nbhkdz.com冰点文库

2013年高考数学总复习 10-8 离散型随机变量及其概率分布(理)课件 新人教B版

时间:2012-08-14


离散型随机变量

第 八 节

及其概率分布(理)

重点难点 重点:随机变量分布列的意义,两点分布、二项分 布、条件概率、独立重复试验等概念的理解及有关公式 运用. 难点:各种概率分布的判断及应用.

知识归纳 1.随机变量 (1)如果随机试验的结果可以用一个变量 X 来表示, 并且 X 随

试验结果的不同而变化,那么变量 X 叫做随机 变量.

(2)如果随机变量所有可能取的值,可以按一定次序 一一列出,这样的随机变量叫做 离散型 随机变量.如 果随机变量可以取某一区间内的一切值,这样的随机变 量叫做 连续型 随机变量.

2.离散型随机变量的分布列 (1)设离散型随机变量 X 所有可能取的不同值为 x1、 x2、?、xi、?、xn,X 取每个值 xi(i=1,2,?n)的概率 P(X=xi)=pi,则称表

X P

x1 p1

x2 p2

? ?

xi pi

? ?

xn pn

为随机变量 X 的分布列(或概率分布). X 的分布列也可简记为: P(X=xi)=pi,i=1、2、?、n.

(2)离散型随机变量的分布列的性质: ①pi≥0,i=1,2,?n; ②p1+p2+p3+?pn=1. 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取 这个范围内各个值的概率之和.

3.二点分布 如果随机变量 X 的分布列为 X P 1 p 0 1-p

其中 0<p<1,则称离散型随机变量 X 服从参数为 p 的二点分布.

4.超几何分布 设有总数为 N 件的两类物品,其中一类有 M 件,从 所有物品中任取 n 件(n≤N),这 n 件中所含这类物品件 数 X 是一个离散型随机变量,它取值为 m 时的概率
n Cm CN- m -M M P(X=m)= (0≤m≤l,l 为 n 和 M 中较小的 Cn N

一个),

称这种离散型随机变量的概率分布为超几何分布, 也称 X 服从参数为 N、M、n 的超几何分布. 超几何分布给出了求解这类问题的方法,可以当公 式直接运用.

5.条件概率 设 A、B 为两个事件,在事件 A 发生的条件下,事 P?A∩B? 件 B 发生的概率叫做条件概率, 公式: P(B|A)= . P?A? 任何事件的条件概率都在 0 和 1 之间,即 0≤P(B|A)≤1 如果 B 和 C 是两个互斥事件, P(B∪C|A)=P(B|A) 则 +P(C|A).

6.事件的独立性 如果事件 A 的发生与否不影响事件 B 发生的概率, 则 P(B|A)=P(B),这时称事件 A 与 B 相互独立. 如果事件 A 与 B 相互独立,则 P(A∩B)=P(A)P(B), 对于 n 个事件 A1、A2、?、An,如果其中任何一个 事件发生的概率不受其它事件是否发生的影响,则称这 n 个事件 A1、A2、?、An 相互独立. 如果事件 A 与 B 相互独立,那么事件 A 与 B , A 与 B, A 与 B 也都相互独立.

7.独立重复试验与二项分布 (1)一般地,在相同条件下重复做 n 次试验,各次试 验的结果相互独立,称为 n 次独立重复试验.

(2)二项分布 一般地,在 n 次独立重复试验中,设事件 A 发生的 次数为 X, 在每次试验中事件 A 发生的概率都为 p,那么 在 n 次独立重复试验中,事件 A 恰好发生 k 次的概率为 P(X=k)=Ckpk(1-p)n-k,k=0,1,2,?,n. n 此时称随机变量 X 服从参数为 n、p 的二项分布,记 作 X~B(n,p).

误区警示 1.“互斥事件”与“相互独立事件”的区别 “互斥事件”是说两个事件不能同时发生,“相互 独立事件”是说一个事件发生与否对另一个事件发生的 概率没有影响.

2.对独立重复试验要准确理解 (1)独立重复试验的条件 第一:每次试验是在同样条件下进行.第二:任何 一次试验中某事件发生的概率相等.第三,每次试验都 只有两种结果,即事件要么发生,要么不发生.

