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高考文科数学复习第一轮


平面内的一条规定有单位长度的射线



为极点,

为极轴,选定一个长度单位和角的

正方向(通常取逆时针方向) ,这就构成了极坐标系。

2.极坐标系内一点
平面上一点 实数对 就叫做点 的极坐标。

的极坐标
的距离 称为极径 , 与

轴的夹角 称为极角,有序

到极点

(1)一般情况下,不特别加以说明时 当 时表示极点; 当 使 的点。 (2)点 时,点 ,在 与点

表示非负数;

的位置这样确定:作射线 的反向延长线上取一点 (

, ,使得 ,点 即为所求 的

)所表示的是同一个点,即角 与

终边是相同的。 综上所述,在极坐标系中,点与其点的极坐标之间不是一一对应而是一对多的对应, 即 , , 均表示同一个点.

3. 极坐标与直角坐标的互化
当极坐标系与直角坐标系在特定条件下(① 极点与原点重合;② 极轴与 轴正半轴重合; ③长 度 单 位 相 同 ) ,平面上一个点 的极坐标 和直角坐标 有如下

关系: 直角坐标化极坐标: ;

极坐标化直角坐标:

.
1

此即在两个坐标系下,同一个点的两种坐标间的互化关系.

4. 直线的极坐标方程:
(1)过极点倾斜角为 (2)过 的直线: 或写成 及 .

垂直于极轴的直线:

5. 圆的极坐标方程:
(1)以极点 (2)若 为圆心, , 为半径的圆: ,以 .

为直径的圆:

知识点二:柱坐标系与球坐标系: 1. 柱坐标系的定义:

空间点

与柱坐标

之间的变换公式:

2. 球坐标系的定义: 空间点 知识点三:参数方程

与球坐标

之间的变换公式:

1. 概念:一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 的函数:

都是某个变数

,并且对于 的每一个允许值,方程所确定的点 方程就叫做这条曲线的参数方程,联系

都在这条曲线上,那么

间的关系的变数 叫做参变数(简称参数). ,叫

相对于参数方程来说,前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程 做曲线的普通方程。

知识点四:常见曲线的参数方程 1.直线的参数方程
(1)经过定点 ,倾斜角为 的直线 的参数方程为:

( 为参数) ;

2

其中参数 的几何意义: 的距离。 (当 在 上方时,

, 有 , 在

, 即 下方时,

表示直线上任一点 M 到定点 )。

(2)过定点

,且其斜率为

的直线 的参数方程为:

( 为参数, 其中 的几何意义为:若

为为常数, 是直线上一点,则

) ; 。

2.圆的参数方程
(1)已知圆心为 ,半径为 的圆 的参数方程为:

( 是参数,

) ;

特别地当圆心在原点时,其参数方程为

( 是参数) 。

(2)参数 的几何意义为:由 轴的正方向到连接圆心和圆上任意一点的半径所成的角。

(3)圆的标准方程明确地指出圆心和半径,圆的一般方程突出方程形式上的特点,圆的 参数方程则直接指出圆上点的横、纵坐标的特点。

3. 椭圆的参数方程

(1)椭圆



)的参数方程



为参数) 。

3

(2)参数 的几何意义是椭圆上某一点的离心角。 如图中,点 交大圆即以 对应的角为 为直径的圆于 (过 作 轴, 。

) ,切不可认为是

(3)从数的角度理解,椭圆的参数方程实际上是关于椭圆的一组三角代换。

椭圆

上任意一点可设成



为解决有关椭圆问题提供了一条新的途径。

4. 双曲线的参数方程

双曲线



,

)的参数方程为

( 为参数) 。

5. 抛物线的参数方程

抛物线

(

)的参数方程为

( 是参数) 。

参数 的几何意义为:抛物线上一点与其顶点

连线的斜率的倒数,即



规律方法指导:
1、把参数方程化为普通方程,需要根据其结构特征,选取适当的消参方法. 常见的消参 方法有:代入消法 ;加减消参;平方和(差)消参法;乘法消参法;比值消参法;利用恒等 式消参法;混合消参法等. 2、把曲线 的普通方程 化为参数方程的关键:一是适当选取参数;二是确保

互化前后方程的等价性, 注意方程中的参数的变化范

【课前演练】
一、选择题

4

1.已知集合 M ? {x |1 ? x ? 0} , N ? {x | A.{x|-1≤x<1} B.{x |x>1}

1 ? 0} ,则 M 1? x

N=
D.{x |x≥-1}

C.{x|-1<x<1}

2.若复数(1+bi)(2+i)是纯虚数(i是虚数单位,b是实数),则b= A.-2
3

B. ?

1 2

C.

1 2

D.2

3.若函数f(x)=x (x∈R),则函数y=f(-x)在其定义域上是

A.单调递减的偶函数 C.单凋递增的偶函数

B.单调递减的奇函数 D.单涮递增的奇函数

4.若向量 a, b 满足 | a |?| b |? 1 , a 与 b 的夹角为 60 ? ,则 a ? a ? a ? b ?

