参数,t ? 0) ,则它的普通方程为__________________。 ? y ? 1? t2 ?
2.直线 ?
? x ? 3 ? at (t为参数) 过定点_____________。 ? y ? ?1 ? 4t
2
3.点 P(x,y)是椭圆 2 x
? 3 y 2 ? 12 上的一个动点,则 x ? 2 y 的最大值为___________。
? tan ? ? 1 cos ?
,则曲线的直角坐标方程为________________。
4.曲线的极坐标方程为 ? 5.设
y ? tx(t为参数) 则圆 x2 ? y 2 ? 4 y ? 0 的参数方程为__________________________。
八 、 1 . 已 知曲 线
? x ? 2 pt 2 (t为参数,p为正常数) 上 的 两 点 M , N ? y ? 2 pt ?
=_______________。
对 应 的 参 数 分别 为 t1和t2, ,
且t1 ? t2 ? 0 ,那么 MN
2.直线 ?
? ? x ? ?2 ? 2t ? ? y ? 3 ? 2t
(t为参数) 上与点 A(?2,3) 的距离等于 2 的点的坐标是_______。
3.圆的参数方程为 ?
? x ? 3sin ? ? 4cos ? (? 为参数) ,则此圆的半径为_______________。 ? y ? 4sin ? ? 3cos ?
? cos?
与?
4.极坐标方程分别为 ?
? sin ? 的两个圆的圆心距为_____________。
5.直线 ?
? x ? t cos ? ? y ? t sin ?
与圆 ?
? x ? 4 ? 2cos ? 相切,则 ? ? _______________。 ? y ? 2sin ?
11