(2)独立重复试验概率公式的特点 关于 Pn(k)=Ckpk(1-p)n-k,它是 n 次独立重复试验 n 中某事件 A 恰好发生 k 次的概率.其中 n 是重复试验次 数,p 是一次试验中某事件 A 发生的概率,k 是在 n 次独 立试验中事件 A 恰好发生的次数,弄清公式中 n、p、k 的意义,才能正确运用公式.

3.(1)准确理解事件和随机变量取值的意义,对实际 问题中事件之间的关系要清楚. (2)认真审题,找准关键字句,提高解题能力.如“至 少有一个发生”,“至多有一个发生”,“恰有一个发 生”等.

(3)常见事件的表示.已知两个事件 A、B,则 A、B 中至少有一个发生为 A+B;都发生为 A· B;都不发生为 A · ;恰有一个发生为 A · B B+A· ;至多有一个发生为 B A· +A· B B+A· . B

一、解决概率问题的步骤 第一步,确定事件的性质:古典概型、互斥事件、 独立事件、独立重复试验,然后把所给问题归结为某一 种. 第二步,判断事件的运算(和事件、积事件),确定事 件至少有一个发生还是同时发生,分别运用相加或相乘 事件公式.

第三步,运用公式求概率 m 古典概型 P(A)= ; n 互斥事件 P(A∪B)=P(A)+P(B); P?AB? 条件概率 P(B|A)= ; P?A? 独立事件 P(AB)=P(A)P(B); n 次独立重复试验:P(X=k)=Ckpk(1-p)n-k. n

二、数学建模思想 对于实际生活中的随机现象的研究,第一步引进随 机事件及其概率,找到常见的随机事件的概率的计算方 法和公式. 第二步将随机事件再抽象为随机变量, 建立纯 数学模型, 使对随机现象的研究进一步数学化. 对一门自 然学科的研究,只有当数学在其中能运用自如,使其数 学化时,才算最后成熟.

随机变量及其取值的意义
[例 1] 写出下列各随机变量可能的取值,并说明随 机变量所表示的随机试验的结果. (1)正方体的骰子,各面分别刻着 1、2、3、4、5、6, 随意掷两次,所得的点数之和为 ξ;

(2)一个人要开房门,他共有 10 把钥匙,其中仅有一 把是能开门的,他随机取钥匙去开门并且用后不放回, 其中打开门所试的钥匙个数为 ξ; (3)电台在每个整点都报时,某人随机打开收音机对 表,他所等待的时间 ξ(min).

解析:(1)ξ 可能取值为 2、3、4、5、6、7、8、9、 10、11、12.用(x,y)表示第一次掷出点数为 x,第二次掷 出点数为 y,则 ξ 的取值与对应的基本事件如表:

ξ

2

3

4

5

6 (1,5) (2,4) (3,3) (4,2)

7 (1,6)

8 (2,6) (3,5) (4,4) (5,3)

9

10

11

12




事 件 (1,1)

(1,3)

(1,4)

(2,5)

(3,6)

(4,6) (5,5) (6,4)

(1,2)
(2,1)

(2,2) (3,1)

(2,3)
(3,2) (4,1)

(3,4)
(4,3)

(4,5)
(5,4)

(5,6)
(6,5)

(6.6)

(5,1) (6,1)

(5,2) (6,2)

(6,3)

(2)ξ 可能取值为 1、2、3、?、10.ξ=n 表示第 n 次 打开房门; (3)ξ 可能取值为区间[0,60]内任何一个值,每一个可 能取的值表示他所等待的时间.

袋中装有除颜色外,质地大小完全相同的 4 个小 球,其中 1 个红球,3 个白球,从中任意摸出 1 个观察 颜色,取后不放回,如果是红色,则停止摸球,如果是 白色,则继续摸球,直到摸到红球时停止,记停止时的 取球次数为 ξ,则 ξ 所有可能取值的集合为________ ____,ξ=2 的意义为____________.

解析:袋中共 4 个球,3 白 1 红,取球后不放回,因 此 ξ 的可能取值为 1,2,3,4,即 ξ∈{1,2,3,4},ξ=2 表示第 一次摸到白球,第二次摸到红球.