A.

1 2

B.

3 2

C. 1 ?

3 2

D.2

5.客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地,在乙地停留了半小时,然后以80km /h的速度匀速行驶l小时到达丙地。下列描述客车从甲地出发,经过乙地,最后到达 丙 地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中,正确的是

二、填空题 11.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线关于x轴对称,顶点在原点O,且过点P(2,4),则该 抛物线的方程是 .

12.函数f(x)=xlnx(x>0)的单调递增区间是



5

13.已知数列{an}的前n项和Sn=n -9n,则其通项an=

2

;若它的第k项满足5<ak<8,则k=

14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,直线l的方程为ρsinθ=3,则点(2,π/6)到直 线l的距离为 .

15.(几何证明选讲选做题)如图4所示,圆O的直径AB=6,C为圆周上一点,BC=3过C作圆的切线 l,过A作l的垂线AD,垂足为D, 则∠DAC= .

【经典例题精析】 类型二:参数方程与普通方程互化
4.把参数方程化为普通方程

(1) 参数) ;

(

, 为参数);

(2)

(

, 为

(3)

(

, 为参数);

(4)

( 为参数).

思路点拨: (1)将第二个式子变形后,把第一个式子代入消参; (2)利用三角恒等式进行消参; (3)观察式子的结构,注意到两式中分子分母的结构特点,因而可以采取加减消参的办 法;或把 用 表示,反解出 后再代入另一表达式即可消参; 而已,因而消参方法依旧,但需要注意 、

(4)此题是(3)题的变式,仅仅是把 换成 的范围。

总结升华: 1. 消参的方法主要有代入消参,加减消参,比值消参,平方消参,利用恒等式消参等。 2.消参过程中应注意等价性,即应考虑变量的取值范围,一般来说应分别给出 、 的范 围.在这过程中实际上是求函数值域的过程,因而可以综合运用求值域的各种方法.
6

举一反三: 【变式 1】化参数方程为普通方程。

(1)

(t 为参数) ;

(2)

(t 为参

【变式 2】 (1)圆

的半径为_________ ;

(2)参数方程

(

表示的曲线为(

) 。

A、双曲线一支,且过点

B、抛物线的一部分,且过点

C、双曲线一支,且过点

D、抛物线的一部分,且过点

【变式 3】 (1)直线 : A、 B、

(t 为参数)的倾斜角为( C、

) 。 D、

(2 )

为锐角,直线

的倾斜角(

) 。

A、

B、

C、

D、

5.已知曲线的参数方程 (1)当 为常数( ), 为参数(





为常数) 。

)时,说明曲线的类型;

(2)当 为常数且

, 为参数时,说明曲线的类型。

7

思路点拨:通过消参,化为普通方程,再做判断。

总结升华: 从本例可以看出: 某曲线的参数方程形式完全相同, 但选定不同的字母为参数, 则表示的意义也不相同,表示不同曲线。因此在表示曲线的参数方程时,一般应标明选定的字 母参数。 举一反三:

【变式】已知圆锥曲线方程为 (1)若 为参数, (2)若



为常数,求此曲线的焦点到准线距离。

为参数, 为常数,求此曲线的离心率。

【课堂检测】
选择题
30.椭圆 ?

? x ? 3 ? 3 cos? 的两个焦点坐标是( ? y ? ?1 ? 5 sin ?
B.(3, 3),(3, -5) D.(7, -1),(-1, -1)

)。

A.(-3, 5),(-3, -3) C.(1, 1),(-7, 1) 六、1.若直线的参数方程为 ?

? x ? 1 ? 2t (t为参数) ,则直线的斜率为( ? y ? 2 ? 3t



2 3 3 C. 2
A.

B. ?

2 3 3 D. ? 2

2.下列在曲线 ?

? x ? sin 2? (? 为参数) 上的点是( ? y ? cos ? ? sin ?
B. ( ?



A. (

1 , ? 2) 2

3 1 , ) 4 2

C. (2,

3)

D. (1,

3)


2 ? ? x ? 2 ? sin ? (? 为参数) 化为普通方程为( 3.将参数方程 ? 2 ? ? y ? sin ?

A.

y ? x?2

B.

y ? x?2

C.

y ? x ? 2(2 ? x ? 3)

D.

y ? x ? 2(0 ? y ? 1)

6.极坐标方程 ? cos ?

? 2sin 2? 表示的曲线为(
B.两条直线

) D.一个圆

A.一条射线和一个圆

C.一条直线和一个圆

8

七、1.直线 l 的参数方程为 ? 间的距离是( ) B. 2 t1

?x ? a ? t (t为参数) , l 上的点 P1 对应的参数是 t1 ,则点 P1 与 P(a, b) 之 ?y ? b ?t

A.

t1

C.

2 t1

D.