答案:{1,2,3,4} 球

第一次摸到白球,第二次摸到红

离散型随机变量的分布列及其性质
[例 2] (2011· 莆田模拟)设随机变量 X 的概率分布列



,则 P(|X-3|=1)=________.

分析:可先由分布列的性质求出 m,再找出满足|X -3|=1 的 X 的值,即可求得概率.

1 1 1 1 解析: +m+ + =1,解得 m= , 3 4 6 4 1 1 5 P(|X-3|=1)=P(X=2)+P(X=4)= + = . 4 6 12

5 答案: 12

点评:解答随机变量分布列中求参数值的问题时, 要牢记分布列的两个性质:pi≥0, ?pi=1.
i=1 n

(2011· 岳阳模拟)设 X 是一个离散型随机变量, 其分

布列为: A.1 2 C.1- 2

则 q 等于( 2 B.1± 2 2 D.1+ 2

)

?1-2q≥0 ? ?q2≥0 解析:由分布列的性质知,? 1 ? 2 ?1-2q+q =2 ? 2 ∴q=1- . 2

答案:C

两点分布
[例 3] 一次数学摸底考试, 某班 60 名同学成绩的频 率分布直方图如图所示.若得分 90 分以上为及格.从该 班任取一位同学, 其分数是否及格记为 ξ, ξ 的分布列. 求

解析:由直方图可知该班同学成绩在 90 分以上的频 率为 1-(0.01+0.0025)×20=0.75, 由频率估计概率的原 理知,从该班任取一名同学及格的概率为 p=0.75,记及 格 ξ=1,不及格为 ξ=0,则 ξ 的分布列为 ξ P 0 0.25 1 0.75

袋中有大小相同的 4 个球,其中 1 个篮球,3 个白 球,从中任取一球观察颜色,并用 ξ 表示,取到篮球 ξ =0,取到白球,ξ=1,则 E(ξ)=________.

1 3 解析:P(ξ=0)= ,P(ξ=1)= , 4 4 1 3 3 ∴E(ξ)=0× +1× = . 4 4 4

3 答案: 4

条件概率
[例 4] 在 100 件产品中有 95 件合格品,5 件不合格 品.现从中不放回地取两次,每次任取 1 件.试求: (1)第一次取到不合格品的概率; (2)在第一次取到不合格品后, 第二次再次取到不合格 品的概率.

解析:设“第一次取到不合格品”为事件 A,“第 二次取到不合格品”为事件 B. 5 (1)P(A)= =0.05. 100 (2)解法 1:第一次取走 1 件不合格品后,还剩下 99 件产品,其中有 4 件不合格品.于是第二次再次取到不 4 合格品的概率为 . 99

解法 2:根据条件概率的定义计算,需要先求出事件 C2 1 5 AB 的概率:P(AB)= 2 = , C100 495 1 P?AB? 495 4 所以有 P(B|A)= = = . 5 99 P?A? 100

4 答案:(1)0.05 (2) 99

(2011· 辽宁理, 5)从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数, 事件 A=“取到的 2 个数之和为偶数”, 事件 B=“取 到的 2 个数均为偶数”,则 P(B|A)=( 1 A. 8 2 C. 5 1 B. 4 1 D. 2 )

2 C2+C2 4 C2 1 3 2 解析:∵P(A)= = ,P(AB)= 2= , 2 C5 10 C5 10

P?AB? 1 ∴P(B|A)= = . P?A? 4

答案:B

超几何分布
[例 5] (2011· 江西理,16)某饮料公司招聘了一名员

工,现对其进行一项测试,以便确定工资级别.公司准备 了两种不同的饮料共 8 杯,其颜色完全相同,并且其中 4 杯为 A 饮料,另外 4 杯为 B 饮料,公司要求此员工一一 品尝后,从 8 杯饮料中选出 4 杯 A 饮料。若 4 杯都选对, 则月工资定为 3500 元;若 4 杯选对 3 杯,则月工资定为

2800 元, 否则月工资定为 2100 元, X 表示此人选对 A 令 饮料的杯数, 假设此人对 A 和 B 两种饮料没有鉴别能力. (1)求 X 的分布列; (2)求此员工月工资的期望.

分析:8 杯饮料中含 4 杯 A 饮料,从 8 杯中任选 4 杯,其中恰含 k 杯 A 饮料的概率服从超几何分布. 设新录用员工的月工资为 y, y 的取值与 X 的取值 则 对应关系为 y X 3500 4 2800 3 2100 0,1,2

解析:(1)X 的所有可能取值为:0,1,2,3,4 Ci4C4- i 4 P(X=i)= 4 (i=0,1,2,3,4) C8 即 X P 0 1 70 1 16 70 2 36 70 3 16 70 4 1 70

(2)令 Y 表示新录用员工的月工资,则 Y 的所有可能 取值为 2100,2800,3500 1 则 P(Y=3500)=P(X=4)= 70 8 P(Y=2800)=P(X=3)= 35 53 P(Y=2100)=P(X≤2)= 70 1 8 53 E(Y)=3500× +2800× +2100× =2280. 70 35 70 所以新录用员工月工资的期望为 2280 元.

点评: 要注意超几何分布的特点, 是总数为 N 件的 A、 B 两类物品, 其中含 M 件 A 类物品, 从中任取 n 件(n≤N) 时恰含有 A 类物品 m 件,要严格按其特点作出判断.

一批零件中有 10 个合格品,2 个次品,安装机器 时从这批零件中任选 1 个, 取到合格品才能安装;若取 出的是次品,则不再放回. (1)求最多取 2 次零件就能安装的概率; (2)求在取得合格品前已取出的次品数 ξ 的分布列.

10 5 解析:(1)第一次就能安装的概率: = ; 12 6 2 10 5 第二次就能安装的概率: · = ; 12 11 33 5 5 65 最多取 2 次零件就能安装的概率为 + = ; 6 33 66

(2)由于随机变量 ξ 表示取得合格品前已取出的次品 数,所以 ξ 可能的取值为 0、1、2; 5 5 ∵P(ξ=0)= ,P(ξ=1)= , 6 33 2 1 10 1 P(ξ=2)= · · = . 12 11 10 66 ∴ξ 的分布列为 ξ P 0 5 6 1 5 33 2 1 66

点评:在 10 件产品中含有 3 件次品,下列问题要加 以辨明. (1)从中任取一件取到次品. (2)连取 3 次,其中恰含一件次品. (3)连取 3 次,第 3 次取到次品.

(4)一件一件取出产品,取到正品继续抽取,取后不 放回,取到次品即停止抽取,恰在第 3 次停止. (5)一件一件连续抽取产品,取后不放回,当取到的 产品中含两件次品时即停止抽取,恰在第 3 次抽取产品 后停止.

相互独立事件同时发生的概率
[例 6] (2010· 北京理,17)某同学参加 3 门课程的考 4 试.假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为 ,第 5 二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为 p,q(p>q), 且不同课程是否取得优秀成绩相互独立, ξ 为该生取得 记 优秀成绩的课程门数,其分布列为

ξ P

0 6 125

1 a

2 b

3 24 125

(1)求该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率; (2)求 p,q 的值; (3)求数学期望 E(ξ).

解析:用事件 Ai 表示“该生第 i 门课程取得优秀成 绩”,i=1,2,3.由题意可知 4 P(A1)= ,P(A2)=p,P(A3)=q. 5 (1)由于事件“该生至少有一门课程取得优秀成绩” 与事件“ξ=0”是对立的,所以该生至少有一门课程取 6 119 得优秀成绩的概率是 1-P(ξ=0)=1- = . 125 125

(2)由题意可知, P(ξ=0)=P( A1 A2 1 6 A3 )= (1-p)(1-q)= , 5 125

4 24 p(ξ=3)=P(A1A2A3)= pq= . 5 125 3 2 ∵p>q,∴p= ,q= . 5 5

(3)由题意得,a=P(ξ=1)=P(A1 A2 A2 A3 )+P( A1 A2 A3)

A3 )+P( A1

4 1 1 = (1-p)(1-q)+ p(1-q)+ (1-p)q 5 5 5 37 = . 125 b=P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=3) 58 = . 125

6 37 58 24 9 E(ξ)=0× +1× +2× +3× = . 125 125 125 125 5

点 评 : 1° 算 独 立 事 件 的 概 率 公 式 P(AB) = 计 P(A)· P(B). 2° 判断事件 A 与 B 是否相互独立, 关键是看一个事 件发生的概率是否受另一个事件是否发生的影响.