2 t1 2

1 ? ?x ? t ? 2.参数方程为 ? t (t为参数) 表示的曲线是( ? ?y ? 2
A.一条直线 B.两条直线 C.一条射线



D.两条射线

1 ? x ? 1? t ? 2 ? 3.直线 ? (t为参数) 和圆 x2 ? y 2 ? 16 交于 A, B 两点, ? y ? ?3 3 ? 3 t ? ? 2


AB 的中点坐标为(
A. (3, ?3) B . (?



3,3)

C. (

3, ?3)

D. (3, ?

3)


5.与参数方程为 ?

? ?x ? t ? ? y ? 2 1? t

(t为参数) 等价的普通方程为(
y2 ? 1(0 ? x ? 1) 4 ?

A. x

2

?

y2 ?1 4 y2 ? 1(0 ? y ? 2) 4

B. x

2

?

C. x

2

?

D. x

2

y2 ? 1(0 ? x ? 1, 0 ? y ? 2) 4


6.直线 ?

? x ? ?2 ? t (t为参数) 被圆 ( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 25 所截得的弦长为( ? y ? 1? t
98
B. 40

A.

1 4

C.

82

D.

93 ? 4 3


八、1.把方程 xy
1 ? 2 x ? t ? A. ? 1 ? y ? t?2 ?

? 1 化为以 t 参数的参数方程是(

B. ?

? x ? sin t ? 1 y? ? sin t ?

C. ?

? x ? cos t ? 1 y? ? cos t ?


D. ?

? x ? tan t ? 1 y? ? tan t ?

2.曲线 ?

? x ? ?2 ? 5t (t为参数) 与坐标轴的交点是( ? y ? 1 ? 2t

9

A. (0,

2 1 )、 ( , 0) 5 2

B. (0,

(8, 0) C. (0, ?4)、
3.直线 ?

1 1 )、 ( , 0) 5 2 5 (8, 0) D. (0, )、 9


? x ? 1 ? 2t (t为参数) 被圆 x 2 ? y 2 ? 9 截得的弦长为( ?y ? 2 ? t
B.

12 5 9 5 C. 5
A.

12 5 5 9 10 D. 5

4.若点 P(3, m) 在以点 F 为焦点的抛物线 ?

? x ? 4t 2 ? y ? 4t

(t为参数) 上,



PF
A. 2 C. 4

等于( B. 3 D. 5



6.在极坐标系中与圆 ? A. ? cos ? C. ?

? 4sin ? 相切的一条直线的方程为(
B. ? sin ?



?2

?2

? 4 sin(? ?

?
3

)

D. ?

? 4 sin(? ? ) 3

?

填空题
参、5.把参数方程 ?

? x ? sin ? (α 为参数)化为普通方程,结果是 ? y ? cos? ? 1



六、1.直线 ?

? x ? 3 ? 4t (t为参数) 的斜率为______________________。 ? y ? 4 ? 5t

t ?t ? ?x ? e ? e (t为参数) 的普通方程为__________________。 2.参数方程 ? t ?t ? ? y ? 2(e ? e )

3.已知直线 l1 : ?

? x ? 1 ? 3t (t为参数) 与直线 l2 : 2 x ? 4 y ? 5 相交于点 B ,又点 A(1, 2) , ? y ? 2 ? 4t



AB ? _______________。

10

1 ? x ? 2? t ? ? 2 (t为参数) 被圆 x2 ? y2 ? 4 截得的弦长为______________。 4.直线 ? 1 ? y ? ?1 ? t ? ? 2

1 ? ?x ? 1? 5.七、1.曲线的参数方程是 ? t (t为参数,t ? 0) ,则它的普通方程为__________________。 ? y ? 1? t2 ?
2.直线 ?

? x ? 3 ? at (t为参数) 过定点_____________。 ? y ? ?1 ? 4t
2

3.点 P(x,y)是椭圆 2 x

? 3 y 2 ? 12 上的一个动点,则 x ? 2 y 的最大值为___________。
? tan ? ? 1 cos ?
,则曲线的直角坐标方程为________________。

4.曲线的极坐标方程为 ? 5.设

y ? tx(t为参数) 则圆 x2 ? y 2 ? 4 y ? 0 的参数方程为__________________________。

八 、 1 . 已 知曲 线

? x ? 2 pt 2 (t为参数,p为正常数) 上 的 两 点 M , N ? y ? 2 pt ?
=_______________。

对 应 的 参 数 分别 为 t1和t2, ,

且t1 ? t2 ? 0 ,那么 MN
2.直线 ?

? ? x ? ?2 ? 2t ? ? y ? 3 ? 2t

(t为参数) 上与点 A(?2,3) 的距离等于 2 的点的坐标是_______。

3.圆的参数方程为 ?

? x ? 3sin ? ? 4cos ? (? 为参数) ,则此圆的半径为_______________。 ? y ? 4sin ? ? 3cos ?
? cos?
与?

4.极坐标方程分别为 ?

? sin ? 的两个圆的圆心距为_____________。

5.直线 ?

? x ? t cos ? ? y ? t sin ?

与圆 ?

? x ? 4 ? 2cos ? 相切,则 ? ? _______________。 ? y ? 2sin ?

11


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