(2011· 浙江嘉兴模拟)甲乙两人分别独立参加某高 2 校自主招生面试,若甲、乙能通过面试的概率都是 , 3 则面试结束后通过的人数 ξ 的期望是( 4 A. 3 C.1 11 B. 9 8 D. 9 )

解析:依题意,ξ 的取值为 0,1,2. 2 2 1 且 P(ξ=0)=(1- )×(1- )= , 3 3 9 2 1 2 1 4 P(ξ=1)= ×(1- )+(1- )× = , 3 3 3 3 9 2 2 4 P(ξ=2)= × = . 3 3 9 1 4 4 12 4 故 ξ 的期望 E(ξ)=0× +1× +2× = = . 9 9 9 9 3

答案:A

独立重复试验与二项分布
[例 7] (2010· 天津理)某射手每次射击击中目标的概

2 率是 ,且各次射击的结果互不影响. 3 (1)假设这名射手射击 5 次, 求恰有 2 次击中目标的概 率; (2)假设这名射手射击 5 次,求有 3 次连续击中目标, 另外 2 次未击中目标的概率;

(3)假设这名射手射击 3 次,每次射击,击中目标得 1 分,未击中目标得 0 分.在 3 次射击中,若有 2 次连续 击中,而另外 1 次未击中,则额外加 1 分;若 3 次全击 中,则额外加 3 分.记 ξ 为射手射击 3 次后的总得分数, 求 ξ 的分布列.

分析:用 Ai 表示第 i 次射击击中目标, (1)“各次射击结果互不影响”说明这是独立重复试 验,服从二项分布,“5 次射击中,恰有 2 次击中目标” 可按公式直接求概率. (2)“五次射击中,有连续三次击中目标,另外两次 未击中目标”可表示为 A1A2A3- 4-5+- 1A2A3A4-5+- A A A A A
1 A 2A3A4A5,按独立事件公式可求其概率.



(3)先按三次射击中,击中目标的所有可能情况找出 ξ 的取值,再依据独立事件求其概率,ξ 取值与击中目标 情况如表.
ξ 0 1 2 3 6

击中目 标情况

A1-2-3 A A -1-2-3 A A A -1A2-3 A A -1-2A3 A A

A1 - A
2 A3

A1A2-3 A -1A2A3 A

A1A2A
3

解析: (1)设 X 为射手在 5 次射击中击中目标的次数, 则
? 2? X~B?5, ?.在 3? ?

5 次射击中,恰有 2 次击中目标的概率
? ? ?3 ? ? ? ?

22 23 2 P(X=2)=C5×? ? ×?1- ? = 3?

40 . 243

(2)设“第 i 次射击击中目标”为事件 Ai(i=1,2,3,4,5); “射手在 5 次射击中,有 3 次连续击中目标,另外 2 次未 击中目标”为事件 A,则 -- - - - - P(A)=P(A1A2A3 A 4 A 5)+P( A 1A2A3A4 A 5)+P( A 1 A
2A3A4A5)

?2 ? ?1 ? 1 ?2 ?3 1 ?1 ?2 ?2 ?3 3 2 =? ? ×? ? + ×? ? × +? ? ×? ? 3 ?3 ? 3 ?3 ? ?3 ? ?3 ? ?3 ?

8 = . 81

(3)由题意可知,ξ 的所有可能取值为 0,1,2,3,6,
?1 ? 1 --- 3 P(ξ=0)=P( A 1 A 2 A 3)=? ? = ; 27 ?3 ?

-- - - -- P(ξ=1)=P(A1 A 2 A 3)+P( A 1A2 A 3)+P( A 1 A 2A3) 2 ?1 ?2 1 2 1 ?1 ?2 2 2 = ×? ? + × × +? ? × = ; 3 ?3 ? 3 3 3 ?3 ? 3 9 2 1 2 4 - P(ξ=2)=P(A1 A 2A3)= × × = ; 3 3 3 27

- - P(ξ=3)=P(A1A2 A 3)+P( A 1A2A3)
?2 ? 1 1 ?2 ?2 8 2 =? ? × + ×? ? = ; 3 3 ?3 ? 27 ?3 ? ?2 ?3 8 P(ξ=6)=P(A1A2A3)=? ? = . 27 ?3 ?

所以 ξ 的分布列是 ξ P 0 1 27 1 2 9 2 4 27 3 8 27 6 8 27

(2011· 合肥模拟)一袋中有 5 个白球,3 个红球,现从 袋中往外取球, 每次任取一个记下颜色后放回, 直到红球 出现 10 次时停止,设停止时共取 ξ 次球,则 P(ξ=12)等 于( )
10 3 10 5 2 ? ? A.C12· ? · ?

? ? ?8 ?

? ? ?8 ?

9 3 9 5 23 ? ? B.C11· ? · ? ·

? ? ? ? ?8 ? ?8 ?

8

9 5 9 3 2 ? ? C.C11· ? · ?

? ? ? ? ?8 ? ?8 ?

9 3 9 5 2 ? ? D.C11· ? · ?

? ? ? ? ?8 ? ?8 ?

3 解析:从口袋中任取一球,取到红球的概率为 .重复 8 进行了 ξ 次取球试验, 其中红球恰好取到了 10 次, ξ=12 即进行了 12 次试验,其中前 11 次试验中出现了 9 次红 球,第 12 次试验结果为红球, 52 3 9 3 9 ? ∴P(ξ=12)=C11· ? ×? ? × .
?8 ? ?8 ? ? ? ? ?

8

答案:B

1.袋中装有黑球和白球共 7 个,从中任取 2 个球都 1 是白球的概率为 , 现有甲、 乙两人从袋中轮流摸取 1 球, 7 甲先取,乙后取,然后甲再取??取后不放回,直到两 人中有一人取到白球时即终止.每个球在每一次被取出 的机会是等可能的.用 ξ 表示取球终止时所需要的取球 次数.

(1)求袋中原有白球的个数; (2)求随机变量 ξ 的概率分布; (3)求甲取到白球的概率.

[解析] (1)设袋中原有 n 个白球,由题意知: n?n-1? 2 n?n-1? 1 Cn 2 = 2= = ,即 n(n-1)=6, 7 C7 7×6 7×6 2 解得 n=3(舍去 n=-2),即袋中原有 3 个白球.

(2)由题意,ξ 的可能取值为 1,2,3,4,5. 3 P(ξ=1)= ; 7 4×3 2 P(ξ=2)= = ; 7×6 7 4×3×3 6 P(ξ=3)= = ; 7×6×5 35 4×3×2×3 3 P(ξ=4)= = ; 7×6×5×4 35

4×3×2×1×3 1 P(ξ=5)= = . 7×6×5×4×3 35 所以,取球次数 ξ 的概率分布为 ξ P 1 3 7 2 2 7 3 6 35 4 3 35 5 1 35

(3)因为甲先取,所以甲只有可能在第 1 次,第 3 次 和第 5 次取球,记“甲取到白球”的事件为 A,则 P(A)=P(“ξ=1”,或“ξ=3”,或“ξ=5”). 因为事件“ξ=1”、“ξ=3”、“ξ=5”两两互斥, 所以 3 6 1 22 P(A)=P(ξ=1)+P(ξ=3)+P(ξ=5)= + + = . 7 35 35 35


北京市延庆高中数学第二章概率21离散型随机变量211离散...

北京市延庆高中数学第二章概率21离散型随机变量211离散型随机变量分布新人教B版2-3._高考_高中教育_教育专区。2.1.1 离散型随机变量分布列一、教学目标:...

北京市延庆高中数学第二章概率22二项分布新人教B版2-3.

概率22二项分布新人教B版2-3._高考_高中教育_...1 项 n 3.离散型随机变量的二项分布: 在一次随...8.求这名射手在 10 次射击中,(1)恰有 8 次 ...

更多相关标签